PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 ln( ) a sen cos(3 ) Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. ln( ) a sen cos(3 ) lim Aplicamos la regla de L Hôpital acos cos(3 ) 3 sen(3 ) lim a a Como dice que es finito, entonces, a y podemos seguir aplicando la regla de L Hôpital. cos cos(3 ) 3 sen(3 ) sen 3 sen(3 ) 3 sen(3 ) 9cos(3 ) ( ) lim lim

3 Sea f : la función definida por f( ). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento f y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El dominio de la función f ( ) es Asíntotas Verticales: No tiene, ya que no hay ningún valor que anule el denominador Asíntotas Horizontales: Calculamos lim f( ) lim lim Por lo tanto, y, es la asíntota horizontal Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. Calculamos el punto de corte de la asíntota con la función. y P(, ) y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y' ( ) (, ) (,) (,) Signo y ' + Función D C D La función es decreciente en el intervalo (, ) (, ) y creciente en el intervalo (,). Tiene un máimo relativo en el punto, y un mínimo relativo en el punto, c) Representamos la función

4 cos( ) ( a cos( )) Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite. sen( ) MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. lim cos( ) ( a cos( )) ( a) sen( ) Como dice que es finito, entonces, a y podemos aplicar la regla de L Hôpital. cos( ) ( a cos( )) ( ) sen( ) ( cos( )) cos( ) sen( ) lim lim sen( ) cos( ) cos ( cos ) sen ( sen ) sen sen cos cos lim cos( ) 4 sen( )

5 Se dispone de un cartón cuadrado de 5 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de para que el volumen de la caja sea máimo y calcula dicho volumen. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. 3 a) La función que queremos que sea mínimo es: V (5 ) 4 5 b) Derivamos e igualamos a cero 5 V ' ; 3 c) Calculamos la ª derivada y comprobamos el máimo V'' 4 4 V ''( 5) mínimo. Es absurdo, ya que si quitamos en cada esquina un cuadrado de 5 cm de lado nos quedamos sin cartón para hacer la caja. V 5 '' 3 Máimo Luego, 5 3 cm Calculamos el volumen: V (5 ) '6 cm 3 3

6 Sea la función definida por, donde ln denota logaritmo neperiano. a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) lim ln Asíntota vertical ln lim lim Asíntota horizontal y No tiene asíntota oblicua ya que tiene horizontal a) Calculamos la derivada e igualamos a cero. ln y ' e Creciente: (, e ) (,e) (e,+ ) Signo y' + Función C D Máimo e, e Decreciente: ( e, ) Máimo relativo: e, e

7 Sea la función definida por. Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa y un punto de infleión en. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Nos dan la función: 3 f ( ) a b c. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) 3 a b ; f ''( ) 6 a - Tangente horizontal en f a b a b '() Punto de infleión en (,5) Pasa por a b c a b c f ''( ) 6 ( ) a a 6 Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones 3 (,5) ( ) ( ) ( ) 5 6 a b 3 a b c 6 a 3 ; b 9 ; c 6 a 6

8 Sea la función definida por, con. Calcula a y b sabiendo que f tiene un etremo relativo en y su gráfica, un punto de infleión en el punto cuya abscisa es. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos la primera y segunda derivada de f ( ) ( e a b) f ae e b f a e ae ae a e ae ae a '( ) a a ; ''( ) a a a a a a ( ) Vamos aplicando las condiciones del problema. - Etremo relativo en f '() b - Punto de infleión en f ''() ae a ( a ) Resolviendo las dos ecuaciones, tenemos: a ; b

9 De un terreno se desea vender un solar rectangular de.8 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. Llamamos a la longitud e y al ancho del solar. Paso : Escribimos la función que queremos que sea mínima: Lmin 4y Paso : Escribimos la relación entre las variables:.8 y.8 ; y Paso 3: Sustituimos:.8 5. Lmin 4y 4 5. Paso 4: Derivamos e igualamos a cero: L' min 6 Paso 5: Calculamos la ª derivada..4 L'' 3 L''( 6) '5 mínimo L''( 6) '5 Máimo Luego las dimensiones del solar son = 6 m ; y = 8 m

10 Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea máimo es: S r r h min. b) Relación entre las variables: V r h. h r c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable... S min r r h r r r r r d) Derivamos e igualamos a cero. 4 3 r.. 3 min S ' 4r r 5'4 cm r r 4 e) Comprobamos que corresponde a un mínimo: 3 3 r r r(4r ) 4r 4 S '' min 4 3 r r 3 4 (5'4) 4 S''( r 5'4) Mínimo 3 (5'4) Luego, las dimensiones del depósito son: r 5'4 cm y h (5' 4) '87 cm

11 Sea la función definida por. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Lo primero que hacemos es abrir la función. si 4 f si 4 si Igualamos a cero la primera derivada: ( ) 4 4,,,, Signo y ' + + Función D C D C Pico, Máimo Pico, Creciente en el intervalo:,, Decreciente en el intervalo:,, Máimo en, 4 y mínimos en, y, b) Calculamos la ecuación de la recta tangente. y f ( ) f '( ) ( ) y 3 ( ) y 5 La ecuación de la normal es y f ( ) f '( ) ( ) y 3 ( ) y 5 f '( )

12 m Sabiendo que lim e es finito, calcula m y el valor del límite. MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Aplicamos la regla de L Hôpital y como el límite es finito el numerador debe valer cero m me m me lim lim lim me m ( ) e e ( e ) e Calculamos el valor del límite m me m me me m lim lim lim lim ( ) ( ) e e e e e e e 4

13 Sea f : la función definida por f ( ) e a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función f ( ) e, no tiene asíntota vertical ya que su dominio es. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal lim lim lim e e e 4 e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3 e e y ' ; ; ( e ) e c) (, ) (,) (,) (, ) Signo y ' + + Función C D C D Máimo, mínimo (, ) Máimo, e e