Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

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1 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206

2 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. Lección. Cálculo de primitivs. Lección 2. Integrl de Riemnn y sus plicciones.

3 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Índice Integrl definid y sus plicciones. Introducción y primers definiciones. Funciones integrbles y teorem del vlor medio integrl. Sums de Riemnn Propieddes. Teorem fundmentl del cálculo integrción por susitución y por prtes. Cálculo de áres entre curvs. Volúmenes Longitudes de rco. Áres de superficies de revolución. 2 Integrles impropis. Tipos de integrl impropi. Criterios de convergenci.

4 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Introducción. Integrl de Riemnn Introducción Se y = f (x) definid pr todo x I = [, b] y cotd. Consideremos un prtición P de I P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen n n s P = m i (x i x i ), S P = M i (x i x i ) i= i= con m i y M i el ínfimo y el supremo de f en [x i, x i ].

5 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Introducción. Integrl de Riemnn Introducción Pr tod P, s P S P. Se dice que l prtición Q es más fin que P si contiene todos los puntos de P. En ese cso, s P s Q y S Q S P Pr culesquier prticiones P, Q, ocurre s P S Q. Se s el supremo de los s P y se S el ínfimo de los S P. Se tiene s S. Definición Si s = S, se dice que f es integrble en I. A este número se le llm integrl definid de Riemnn de f en I y se denot por b f (x) dx

6 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Funciones integrbles. Teorem del vlor medio integrl Teorem Se f cotd en I = [, b]. Entonces f es integrble en I si y sólo si pr todo ɛ > 0 existe un prtición P tl que S P s P < ɛ. Teorem Si f es cotd en [, b] y continu en [, b] slvo, quiz, en un conjunto finito de puntos, entonces f es integrble en [, b]. Teorem Si f es monóton en [, b], entonces f es integrble en [, b]. Teorem (Teorem del vlor medio integrl) Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces existe α [, b] tl que b f (x) dx = f (α)(b )

7 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Sums de Riemnn Definición L prtición P n { = x 0 < < x n = b} es regulr si x i+ x i = b n. Teorem Dd f cotd en I = [, b] y dd l sucesión de prticiones regulres P n, f es integrble en I si y sólo si existe el ĺımite n f (α i )(x i x i ) lim n i= α i [x i,x i ] independientemente de los α i elegidos. Dicho ĺımite es b f (x) dx. A ls sums definids se ls llm sums de Riemnn socids ls prticiones P n.

8 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Propieddes Propieddes Sen f, g : I = [, b] R integrbles. Entonces:. b f (x) + g(x) dx = b f (x) dx + b g(x) dx. 2. b kf (x) dx = k b f (x) dx. 3. b f (x) dx = b f (x) dx. 4. b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx c [, b]. 5. f (x) dx = Si f (x) 0 x [, b], b f (x) dx Si f g en [, b], b f (x) dx b g(x) dx. 8. b f (x) dx b f (x) dx.

9 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Teorem fundmentl del cálculo Teorem fundmentl del cálculo Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces, F (x) = x f (u) du, con x [, b], es derivble en (, b) y F (x) = f (x) (F es un primitiv de f, esto es, F (x) + C = f (x) dx). y y = f(u) F (x) x b u

10 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Teorem fundmentl del cálculo Corolrio (Regl de Brrow) Se f : [, b] R continu y se F (x) un primitiv de f (x) (F (x) = f (x) ó F (x) + C = f (x) dx). Entonces b f (x) dx = F (b) F ()

11 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrción por sustitución y por prtes Teorem (Integrción por sustitución) Si x = g(t) con g, g continus en [, b],, y tl que f : g([, b]) R es continu, entonces b f (g(t))g (t) dt = g(b) g() f (x) dx Teorem (Integrción por prtes) Dds f, g derivbles y con derivds continus en I = [, b], entonces b b f (x)g (x) dx = f (b)g(b) f ()g() f (x)g(x) dx

12 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Áres de regiones entre dos curvs Aplicción (Cálculo de áres entre curvs) Áres entre dos curvs de funciones continus en I = [, b]. Se utiliz l definición de integrl de Riemnn, seprndo l integrl en intervlos donde se mntiene el signo del integrndo. A = b (f (x) g(x))dx

13 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Áres de regiones entre dos curvs Aplicción (Cálculo de áres entre curvs) A = A + A 2 + A 3 = c (f (x) g(x)) dx + d c (g(x) f (x)) dx + b (f (x) g(x)) dx d = b f (x) g(x) dx

14 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo Clcúlese el áre encerrd entre ls gráfics de ls funciones f (x) = 3x 3 x 2 0x y g(x) = x 2 + 2x. Se iguln f (x) y g(x) obteniéndose los cortes en x = 2, 0, 2. Se comprueb que f g tom vlores positivos en ( 2, 0) y negtivos en (0, 2), de mner que el áre es A = 0 2 f (x) g(x) dx g(x) f (x) dx = 24

15 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Áres de regiones entre dos curvs Aplicción (Cálculo de áres entre curvs) Si l curv y = f (x), con f (x) 0 y continu en [, b], viene dd en form prmétric (x = u(t), y = v(t)), con u(t), u (t) continus, entonces el áre cotd por l curv y el eje OX entre = u(t ) y b = u(t 2 ) es A = b f (x) dx = t2 t v(t)u (t) dt

16 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo Clcúlese el áre encerrd por l elipse de ecución x2 sbiendo que x = cos t y que y = b sin t. Se tiene que el áre es A = 4 0 π/2 (b sin t)( sin t) dt = πb 2 + y 2 b 2 =

17 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Volúmenes Definición (Volumen) Se S un sólido entre x = y x = b. Si ls áres de ls secciones plns de S perpendiculres l eje x determinn un función continu A(x), el volumen de S es V = lim n n i= α i [x i,x i ] A(α i )(x i x i ) = b A(x) dx donde ls sums de l iguldd son sums de Riemnn socids prticiones regulres P n.

18 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Volúmenes Aplicción (Volumen de un sólido de revolución) El volumen del sólido de revolución que gener, l girr sobre el eje OX, el recinto encerrdo por y = f (x), el eje 0X y ls rects x = y x = b, viene ddo por l fórmul V x = π b (f (x)) 2 dx y = f(x) b

19 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Volúmenes Aplicción (Volumen de un sólido de revolución) El volumen del sólido de revolución que gener l girr sobre el eje OY el recinto encerrdo por x = f (y), el eje 0Y y ls rects y = c y y = d viene ddo por l fórmul V y = π d c (f (y)) 2 dy d x = f(y) c

20 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Longitudes de rco Aplicción (Longitud de rco) Longitudes de rco. L longitud de un rco de l curv y = f (x) entre x = y x = b, con f derivble y f continu en [, b], es b L f = + (f (x)) 2 dx y = f(x) L b

21 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo Un cble eléctrico cuelg de dos torres distntes entre sí 00 metros, doptndo l form de un ctenri de ecución y = 75(e x/50 + e x/50 ) = 50 cosh(x/50). Clcúlese l longitud del cble entre dichs torres. Ddo que y = 2 (ex/50 e x/50 ), se tiene que Entonces (y ) 2 = 4 (ex/ e x/75 ) + (y ) 2 = 4 (ex/ e x/75 ) = [ ] 2 2 (ex/50 + e x/50 ) Al integrr, qued L f = (ex/50 + e x/50 ) dx = 75 [ e x/50 e x/50] = 50(e /3 e /3 )

22 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Longitudes de rco Aplicción (Longitud de rco) Si l función está dd en form prmétric x = u(t) e y = v(t), entre t = t y t = t 2, con u y v derivbles y con derivd continu en [t, t 2 ], entonces t2 L f = (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt t

23 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Áres de superficies de revolución. Aplicción (Áres de superficies de revolución) L superficie de revolución del sólido que gener l curv y = f (x) con f derivble y con derivd continu en [, b], l girr sobre los ejes OX y OY, tiene un áre que viene dd por ls fórmuls b S x = 2π S y = 2π b f (x) x + (f (x)) 2 dx + (f (x)) 2 dx

24 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Áres de superficies de revolución. Aplicción (Áres de superficies de revolución) Si l función está dd en form prmétric x = u(t) e y = v(t) desde t = t hst t = t 2, con u y v continus en [t, t 2 ], ls áres de ls superficies vienen dds por ls fórmuls t2 S x = 2π v(t) (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt t t2 S y = 2π u(t) (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt t

25 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de primer especie Definición (Integrles impropis de primer especie) Se definen como integrles impropis de intervlos no cotdos, o de primer especie, ls siguientes integrles: ) Se f : (, b] R continu. Entonces b f (x)dx = b lim f (x)dx = lim (F (b) F ()) f(x) b

26 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de primer especie Definición (Integrles impropis de primer especie) b) Se f : [, ) R continu. Entonces f (x)dx = lim b b f (x)dx = lim (F (b) F ()) b f(x) Si existen y son finitos los ĺımites, se dice que l integrl impropi converge y tiene como vlor dicho ĺımite. En cso contrrio, diverge. b

27 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de primer especie Definición (Integrles impropis de primer especie) c) Si tnto c f (x) dx como c entonces definimos f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx son convergentes, c f (x) dx = lim f (x) dx + lim b donde c es culquier número rel. f(x) b c f (x) dx c b

28 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo Vemos que l integrl impropi de primer especie converge si y sólo si c >. Estudiemos primero el cso en que c, [ b x dx = lim c b x c dx = lim x c+ b c+ = lim b c ] b x c dx [ b c ] Entonces, si c >, tenemos que c > 0, con lo que /b c 0 cundo b. Esto implic que x c dx = si c >, c con lo que l integrl converge.

29 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Si c <, tenemos que c < 0, con lo que /b c cundo b. Esto implic que dx = si c <, x c por lo que l integrl diverge. Únicmente qued estudir el cso c =. Entonces dx = lim x [ln b x]b = lim [ln b ln ] =, b de modo que l integrl diverge.

30 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de segund especie Definición (Integrles impropis de segund especie) Estudiemos el cso en que l función no está cotd en el intervlo de integrción o integrl de segund especie. ) Integrndo infinito en un extremo del intervlo. Se f (x) continu en [, b) y tl que lim f (x) =. Entonces se x b define l integrl impropi b f (x)dx = lim t b t f (x)dx Si dicho ĺımite existe y es finito, se dice que l integrl es convergente y, en cso contrrio, que es divergente. b) Análogmente se define l integrl impropi de segund especie en el otro extremo del intervlo, esto es, si f (x) es continu en (, b] y tl que lim f (x) =. x +

31 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de segund especie Definición (Integrles impropis de segund especie) f(x) f(x) t b t b

32 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de segund especie Definición (Integrles impropis de segund especie) c) Integrndo infinito en un punto del interior del intervlo. Se f (x) continu en [, b], excepto en c (, b) y tl que f (x) = (resp. lim f (x) = ). Entonces se define + lim x c b f (x)dx = x c c f (x)dx + b c f (x)dx f(x) f(x) t c Diremos que b f (x)dx converge en el cso de que ests dos últims integrles converjn. En cso contrrio, tendremos divergenci. t b

33 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo Estudiemos l convergenci de l integrl impropi de segund especie 0 x dx. c Estudiemos primero el cso en que c : dx = lim x c dx = lim x c = lim 0 + [ ] x c+ c+ c+ [ c+ ] Entonces, si c >, tenemos que c + < 0, con lo que c+ cundo 0 +. Esto implic que dx = si c >, x c con lo que l integrl diverge. 0

34 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Si c <, c + > 0 y c+ 0 cundo 0 +. Esto implic que x c dx = si c <, c con lo que l integrl converge. En el cso en que c =, se tiene 0 0 dx = lim x [ln 0 x] + = lim 0 +[ln ln ] =, de modo que l integrl diverge.

35 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Integrles impropis de tercer especie Definición (Integrles impropis de tercer especie) Existe tmbién l integrl impropi de tercer especie, que es l sum de los dos csos nteriores (primer especie + segund especie).

36 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Criterios de convergenci Teorem (Criterio de comprción) Sen f y g continus con f (x) g(x) 0 pr x. Se tiene: ) Si lo es. b) Si f (x) dx es convergente, entonces g(x) dx tmbién g(x) dx diverge, entonces f (x) dx tmbién diverge. Este criterio tmbién es válido pr integrles impropis de segund especie.

37 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Ejemplo Ejemplo L integrl impropi de segund especie convergente. 0 dx es x + 4x 3 Bst comprr con l función x /2. Se tiene que pr todo x (0, ] Ddo que será. 0 x + 4x 3 < x /2 dx = = 2 es convergente, l del ejemplo lo x /2 /2