Selectividad Septiembre 2007 SEPTIEMBRE 2007

Transcripción

1 Bloque A SEPTIEMBRE Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y 30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20 televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 euros y por cada televisión digital 15 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el ingreso máximo diario que se puede conseguir. 2.- Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. 3.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industria y el 70% de los créditos para consumo. a) Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. b) Sabiendo que un crédito elegido al azar no fue pagado, Cuál es la probabilidad de que fuera un crédito para industria? 4.- Un mensaje es transmitido con errores con probabilidad 0,1. Emitimos de forma independiente 10 mensajes. Calcula la probabilidad de que al menos alguno de los 10 mensajes haya sido transmitido con errores. Bloque B x 2y + z = Se considera el sistema: 3x 5y + z = 4 x y + ( a 2) z = 2 a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) Halla todas las soluciones para a = Una parábola tiene la forma f (x) = ax 2 + bx + 2. Se sabe que en el punto (1, 3) tiene un máximo o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a un mínimo. 3.- Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un determinado mes sigue una distribución normal con media µ desconocida y desviación típica σ = 0,25 horas. a) Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados de forma aleatoria en la empresa resultó ser x = 4,925 horas, permite ese valor de x rechazar a nivel α = 0,05 que µ fuera igual a 5 horas? b) Da un intervalo de confianza al 99 % para µ usando la media de la muestra anterior de 20 trabajadores ( x = 4,925 horas). 4.- Dos sucesos A y B tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos. Dpto. Matemáticas 1 / 8 IES Ramón Olleros

2 Bloque A SOLUCIONES 1.- Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y 30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20 televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 euros y por cada televisión digital 15 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el ingreso máximo diario que se puede conseguir. Sea x el número de televisores analógicos e y el número de televisores digitales que se instala. A partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes condiciones: 10x + 20y x + 30y x 20 6 y 20 (La restricción y 20 viene impuesta por las limitaciones de cable que tenemos. El problema tiene la misma solución si no se tiene en cuenta dicha restricción) La función que nos da los ingresos viene dada por F (x, y) = 10x + 15y. Representemos la región factible: Los vértices de esta región son: A = (0, 10) B = (0, 20) C = (20, 10) D = (20, 6) E = (6, 6) Dpto. Matemáticas 2 / 8 IES Ramón Olleros

3 Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios: F (0, 10) = = 150 F (0, 20) = = 300 F (20, 10) = = 350 F (20, 6) = = 290 F (6, 6) = = 150 Por tanto, el máximo se presenta cuando se instalan 20 televisores analógicos y 10 televisores digitales. El beneficio obtenido en este caso es de 350 euros. 2.- Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. El problema que se nos plantea es un problema de optimización. Sean x e y los números positivos buscados. A partir del enunciado, se nos pide maximizar la función: P = y x 2 Las dos variables están ligadas mediante la condición x + y = 120. Despejando y de esta ecuación y sustituyendo en la anterior, obtendremos una función de optimización dependiente de una sola variable: y = 120 x P (x) = (120 x) x 2 = 120x 2 x 3 Para calcular cuando se presenta el máximo de la misma, calculamos su derivada primera: P (x) = 240x 3x 2 Calculamos los puntos singulares al resolver la ecuación que se obtiene igualando a cero esta derivada primera: P (x) = 0 240x 3x 2 = 0 x = 0 y x = 80 De estas dos soluciones sólo estudiaremos la positiva pues en el problema nos piden calcular números positivos (desechamos el valor x = 0). Para comprobar si x = 80 es máximo, veamos cual es el valor de la derivada segunda en él: P (x) = 240 6x P (80) = = 240 < 0 En x = 80 se presenta por tanto un máximo. Los números buscados son entonces x = 80 e y = = 40. Dpto. Matemáticas 3 / 8 IES Ramón Olleros

4 3.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industria y el 70% de los créditos para consumo. a) Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. b) Sabiendo que un crédito elegido al azar no fue pagado, Cuál es la probabilidad de que fuera un crédito para industria? a) Consideremos los sucesos: V = crédito para vivienda. I = crédito para industria. C = crédito para consumo. = crédito pagado. Para resolver el problema nos servimos del siguiente diagrama de árbol: 0,35 0,15 0,50 V I C 0,80 0,20 0,85 0,15 0,30 0,70 Por tanto, la probabilidad de que se pague un crédito al azar viene dada por: P () = P ( / V) + P ( / I) + P ( / C) = = 0,35 0,80 + 0,50 0,85 + 0,15 0,30 = 0,28 + 0, ,045 = 0,75 b) Debemos calcular ahora P (I / ). Se tiene entonces que por el teorema de Bayes: P (I / ) = PI ( ) PI ( ) 0,50 0,15 0,075 = = = = 0,3 P ( ) 1 P ( ) 1 0, 75 0, Un mensaje es transmitido con errores con probabilidad 0,1. Emitimos de forma independiente 10 mensajes. Calcula la probabilidad de que al menos alguno de los 10 mensajes haya sido transmitido con errores. Consideremos el suceso X = transmitir un mensaje erróneo. Se trata de una distribución de probabilidad binomial: B (10; 0,1) n = 10; p = 0,1; q = 0,9 Dpto. Matemáticas 4 / 8 IES Ramón Olleros

5 El suceso transmitir al menos alguno de los 10 mensajes con errores es complementario del suceso transmitir todos los mensajes sin errores. Tenemos entonces: P (Transmitir algún mensaje erróneo) = 1 P (Ningún mensaje sea erróneo) P (X 1) = 1 P (X = 0) Calculemos pues P (Ningún mensaje sea erróneo) que es más sencilla. Como sabemos la probabilidad de r transmisiones erróneas en n mensajes enviados para una distribución binomial viene dada por: n r n r px ( = r) = p( 1 p) r Por tanto la probabilidad de que ningún mensaje sea erróneo será: Por tanto, la probabilidad pedida es: P (X = 0) = 10 (0,1) 0 (0,9) 10 = 0, P (Haya algún mensaje erróneo) = 1 P (Ningún mensaje sea erróneo) = = P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 0,3487 = 0,6513 Bloque B x 2y + z = Se considera el sistema: 3x 5y + z = 4 x y + ( a 2) z = 2 a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) Halla todas las soluciones para a = 3. a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A*: A = A* = 1 1 a a 2 2 Se tiene que: A = 5a a 12 = a 1 Dicho determinante se anula para a = 1. Por tanto: Si a 1 rango A = rango A* = 3 S.C.D. Solución única. Si a = 1 rango A = 2 = rango A* S.C.I. Infinitas soluciones. Dpto. Matemáticas 5 / 8 IES Ramón Olleros

6 b) Calculemos las soluciones para a = 3. Para este valor de a el sistema que tenemos es: x 2y+ z = 1 3x 5y+ z = 4 x y + z = 2 Este sistema, según hemos visto en el apartado anterior es compatible determinado. Por tanto sus solución es única. Restando de la tercera ecuación la primera se obtiene directamente y = 1. Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones se llega a: x+ z = 3 3x+ z = 9 Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se alcanza la solución: x = 3 ; y = 1 ; z = Una parábola tiene la forma f (x) = ax 2 + bx + 2. Se sabe que en el punto (1, 3) tiene un máximo o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a un mínimo. A partir del dato de que función f (x) = ax 2 + bx + 2 tiene un máximo o un mínimo en el punto (1,3), sabemos dos cosas: La gráfica de la función f pasa por el punto (1, 3), esto es: f (1) = 3. En el punto de abscisa x = 1, f (x) se anula (f (1) = 0) pues es un punto singular. Así, obtenemos: Primero: 3 = a + b + 2 a + b = 1 Segundo: f (x) = 2ax + b f (1) = 2a + b = 0 Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a+ b= 1 2a+ b= 0 Resolviéndolo se obtiene: a = 1 y b = 2. Por tanto la función f es: f (x) = x 2 + 2x + 2 Para determinar si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a un mínimo, calculemos la derivada segunda y veamos que valor toma en el punto de abscisa x = 1. f (x) = x 2 + 2x + 2 f (x) = 2x + 2 f (x) = 2 f (1) = 2 < 0 Se deduce de aquí que en el punto (1, 3) la función f presenta un máximo. Dpto. Matemáticas 6 / 8 IES Ramón Olleros

7 3.- Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un determinado mes sigue una distribución normal con media µ desconocida y desviación típica σ = 0,25 horas. a) Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados de forma aleatoria en la empresa resultó ser x = 4,925 horas, permite ese valor de x rechazar a nivel α = 0,05 que µ fuera igual a 5 horas? b) Da un intervalo de confianza al 99 % para µ usando la media de la muestra anterior de 20 trabajadores ( x = 4,925 horas). a) Nos piden estudiar si el valor de x = 4,925 horas permite aceptar con un nivel de significación α = 0,05 la hipótesis de que µ sea igual a 5 horas. Hay que hacer por tanto un contraste de hipótesis para la media. Haremos un contrate bilateral: Hipótesis nula, H 0 : µ = 5 Hipótesis alternativa, H 1 : µ 5 σ σ La zona de aceptación tiene la forma µ z α / 2, µ + zα / 2 siendo σ la desviación típica n n poblacional y z α / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una significación α. En nuestro caso z α / 2 = 1,96 y por tanto: σ σ 0, 25 z α / 2, µ + z / 2 = (5 1,96 n n 20 µ α, 5 + 1,96 0, ) = (4,890; 5,110) Por tanto, se acepta la hipótesis nula de que el número medio de horas extras es de 5 horas con un nivel de significación del 0,05 ya que x = 4,925 (4,890; 5,110). σ b) El intervalo de confianza pedido será de la forma x zα/2, x+ zα/2 n una confianza del 99 % le corresponde un z α / 2 = 2,58. Así pues: σ, en el que para n σ σ I = x zα/2, x+ zα/2 n n = (4,925 2,58 0, 25 20, 4, ,58 0, ) = (4,781; 5,069) 4.- Dos sucesos A y B tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos. Los datos de los que partimos son: P (A) = 0,4 y P (B) = 0,5. independientes se tiene que: P (A B) = P (A) P (B) Además como A y B son Dpto. Matemáticas 7 / 8 IES Ramón Olleros

8 Nos piden calcular la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos sucesos, esto es P ( A B ). P ( A B ) = P ( A B) = 1 P (A B) Por otra parte tenemos que P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A) P (B). Entonces: P ( A B ) = P ( A B) = 1 P (A B) = 1 [P (A) + P (B) P (A) P (B)] = = 1 P (A) P (B) + P (A) P (B) = 1 0,4 0,5 + 0,4 0,5 = 0,3 Dpto. Matemáticas 8 / 8 IES Ramón Olleros