MATEMÁTICAS I. 1º de Bachillerato. LibrosMareaVerde.tk

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1 MATEMÁTICAS I º de Bachillerato

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3 MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

4 5 Números reales y complejos. NÚMEROS REALES Ídice.. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.. LA RECTA REAL... VALOR ABSOLUTO.. DESIGUALDADES.5. DISTANCIA EN LA RECTA REAL.6. INTERVALOS Y ENTORNOS.7. APROXIMACIONES Y ERRORES.8. NOTACIÓN CIENTÍFICA. NÚMEROS COMPLEJOS.. NECESIDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. EL NÚMERO i... NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA. OPERACIONES.. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. OPERACIONES.. FÓRMULA DE MOIVRE Resume La variable compleja permite resolver problemas muy diferetes detro de áreas ta variadas como puede ser hidráulica, aerodiámica, electricidad, electromagetismo, y otros. Alguos de ellos solo requiere el coocimieto de los úmeros complejos, como sucede e el caso del cálculo de los autovalores asociados a sistemas de ecuacioes difereciales lieales. Otros e cambio requiere la utilizació de la teoría de fucioes aalíticas complejas, como los problemas de cotoro que aparece, por ejemplo, e el estudio del flujo de fluidos, la coducció del calor, la elasticidad o el potecial electrostático. Sabías que la forma del ala de los avioes se diseña mediate operacioes co úmeros complejos? Se puede decir que el ser humao es capaz de volar gracias a ellos. Muchos problemas geométricos puede resolverse utilizado las trasformacioes complejas. Para resolver muchos de estos problemas basta coocer lo que vas a estudiar e este capítulo, pero para otros (trasformacioes, fucioes aalíticas) habrá que esperar a saber más. Si os quedamos solo detro de las Matemáticas, es iteresate estudiar la variable compleja por estar estrechamete relacioada co distitas áreas, de maera que su estudio pueda hacer accesible parte del álgebra, de la trigoometría o proporcioe herramietas para el cálculo itegral. Los atiguos algebristas operaro co epresioes e las que aparecía. Leibiz, e el siglo XVII, todavía decía que era ua especie de afibio etre el ser y la ada. E 777 Euler le dio al mostruo el ombre de i (por imagiario). Pero ateció, que o te equivoque el ombre, imagiario o sigifica ilusorio, ieistete o algo así. E la actualidad esta otació se usa casi uiversalmete, ecepto e igeiería eléctrica, dode se utiliza j e lugar de i, ya que la letra i se usa para idicar la itesidad de la corriete. Cuado se desarrolló la teoría de los úmeros complejos, la electricidad era ua materia de iterés solo de laboratorio. Pero ates del fial del siglo XIX los descubrimietos sobre electricidad y electromagetismo trasformaro el mudo, y e este proceso los úmeros complejos fuero ua herramieta que simplificó el cálculo co las corrietes alteras. Esto prueba que coocimietos que so matemática pura para ua geeració se covierte e aplicados para la siguiete. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

5 6 Números reales y complejos. NÚMEROS REALES.. Números racioales e irracioales Recuerda que: Ya cooces los distitos tipos de cojutos uméricos: Naturales N = {0,,,, } Eteros Z = {,,,, 0,,,, } a Racioales Q = ; a Z, b Z, b 0. b Los úmeros racioales tambié cotiee a los úmeros que tiee epresió decimal eacta (0 5) y a los que tiee epresió decimal periódica ( ). Si el deomiador (de la fracció irreducible) solo tiee como factores primos potecias de o 5 la epresió decimal es eacta. Si el deomiador (de la fracció irreducible) tiee algú factor primo que o sea i i 5 la fracció tedrá ua epresió decimal periódica. Todas las fraccioes tiee epresió decimal eacta o periódica; y toda epresió decimal eacta o periódica se puede escribir e forma de fracció. Pero ya sabes que eiste úmeros que o so racioales. Por ejemplo: o puede poerse como fracció. Todos estos úmeros, por ejemplo, 7, π juto co los úmeros racioales forma el cojuto de los úmeros reales. A los úmeros reales que o so úmeros racioales se les llama úmeros irracioales. La epresió decimal de los úmeros irracioales es de ifiitas cifras o periódicas. Por tato Irracioales I = Q. El cojuto de los úmeros reales está formado por la uió de los úmeros racioales y de los úmeros irracioales. Reales = Q I. Teemos por tato que: N Z Q. I Actividades propuestas. Metalmete decide cuáles de las siguietes fraccioes tiee ua epresió decimal eacta y cuáles la tiee periódica: a) /9 b) 7/5 c) 9/50 d) /5 e) /8 f) /. Halla la epresió decimal de las fraccioes del ejercicio y comprueba si tu deducció era correcta. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

6 7 Números reales y complejos. Calcula la epresió decimal de las fraccioes siguietes: a) /5 b) / c) 5/9 d) /5 e) /00 /. Escribe e forma de fracció las siguietes epresioes decimales eactas y redúcelas, después comprueba co la calculadora si está bie: a) 8 5; b) ; c) Escribe e forma de fracció las siguietes epresioes decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bie: a) b) c) d) Puedes demostrar que,99999 es igual a 5? Calcula cuáto vale,5999? Ayuda: Escríbelos e forma de fracció y simplifica. 7. Demuestra que 7 es irracioal. 8. Cuátas cifras puede teer como máimo el periodo de 7? 9. Cuátos decimales tiee?, te atreves a dar ua razó? Haz la divisió :7 y después haz :7, es casualidad?. Ahora divide 999 etre 7 y después :7, es casualidad?.. La recta real Desidad de los úmeros reales Los úmeros reales so desos, es decir, etre cada dos úmeros reales hay ifiitos úmeros. a b Eso es fácil de deducir, si a, b so dos úmeros co a < b sabemos que a b, es decir, la media está etre los dos úmeros. Como esto podemos hacerlo las veces que queramos, pues de ahí el resultado. Curiosamete los racioales so tambié desos, así como los irracioales. Actividades propuestas 5. Escribe úmeros reales que esté etre y.. Escribe 5 úmeros racioales que esté etre y 5.. Escribe 5 úmeros irracioales que esté etre y π. Represetació e la recta real de los úmeros reales Elegido el orige de coordeadas y el tamaño de la uidad (o lo que es igual, si colocamos el 0 y el ) todo úmero real ocupa ua posició e la recta umérica y al revés, todo puto de la recta se puede hacer correspoder co u úmero real. El curso pasado estudiaste cómo represetar e la recta real fraccioes y raíces. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

7 8 Números reales y complejos Actividades propuestas 5. Represeta e la recta umérica los siguietes úmeros: 9 a), b), c), d) Represeta e la recta umérica: a) 0, b) 6, c) 7, d) 5.. Valor absoluto El valor absoluto o módulo de u úmero, equivale al valor de ese úmero igorado el sigo. Por ejemplo, el valor absoluto de es, y el valor absoluto de +, tambié es. E leguaje formal, el valor absoluto se defie de la siguiete maera. si 0 si 0 Si represetamos esta fució e u eje de coordeadas, resulta ua gráfica como la del marge. Como el valor absoluto es ua fució muy importate e matemáticas, tiee su propio símbolo. Para escribir el valor absoluto de u úmero, basta co ecerrar el úmero etre dos barras:. El valor absoluto de u úmero se cosigue suprimiedo el sigo, y se aota mediate el símbolo. Ejemplo: El valor absoluto de es, igual que el valor absoluto de +. Escrito e leguaje formal sería: Actividades propuestas = = Halla el valor absoluto de los siguietes úmeros: a) 5 b) 5 c) π Para qué sirve? El valor absoluto se utiliza pricipalmete para defiir catidades y distacias e el mudo real. Los úmeros egativos so ua costrucció matemática que se utiliza e el cálculo, pero e la realidad o eiste catidades egativas. No podemos viajar ua distacia de 00 kilómetros, o comer caramelos. Esto se debe a que el tiempo solo discurre e ua direcció (positiva por coveció), pero eso o etra e el ámbito de las matemáticas, sio e el de la física. El valor absoluto se usa para epresar catidades o logitudes válidas e el mudo real, como la distacia. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

8 9 Números reales y complejos Ejemplo: Hago u viaje de ida y vuelta hasta ua ciudad que se ecuetra a 0 km de mi casa. Después de hacer el viaje, estoy e el mismo puto, así que mi posició o habrá cambiado, esto es: Posició = 0 km 0 km = 0 Esto o quiere decir que o haya recorrido ua distacia. Hay dos catidades a teer e cueta, ua distacia de ida y otra de vuelta, e total será: Las propiedades del valor absoluto so: L = 0 km + 0 km = 80 km No egatividad: a 0. Simetría: a = a Defiició positiva: a = 0 a = 0. Valor absoluto y producto: ab = a b Desigualdad triagular: a + b a + b Actividades resueltas Demuestra que el valor absoluto uca puede ser egativo. No egatividad Por defiició, la fució valor absoluto solo cambia el sigo cuado el operado es egativo, así que o puede eistir u valor absoluto egativo. Demuestra que el valor absoluto de u úmero y su egativo coicide. Simetría. Si a > 0 a = a Si a < 0 a = a) = a Etoces a = a = a Represeta la fució f() = se() Actividades propuestas 8. Represeta las siguietes fucioes: a) f() = ² b) f() = ² c) f() = cos d) f() = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

9 0 Números reales y complejos.. Desigualdades Ya sabes que: Ua desigualdad es ua epresió umérica o algebraica uida por uo de los cuatro sigos de desigualdad:,,,. Por ejemplo: <, 7 +,, + y 7. Ua iecuació es ua desigualdad algebraica e la que aparece ua o más icógitas. El grado de ua iecuació es el mayor de los grados al que está elevadas sus icógitas. Por ejemplo: 7 + es ua iecuació de primer grado, mietras que es de segudo grado. Resolver ua iecuació cosiste e ecotrar los valores que la verifica. Éstos se deomia solucioes de la misma. Por ejemplo: (, ] Iecuacioes equivaletes: Dos iecuacioes so equivaletes si tiee la misma solució. A veces, para resolver ua iecuació, resulta coveiete ecotrar otra equivalete más secilla. Para ello, se puede realizar las siguietes trasformacioes:. Sumar o restar la misma epresió a los dos miembros de la iecuació.. Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero positivo.. Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero egativo y cambiar la orietació del sigo de la desigualdad. Ejemplos + 6 < < 6 < 6 : < 6 : < < 5 ( ) ( ) > 5 ( ) > 5 Actividades propuestas 9. Dada la siguiete iecuació + < 5 +, determia cuáles de los siguietes valores so solució de la misma: 0,,,,,,, 6, 7,, 5 0. Escribe ua desigualdad que sea cierta para = 5 y falsa para = 5 5. Recuerda que:. Para todo c, si a < b a + c < b + c. Si c > 0 y a < b a c < b c. Si c < 0 y a < b a c > b c Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

10 Números reales y complejos.5. Distacia e la recta real Ua distacia es ua medida que tiee uas determiadas propiedades: ) No egatividad. ) Simetría. ) Propiedad triagular. La distacia etre dos úmeros reales e y se defie como: Dist(, y) = y Verifica las propiedades ates idicadas pues: ) Al estar defiida co el valor absoluto es siempre u úmero o egativo. La distacia etre dos putos tiee valor cero, solo si los dos putos so coicidetes: 0 = Dist(, y) = y y= 0 = y. ) Simetría: Dist(, y) = y = y = Dist(y, ). ) Propiedad triagular: Dist(, y) Dist(, z) + Dist(z, y). Ejemplo: Dist(, 8) = 8 = 5 Dist(, 9) = 9 () = 9 + ) = 7 = 7 Dist(, 5) = 5 () = 5 + ) = 6 = 6 Dist(9, 5) = 5 (9) = 5 + 9) = = Ejemplo: Si estamos e el sótao 9º y subimos al piso 5º, Cuátos pisos hemos subido? Como hemos visto e el ejemplo aterior, hemos subido e total pisos. Dist(9, 5) = 5 (9) = 5 + 9) = =. Si el termómetro marca ºC y luego marca 5 ºC, cuátos grados ha subido la temperatura? Como hemos visto e el ejemplo aterior, la temperatura ha subido 6 ºC. Fíjate que la escala termométrica que hemos usado es la Celsius, hay otras, pero esto lo estudiarás e física. Dist(, 5) = 5 () = 5 + ) = 6 = 6. Actividades propuestas. Represeta e la recta real y calcula la distacia etre los úmeros reales siguietes: a) Dist(5, 9) b) Dist(, 5) c) Dist(/5, 9/5) d) Dist( 777., ). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

11 Números reales y complejos.6. Itervalos y etoros Recuerda que: U itervalo de úmeros reales es u cojuto de úmeros correspodietes a ua parte de la recta umérica, e cosecuecia, u itervalo es u subcojuto del cojuto de los úmeros reales. Tipos de itervalos Itervalo abierto: es aquel e el que los etremos o forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos forma parte del itervalo, salvo los propios etremos. E otras palabras I = (a, b) = { a < < b}, observa que se trata de desigualdades estrictas. Gráficamete, lo represetamos e la recta real del modo siguiete: Itervalo cerrado: es aquel e el que los etremos si forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos, icluidos éstos, forma parte del itervalo. E otras palabras I = [a, b] = { a b}, observa que ahora o se trata de desigualdades estrictas. Gráficamete: Itervalo semiabierto: es aquel e el que solo uo de los etremos forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos, icluido uo de estos, forma parte del itervalo. Itervalo semiabierto por la izquierda, el etremo iferior o forma parte del itervalo, pero el superior si, e otras palabras, I = (a, b] = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del itervalo va asociado a ua desigualdad estricta. Itervalo semiabierto por la derecha, el etremo superior o forma parte del itervalo, pero el iferior si, e otras palabras I = [a, b) = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del itervalo va asociado a ua desigualdad estricta. Gráficamete: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

12 Números reales y complejos Semirrectas reales Semirrecta de los úmeros positivos S+ = (0, ), es decir, desde cero hasta ifiito. Semirrecta de los úmeros egativos S- = (, 0), es decir, desde el meos ifiito, el ifiito egativo, hasta cero. Co lo que toda la recta de los úmeros reales es = (, ) = (S+) (S-) {0}. A ua semirrecta se la puede cosiderar como u itervalo ifiito. Etoros Es ua forma especial de epresar los itervalos abiertos. Se defie el etoro de cetro a y radio r y se deota E(a, r) (otra forma usual es E r (a) ) como el cojuto de úmeros que está a ua distacia de a meor que r. Co u ejemplo lo etiedes mejor: Ejemplo: El etoro de cetro 5 y radio so los úmeros que está de 5 ua distacia meor que. Si lo pesamos u poco, será los úmeros etre 5 y 5 +, es decir, el itervalo (, 7). Es como coger el compás y co cetro e 5 marcar co abertura. Fíjate que el 5 está e el cetro y la distacia del 5 al 7 y al es. E(a, r) = (a r, a + r) Ejemplo: E(, ) = (, + ) = (, 6) Es muy fácil pasar de u etoro a u itervalo. Vamos a hacerlo al revés. Ejemplo: Si tego el itervalo abierto (, 0), cómo se poe e forma de etoro? 0 Hallamos el puto medio = 6 5 que será el cetro del etoro. Nos falta hallar el radio: (0 ) : = 5 es el radio (la mitad del acho). Por tato (, 0) = E(6 5, 5) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

13 Números reales y complejos E geeral: Ejemplo: El itervalo (b, c) es el etoro b c c b E,. 8 ( 8) El itervalo (8, ) = E, E( '5, '5) Tambié eiste los etoros cerrados pero so de uso meos frecuete. Actividades propuestas. Escribe los siguietes itervalos mediate cojutos y represétalos e la recta real: a) [, 7) b) (, 5) c) (, 8] d) (, 6). Represeta e la recta real y escribe e forma de itervalo: a) < < 5 b) < c) < 6 d) 7. Epresa como itervalo o semirrecta, e forma de cojuto (usado desigualdades) y represeta gráficamete: a) U porcetaje superior al 6 %. b) Edad iferior o igual a 8 años. c) Números cuyo cubo sea superior a 8. d) Números positivos cuya parte etera tiee cifras. e) Temperatura iferior a 5 ºC. f) Números para los que eiste su raíz cuadrada (es u úmero real). g) Números que esté de 5 a ua distacia iferior a. 5. Epresa e forma de itervalo los siguietes etoros: a) E(, 5) b) E(, 8 ) c) E(0, 0 00) 6. Epresa e forma de etoro los siguietes itervalos: a) (, 7) b) (7, ) c) (, ) 7. Los sueldos superiores a 500 pero iferiores a 000 se puede poer como itervalo de úmeros reales? *Pista: 600, puede ser u sueldo? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

14 5 Números reales y complejos.7. Aproimacioes y errores Recuerda que: E muchas ocasioes es ecesario hacer aproimacioes por motivos prácticos o trabajar co úmeros aproimados por etre otros motivos o coocer los valores eactos. Así por ejemplo, si os pesamos es ua báscula y marca 5 Kg, cuáto pesamos eactamete? No se puede saber, lo máimo que podemos decir es que uestro peso está etre 5 y 5 5 Kg si el error máimo es de 00 g. Error Absoluto Se defie el Error Absoluto (EA) como EA = valor real valor aproimado. Ejemplo: Si aproimamos 6 tedremos que el EA = 6 = uas 7 milloésimas. Observa que si o se cooce el valor real, o podemos calcular eactamete el error absoluto, pero si aproimarlo calculado ua cota del error. Cota del Error Absoluto: Podemos coocer ua cota del error absoluto teiedo e cueta el orde de aproimació, así, si hemos redodeado e las diezmilésimas (como e el ejemplo) siempre podemos afirmar que el EA , es decir, meor o igual que media uidad del valor de la cifra de redodeo o 5 uidades de la siguiete (5 ciemilésimas), que es lo mismo. Actividades resueltas Calcula la cota del error absoluto de N 7 EA Y la cota de error de N 00 es EA 50 si supoemos que hemos redodeado e las ceteas. Error Relativo. Para comparar errores de distitas magitudes o úmeros se defie el Error Relativo (ER) como: ER = EA Valor real que suele multiplicarse por 00 para hablar de % de error relativo. Si o se cooce el valor real se sustituye por el valor aproimado (la diferecia ormalmete es pequeña). Actividades resueltas Si aproimamos raíz de por 7, el error relativo cometido es: 7 EA 0 00 ER = 0'00 0'00 = % '7 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

15 6 Números reales y complejos E las aproimacioes A = 7 co EA 0 05 y B = 970 co EA 5, e cuál estamos cometiedo proporcioalmete meor error? Calculamos los errores relativos: A ER 0' ER 0 68 % 7' 5 B ER ER 0 5 % 970 Es mejor aproimació la de B. Cotrol del error cometido Recuerda que: E cada suma o resta el error absoluto es la suma de los errores absolutos. Por tato puede aumetar peligrosamete si hacemos varias sumas y restas. Los errores relativos se suma al multiplicar dos úmeros. Actividades resueltas Medimos el radio de ua circuferecia co ua regla milimetrada y marca 7 0 cm. Queremos calcular el área del círculo. El error máimo e el radio es de 0 05 cm luego puede estar etre 6 95 y Si aplicamos la fórmula r para estos valores obteemos 5 7 y 56, que so los valores míimo y máimo. La diferecia es y su mitad es que es la cota de error absoluto. Decimos que A = 5 9 cm. A ER ' 5'9 0 0 ER % 0'05 r ER ER 0 7 % 7 El radio teía ua cota de 0 7 %, luego hemos perdido precisió. Si operamos co úmeros aproimados, y peor aú, si lo hacemos e repetidas ocasioes, los errores se va acumulado hasta el puto de poder hacerse itolerables. Actividades propuestas 8. Redodea 5 hasta las décimas y halla los errores absoluto y relativo cometidos. 9. Halla ua cota del error absoluto e las siguietes aproimacioes: a) 5 8 b) 7 c) Ua balaza tiee u error iferior o igual a 50 g e sus medidas. Usamos esa balaza para elaborar 5 paquetes de café de medio kilogramo cada uo que so u lote. Determia el peso míimo y máimo del lote. Cuál es la cota del error absoluto para el lote? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

16 7 Números reales y complejos.8. Notació cietífica Recuerda que: La otació cietífica se utiliza para escribir úmeros muy grades o muy pequeños. U úmero puesto e otació cietífica N = a bcd... 0 costa de: Ua parte etera formada por ua sola cifra que o es el cero (a). El resto de las cifras sigificativas puestas como parte decimal (b c d). Ua potecia de base 0 que da el orde de magitud del úmero (0 ). Si es positivo, el úmero N es grade Si es egativo, etoces N es pequeño Ejemplos: 5 0 (= ): Número grade (= ): Número pequeño. Operacioes co otació cietífica Recuerda que: Para operar co úmeros dados e otació cietífica se procede de forma atural, teiedo e cueta que cada úmero está formado por dos factores: la epresió decimal y la potecia de base 0. Para multiplicar úmeros e otació cietífica, se multiplica las partes decimales y se suma los epoetes de la potecia de base 0. Para dividir úmeros e otació cietífica, se divide las partes decimales y se resta los epoetes de la potecia de base 0. Si hace falta se multiplica o se divide el úmero resultate por ua potecia de 0 para dejar co ua sola cifra e la parte etera. Ejemplos: a) ( ) ( 0 8 ) = ( 7 ) = = b) '7 0 ' '7 ' 0 6( 8) 0' '8090 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

17 8 Números reales y complejos Para sumar o restar úmeros e otació cietífica, hay que poer los úmeros co la misma potecia de base 0, multiplicado o dividiedo por potecias de base 0. Se saca factor comú la potecia de base 0 y después se suma o resta los úmeros decimales quedado u úmero decimal multiplicado por la potecia de 0. Por último si hace falta se multiplica o se divide el úmero resultate por ua potecia de 0 para dejar e la parte etera ua sola cifra. Ejemplos: c) = = (0 7) 0 9 = 07 0 Actividades propuestas. Calcula y epresa el resultado e otació cietífica: a) (8 9 0 ) ( 67 0 ) b) ( ) : ( ). Calcula y epresa el resultado e otació cietífica: a) (5 8 0 ) ( ) b) (5 0 7 ) : ( ) MATERIALES PARA EL AULA EN INTEF (Baco de Imágees y soidos) Aálisis geométrico de la divisió áurea. Dado u segmeto a se costruye co regla y compás el segmeto b tal que a/b está e proporció áurea. 8_am_.swf 8_aa_.fla Costrucció, co escuadra y compás, de u rectágulo áureo. Dado u segmeto a se costruye u rectágulo áureo co uo de sus lados igual a a. 879_am_.swf 879_aa_.fla Costrucció, co escuadra y compás, de ua espiral áurea. Dado u rectágulo áureo se costruye otros rectágulos áureos y la espiral. 85_am_.swf 85_aa_.fla Estudio áureo de la Giocoda de Leoardo Da Vici, de autor José Ágel López Mateos. Sobre el rostro del cuadro de la Giocoda se costruye rectágulos áureos 950_am_.swf 950_aa_.fla Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

18 9 Números reales y complejos. NÚMEROS COMPLEJOS.. Necesidad de los úmeros complejos. El úmero i. E el campo real la ecuació + = 0 o tiee solució. El cuadrado de u úmero real es siempre positivo y al sumarle es imposible que os de 0. Pero si se deomia i a la raíz cuadrada de, etoces i =, por lo que es ua solució de dicha ecuació. i = i = Pero o solo eso. Resulta que itroduciedo úicamete ese elemeto uevo, se puede demostrar lo que se deomia el Teorema Fudametal del Álgebra, que fue probado por Gauss (799), y eseña que toda ecuació poliómica de grado tiee eactamete raíces (e el campo complejo). Vamos pues a estudiar estos úmeros complejos. Carl Friedrich Gauss ( ).. Números complejos e forma biómica. Operacioes U úmero complejo se defie como ua epresió de la forma: dode e y so úmeros reales. z = + iy Este tipo de epresió, z = + i y, se deomia forma biómica. Se llama parte real de z = + iy al úmero real, que se deota Re(z), y parte imagiaria de z = + iy, al úmero real y, que se deota Im(z), por lo que se tiee etoces que: z = Re(z) + iim(z). El cojuto de los úmeros complejos es, por tato, C = {z = + iy;, y }; Re(z) = ; Im(z) = y. Esta costrucció permite cosiderar a los úmeros reales como u subcojuto de los úmeros complejos, siedo real aquel úmero complejo de parte imagiaria ula. Así, los úmeros complejos de la forma z = + i0 so úmeros reales y se deomia úmeros imagiarios a los de la forma 0 + iy, es decir, co su parte real ula. Dos úmeros complejos z = + iy y z = u + iv so iguales si y solo si tiee iguales sus partes reales y sus partes imagiarias: = u, y = v. Operacioes e forma biómica Las operacioes de suma y producto defiidas e los úmeros reales se puede eteder a los úmeros complejos. Para la suma y el producto de dos úmeros complejos escritos e la forma biómica: + iy, u + iv se tiee e cueta las propiedades usuales del Álgebra co lo que se defie: Suma: ( + iy) + (u + iv) = ( + u) + i (y + v) Producto: ( + iy) (u + iv) = ( u y v) + i ( v + y u) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

19 0 Números reales y complejos Se comprueba, de uevo, que el cuadrado del úmero complejo i es u úmero real egativo,, pues: (0 + i) (0 + i) = + i(0) =. Si los úmeros complejos so úmeros reales, es decir, úmeros complejos co su parte imagiaria ula, estas operacioes se reduce a las usuales etre los úmeros reales ya que: ( + i0) + (u + i0) = ( + u) + i (0) ( + i0) (u + i0) = ( u) + i (0) Esto permite cosiderar al cuerpo de los úmeros reales como u subcojuto de los úmeros complejos, C. El cojuto de los úmeros complejos tambié tiee estructura algebraica de cuerpo. El cojugado del úmero complejo z = + yi, se defie como: z yi. Actividades resueltas Calcula ( i) ( + i) Para calcular ( i) ( + i) se procede co las reglas usuales del Álgebra teiedo e cueta que i = : ( i)( + i) = + i i i = + i i + = + i. El cojugado del úmero complejo z = + 5i, es z = 5i. Para dividir úmeros complejos se multiplica, umerador y deomiador por el cojugado del deomiador, y así se cosigue que el deomiador sea u úmero real: ( i) ( i) i ( i)( i) ( i) ( i) ( i) i. ( ) Para elevar a potecias la uidad imagiaria, se tiee e cueta que i =, y por tato: i = i, i = : i 6 =, i = i i i i. i i ( i)( i) i Calcula ( + i). Utilizado el biomio de Newto se obtiee: ( + i) = + i + i + i + i = + i 6 i + =. 0 Actividades propuestas. Comprueba que: a) ( i) = 5+ 0i i b) + = i i c) ( + i) 5 = i. Realiza las siguietes operacioes co úmeros complejos: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

20 Números reales y complejos a) 68 ( i ) ( i ) ( i ) b) ( + i) i ( i) c) + i i + i + 5i d) ( i) ( + i) 5. Calcula: (Ayuda: sustituye z por + iy) z a) Im z b) Re(z ) c) (Re(z)) Represetació de los úmeros complejos e el plao El desarrollo modero de los úmeros complejos empezó co el descubrimieto de su iterpretació geométrica que fue idistitamete epuesta por Joh Wallis (685) y ya de forma completamete satisfactoria por Caspar Wessel (799). El trabajo de Wessel o recibió igua ateció, y la iterpretació geométrica de los úmeros complejos fue redescubierta por Jea Robert Argad (806) y de uevo por Carl Friedrich Gauss (8). El cojuto de los úmeros complejos co las operacioes de suma y el producto por u úmero real tiee estructura de espacio vectorial de dimesió dos, y es, por tato, isomorfo a. Ua base de este espacio está formada por el cojuto {, i}. i z = + iy Al igual que los úmeros reales represeta los putos de ua recta, los úmeros complejos puede ser puestos e correspodecia biuívoca co los putos de u plao. Los úmeros reales se represeta e el eje de abscisas o eje real, y a los múltiplos de i = se les represeta como putos del eje imagiario, perpedicular al eje real e el orige. A esta represetació geométrica se la cooce como el Diagrama de Argad. El eje y = 0 se deomia eje real y el = 0, eje imagiario. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

21 Números reales y complejos Como la codició ecesaria y suficiete para que + iy coicida co u + iv es que = u, y = v, el cojuto de los úmeros complejos se idetifica co, y los úmeros complejos se puede represetar como putos del plao complejo. El úmero complejo z = + iy se correspode co la abscisa y la ordeada del puto del plao asociado al par (, y). E uas ocasioes se refiere el úmero complejo z como el puto z y e otras como el vector z. La suma de úmeros complejos correspode gráficamete co la suma de vectores. Si embargo, el producto de úmeros complejos o es i el producto escalar de vectores i el producto vectorial. El cojugado de z, z, es simétrico a z respecto del eje de abscisas. Actividades resueltas Represeta e el plao los úmeros complejos: a = + i, b = i y c = i. Los úmeros complejos a = + i, b = i y c = i se represeta: b=i a = +i c=i Represeta e el plao los úmeros complejos: + i, + i, i, 5 + i y i. Represeta el úmero complejo cojugado de a = + i. El cojugado de a = + i, i, se represeta: Se observa que es el simétrico de a respecto del eje de abscisas. Represeta la suma de dos úmeros complejos. + i i La suma se represeta igual que la suma vectorial. Observa las dos gráficas iferiores, e la cuadrícula la suma de úmeros complejos, juto a ella ua suma vectorial. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

22 Números reales y complejos Represeta el producto del úmero complejo + i por la uidad imagiaria: i. El producto de + i por i es igual a + i, y al represetarlo se observa que multiplicar por la uidad imagiaria es girar 90º. i Actividades propuestas Para los siguietes úmeros complejos: a = i; b = i; c = 5; d = + i; e = i 6. Represétalos gráficamete. 7. Represeta gráficamete el cojugado de cada uo de ellos. 8. Represeta gráficamete las sumas: a + b a + c b + d d + e 9. Represeta gráficamete los productos: a i b i c i d i e i Aaliza el resultado. Comprueba que multiplicar por i supoe girar 90º el úmero complejo. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

23 Números reales y complejos.. Forma trigoométrica de los úmeros complejos. Operacioes Módulo El módulo de u úmero complejo se defie como z y, y represeta la distacia de z al orige, es decir, la logitud del vector libre (, y) de. Por tato el módulo uca puede ser u úmero real egativo. El módulo de u úmero real coicide co su valor absoluto. Recuerda, la raíz cuadrada (si sigos delate) es siempre positiva. Auque o tiee setido decir si z < z, salvo que sea úmeros reales, sí tiee setido la desigualdad z < y sigifica que z está más próimo al orige que z. z z = z z dode z es el cojugado de z, siedo el producto de u úmero complejo por su cojugado igual a: ( + iy) ( iy) = + y Otra forma de epresar el módulo de u úmero complejo es mediate la epresió u úmero real y positivo. Argumeto El argumeto de u úmero complejo z, si z 0, represeta el águlo, e radiaes, que forma el vector de posició co el semieje de abscisas positivas. y Es por tato cualquier úmero real tal que cos =, se =. Se tiee etoces que cada z z úmero complejo o ulo tiee ifiidad de argumetos, positivos y egativos, que se diferecia etre sí e múltiplos eteros de. Si z es igual a cero, su módulo es cero, pero su argumeto o está defiido. Si se quiere evitar la multiplicidad de los argumetos se puede seleccioar para u itervalo semiabierto de logitud, lo que se llama elegir ua rama del argumeto; por ejemplo, si se eige que (, ], (o para otros autores a [0, )), se obtiee el argumeto pricipal de z, que se deota por Arg(z). Si z es u úmero real egativo su argumeto pricipal vale. E ocasioes es preferible utilizar argumetos multivaluados: arg(z) = {Arg(z) + k; kz} dode Z represeta el cojuto de los úmeros eteros. Si se defie Arg(z) como arctg(y/) se tiee ua ueva ambigüedad, ya que eiste dos águlos e cada itervalo de logitud de los cuales sólo uo es válido. Por todo ello, las afirmacioes co argumetos debe ser hechas co ua cierta precaució, pues por ejemplo la epresió: arg(zw) = arg(z) + arg(w) es cierta si se iterpreta los argumetos como multivaluados. Si z es distito de cero, z verifica que z = z y que Arg( z ) = Arg(z). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

24 5 Números reales y complejos Propiedades del módulo, del cojugado y del argumeto de u úmero complejo Alguas propiedades del cojugado y del módulo de u úmero complejo so:. z, w C, z + w = z + w, z w = z w, z w = z w.. z C, Arg( z ) = Arg(z), arg( z ) = arg(z).. z z = z.. z, w C, z z z, z = z, zw = zw, z = w z w. 5. z= 0 z = z C, Re(z) = z+z, Im (z) = z z. i z C, Re(z)z, Im(z)z, zre(z)+im(z) z, w C, zwz + w z+ w Se observa que las desigualdades 7 y 8 so siempre etre úmeros reales, o etre complejos, por lo que sí tiee setido escribir ua desigualdad. La seguda parte de la propiedad 8 se cooce co el ombre de desigualdad triagular. Las propiedades del módulo prueba que éste es ua distacia e el espacio vectorial C. Forma polar y forma trigoométrica Si es igual al módulo del úmero complejo o ulo z y es u argumeto de z, etoces (, ) so las coordeadas polares del puto z. La coversió de coordeadas polares e cartesiaas y viceversa se hace mediate las epresioes: = cos, y = se, por lo que z = + iy = (cos + i se ). Esta última epresió es válida icluso si z = 0, pues etoces = 0, por lo que se verifica para todo. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

25 6 Números reales y complejos Actividades resueltas Calcula el módulo de los siguietes úmeros complejos: + i y + i. Al calcular + i= y i= 7 segudo. + se sabe que el primero dista meos del orige que el Calcula el argumeto de los siguietes úmeros complejos: 5i, 7i, y. π π El argumeto pricipal de 5i es igual a, el de 7i es, el de vale 0 y el es. Escribe e forma biómica el úmero complejo de módulo y argumeto π. El úmero complejo de módulo y argumeto pricipal π es + i, ya que: = cos π = e y = se π =. Calcula el módulo y el argumeto de: i. El úmero complejo i tiee de módulo = ( ) + ( ) =. π 5π π Uo de sus argumetos es + =, y su argumeto pricipal es, por tato arg( i) = π + k. Comprueba si se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w). Se verifica que arg(zw) = arg(z) + arg(w) cosiderado estos argumetos como cojutos, y e geeral o se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w), pues por ejemplo: Actividades propuestas Arg(( i) ) = Arg( ) =, mietras Arg( i) + Arg( i) = π π =. 0. Calcula el modulo y el argumeto pricipal de los siguietes úmeros complejos: a) i b) i c) i d) i. Epresa e forma polar los siguietes úmeros complejos: a) i b) i c) + i d) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

26 7 Números reales y complejos.. Fórmula de Moivre Al aplicar la fórmula obteida de ua potecia al úmero complejo de módulo uo, se obtiee que: (cos + i se ) = cos() + i se(), cualquiera que sea el úmero etero. Esta epresió, que permite coocer se() o cos() e fució de cos y se desarrollado la potecia mediate el biomio de Newto y separado partes real e imagiaria, se cooce como fórmula de Moivre. Operacioes etre úmeros complejos e forma trigoométrica Para multiplicar úmeros complejos epresados e forma trigoométrica basta multiplicar sus módulos y sumar sus argumetos: La relació etre úmeros complejos y trasformacioes geométricas, dode multiplicar por i correspode a girar 90º, y multiplicar por a + bi es girar el argumeto de dicho úmero y aplicar ua homotecia de razó su módulo, es muy útil e la Mecáica y e otras partes de la Física. Para dividir úmeros complejos, basta dividir sus módulos y restar sus argumetos: El iverso de u úmero complejo distito de cero tiee como módulo, el iverso del módulo, y como argumeto, el opuesto del argumeto: Para elevar u úmero complejo a ua potecia, se eleva el módulo a dicha potecia, y se multiplica el argumeto por el epoete. Para calcular la raíz ésima de u úmero complejo, w = z, se tiee e cueta el módulo r debe ser igual a r = ρ, pero al teer u úmero complejo muchos argumetos, ahora el argumeto o es θ + kπ θ kπ úico, sio que se tiee argumetos distitos, e iguales a α = = +, dode k toma los valores desde 0 hasta ates de que dichos valores comiece a repetirse. Por tato, la fució raíz ésima es ua fució multivalorada, co valores que se puede represetar gráficamete e los vértices de u ágoo regular de cetro el orige y radio, el módulo r = ρ, pues todas las raíces está situadas e la circuferecia de radio r = ρ uiformemete π espaciadas cada radiaes. A modo de ejemplo vamos a demostrar la fórmula del producto de úmeros complejos. Demostració: z z = (cos + i se ) r (cos + i se ) = ( r) [cos cos se se ] + i [cos se + se cos ] = ( r) (cos (+) + i se (+)). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

27 8 Números reales y complejos Actividades resueltas Represeta gráficamete el producto de los úmeros complejos: (cos(π/6) + ise(π/6)) y de (cos(π/) + i se(π/)). Calcula: + i Para dividir se puede escribir los úmeros + i complejos e forma polar y dividir los módulos y restar los argumetos. El módulo de es y su argumeto es π. El módulo de + i es y su argumeto es π/. Por tato el módulo del cociete es y su argumeto es π π/ =π/. El úmero complejo de módulo y argumeto π/ escrito e forma biómica es: + i Decir que su módulo es es decir que está sobre la circuferecia de cetro el orige y radio. 60 Calcula: + i Para calcular ua potecia, e geeral es mucho más secillo utilizar la forma polar e vez de aplicar la 60 fórmula del biomio de Newto. Por ejemplo, si se quiere calcular, es mucho más práctico + i 60 calcular el módulo y el argumeto de que ya sabemos por la actividad aterior que es: y + i π/, por lo que elevamos a la potecia 60 y obteemos, y multiplicamos π/ por 60 y obteemos 0π. Escribimos el forma biómica el úmero complejo de módulo y u argumeto que es múltiplo de π, por lo que la solució es. Calcula la raíz cúbica de. Para calcular ua raíz ésima se debe recordar que se tiee raíces distitas: π i = e πi = e = + i π π ( + )i πi e = e = π ππ 5π ( + )i i e = e = i Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

28 9 Números reales y complejos Resuelve z =. Esto permite resolver ecuacioes. Así, las solucioes de la ecuació cúbica z = so tres: la raíz real, y las raíces complejas cojugadas: ± i. Represeta gráficamete las raíces cúbicas y cuartas de la uidad. Actividades propuestas. Comprueba los resultados siguietes: a) ( + i) 6 = 8 = 56. π i b) 7i = e 6 5π i e 6 9π i 6 e Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

29 0 Números reales y complejos. Realiza las siguietes operacioes co úmeros complejos, epresádolos previamete e forma epoecial: a) i i b) + i 0. Resuelve las ecuacioes, obteiedo las raíces reales y complejas: a) = b) = 8 c) + 6 = 0 5. Calcula las raíces ésimas de la uidad, para =, y. Represetarlas gráficamete, y comprobar que está sobre la circuferecia de radio, y e los vértices de u polígoo regular. MATERIALES PARA EL AULA EN INTEF (Baco de Imágees y soidos) Iterpretació geométrica de la suma de úmeros complejos, de autor José Ágel López Mateos. Se represeta gráficamete a los úmeros complejos 6 + i y + i, se suma gráficamete y se comprueba que las coordeadas del úmero complejo suma so la suma de las coordeadas. 887_am_.swf 887_aa_.fla Iterpretació geométrica de la diferecia de úmeros complejos, de autor José Ágel López Mateos. Se represeta gráficamete a los úmeros complejos 6 + i y + i, se obtiee gráficamete el opuesto del segudo y se suma co el primero. Se comprueba que las coordeadas del úmero complejo diferecia so la diferecia de las coordeadas. 80_am_.swf 80_aa_.fla Iterpretació geométrica de úmeros complejos, de autor José Ágel López Mateos. Se represeta gráficamete al úmero complejo + i y se obtiee su módulo y su argumeto. 86_am_.swf 86_aa_.fla Producto de u úmero complejo por la uidad imagiaria i, de autor José Ágel López Mateos. Se multiplica al úmero complejo + i por i de forma gráfica y se comprueba que supoe girar al úmero complejo 90º. 85_am_.swf 85_aa_.fla Producto de varios úmeros complejos por la uidad imagiaria i, de autor José Ágel López Mateos. Se multiplica a los úmeros complejos 6 + i, + i y + 6i que forma u triágulo, por i de forma gráfica y se comprueba que supoe girar a esos úmeros complejos, 90º. 857_am_.swf 857_aa_.fla Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

30 Números reales y complejos CURIOSIDADES. REVISTA Números complejos Números imagiarios Gauss U milagro de las Matemáticas Stiillwell Números imposibles Ua especie de afibio etre el ser y la ada Mostruo Resolver la ecuació + = 0 es imposible Euler Todas las ecuacioes poliómicas de grado tiee eactamete raíces e el campo complejo. Teorema Fudametal del Álgebra U chiste Me dice que ese úmero de teléfoo o eiste, que es imagiario. Iteta girar 90º el teléfoo. Lo has etedido? Los chistes o se eplica, pero como es u chiste matemático Piesa e u úmero imagiario, por ejemplo, i. Si lo giras 90º se covierte e, y ya es real. La resolució de la paradoja de fue muy poderosa, iesperada y bella por lo que úicamete la palabra milagro parece adecuada para describirla. Stillwel Utilidad Los úmeros complejos y la variable compleja se utiliza para estudiar electricidad, magetismo y e la teoría del potecial, etre otros muchos campos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

31 Números reales y complejos Ua fórmula maravillosa E la Eposició Uiversal de París de 97, la misma para la que Picasso pitó el Guerica, e la etrada del pabelló de Matemáticas había u eorme rótulo que decía: e πi + = 0 Ua igualdad que relacioa úmeros como el 0 y el, co úmeros irracioales como e y π, y co el úmero complejo i. e i 0 Quieres saber de dóde sale? Euler epresó, mediate la fórmula que lleva su ombre, que: cos + ise = e i. Ya cooces que u úmero complejo de módulo m y argumeto se escribe e forma trigoométrica como: m(cos + ise), por lo que utilizado la fórmula de Euler se obtiee su epresió epoecial: m(cos + ise) = me i. El úmero tiee de módulo y de argumeto π, por lo que su epresió epoecial es: = e πi e πi + = 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

32 Números reales y complejos Algo de historia de los úmeros complejos El desarrollo de las Matemáticas está ítimamete relacioado co la historia del úmero. Como el producto de u úmero real por sí mismo es siempre positivo es claro que se ecesita ampliar el campo umérico para dar solució a determiadas ecuacioes. Los úmeros complejos se empieza a utilizar para obteer solucioes de ecuacioes algebraicas y culmia, e este setido, cuado se demuestra el teorema fudametal del Álgebra. Usualmete se dice que los úmeros complejos ace de la ecesidad de resolver la ecuació cuadrática + = 0, co la dificultad de que carece de setido geométrico el que u cuadrado tega u área egativa. Si embargo, esto o es eteramete cierto. Muchas ecuacioes cuadráticas, como círculos o parábolas, está ya implícitas e la geometría de los griegos y etoces se aalizó si teía o o solució real, por ejemplo, la itersecció de ua recta co dichas figuras. Los babiloios, alrededor del año 000 ates de Cristo, coocía esecialmete el método para resolver ecuacioes cuadráticas, y Heró de Alejadría (00 a. C.) utilizó 6, auque algebraicamete, si pregutarse por su sigificado, pues por aquellos tiempos o se especulaba acerca de la aturaleza de las raíces imagiarias. Si embargo cuado e 55 Girolamo Cardao escribió: 0 = (5 + 5)(5 5) estos úmeros fuero cosiderados si setido y se les aplicó el térmio de imagiarios. Icluso cuado aparece las ecuacioes cuadráticas, co Diofato o los árabes, o hay razó para admitir que o tega solució. Se ecesita cuado Del Ferro, Tartaglia y Cardao iteta resolver la ecuació cúbica = p + q e cuya fórmula de solució aparece úmeros complejos (cuado (q/) (p/) < 0) y si embargo tiee siempre ua solució real. Bombelli e 57 trabajó formalmete co el álgebra de los úmeros complejos e implícitamete itrodujo las fucioes complejas, auque a pesar de ello los úmeros complejos todavía era cosiderados como imposibles. Al fial del siglo XVIII ya se teía ua gra maestría e la maipulació de los úmeros complejos y si embargo o se teía la oció de u úmero complejo como u par de úmeros reales formado por su parte real y su parte imagiaria. C. Wessel, e 799, asoció todo úmero complejo co u vector del plao co orige e O, y reiterpretó co estos vectores las operacioes elemetales de los úmeros complejos. R. Argad e 806 iterpretó geométricamete los úmeros complejos. El úmero i, por ejemplo, lo represetó como ua rotació de u águlo recto alrededor del orige. A partir de dicha iterpretació ya empezaro a usarse si dificultades dichos úmeros. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

33 Números reales y complejos RESUMEN Ejemplos Números reales Desidad de los Números Reales Está formado por la uió de los úmeros racioales y los úmeros irracioales 5,, /, 7 5, π, e, El cojuto de los úmeros reales es deso, es decir, Etre 0 y calculado el etre cada dos úmeros reales hay ifiitos úmeros. puto medio obteemos ifiitos putos: 0, 0 5, 0 5, 0 5, 0 065,..., Valor absoluto Distacia e la recta real si 0 si 0 Itervalos Abierto : (a, b) = { a < < b} Cerrado: [a, b] = { a b} Semiabierto (izq): (a, b] = { a < b} Semiabierto (der): [a, b) = { a < b} Etoros = = + Dist(, y) = y Dist(, 8) = 8 = 5. Dist(, 9) = 9 () = 9 + ) = 7 = 7 (, 5) [, 5] (, 8] [, 7) Es ua forma especial de epresar los itervalos E(, ) = (, + ) = (, 6) abiertos. Se defie como el cojuto de úmeros que está a ua distacia de a meor que r: E(a, r) El úmero i i = i = Forma biómica Suma de complejos Producto de complejos Divisió de complejos z = + iy ( + iy) + (u + iv) = ( + u) + i(y + v) ( + i) + ( + 5i) = 6 + 8i ( + iy) (u + iv) = (u yv) + i (v + yu) ( i) ( + i) = + i i i Se multiplica, umerador y deomiador por el cojugado del deomiador. Así se cosigue que el deomiador sea u úmero real = + i i + = + i + i ( i) ( i) = (+i)( i) Forma trigoométrica z = r (cos + i se ) z = (cos π + i se π ) Producto de complejos Divisió de complejos Se multiplica sus módulos y se suma sus argumetos z z = (cos π π + i se ) Se divide sus módulos y se resta sus argumetos z/z= (cos 0 + i se 0) = Fórmula de Moivre (cos + i se ) = cos() + i se() Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

34 5 Números reales y complejos EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Números reales. Calcula los valores eactos de a + b, c a y a c para los úmeros: (pista: racioalizar) a = 7 b = c = Descubre cuál de estos úmeros es irracioal: a) 6 b) c) π. Podemos ecotrar úmeros irracioales e las marcas de ua regla graduada? Hay algú puto de la regla (auque o tega marca) que se correspoda co u úmero irracioal? Justifica tu respuesta.. Clasifica los siguietes úmeros e orde de mayor a meor y después represétalos e la recta: a) 7 b) 5/ c) 5 d) π 5. Escribe ua sucesió ifiita de úmeros reales detro del itervalo (, ). 6. Calcula el valor absoluto de los siguietes úmeros: a) 5 b) c) +9 d) 7 e) 7 7. Calcula e las siguietes ecuacioes: (pista: puede teer dos valores) a) = 5 b) = 0 c) + 9 = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

35 6 Números reales y complejos 8. Dibuja las siguietes fucioes e u gráfico: a) f() = 5 b) f() = c) f() = Elige u día y calcula la distacia que has recorrido e total, y compárala co la distacia etre los putos iicial (al pricipio del día) y fial (al termiar el día). 0. U artesao fabrica dos productos. El primero (a) le cuesta horas y euros e material, y el segudo (b) le cuesta 6 horas y 0 euros de material. Si valora e 0 euros cada hora de trabajo, y los vede por (a) 0 y (b) 90 euros, averigua cuál es más retable para su egocio.. Etre Kroflite y Beelie hay otras cico ciudades. Las siete se ecuetra a lo largo de ua carretera recta, separadas uas de otras por ua distacia etera de kilómetros. Las ciudades se ecuetra espaciadas de tal maera que si uo cooce la distacia que ua persoa ha recorrido etre dos de ellas, puede idetificarlas si igua duda. Cuál es la distacia míima etre Kroflite y Beelie para que esto sea posible?. Represeta e la recta real los úmeros que verifica las siguietes relacioes: a) < b) c) > d). Halla dos úmeros que diste 6 uidades de, y otros dos que diste,5 uidades de, calcula después la diferecia etre el mayor y el meor de todos estos úmeros.. Escribe el itervalo [, 5] (, 8). 5. Escribe el itervalo formado por los úmeros reales que cumple Determia los cojutos A B, A U B, A B y A e los casos siguietes: a) A = [, 9]; B = (, 6) b) A = [5, 5]; B = (, ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

36 7 Números reales y complejos Números complejos 7. Comprueba si: a) z =. z cos = = b) α + iseα e iθ. 8. Calcula: a) ( + i) 5 b) i c) ( + i) ( + i) d) i( i)( + i) e) ( + i) 8 f) ( + i) g) ( + i) Demuestra que z es real si y solo si z = z. iy 0. Verifica que el iverso de z, z z, es igual a =. Calcula el iverso de + i. + y z z. Calcula el módulo y el argumeto pricipal de los siguietes úmeros complejos: a) + i b) c) i d) i. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

37 8 Números reales y complejos. Epresa e forma polar y trigoométrica los siguietes úmeros complejos: a) 5i b) 7i c) 5 5i d) + i.. Epresa e forma biómica los siguietes úmeros complejos e forma polar: a) De módulo y argumeto π/ b) De módulo y argumeto π/ c) De módulo y argumeto π/ d) De módulo 5 y argumeto π/. Realiza las siguietes operacioes co úmeros complejos, epresádolos previamete e forma trigoométrica: a) ( + i) 60 b) ( i) c) ( i) ( i ) Utiliza la fórmula de Moivre para epresar e fució de se y cos : cos se cos d) se. 6. Calcula el argumeto pricipal de los siguietes úmeros complejos: a) + i i b) i c) ( i ) 7. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

38 9 Números reales y complejos 7. Calcula, represeta e el plao complejo y escribe e forma biómica: a) i b) + i c) 7 d) i e) Resuelve las ecuacioes: a) = 7. b) = 8. c) 5 = 0. d) 8 = Calcula todos los valores de z para los que: a) z = 0. b) (z + z ) (z z + ) = 0. c) z 6 + z 5 + z + z + z + z + = Calcula las raíces quitas de la uidad y represétalas e el plao. Calcula tambié las raíces quitas de, represétalas tambié. Geeraliza este resultado.. Calcula las cuatro raíces de z + 9 = 0 y utilízalas para factorizar z + 9 e dos poliomios cuadráticos co coeficietes reales.. Resuelve la ecuació: z + z = 0.. Calcula a para que el úmero complejo a +i i tega su parte real igual a su parte imagiaria. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

39 0 Números reales y complejos AUTOEVALUACIÓN. Señala cuál de los siguietes úmeros es irracioal: a) 6.. b) 7/ c) e d) La solució de la ecuació + 9 = es: a) = 0, = b) = 0 c) = 0, = d) =. Determia el cojuto A B si A = [, 9]; B = (, 6): a) [, ) [6, 9] b) [, ) (6, 9] c) [, ] (6, 9] d) [, ] [6, 9] ( + i) ( -. Calcula ( + i) i) a) 6 + 9i b) 6 + 6i c) 6 + 6i d) 6 + 9i 5. Resuelve la ecuació =. a) = b) =, = c) = i d) =, = i 6. Epresa e forma biómica el siguiete úmero complejo de módulo y argumeto π/ a) + i b) + i c) i d) / + /i 7. Calcula ( + i) 6 a) i b) 8 c) i d) 8i 8. Epresa e forma trigoométrica el siguiete úmero complejo 5i: a) 5(cos(π/) + ise(π/)) b) (5, π/) c) 5(cos(π/) + ise(π/)) d) 5(se(90º)+icos(90º)) 9. Calcula el módulo y el argumeto pricipal del siguiete úmero complejo + i: a) 8, 5º b), π/ c), 7π/ d), 5π/ 0. Calcula: = a) = i b) = i c) = i, = i d) No tiee solució Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Números reales y complejos Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya Revisora: Rosa María Herrera

40 MATEMÁTICAS I: º BACHILLERATO Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

41 Álgebra Ídice. POLINOMIOS.. DEFINICIÓN, TÉRMINOS, GRADO, VALOR NUMÉRICO.. OPERACIONES CON POLINOMIOS.. REGLA DE RUFFINI. TEOREMA DEL RESTO.. RAÍCES DE UN POLINOMIO.5. FACTORIZACION DE POLINOMIOS.6. FRACCIONES ALGEBRAICAS. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO... RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.. RESOLUCION DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y SU INTERPRETACIÓN GRAFICA.. RESOLUCION DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... RESOLUCION POR EL MÉTODO DE GAUSS.. DISCUSION DE SISTEMAS APLICANDO EL METODO DE GAUSS.. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA Resume E este capítulo sobre Álgebra repasaremos coceptos relacioados co poliomios, ecuacioes e iecuacioes, para adetraros e los sistemas de ecuacioes, su resolució y represetacioes gráficas, basádoos e el método de resolució de sistemas de ecuacioes, Método de Gauss matemático muy importate e Álgebra pues fue el primero e dar ua demostració del teorema fudametal del Álgebra: Toda ecuació algebraica de grado tiee solucioes. Seguiremos co las iecuacioes y sistemas de iecuacioes que tiee iteresates aplicacioes. Karl Friedrich Gauss Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

42 Álgebra. POLINOMIOS.. Defiició. Térmios. Grado. Valor umérico Recuerda que: U moomio viee dado por el producto de úmeros reales e idetermiadas. Llamaremos coeficiete de u moomio al úmero real que multiplica a la idetermiada, o idetermiadas; la idetermiada, o idetermiadas, coforma la parte literal del moomio. U poliomio es ua epresió costruida a partir de la suma de moomios. El grado de u poliomio vedrá dado por el mayor grado de sus moomios. Ejemplos: 8 es u poliomio de grado e la variable. 7 5 y 6 es u poliomio de grado e las idetermiadas e y. y 5 y es u poliomio de grado 5 e e y. 8 9 y z es u poliomio de grado e, y y z. Tato e esta secció como e la siguiete os limitaremos, básicamete, a cosiderar poliomios co ua úica variable. El aspecto geérico de u poliomio e la variable es dode los coeficietes a k a a so úmeros reales.... a a a0 Decimos que u poliomio es móico cuado el coeficiete de su térmio de mayor grado es igual a. Los térmios de u poliomio viee determiados por el úmero de moomios que tega ese poliomio. Recuerda que: Moomio: moo: uo, omio: térmio: térmio Biomio: bio: dos, omio: térmio: térmios Triomio: trio: tres, omio: térmio : térmios. Cuatriomio: cuatri: cuatro, omio: térmio: cuatro térmios. A partir de cuatriomio se les ombra poliomios: Poli: varios, omio: térmios. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

43 Álgebra Así por ejemplo: y y 7 está formado por moomios y, y, 7 por lo tato tedrá tres térmios. y 8 5 está formado por moomios, y, 8 y 5, por lo tiee térmios. Si fijamos, o escogemos, u valor cocreto para la variable de u poliomio aparece u úmero real el valor umérico del poliomio para ese valor determiado de la variable. Si hemos llamado p a u poliomio, a la evaluació de p e, por ejemplo, el úmero 5 la deotamos por p (5), y leemos p de meos cico o p e meos cico. Co este criterio, si p es u poliomio cuya idetermiada es la variable, podemos referiros a él como p o p () idistitamete. De esta forma apreciamos que u poliomio puede ser etedido como ua maera cocreta de asigar a cada úmero real otro úmero real. Ejemplos: Si evaluamos el poliomio p e 5 os ecotramos co el úmero 5 p (5) El valor del poliomio q ( y) y y 7 para y es q ( ) ( ) ( ) 7 ( ) Operacioes co poliomios Ya sabes que: Suma de poliomios Como u poliomio es ua suma de moomios, la suma de dos poliomios es otro poliomio. A la hora de sumar dos poliomios procederemos a sumar los moomios de igual parte literal. Ejemplos: La suma de los poliomios y es el poliomio ( 5 ( ) (7 ( ) 5 ) ( ( 5 ) 9 8) (7 5 6) ( 5 ( 6) 5 ) ( 5 5 ) ( 5 9) ( 8) 9 ) 5 ( 6) 5 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

44 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 5 E el siguiete ejemplo sumaremos dos poliomios dispoiédolos, adecuadamete, uo sobre otro Propiedades de la suma de poliomios Propiedad comutativa. Si p y q so dos poliomios, o importa el orde e el que los coloquemos a la hora de sumarlos: p q q p Ejemplo: ) (7 ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( Propiedad asociativa. Nos señala cómo se puede sumar tres o más poliomios. Basta hacerlo agrupádolos de dos e dos: ) ( ) ( r q p r q p Ejemplo: ) ( ) 5 5 ( 6) ( ) 5 7 ( 6) ( ) 5 7 ( ) ( Tambié: ) 6 7 ( ) ( 6) 5 7 ( ) ( 6) ( ) 5 7 ( ) ( Elemeto eutro. Hay u poliomio co ua propiedad particular: el resultado de sumarlo co cualquier otro siempre es éste último. Se trata del poliomio dado por el úmero 0, el poliomio cero. Ejemplo: ) (5 ) (5 0 0 ) ( ) 7 ( 7) 7 ( 0

45 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 6 Elemeto opuesto. Cada poliomio tiee asociado otro, al que llamaremos su poliomio opuesto, tal que la suma de ambos es igual al poliomio cero. Alcazamos el poliomio opuesto de uo dado, simplemete, cambiado el sigo de cada moomio. Ejemplo: El poliomio opuesto de 7 5 p es 7 5, al que deotaremos como " " p. Ratifiquemos que su suma es el poliomio cero: 0 7) 7 ( ) ( ) 5 (5 ) ( 7) 5 ( 7) 5 ( Resta de poliomios Recordemos que el poliomio opuesto de otro se obtiee simplemete cambiado el sigo de cada moomio. Esta acció se correspode co multiplicar por el úmero el poliomio origial. De esta forma el poliomio opuesto de p es p p ) ( E este mometo aparece de maera atural la operació diferecia, o resta, de poliomios. La defiimos co la ayuda del poliomio opuesto de uo dado: q p q p q p ) ( ) ( La resta cosiste e sumar a u poliomio el opuesto de otro. Ejemplo: Dado el poliomio: 6 p y el poliomio: q. Vamos a restar p q: El proceso es el mismo que para la suma, lo úico que cambia es que a p le sumamos el opuesto de q: Es decir a q le cambiamos de sigo y se lo sumamos a p: 5 9 7) 6 (7 6) ( 7) 6 7 ( 6) (. Recordemos que el opuesto de q es q, ) 7 6 (7. Ejemplo: 8 6) ( ) 5 ( 6) ( ) 5 ( 6) ( ) 5 ( Actividades propuestas. Realiza la suma y resta de los siguietes poliomios: a) b) +

46 7 Álgebra. Realiza las siguietes sumas de poliomios: a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( 5 ) ( 5). Escribe el poliomio opuesto de cada uo de los siguietes poliomios: a) 6 b) c) 8 7. Cosidera los poliomios p 6, q, así como el poliomio suma s pq. Halla los valores que adopta cada uo de ellos para, es decir, calcula p (), q () y s (). Estudia si eiste algua relació etre esos tres valores. 5. Obté el valor del poliomio p 5 e. Qué valor toma el poliomio opuesto de p e? 6. Realiza las siguietes diferecias de poliomios: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) Producto de poliomios Otra operació que podemos realizar co poliomios es la multiplicació. El resultado del producto de poliomios siempre será otro poliomio. Auque e u poliomio teemos ua idetermiada, o variable, como ella toma valores e los úmeros reales, a la hora de multiplicar poliomios utilizaremos las propiedades de la suma y el producto de los úmeros reales, e particular la propiedad distributiva del producto respecto de la suma; así, todo queda e fució del producto de moomios, cuestió que resolvemos co facilidad: Ejemplos: a b m ab m a) b) c) 6 6 ( ) 6( ) 5 ( ) 5( ) 0 ( 6) ( ) ( ) ( 6) 6 8 d) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 6 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

47 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 8 e) 0) 8 ( ) 5 ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( ) 8 5 ( ) ( f) Ejemplo: Tambié podemos materializar el producto de poliomios tal y como multiplicamos úmeros eteros: Actividades propuestas 7. Efectúa los siguietes productos de poliomios: a) ) ( ) (5 b) ) ( ) ( c) ) ( ) ( 5 d) ) (7 ) ( 8. Multiplica cada uo de los siguietes poliomios por u úmero de tal forma que surja poliomios móicos: a) b) c) 7 9. Calcula y simplifica los siguietes productos: a) ) 6 ( b) ) 6 ( ) ( c) ) ( ) 5 ( a b b a d) ) (9 ) (8 6) ( a a a 6 ) ( ) 6 ( ) ( 6) ( 6) ( ) ( 6) (

48 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 9 Propiedades del producto de poliomios Propiedad comutativa. Si p y q so dos poliomios, o importa el orde e el que los coloquemos a la hora de multiplicarlos: p q q p Ejemplo: ) ( 7 ) ( ) ( 7) ( ) ( 7) ( 7) ( ) ( Propiedad asociativa. Nos señala cómo se puede multiplicar tres o más poliomios. Basta hacerlo agrupádolos de dos e dos: ) ( ) ( r q p r q p Ejemplo: ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( Tambié: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Elemeto eutro. Hay u poliomio co ua propiedad particular: al multiplicarlo por cualquier otro siempre os da éste último. Se trata del poliomio dado por el úmero, el poliomio uidad. Ejemplo: 8 ) 8 ( ) 8 ( Propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma. Cuado e ua multiplicació de poliomios uo de los factores viee dado como la suma de dos poliomios como, por ejemplo, ) ( 7) ( ) (8 teemos dos opcioes para coocer el resultado: a) realizar la suma y, después, multiplicar ) (8 ) ( ) ( ) (8 5 5 b) distribuir, aplicar, la multiplicació a cada uo de los sumados y, después, sumar:

49 50 Álgebra (8 ) ( 6 ( ) ( 88 ) ) (8 (8 5 ) ( ) (8 ) 8 5 ) ( 8 ) 9 Comprobamos que obteemos el mismo resultado. E geeral, la propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma os dice que p q r p q p r Coviee cometar que la aterior propiedad distributiva leída e setido cotrario, de derecha a izquierda, es lo que comúmete se deomia sacar factor comú. Ejemplo: ( 5 ) Actividades propuestas 0. Realiza los siguietes productos de poliomios: a) ( 5 ) b) ( ) ( 5 ) ( ). De cada uo de los siguietes poliomios etrae algú factor que sea comú a sus moomios: a) b) 0 Productos otables de poliomios E este apartado vamos a destacar ua serie de productos cocretos de poliomios que surge frecuetemete. Podemos epoerlos de muy diversas formas. Tal y como lo haremos, aparecerá más de ua idetermiada; hemos de ser capaces de apreciar que si, e u algú caso cocreto, algua idetermiada pasa a ser u úmero cocreto esto o hará ada más que particularizar ua situació más geeral. Potecias de u biomio. Las siguietes igualdades se obtiee, simplemete, tras efectuar los oportuos cálculos: ( a b) a abb El cuadrado de ua suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segudo, más el cuadrado del segudo. Comprueba la igualdad a partir de los cuadrados y rectágulos de la ilustració. ( a b) a abb Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

50 5 Álgebra El cuadrado de ua diferecia es igual al cuadrado del primero, meos el doble producto del primero por el segudo, más el cuadrado del segudo. Observa la figura y coéctala co la igualdad. ( a b) a a bab b Ratifica la igualdad co los cubos y prismas de la figura. ( a b) a a bab b Podemos observar que, e cada uo de los desarrollos, el epoete del biomio coicide co el grado de cada uo de los moomios. Ejemplos: a) ( a ) a a a a b) ( 5) c) (7 5) (7) 7 5 (5) d) ( y) y (y) 6y 9y e) ( 5) () () 5 () Suma por diferecia. De uevo la siguiete igualdad se obtiee tras efectuar el producto señalado: ( a b) ( ab) a b Suma por diferecia es igual a diferecia de cuadrados. Observa las figuras y coéctalas co la igualdad. Ejemplos: a) ( a 5) ( a 5) a 5 a 5 b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) () 9 6 d) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ) (5 ) (5 ) ( ) (5 () ) 5 9 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

51 5 Álgebra Actividades propuestas. Realiza los cálculos: a) ( a) b) ( ) c) d) ( ) ( ) e) ( ). Obté las fórmulas de los cuadrados de los siguietes triomios: a) ( a c) b b) ( a b c). Desarrolla las siguietes potecias: a) ( 5y) b) ( + y/) c) (5 5/) d) (a b) e) (a + b ) f) (/5y /y) 5. Epresa como cuadrado de ua suma o de ua diferecia las siguietes epresioes algebraicas: a) a + 6a + 9 b) c) b 0b + 5 d) y + y + 9 e) a a + f) y + 6y Efectúa estos productos: a) ( y) ( y) b) ( 8) ( 8) c) ( ) ( ) Divisió de poliomios Ya sabes que: Aalicemos co deteimieto la divisió de dos úmeros eteros positivos. Cuado dividimos dos úmeros, D (dividedo) etre d (divisor, distito de 0), surge otros dos, el cociete (c) y el resto (r). Ellos se ecuetra ligados por la llamada prueba de la divisió: Alterativamete: D d cr c Además, decimos que la divisió es eacta cuado r 0. D d r d Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

52 5 Álgebra El coocido algoritmo de la divisió persigue ecotrar u úmero etero, el cociete c, tal que el resto r sea u úmero meor que el divisor d, y mayor o igual que cero. Fijémoos e que, si esta eigecia para el resto r, podemos escoger arbitrariamete u valor para el cociete c el cual os sumiistra su valor asociado como resto r. E efecto, si teemos como dividedo D = 67 y como divisor d =, si queremos que el cociete sea c = 8 su resto asociado es r Dd c y la coeió etre estos cuatro úmeros es Esta última lectura de la divisió de úmeros eteros va a guiaros a la hora de dividir dos poliomios. Dados dos poliomios p () y q (), la divisió de p (), poliomio dividedo, etre q (), poliomio divisor, os proporcioará otros dos poliomios, el poliomio cociete c () y el poliomio resto r (). Tambié aquí pesará ua eigecia sobre el poliomio resto: su grado deberá ser meor que el grado del poliomio divisor. La relació etre los cuatro será, aturalmete, Tambié escribiremos p( ) q( ) c( ) r( ) p( ) r( ) c( ) q( ) q( ) Al igual que ocurre co el algoritmo de la divisió etera, el algoritmo de la divisió de poliomios costa de varias etapas, de carácter repetitivo, e cada ua de las cuales aparece uos poliomios cociete y resto provisioales de forma que el grado de esos poliomios resto va descediedo hasta que os topamos co uo cuyo grado es iferior al grado del poliomio divisor, lo que idica que hemos cocluido. Veamos este procedimieto co u ejemplo cocreto Ejemplo: Vamos a dividir el poliomio p ( ) 6 5 etre el poliomio q ( ). Como el poliomio divisor, q (), es de grado, debemos ecotrar dos poliomios, u poliomio cociete c (), y u poliomio resto r () de grado o 0, tales que p( ) q( ) c( ) r( ) Primera etapa: Para poder lograr la igualdad p qcr, como el grado de r() será o 0, el térmio de mayor grado de p (), 6, surgirá del producto q( ) c( ). Así obteemos la primera aproimació de c (), su moomio de mayor grado: c ( ) y, de maera automática, tambié u primer resto r ( ) : Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

53 5 Álgebra Como este poliomio r ( ) es de grado, mayor que, el grado del poliomio divisor q (), ese poliomio resto o es el defiitivo; debemos cotiuar. Seguda etapa: Esta seguda etapa cosiste e dividir el poliomio r ( ) 8 8, surgido como resto de la etapa aterior, etre el poliomio q ( ), el divisor iicial. Es decir, repetimos lo hecho ates pero cosiderado u uevo poliomio dividedo: el poliomio resto del paso aterior. Al igual que ates, el grado de r() debería ser o 0. Como el térmio de mayor grado de r ( ), sale del producto q( ) c ( ), es ecesario que el poliomio cociete cotega el moomio Ello os lleva a u segudo resto r ( ) : 9 c ( ) 8, Como este poliomio r ( ) es de grado, igual que el grado del poliomio divisor q (), ese poliomio resto o es el defiitivo; debemos cotiuar. Primera y seguda etapas: Tercera etapa: Esta tercera etapa cosiste e dividir el poliomio r ( ) 9, el resto de la etapa aterior, etre el poliomio q ( ), el divisor iicial. De uevo repetimos el algoritmo pero co otro poliomio dividedo: el poliomio resto del paso aterior. Perseguimos que r qc r. Como e cada paso, el grado de r () debería ser o 0. El térmio de mayor grado de r ( ),, surge del producto q( ) c( ), por lo que y el tercer resto r ( ) es: + c ( ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

54 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 55 Como este poliomio ) ( r es de grado, meor que, grado del poliomio divisor ) ( q, ese poliomio resto sí es el defiitivo. Hemos cocluido: Las tres etapas: Coclusió: Al dividir el poliomio 5 6 ) ( p etre el poliomio ) ( q obteemos como poliomio cociete ) ( c y como poliomio resto ) ( r. Actividades propuestas 7. Divide los siguietes poliomios: a) 7 etre b) 0 etre 5 c) etre d) etre e) 6 5 etre 8. Ecuetra dos poliomios tales que al dividirlos aparezca ) ( q como poliomio cociete y ) ( r como resto... Regla de Ruffii. Teorema del resto Debido a la importacia que tiee la divisió de poliomios cuado el poliomio divisor es de la forma, es coveiete agilizar tales divisioes. Estamos ate la llamada regla de Ruffii, u algoritmo que os proporcioa tato el cociete como el resto que resulta de dividir u poliomio cualquiera etre otro de la forma. Paolo Ruffii

55 56 Álgebra Veámoslo co u ejemplo: Cosideremos el poliomio p ( ). Vamos a dividirlo etre Veamos cómo ha surgido tato el poliomio cociete como el resto. El que el grado del dividedo sea tres y que el divisor sea de grado uo impoe que el cociete tega grado dos y que el resto sea u úmero real. El cociete costa de los moomios, 0 y, los cuales coicide co los moomios de mayor grado de cada uo de los dividedos después de dismiuir sus grados e ua uidad: procede de (el dividedo iicial), 0 viee de 0 y, por último, de. Este hecho, coicidecia e el coeficiete y dismiució del grado e ua uidad, se debe a que el divisor,, es móico y de grado uo. Seguidamete, vamos a teer e cueta úicamete los coeficietes del dividedo, por orde de grado,,, y ; e cuato al divisor, como es móico y de grado uo, basta cosiderar su térmio idepediete, +, pero como el resultado de multiplicar los moomios que va coformado el cociete por el divisor hemos de restárselo a cada uo de los dividedos, atediedo a este cambio de sigo, e lugar del térmio idepediete, +, operaremos co su opuesto,, úmero que, a la vez, es la raíz del divisor y sobre el que pesa la preguta de si es o o raíz de p (). Este último cocepto lo veremos más delate de maera detallada cuado defiamos raíz de u poliomio. Vamos a compararlo co el proceso de la divisió covecioal y veremos que es igual: Primer paso de la divisió: Aparece e el cociete el moomio (coeficiete ), el cual provoca la desaparició de e el dividedo y la aparició del moomio 6 (coeficiete 6 ( ) ). Después de operar (sumar) os ecotramos co 0 (coeficiete 0 ( ) ( 6) ) y, e el cociete 0. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

56 57 Álgebra Segudo paso. El dividedo pasa a ser La irrupció e el cociete del moomio 0 (coeficiete 0) provoca la desaparició de 0 e el dividedo y la aparició del moomio 0 (coeficiete 0 ( ) ( 0) ). Después de operar (sumar) os ecotramos co (coeficiete 0) y, e el cociete. Tercer paso. El dividedo pasa a ser Teemos e el cociete el térmio idepediete. Éste provoca la elimiació de e el dividedo y la aparició del térmio ( ). Después de operar (sumar) os ecotramos co el resto 9. E cada uo de los pasos figura, e la parte derecha, lo mismo que se ha realizado e la divisió covecioal, pero co la vetaja de que todo es más ágil debido a que úicamete se maeja úmeros reales: los coeficietes de los distitos poliomios iterviietes. Ejemplo: Dividamos el poliomio p( ) 5 etre : Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

57 58 Álgebra Actividades propuestas 9. Usa la regla de Ruffii para realizar las siguietes divisioes de poliomios: a) etre b) etre c) etre d) 9 etre 0. Estudia si es posible usar la regla de Ruffii, de algua forma, para dividir 5 7 etre. Teorema del resto El teorema del resto es muy útil para hallar los valores uméricos de los poliomios si ecesidad de sustituir directamete e ellos la icógita por el úmero de que se trate. Haciedo uso de dicho teorema, podemos hallar las raíces de los poliomios, proceso que habrá que realizar co mucha frecuecia e lo sucesivo. El euciado del teorema del resto es el siguiete: Teorema del resto. El valor umérico que adopta u poliomio p () al particularizarlo e coicide co el resto que aparece al dividir p () etre. De esta forma, podremos saber de atemao si ua divisió va a ser eacta si ecesidad de efectuarla. Demostració: Segú vimos e el apartado de la divisió de poliomios, al dividir u poliomio D() etre otro, d(), la relació que se establece es: D() = d() c() + r() dode c() y r() so respectivamete, el cociete y el resto de la divisió. E este caso estamos dividiedo por a, es decir, el divisor es d() = a. Por tato D() = ( a) c() + r() Hallamos el valor umérico del poliomio D() para = a, para ello sustituimos la por a: D(a) = (a a) c(a) + r(a) Y, por tato, D(a) = r(a) = r, que es precisamete lo que queríamos demostrar. Ejemplo: Dividamos el poliomio p( ) 5 etre : Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

58 59 Álgebra El cociete es y el resto 6 p ( ) 5 ( ) ( 6 Si evaluamos p () e o puede dar cero, pero qué valor resulta? p ( ) ( ) ( ) 6.( ) 8 56) ( 6) 8( ) 56) ( 6) 0( 6) 6 Naturalmete hemos obteido el resto aterior, que vemos que coicide, el valor umérico del poliomio y el resto de la divisió. Actividades propuestas. Utiliza la regla de Ruffii para coocer el valor del poliomio 7 e 5... Raíces de u poliomio: Dado u poliomio p() diremos que u úmero real cocreto es ua raíz, o u cero, del poliomio p, si al evaluar p e obteemos el úmero 0, esto es, si Ejemplo: p ( ) 0 Cosideremos el poliomio s ( ) 8 8. o El úmero es ua raíz de s () s () o Otra raíz de s() es el úmero : s ( ) ( ) ( ), puesto que o E cambio, el úmero o es ua raíz de s () : ( ) 8 ( ) ( ) s () o Tampoco es raíz de s () el úmero 0: s (0) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

59 60 Álgebra Cálculo de las raíces de u poliomio Ejemplos: Comprobemos, mediate la regla de Ruffii, que es raíz del poliomio : / Para coocer las raíces del poliomio que lo aule, es decir, para el que se tega Así, el poliomio de grado dos irracioales. 0 debemos estudiar si hay algú úmero real tal 0 tiee dos raíces distitas, las cuales so úmeros Ya sabemos que hay poliomios que carece de raíces, como por ejemplo. Para facilitar la compresió de los coceptos y resultados de este asuto la mayoría de los úmeros que ha aparecido hasta ahora, coeficietes, raíces, etc., ha sido úmeros eteros. Por supuesto que podemos ecotraros co poliomios co coeficietes racioales, o irracioales, o co poliomios co raíces dadas por ua fracció o u úmero irracioal. Tambié eiste poliomios que carece de raíces. Apreciamos que la regla de Ruffii os iforma sobre si u úmero cocreto es o o raíz de u poliomio. Naturalmete, cuado estamos ate u poliomio, y os iteresa coocer sus raíces, o es posible efectuar ua prueba co cada úmero real para determiar cuáles so raíz del poliomio. E el próimo párrafo destacaremos ciertos úmeros cadidatos a ser raíz de u poliomio. A la hora de buscar las raíces eteras de u poliomio dispoemos del siguiete resultado: Dado u poliomio cualquiera a a... a a a0 cuyos coeficietes so todos úmeros eteros, sus raíces eteras, si las tuviera, se ecuetra ecesariamete etre los divisores eteros de su térmio idepediete a 0. Procedamos a su demostració. Supogamos que cierto úmero etero es ua raíz de ese poliomio. Tal úmero debe aularlo: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

60 6 Álgebra a a a a ( a a a a... a a a... a a a... a a ) a... a a 0 0 a0 E la última igualdad, el úmero del lado izquierdo es etero, porque está epresado como ua suma a de productos de úmeros eteros. Por ello, el úmero del lado derecho, 0, tambié es etero. Al ser tambié eteros tato a0 como, alcazamos que es u divisor de a 0. Ejemplos: Determiemos, co arreglo al aterior resultado, qué úmeros eteros so cadidatos a ser raíces del poliomio 7 6 : Tales úmeros eteros cadidatos debe ser divisores de 6, el térmio idepediete del poliomio. Por ello, los úicos úmeros eteros que puede ser raíz de ese poliomio so:,,, Las úicas posibles raíces eteras del poliomio 6,,, 6 tambié so: E este caso y so raíces eteras del poliomio. Algo más geeral podemos afirmar sobre clases de úmeros y raíces de u poliomio: Dado u poliomio cualquiera a a... a a a0 cuyos coeficietes so todos úmeros eteros, sus raíces racioales, si las tuviera, ecesariamete tiee por umerador algú divisor del térmio idepediete, a 0, y por deomiador algú divisor del coeficiete del térmio de mayor grado, a. Ejemplos: E el poliomio 6 los úmeros racioales cadidatos a ser raíces suyas tiee por umerador a u divisor de 6 y por deomiador a u divisor de. Por lo tato, los úicos úmeros racioales que puede ser raíz de ese poliomio so: 6,,, 6,,,, Además de y, tambié es raíz ; los demás o lo so. Las úicas posibles raíces racioales del poliomio 7 so:,,, E este caso iguo de esos úmeros es raíz del poliomio. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

61 6 Álgebra Actividades propuestas. Emplea la regla de Ruffii para dictamiar si los siguietes úmeros so o o raíces de los poliomios citados: a) de 5 b) de c) de d) de. Para cada uo de los siguietes poliomios señala, e primer lugar, qué úmeros eteros so cadidatos a ser raíces suyas y, después, determia cuáles lo so: a) b) c) 8 9 d) 6. Comprueba que es raíz del poliomio Para cada uo de los siguietes poliomios idica qué úmeros racioales so cadidatos a ser raíces suyas y, después, determia cuáles lo so: a) 5 b) 9.5. Factorizació de poliomios Todo poliomio de grado tiee a lo sumo raíces reales, algua de las cuales puede aparecer repetida etre esos o más de úmeros reales. Basádoos e el cálculo de las raíces de u poliomio vamos a realizar el proceso de descomposició de u poliomio e forma de producto de otros poliomios más secillos.(factorizació de u poliomio): Nos vamos a basar e el siguiete euciado: La codició ecesaria y suficiete para que u poliomio P() sea divisible por ( a) es que a sea ua raíz de P(). Podemos reescribir este resultado de la siguiete maera: U poliomio P() es divisible por ( a) a es ua raíz de P(). Vamos a demostrarlo: Si P() es divisible por ( a) a es ua raíz de P(): Codició ecesaria Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

62 6 Álgebra E efecto: Si P() divisible por ( a) r = 0 P(a) = 0 (por el teorema del resto) a es raíz de P() Si a es ua raíz de P() ( a) divide a P(): Codició suficiete E efecto: a raíz de P() P(a) = 0 (por el teorema del resto). El resto de la divisió de P() etre ( a) es 0 ( a) divide a P() por la defiició de raíz. Como cosecuecia imediata se tiee: si a es ua raíz de P() P() = c() ( a) El poliomio dado queda descompuesto e forma de producto de dos factores. Repitiedo el proceso para c(), éste se puede descompoer a su vez de uevo y así sucesivamete. Llegado al resultado geeral: Dado el poliomio P( ) a a... a a0 cuyas raíces so,,,,dicho poliomio se puede descompoer factorialmete de la siguiete forma: P( ) a( )( )...( ) Decimos que u poliomio es reducible si admite ua factorizació mediate poliomios de grado iferior al suyo. E caso cotrario el poliomio será irreducible. Ejemplo: Descompoer factorialmete el poliomio: + 5. Como el coeficiete de es, segú vimos e el apartado de cálculo de raíces de u poliomio, las posibles raíces racioales, de eistir, ha de ser divisores de.por tato puede ser: +,, +,. Comprobamos si el es raíz. Aplicamos el teorema de Ruffii: Por tato, es raíz y teemos: ( )( ) Resolviedo ahora la ecuació + = 0, resulta = y =. Por tato, + = ( )( ) y e defiitiva, el poliomio tedrá la siguiete descomposició factorial: 5 ( )( )( ) ( ) ( ) siedo sus raíces =, doble y =. Hay poliomios que o admite raíces, es decir, que o se aula uca. Ejemplos: El poliomio t( ) o tiee raíces puesto que al evaluarlo e cualquier úmero real siempre os da u valor positivo y, por lo tato, distito de 0: t ( ) 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

63 6 Álgebra Además, este poliomio de grado dos, t ( ), es u poliomio irreducible porque, al carecer de raíces, o podemos epresarlo como producto de poliomios de meor grado. Otro poliomio si raíces reales es u ( ) ( ) ( ) ( ). Actividades propuestas 6. Supogamos que teemos dos poliomios, ( ) p y p ( ), y u úmero real. a) Si es ua raíz de p ( ), tambié es raíz del poliomio suma p ) p ( )? ( b) Si es ua raíz de p ( ), tambié es raíz del poliomio producto p ) p ( )? c) Hay algua relació etre las raíces del poliomio ( ) ( p y las del poliomio p ( )? 7. Costruye u poliomio de grado tal que posea tres raíces distitas. 8. Determia u poliomio de grado tal que tega, al meos, ua raíz repetida. 9. Costruye u poliomio de grado de forma que tega ua úica raíz. 0. Cojetura, y luego demuestra, ua ley que os permita saber cuádo u poliomio cualquiera a a... a a0 admite al úmero 0 como raíz.. Demuestra ua orma que señale cuádo u poliomio cualquiera a a... a a0 admite al úmero como raíz.. Determia las raíces de cada uo de los siguietes poliomios: a) 5 b) c) 7 5 d) e) 7 f) 8 g) h) i) 5.6. Fraccioes algebraicas Ua fracció algebraica es ua epresió de la forma: dóde tato P() como Q() so poliomios. P( ) Q( ) Q() 0 Ejemplos: Así so fraccioes algebraicas las siguietes epresioes: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra 9 y y 7y Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

64 65 Álgebra So epresioes algebraicas, so fraccioes algebraicas. E geeral, o so u poliomio. Sólo lo es e el muy particular caso e el que el deomiador es u úmero real diferete de cero, esto es, u poliomio de grado 0. Es secillo costatar que las epresioes ateriores o so u poliomio: cualquier poliomio puede teer u valor umérico para cualquier úmero real. Si embargo esas epresioes o puede ser evaluadas para los valores que aula el deomiador. Podríamos creer que la siguiete fracció algebraica sí es u poliomio: La epresió de la derecha sí es u poliomio, pues se trata de ua suma de moomios, pero la de la izquierda o lo es ya que o puede ser evaluada e 0. No obstate, esa fracció algebraica y el poliomio, cuado so evaluados e cualquier úmero diferete de cero, ofrece el mismo valor. So epresioes equivaletes allí dode ambas tiee setido. Simplificació de fraccioes algebraicas De la misma maera que se hace co las fraccioes uméricas, para simplificar fraccioes algebraicas se descompoe umerador y deomiador e factores, simplificado, posteriormete, aquellos que so comues. Ejemplo: Ua fracció algebraica como puede ser simplificada gracias a que el umerador y el deomiador admite factorizacioes e las que algú poliomio está presete e ambas. 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como ya hemos aputado e otras ocasioes, las epresioes fial e iicial o so idéticas pero sí so equivaletes e todos aquellos valores para los que ambas tiee setido, esto es, para aquellos e los que o se aula el deomiador. Operacioes co fraccioes algebraicas Las operacioes co fraccioes algebraicas se realiza de la misma forma que las respectivas operacioes co fraccioes uméricas. Puesto que las fraccioes algebraicas obteidas a partir de dos poliomios so, e potecia, úmeros Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

65 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 66 reales, operaremos co tales epresioes siguiedo las propiedades de los úmeros reales. Suma o resta. Para sumar o restar dos fraccioes algebraicas deberemos coseguir que tega igual deomiador. Ua maera segura de lograrlo, auque puede o ser la más adecuada, es ésta: q q q p q p q q q p q q q p q p q p Producto. Basta multiplicar los umeradores y deomiadores etre sí: q q p p q p q p Divisió. Sigue la coocida regla de la divisió de fraccioes uméricas: Ejemplo: E ua suma de fraccioes algebraicas como ésta podemos alcazar u comú deomiador e las fraccioes a partir de la descomposició de cada deomiador: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Coviee destacar que e el resultado fial se ha optado por dejar el deomiador factorizado. De esa forma, etre otras cuestioes, se aprecia rápidamete para qué valores de la idetermiada esa fracció algebraica o admite ser evaluada. Actividades propuestas. Simplifica, si es posible, las siguietes epresioes: a) 8 6 b) 8 6 c) 6 p q q p q p q p

66 67 Álgebra. Simplifica las siguietes fraccioes algebraicas: 6 a 5a y y a b ab a) b) c) d) 9 5 7a a y a b ab 5. Realiza las siguietes operacioes teiedo e cueta las factorizacioes de los deomiadores: 5 a) b) 6. Efectúa los siguietes cálculos: a) b) c) d) : 7. Realiza las siguietes operacioes alterado, e cada apartado, úicamete uo de los deomiadores, y su respectivo umerador: a) b) 8 8. Comprueba las siguietes idetidades simplificado la epresió del lado izquierdo de cada igualdad: 8a b y y a) a b b) y y a b y c) 9 6 d) 6a b 8a b 0ab ab 6a b ab a 5 b 8a Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

67 68 Álgebra. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO E este apartado vamos a cetraros e la resolució de ecuacioes e iecuacioes de primer y segudo grado y e su iterpretació gráfica, para luego epoer los sistemas de ecuacioes e iecuacioes y su aplicació a las Ciecias y a las Ciecias Sociales. Ya sabes que:.. Resolució de ecuacioes de primer grado Recuerda que: La técica para resolver ua ecuació de primer grado cosiste siempre e trasformar la ecuació iicial e otra equivalete hasta coseguir aislar la icógita e el primer miembro: Ejemplo: 7( ) 5 Resolver la ecuació: 6 Primer paso: Suprimir los deomiadores. El míimo comú múltiplo de los deomiadores es 6, multiplicamos por 6 toda la ecuació. 6.7( ) ( ) Segudo paso: Efectuar los parétesis: 5 6 Tercer paso: Traspoer térmios y simplificar: Cuarto paso: despejar la icógita, simplificado el resultado. 0 0 Quito paso: Comprobar el resultado. Sustituimos el resultado obteido e la ecuació dada y comprobamos que se verifica la igualdad. Recuerda que: Las ecuacioes permite resolver muchos tipos de problemas. El tratamieto habitual ate u problema cocreto es el siguiete:. Platear ua ecuació que cocuerde co el euciado.. Resolver la ecuació.. Comprobar el resultado e iterpretarlo Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

68 69 Álgebra Ejemplo: La suma de tres úmeros eteros cosecutivos es 08. Cuáles so esos úmeros? Llamado al meor. Los tres úmeros, al ser cosecutivos, será: º úmero: º úmero: + º úmero: + Plateamos ahora la ecuació correspodiete al euciado: la suma ha de ser 08. Por tato: + ( + ) + ( + ) = 08 Los parétesis, e este caso, o so ecesarios debido a la propiedad asociativa de la suma de úmeros reales. Se ha puesto, eclusivamete, para aclarar la ecuació que estamos escribiedo. Elimiamos los parétesis y agrupamos térmios os queda: Despejado la icógita: = = 08 = 05 = = 5. Por tato los úmeros so 5, 6 y 7, cuya suma es Ecuacioes de segudo grado Ya sabes que: Recuerda que Ua ecuació de segudo grado es aquella que tiee como forma geeral la siguiete: a + b + c = 0, co a 0. Ua ecuació tiee tatas solucioes como su grado. Ya sabes que al ser de grado tedrá solucioes o o igua e el campo real. Segú sea la ecuació de segudo grado sus solucioes se puede hallar: Caso : El coeficiete de la es 0: b = 0: E este caso la ecuació es de la forma: a + c = 0. Para hallar las solucioes basta co despejar la : a c c c c ; a a a Ejemplo: Resolver la ecuació: 8 = 0 c a Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

69 70 Álgebra Se despeja : 8 ; Caso : El térmio idepediete es 0: c = 0 La ecuació es ahora de la forma: a b 0. Para resolver basta co sacar factor comú a la : a b 0 ( a b) 0 0; a b 0 E este caso siempre ua de las dos solucioes va a ser la = 0. Los casos y so ecuacioes de segudo grado icompletas, que tambié se puede resolver aplicado la fórmula geeral. Si embargo es más rápido resolverlas de la maera que acabamos de epoer. Caso : Resolució aalítica de ua ecuació de segudo grado completa: Solució gráfica de ua ecuació de segudo grado: Cosideramos la fució f ( ) a b c 0 Su represetació gráfica es ua parábola, dode las solucioes de la ecuació a b c 0 so los putos de corte de ésta co el eje de abscisas. b a Solució aalítica de ua ecuació de segudo grado completa: Partiedo de la ecuació a b c 0 vamos a obteer el valor de : Pasamos el térmio idepediete al segudo miembro quedado epresado de la siguiete maera: Multiplicamos toda la ecuació por a: Sumamos b a ambos miembros: a ab b b ac El primer miembro es el cuadrado del biomio a + b. Por tato: Etraemos la raíz cuadrada: a b c a ab ac (a + b) = b ac a b b ac Pasamos b al segudo miembro y dividimos por a, co lo que obteemos el siguiete resultado: Fuete Wikipedia Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra b b ac a Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

70 7 Álgebra Por tato: b b ac b b ac b b ac ; a a a Es la fórmula geeral para calcular las dos solucioes de la ecuació de segudo grado Particularidades: El radicado, b ac, recibe el ombre de discrimiate de la ecuació. Se represeta por la letra griega Δ. Segú sea el sigo del discrimiate puede darse tres casos: Δ > 0: La ecuació tedrá las dos solucioes y Δ = 0: La ecuació tiee ua úica solució doble, las dos solucioes de la ecuació so iguales: b 0 b a a Δ <0: El radicado es egativo, la ecuació o tiee raíces reales, (la raíz da lugar a u úmero ** complejo o real,). Ejemplo: Resolver la ecuació: 0 Su solució gráfica es ua parábola co el vértice hacia abajo al teer positivo el coeficiete de, como hemos represetado aquí. Vamos a ver que sus solucioes aalíticas so los putos de corte de la parábola co el eje de abscisas. Comprobémoslo: 0. Aplicado la fórmula geeral de resolució de ua ecuació de segudo grado completa...( ) ;, que coicide co los putos de corte de la parábola co el eje de abscisas. Ejemplo: Vamos a cosiderar ahora u ejemplo de ua ecuació de segudo grado co el coeficiete de egativo 5 cuya represetació gráfica es ua parábola co el vértice hacia arriba: Como e el ejemplo aterior aplicamos la fórmula geeral de resolució de ecuacioes de segudo grado, la ecuació es: 5 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

71 7 Álgebra Cuya solució es:.( ).5.( ) ; 5, que coicide co el corte de la parábola co el eje de abscisas. Suma y producto de las solucioes e ua ecuació de segudo grado Vamos a calcular ahora a qué es igual la suma y el producto de las dos raíces de ua ecuació de segudo grado. Llamamos: b b ac b b ac y a a a las dos solucioes o raíces. Veamos e primer lugar, a qué es igual la suma de ambas: b b ac a b b ac a b b ac b a b ac b a b a Es decir: b a Veamos ahora el producto:. b b ac b. a b ac a ( b) ( b a ac) b ( b ac) ac a a c a Es decir:. c a Fórmula de Cárdao. Las igualdades ateriores os permite resolver el problema iverso al habitual: e lugar de dada ua ecuació hallar sus raíces o solucioes, podremos, sabiedo cuáles so las solucioes de ua ecuació, hallar la epresió de dicha ecuació. E efecto, cosideramos la ecuació de segudo grado de siempre, de solucioes y : a b c 0 Dividiedo toda la ecuació por el coeficiete de : Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

72 7 Álgebra b a Ecuació equivalete a la dada. Fijádoos e dicha ecuació, vemos que el coeficiete de la es igual a la suma de las dos raíces co el sigo cotrario, mietras que el térmio idepediete es igual al producto de las dos raíces. Como cosecuecia: si las dos raíces de ua ecuació de segudo grado so y, la ecuació es: c a 0 Ejemplo: ( ). 0 s p 0 Las dos raíces de ua ecuació de segudo grado so = / y = /. Cuál es esa ecuació? Sumado las dos raíces teemos: 7. Lo llamamos s. 6 Multiplicamos las dos raíces y teemos:.. Lo llamamos p. 6 Por la fórmula aterior obteemos que la ecuació es: Si quitamos deomiadores os queda: = 0. Otra forma de resolver este tipo de problemas es hacer uso de la factorizació de poliomios que se estudió e págias ateriores. Cosideramos la ecuació de segudo grado completa a b c 0 de solucioes y. b c Sabemos que esta primera ecuació es equivalete a esta otra: 0 a a E cosecuecia, el poliomio correspodiete a la misma es: p( ) b a Tiee como raíces los úmeros y y su descomposició factorial es: p( ) ( )( ) Si efectuamos el producto, podemos escribir la ecuació correspodiete: ( c a )( ) 0 Se puede platear múltiples problemas de la vida real y de aplicació a otras ciecias. Las pautas a seguir so iguales que las de las ecuacioes de primer grado. Veamos u ejemplo: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

73 7 Álgebra Ejemplo: Queremos sembrar de césped ua parcela rectagular de 7 m, de maera que uo de los lados de la misma sea el triple que el otro. Cuáles so las dimesioes de la parcela? Llamado al lado más pequeño del rectágulo, el otro, al ser triple, medirá. Puesto que el área del rectágulo es igual al producto de la base por la altura: Por tato las dos solucioes de esta ecuació so = y =. Pero puesto que o tiee setido que ua logitud sea egativa para ua parcela, la úica solució válida para es = m. Segú esto las dimesioes de la parcela so m y 9 m. Ecuacioes bicuadradas: Se llama ecuacioes bicuadradas a las ecuacioes del tipo siguiete: a b c 0 So ecuacioes de cuarto grado, e las cuales la icógita aparece úicamete elevada a potecias pares. Al ser de cuarto grado, tedrá solucioes. El proceso geeral para resolver este tipo de ecuacioes es hacer u cambio de variable. Haciedo t= tedremos la epresió siguiete: a b c 0 a( ) b c 0 at bt c 0 Coseguimos covertir la ecuació de cuarto grado e ua ecuació de segudo grado fácil de resolver, de ahí que lo haya icluido como ua ecuació de segudo grado particular. Se resuelve la ecuació de segudo grado como tal y ua vez resuelta debemos realizar el último paso: Hemos hallado el valor de t, pero la icógita es. Co lo cual hemos de deshacer el cambio efectuado: Si = t = t Ejemplo: Resolver la ecuació 0 Efectuado el cambio = t, la ecuació se covierte e : t t 0 Que resolvemos para t: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

74 75 Álgebra..( ) 7 t t ; t. 6 Es decir, las dos solucioes de esta ecuació so t = y t = /, deshacemos el cambio: t t i Esta última solució o es u úmero real, pues ua raíz cuadrada egativa o tiee solució real. Se ecuetra detro de los úmeros imagiarios que ya cooces del capítulo aterior. E defiitiva, las cuatro solucioes de la ecuació bicuadrada iicial so: ; ; i; i Actividades propuestas 9. Resolver las siguietes ecuacioes: a) b) 8 7 ( ) 5 5 c) 6 0. Resolver: a. ( ) 5 9 / b. 6 9 c. 8 0 d Sumado siete uidades al doble de u úmero más los / del mismo obteemos como resultado el sétuplo de dicho úmero meos. De que úmero se trata?. Las dimesioes de u rectágulo so 5 y 6 metro. Trazar ua paralela al lado que mide 6 m de modo que se forme u rectágulo semejate al primero. Cuáles so las logitudes de los segmetos e que dicha paralela divide al lado de 5 m?. Deseamos veder u coche, u piso y ua fica por u total de Si la fica vale veces más que el coche y el piso cico veces más que la fica. Cuáto vale cada cosa? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

75 76 Álgebra.. Resolució de iecuacioes de primer grado y su iterpretació gráfica Ua iecuació es ua desigualdad algebraica e la que aparece ua o más icógitas. El grado de ua iecuació es el mayor de los grados al que está elevadas sus icógitas. Así, + y + y so iecuacioes de primer grado, mietras que 5 es de segudo grado. Resolver ua iecuació cosiste e ecotrar los valores que la verifica. Éstos se deomia solucioes de la misma. Por ejemplo: + (, ] Iecuacioes equivaletes Dos iecuacioes so equivaletes si tiee la misma solució. A veces, para resolver ua iecuació, resulta coveiete ecotrar otra equivalete más secilla. Para ello, se puede realizar las siguietes trasformacioes: Sumar o restar la misma epresió a los dos miembros de la iecuació. 5 + < < 9 5 < 5 Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero positivo. 5 < 5 5 : 5 < 5 : 5 < Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero egativo y cambiar la orietació del sigo de la desigualdad. < ( ) ( ) > ( ) > (, +) Iecuacioes de primer grado co ua icógita Ua iecuació de primer grado co ua icógita puede escribirse de la forma: a > b, a b, a < b o bie a b. Para resolver la iecuació e la mayoría de los casos coviee seguir el siguiete procedimieto: º) Quitar deomiadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuació por el m.c.m. de los deomiadores. º) Quitar los parétesis, si los hay. º) Traspoer los térmios co a u miembro y los úmeros al otro. º) Reducir térmios semejates. 5º) Despejar la. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

76 77 Álgebra Ejemplo: 5 ( 8) , Actividades propuestas ( 5) ( 8) ( ) ( 5) ( 8) ( ) 6 6. Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a) 5 + < + b) c) 5 + > + d) Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a) ( + ) < (6 + 8) b) 7( + ) 5(6 + ) c) 9( + ) + (5 ) > ( + ) 6. Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a) 6 + < / + b) 5 + 5/ 9/ + c) ( + 5)/ > + d) ( + 5)/ + ( + 6)/ 7. Escribe ua iecuació cuya solució sea el siguiete itervalo: a) [, ) b) (, ) c) (, ] d) (, ) 8. Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguietes raíces: a) b) 9 c) 7 d) 7.. Resolució de iecuacioes lieales de segudo grado Ua iecuació de segudo grado co ua icógita puede escribirse de la forma: a + b + c > 0, empleado cualquiera de los cuatro sigos de desigualdad. Para resolverla, calculamos las solucioes de la ecuació asociada, las represetamos sobre la recta real, quedado por tato la recta dividida e tres, dos o u itervalo, depediedo de que la ecuació tega dos, ua o igua solució. E cada uo de ellos, el sigo del poliomio se matiee costate, por lo que bastará co determiar el sigo que tiee dicho poliomio para u valor cualquiera de cada uo de los itervalos. Para saber si las solucioes de la ecuació verifica la iecuació, bastará co sustituirla e la misma y comprobarlo. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

77 78 Álgebra Ejemplo: Represeta gráficamete la parábola e idica e qué itervalos es > 0. y = Observa e la gráfica que la parábola toma valores positivos etre y. La solució de la iecuació es: (, ). El puto o es solució, i tampoco el puto, pues el problema tiee ua desigualdad estricta, >. Si tuviera la desigualdad, , la solució sería: [, }. Si fuera < 0, la solució sería: (,) (, +). Si fuera , la solució sería: (,] [, +). Ejemplo: Las raíces de = 0 so = y = 5. (, ) (, 5) 5 ( 5, ) Sigo de si o si Por tato, la solució es (, ] [5, ) Actividades propuestas 9. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) 0 b) 0 c) 9 >0 d) + 0 e) 50 < 0 f) + 0 g) 5 5 > 0 h) Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) + 0 b) 5 > 0 c) 8 d) e) > 0 f)5 0 < 0 5. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) 0 b) c) > 0 d) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

78 79 Álgebra e) 5 < 0 f) > 0 g) h) Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) + 6 > 0 b) 0 c) 0 < 0 d) e) + + > 0 f) + 0 g) h) + 5 < 0 5. Calcula los valores de para que sea posible obteer las siguietes raíces: a) b) c) 5 6 d) Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) ( + 5)( 5) b) ( 5)( ) ( 0)( ) 50 c) 5 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

79 80 Álgebra. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuacioes lieales so ecuacioes e las que todas sus icógitas está elevadas a la uidad, o pudiedo aparecer el producto de dos de ellas. Es u cojuto de ecuacioes que debe verificarse para los mismos valores de las icógitas, llamadas solucioes. Resolver u sistema es ecotrar los valores que, sustituidos e las icógitas, cumpla todas las ecuacioes a la vez Se clasifica atediedo a criterios diversos: úmero de ecuacioes o de icógitas, tipo de las solucioes Los sistemas de ecuacioes lieales atediedo, al tipo de de solució, se clasifica e, los que tiee solució se llama compatibles y los que o, icompatible. Los compatibles puede ser Compatible determiado: si posee ua solució Compatible idetermiado: si posee más de ua solució (posee ifiitas) Sistemas de ecuacioes y posicioes de sus rectas e el plao: Vamos a repasar los tres métodos elemetales de resolució de sistemas lieales co dos ecuacioes y co dos icógitas que so: Ejemplo Resolveremos el siguiete sistema: + y = 8 Método de sustitució: El proceso cosiste e despejar ua cualquiera de las icógitas de ua cualquiera de las ecuacioes y sustituir e la otra. Despejamos por ejemplo, la y de la primera ecuació: Y sustituimos e la seguda: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

80 8 Álgebra + (5 ) = 8 = Y, por tato y = Método de Igualació: Se despeja la misma icógita e las dos ecuacioes, igualado posteriormete ambas epresioes. Despejamos, por ejemplo, la y e ambas ecuacioes: Igualado: + y = 8 y = 5 8 y = 8 5 Posteriormete, para hallar y se sustituye el valor ecotrado de e ua cualquiera de las dos ecuacioes iiciales, y se calcula el correspodiete valor de y. Método de reducció: Este método cosiste e trasformar algua de las ecuacioes e otras equivaletes de maera que al sumarlas o restarlas se elimie ua de las icógitas. Multiplicado la primera ecuació por, obteemos el sistema equivalete al siguiete: + y = 8 () + y = 8 7 = 7 = Gráficamete las ecuacioes co dos icógitas represeta e el plao ua recta. 8 E el caso aterior, la ecuació: y = 5 y la ecuació: y so dos rectas e el plao. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

81 8 Álgebra Ejemplo: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

82 8 Álgebra.. Resolució por el método de Gauss El método de Gauss está basado e el método de reducció tambié llamado de cascada o triagulació. La vetaja que tiee este método es que es fácilmete geeralizable a sistemas co cualquier úmero de ecuacioes y de icógitas. Este método cosiste e obteer, GAUSS: Fuete Google para u sistema de tres ecuacioes co tres icógitas, u sistema equivalete cuya primera ecuació tega tres icógitas; la seguda, dos; y la tercera ua. Se obtiee así u sistema triagular de la forma siguiete: Recuerda que: U sistema equivalete a otro cuado ambos tiee las mismas solucioes. So sistemas cuyas ecuacioes so complicadas, e su lugar resolvemos otro sistema que tega las mismas solucioes que el propuesto (sistema equivalete) y que sea de ecuacioes mucho más secilla A By Cz 0 B y C z 0 0 Cz D D D La resolució del sistema es imediata; e la tercera ecuació calculamos si dificultad el valor de z, llevamos este valor de z a la seguda ecuació y obteemos el valor de y, y co ambos valores calculamos el valor de e la primera ecuació. Ejemplo: Resuelve, aplicado el método de Gauss, el sistema: El proceso es el siguiete: + y + z = y z = + y + z =. Se elimia la icógita e las ecuacioes seguda y tercera, sumado a éstas, la primera ecuació multiplicada por y, respectivamete, quedado el sistema: + y + z = E E 0 y 8z = E + E 0 + 6y + 7z = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

83 8 Álgebra. Suprimimos la icógita y de la tercera ecuació sumado a la misma, previamete multiplicada por, la seguda multiplicada por 6: + y + z = 0 y 8z = E + 6E z = 9. Se resuelve el sistema escaloado empezado por la tercera ecuació: Ahora, e la seguda ecuació: Y, por último, e la primera: La solució del sistema es: 9 9z = 9 z = z 9 y 8 () = y y + ()+.= 0 = 0, y =, z = Geométricamete como cada ecuació lieal co tres icógitas represeta u plao, podemos decir que los tres plaos se corta e el puto (0,, ) que es el úico puto comú a los tres. Es u sistema compatible determiado... Discusió de sistemas aplicado el método de Gauss Discutir u sistema cosiste e eplicar razoadamete sus posibilidades de solució depediedo del valor de sus coeficietes y térmios idepedietes. E los sistemas escaloados la discusió se hace a partir de la ecuació más simple, que supodremos que es la última. Así, estudiado la tercera ecuació del sistema [], a z 5 b, se determia las posibilidades de solució del sistema iicial, verificádose: Partimos del sistema iicial a + a y + a z = b a + a y + a z = b a + a y + a z = b que trasformamos e otro equivalete a él, de la forma: (E) (E) (E) a + a y + a z = b (E) 0 + a y + a z = b (E ) a z = b (E ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

84 85 Álgebra Para ello se elimia la icógita de la ecuació seguda (E) y (E) y las icógitas e y de la tercera ecuació (E). Así, estudiado la tercera ecuació del sistema propuesto, a z = b, se determia las posibilidades de solució del sistema iicial, verificádose: Si a 0 el sistema es compatible determiado, pues siempre se puede ecotrar ua solució úica empezado a resolver el sistema por la tercera ecuació. Si a = 0 y b = 0 el sistema es compatible idetermiado, pues la ecuació E desaparece (queda 0z = 0, que se cumple para cualquier valor de z resultado así u sistema co dos ecuacioes y tres icógitas), el sistema aterior queda: a + a y + a z = b a + a y + a z = b a + a y = b a z a y + a z = b a y + a z = b a y = b a z 0z = 0 Para resolver este sistema hemos de supoer la icógita z coocida y hallar las otras e fució de ella. (E la práctica, suele hacerse z = k.) Si a = 0 y b 0 el sistema es icompatible, pues la ecuació E queda 0z = b 0, que evidetemete es absurda, pues cualquier valor de z multiplicado por 0 debe dar 0. Ejemplo: Discute y halla la solució del sistema: Utilizado el método de Gauss se tiee: + y + z = + y z = y + z = 6 + y + z = + y + z = + y + z = + y z = E + E 5y + z = 5y + z = y + z = 6 E - E 5y z = E + E 0z = 0 Como la ecuació E se ha aulado el sistema es compatible Idetermiado, ya que tiee meos ecuacioes que icógitas, tedrá ifiitas solucioes, pudiedo epresarlas todas e fució de ua de ellas. Este sistema es equivalete a: + y + z = + y = z 5y + z = 5y = z z Despejado y e E, resulta y =. Sustituyedo e E: 5 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

85 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra z z z z z Haciedo z = k, la solució es: k z k y k ; 5 ; 5 6 Geométricamete, las ecuacioes del sistema aterior represeta a tres plaos co ifiitos putos comues alieados segú ua recta. Actividades resueltas: Resolver por el método de Gauss el siguiete sistema de ecuacioes: 5 z y z y z y Elimiamos e la ª y ª ecuacioes. Para ello hacemos: E E y E E z y z y z y Elimiamos y e la ª ecuació, para ello hacemos: E E: z y z y La última ecuació 0 = es u absurdo que os dice que el sistema es icompatible, si solució. Geométricamete, los plaos que represeta a las ecuacioes o tiee igú puto e comú. Resuelve, aplicado el método de Gauss, el sistema: z y z y z y El proceso es el siguiete:. Se elimia la icógita e las ecuacioes seguda y tercera, sumado a éstas, la primera ecuació multiplicada por y, respectivamete: E E; E + E, quedado el sistema:

86 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra z y z y z y. Suprimimos la icógita y de la tercera ecuació sumado a la misma, previamete multiplicada por, la seguda multiplicada por 6: E + 6E z z y z y. Se resuelve el sistema escaloado empezado por la tercera ecuació: 9z = 9 z =. Ahora, e la seguda ecuació: y 8. = y = y = Y por último, e la primera: +. () + () = = + = 0. La solució del sistema es: = 0, y =, z =. Actividades propuestas 55. Resolver por el método de Gauss los sistemas: a) 5 5 z y z y z y b) z y z y z y 56. Resuelve y discute si es posible el siguiete sistema: z y z y z y 57. Discutir y resolver cuado sea posible, los siguietes sistemas lieales de ecuacioes. a) y z y z y b) t z y t z y t z y t z y

87 88 Álgebra.. Problemas de ecuacioes lieales Se puede platear problemas de la vida diaria que se puede resolver aplicado el método de Gauss, ya que da lugar a sistemas de más de dos ecuacioes e icógitas. Ates de resolver u problema vamos a dar uos cosejos que vedrá bie para su prota y eficaz resolució. Ejemplo: Averigua cuátos hombres, mujeres y iños hay e ua reuió sabiedo que: Si hubiera u iño más, habría igual úmero de iños que de hombres y mujeres jutos. Si hubiese 8 mujeres más, el úmero de éstas doblaría a la suma de hombres y iños. El triple de la catidad de hombres más el úmero de mujeres es igual al úmero de iños más 5. Si llamamos al úmero de hombres, al de mujeres y y al de iños z, obtedremos el sistema siguiete: z y y 8 ( z) y z 5 Pasamos las icógitas al º miembro y obteemos el siguiete sistema: y z y z 8 y z 5 Recuerda que: E la resolució del problema o importa tato llegar a obteer la solució del problema como el proceso seguido e el mismo, que es el que realmete os ayuda a poteciar uestra forma de pesar. Para empezar debemos familiarizaros co el problema, comprediedo el euciado y adquiriedo ua idea clara de los datos que iterviee e éste, las relacioes etre ellos y lo que se pide. E la fase de familiarizació co el problema se debe teer e cueta las pautas siguietes: Ates de hacer trata de eteder Tómate el tiempo ecesario. Actúa si prisa y co traquilidad Imagíate los elemetos del problema y juega co ellos Po e claro la situació de partida, la itermedia y a la que debes llegar. Buscar estrategias para resolver el problema y ua vez ecotrada llevarla adelate. Revisar el proceso y sacar cosecuecias de él: El resultado que hemos obteido, hacemos la comprobació y observamos que verifica las codicioes impuestas por el problema. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

88 89 Álgebra Vamos a resolverlo aplicado el método de Gauss: Elimiamos e la ª y ª ecuació. Para ello hacemos E E; E E y z 0 y z 6 0 y z La ª ecuació es simplificable, la dividimos por, quedado E/: y z y z 6 y z Elimiamos y e la ª ecuació. Para ello hacemos E+E: y z y z 6 z Obteemos así u sistema e forma escaloada muy secillo de resolver. De la ª ecuació obteemos el valor de z: z =. Sustituyedo z = e la ª ecuació: y + () = 6 y = 6 y = Sustituyedo los valores de y y de z obteidos e la ª ecuació: + = = Es u sistema compatible determiado co solució úica: = hombres, y = mujeres, z= iños. Comprobamos el resultado. E efecto u iño más,, es igual al úmero de mujeres más hombres, +. 8 mujeres más, 0, dobla al úmero de hombres y iños: ( + ). El triple de la catidad de hombres, 6, más el úmero de mujeres, 6 + = 8, es igual al úmero de iños más 5, + 5. Geométricamete so tres plaos que se corta e el puto (,, ) que es el úico puto comú a los tres. Actividades propuestas 58. Compramos 8 kg de café atural y 5 kg de café torrefacto, pagado 66. Calcula el precio del kilo de cada tipo de café, sabiedo que si mezclamos mitad y mitad resulta el kilo a Ua madre tiee el doble de la suma de las edades de sus hijos. La edad del hijo meor es la mitad de la de su hermao.la suma de las edades de los iños y la de la madre es 5 años. Qué edades tiee? 60. Deseamos veder u coche, u piso y ua fica por u total de Si la fica vale cuatro veces más que el coche y el piso cico veces más que la fica, cuáto vale cada cosa? 6. Las tres cifras de u úmero suma 8.Si a ese úmero se le resta el que resulta de ivertir el orde de sus cifras, se obtiee 59; la cifra de las deceas es media aritmética etre las otras dos. Halla dicho úmero. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

89 90 Álgebra.. Sistemas de iecuacioes lieales U sistema de iecuacioes lieales co dos icógitas es el cojuto de dos o más iecuacioes, que debe satisfacerse a la vez. Para su resolució, se procede de la maera siguiete: Se resuelve cada iecuació por separado. El cojuto solució del sistema, tambié llamado regió factible, está formada por las solucioes comues a todas las iecuacioes. Ejemplo: Tomemos como ejemplo el sistema de iecuacioes siguiete: y y º Represetamos la regió solució de la primera iecuació. Trasformamos la desigualdad e igualdad. + y = Damos a ua de las dos variables dos valores, co lo que obteemos dos putos. = 0; 0 + y = ; y = ; (0, ) = ; + y = ; y = ; (, ) Al represetar y uir estos putos obteemos ua recta. Tomamos u puto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos e la desigualdad. Si se cumple, la solució es el semiplao dode se ecuetra el puto, si o la solució será el otro semiplao. + y Sí El semiplao que está sombreado es la solució de la primera iecuació. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

90 9 Álgebra Hacemos lo mismo co la seguda iecuació: º Represetamos la regió solució de la seguda iecuació. + y = = 0; 0 + y = ; y = ; (0, ) = ; + y = ; y = 0; (, 0) Tomamos u puto, el (0, 0) por ejemplo y lo sustituimos e la iecuació, como o se cumple la desigualdad será el semiplao e el que o está el puto. + y No º La solució es la itersecció de las regioes solucioes. Actividades resueltas: Resuelve el siguiete sistema de iecuacioes: Cojuto de solucioes de la primera iecuació: y = y = +. Putos de corte de la recta co los ejes: = 0 y = + = A = (0, ) y = 0 0 = + = / B = (/, 0) Probamos co putos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la iecuació: (0, 0), y 0 SI Como se cumple la igualdad para el puto propuesto la regió factible es el semiplao al que perteece el puto referido. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

91 9 Álgebra Cojuto de solucioes de la seguda iecuació: + y = y = Putos de corte de la recta co los ejes: = 0 y = = C = (0, ) y = 0 0 = = D = (, 0) Probamos co putos a ambos lados de la recta para ver qué regió verifica la iecuació: (0, 0), + y < 0 < Como se cumple para el puto dado el semiplao elegido es e el que está el puto. El cojuto de solucioes del sistema, o regió factible, está formado por aquellos putos que cumpla ambas iecuacioes, por tato, la solució es la itersecció de ambos semiplaos: Actividades propuestas a) 6. Ecuetra la regió factible del sistema: 0 y 0 6 5y 0 y 8 6. Resuelve los siguietes sistemas de iecuacioes: y y y y 0 y b) y y 5 y 0 c) y 0 6 d) ( ) 0 6( ) ( 0) 6( ) 6 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

92 9 Álgebra CURIOSIDADES. REVISTA El orige del Álgebra El orige del Álgebra o está e Grecia, está e Bagdad, hacia el año 77, co su Casa de la Sabiduría, u observatorio y ua biblioteca. Los libros llegaba e distitas leguas y fue preciso traducirlos al árabe. Libros de todo tipo, cietíficos, filosóficos E esa época Bagdad era la ueva Alejadría goberada por el califa Harú al Raschid, que promovió la búsqueda de mauscritos. El matemático más importate fue al Jwarizmi. Si lees este ombre e voz alta te soará parecido a algoritmo, palabra que se deriva de él. Nació e lo que hoy es Uzbekistá. Escribió el primer libro de Álgebra,ربجلا) al Jabr) palabra que e árabe sigifica colocar, recompoer. Pretedía covertir lo oscuro e claro y lo complejo e simple. Cervates, e el Quijote, habla de u algebrista que arreglaba huesos rotos o dislocados. Hasta ahora se había trabajado co úmeros coocidos, pero al Jwarizmi dice esa cosa que busco, voy a ombrarla, pero como o la coozco, la llamaré cosa. Y cosa e árabe se dice chei. Lo que se hace e álgebra es utilizar la cosa, la icógita, como si se coociese, y se iteta descubrirla. La oció de ecuació se debe a al Jwarizmi. Co ellas o resuelve u problema umérico cocreto sio ua familia de problemas. Es ua igualdad etre dos epresioes dode al meos e ua de ellas hay ua icógita. Resolviero, él y sus seguidores, ecuacioes de primer, segudo y tercer grado. Álgebra elemetal es la parte del álgebra que se eseña geeralmete e los cursos de Matemáticas, resolviedo ecuacioes y como cotiuació de la aritmética. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Álgebra abstracta es el ombre dado al estudio de las estructuras algebraicas. Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

93 9 Álgebra Historia del Álgebra e Europa E el siglo XIII Leoardo de Pisa, hijo de Boaccio, Fiboacci, apredió árabe. Escribió Liber abaci, y trajo las cifras árabes (o hidúes) a Europa. E 9 Luca Pacioli escribió la primera obra de álgebra impresa. No aporta coocimietos uevos pero recoge los coocidos. Llamaba cosa a la icógita. Hasta Tartaglia (99 557) o se vuelve sobre problemas como la solució de ecuacioes de tercer grado. E u desafío se propoe problemas como estos: Ecuetra u úmero que sumado a su raíz cúbica de 6 Reparte 00 moedas etre dos persoas sabiedo que a la primera le correspode la raíz cúbica de la seguda Se presta u capital co la codició de que se devuelva a fial de u año co uos itereses de la raíz cúbica del capital. Se devuelve 800 moedas, cuáto se prestó E 57 Raffaelle Bombelli publica Álgebra, dode empieza a maejar los úmeros complejos. Euler (707 78) ombra a la uidad imagiaria co la letra i. Se resuelve ecuacioes por radicales (como sabes resolver la ecuació de segudo grado). So ecuacioes algebraicas formadas por poliomios de primer, segudo, tercer grado. Se discute sobre el úmero de solucioes, etrañádose de que ua ecuació de tercer grado pudiera teer más de ua solució. Fue Karl Gauss ( ) quie, co el teorema fudametal del álgebra, dejó resuelto ese problema del úmero de solucioes de ua ecuació algebraica: Ua ecuació algebraica de grado tiee siempre raíces e el campo complejo. Niels Herik Abel (80 89) demostró la imposibilidad de resolver por radicales la ecuació geeral de quito grado. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

94 95 Álgebra RESUMEN Noció Descripció Ejemplos Poliomio Grado de u poliomio Suma, resta y producto de poliomios Epresió costruida a partir de la suma de moomios El mayor grado de sus moomios 8 6 Grado El resultado siempre es otro poliomio p = + 6 ; q = +. p + q = + 0; p q = + ; p q = Divisió de dos poliomios Se obtiee otros dos poliomios, los poliomios cociete (c()) y resto (r()), ligados a los poliomios iiciales, los poliomios dividedo (p()) y divisor (q()) Regla de Ruffii Nos puede ayudar a la hora de factorizar u poliomio y coocer sus raíces Teorema del resto El valor umérico que adopta u poliomio p () al particularizarlo e coicide co el resto que aparece al dividir p () etre. Raíz de u poliomio Factorizació de u poliomio p( ) q( ) c( ) r( ) U úmero real cocreto es ua raíz, o u es raíz de + 6. y so cero, del poliomio p, si al evaluar p e raíces de obteemos el úmero 0, es decir, si p ( ) 0 Cosiste e epresarlo como producto de otros poliomios de meor grado 5 ( ) ( ) Fraccioes algebraicas Resolució de ecuacioes de º grado Resolució de ecuacioes de segudo grado Resolucioes de iecuacioes de º grado Resolució de iecuacioes de º grado Sistemas de ecuacioes lieales, por el método de Gauss Sistemas de iecuacioes lieales Es ua fracció de epresioes poliómicas 6 So igualdades algebraicas co ua sola 7( ) 5 icógita y de grado uo. 6 Igualdades algebraicas co ua sola icógita y 5 elevada al cuadrado. Cuya solució es: = ; =5 Desigualdades algebraicas co ua sola ( 7) icógitas de grado uo 6 Desigualdades algebraicas co ua sola > 0 su solució es el icógita, elevadas al cuadrado. itervalo (, 5). Los sistemas de ecuacioes lieales so ecuacioes e las que todas sus icógitas está elevadas a la uidad, o pudiedo aparecer el producto de dos de ellas. Resolució por el método de Gauss. Los sistemas de iecuacioes lieales so iecuacioes e las que todas sus icógitas está elevadas a la uidad. + y + z = - - y - z = - + y + z = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

95 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 96 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Poliomios:. Estudia si hay úmeros reales e los que las siguietes epresioes o puede ser evaluadas: a) 6) ( ) ( 9 7 b) c) 9 d) 5 y y. Calcular cuáto debe valer la letra m para que el valor umérico de la epresió algebraica siguiete sea para = 0. ) )( ( m m. Cosideremos los poliomios 5 ) ( p, 6 5 ) ( q y 7 5 ) ( r. Realiza las siguietes operacioes: a) r q p b) q p c) r p d) q r p. Efectúa las divisioes de poliomios: a) etre 5 b) etre 5 5. Señala si efectuar la divisió, si las siguietes divisioes so eactas o o: a) b) 5 c) Costruye u poliomio de grado tal que el úmero sea raíz suya. 7. Escribe dos poliomios de grados diferetes y que tega e comú las raíces y. 8. Costruye u poliomio de grado tal que tega úicamete dos raíces reales. 9. Ecuetra u poliomio ) ( q tal que al dividir ) ( 6 p etre ) ( q se obtega como poliomio resto 5 5 ) ( r. 0. Halla las raíces eteras o racioales de los siguietes poliomios:

96 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 97 a) 6 b) 6 c) d) 6. Descompó los siguietes poliomios como producto de poliomios irreducibles: Realiza las operacioes etre fraccioes algebraicas: :. Aaliza si los siguietes poliomios ha surgido del desarrollo de potecias de biomios, o triomios, o de u producto suma por diferecia. E caso afirmativo epresa su procedecia y y y. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible: a) ) (5 6 ) (5 b) y y y y c) 5. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible: a) : b) a a a a a a : c) b a ab b a b a b a b a : 6. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible:

97 98 Álgebra a) a a y y : a y a y b) : c) y y y 5 y Ecuacioes, iecuacioes y sistemas: 7. Resolver las ecuacioes siguietes: a) 5 9 b) c) 8. Resolver las siguietes ecuacioes idicado cuatas solucioes tiee y cuales so: 6 7 a) 5 8 b) 8 0 c) d) ( 5) El cateto mayor de u triágulo rectágulo es ua uidad mayor que el cateto meor. La hipoteusa es tres uidades mayor que el cateto meor. Se pide: a) Escribir la epresió algebraica que resulta de aplicar el Teorema de Pitágoras. b) Calcula la hipoteusa y los catetos. 0. E ua competició de balocesto a doble vuelta participa doce equipos. Cada partido gaado vale putos y los partidos perdidos, puto (o puede haber empates). Al fial de la competició, u equipo tiee 6 putos. Cuátos partidos ha gaado?. Ua caja de forma cúbica se llea co cierto úmero de cubitos de u cetímetro cúbico y sobra 7 cubitos; pero si todos los cubitos que hay se poe e otra caja que tiee u cetímetro más por cada arista, falta 00 para llearla. Calcula las logitudes de las aristas de las dos cajas y el úmero de cubitos que hay.. Las tres cifras de u úmero suma 8. Si a ese úmero se le resta el que resulta de ivertir el orde de sus cifras, se obtiee 59; la cifra de las deceas es la media aritmética etre las otras dos. Halla el úmero.. Queremos averiguar las edades de ua familia formada por los padres y los dos hijos. Si sumamos sus edades de tres e tres, obteemos 00, 7, 7 y 98 años, respectivamete. Cuál es la edad de cada uo de ellos?. Resuelve: 5 a) 9 b) 7 5 c) 7 7 ( ) 9 6 d) e) f) Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguietes raíces: a) 6 b) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

98 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Álgebra 99 c) 5 d) 6 6. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) 8 < 0 b) c) d) e) 9 > 0 f) 6 9 < 0 g) 9 6 < 0 h) Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) b) c) < 8 d) 0 e) 7 + < 0 f) Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a) 5 0 b) 7 > 0 c) < 0 d) Calcula los valores de para que sea posible obteer las siguietes raíces: a) + b) + c) d) 5 + e) 6 f) g) 0. Resuelve los siguietes sistemas por el método de Gauss y discute el resultado: a) z y y z y d) z y t z y t z t y b) 6 5 z y z y z y e) y z y z y c) z y z y z y f) 5 6 t z y t z y t z y t z y

99 00 Álgebra AUTOEVALUACIÓN. El valor umérico de la epresió 7 5y 6 e, y, z es: y z a) 7 b) 5 c) d) 5. Al dividir el poliomio 5 p ( ) etre q ( ) el poliomio resto resultate: a) debe ser de grado. b) puede ser de grado. c) debe ser de grado meor que. d) igua de las opcioes precedetes.. Todo poliomio co coeficietes eteros de grado tres a) tiee tres raíces reales. b) tiee más de tres raíces reales c) tiee tres raíces complejas. Es posible que u poliomio, co coeficietes eteros, de grado cuatro tega eactamete tres raíces reales, ya sea diferetes o co algua múltiple? 5. Tiee como solució = la iecuació siguiete: a) < b) > c) d) + < 5 6. La ecuació tiee de solucioes: a) (, ) b) [, ] c) (,) (, +) d) (,] [, +) 7. La solució de la iecuació 7 8 es: a) [, ] b) (, ] c) (, ) d) [, ) 8. Las solucioes posibles de 5 9 so: a) < 9/5 b) > 9/5 c) 9/5 d) 9/5 9. La solució de la iecuació es: a) (, ) b) (, ) c) < > d) (, ) 0. Justifica la veracidad o falsedad de cada ua de las siguietes frases: a) La regla de Ruffii sirve para dividir dos poliomios cualesquiera. b) La regla de Ruffii permite dictamiar si u úmero es raíz o o de u poliomio. c) La regla de Ruffii solo es válida para poliomios co coeficietes eteros. d) La regla de Ruffii es u algoritmo que os proporcioa todas las raíces de u poliomio. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

100 MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

101 0 Sucesioes Ídice. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. DEFINICIONES.. FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN.. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.. TIPOS DE SUCESIONES: CONVERGENTES, DIVERGENTES Y OSCILANTES.5. SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.6. MONOTONÍA Y ACOTACIÓN.7. APLICACIONES DE LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.. REFLEXIONES SOBRE EL INFINITO.. CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES DE SUCESIONES.. EL NÚMERO e.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMO Resume Qué tiee e comú coceptos ta dispares como el úmero de coejos hijos egedrados por ua pareja de coejos, la estructura de u copo de ieve o el iterés que obteemos al depositar determiada catidad de diero e ua etidad fiaciera? Detrás de estos casos os ecotramos co el cocepto de sucesió. Las sucesioes uméricas tiee gra importacia y utilidad e muchísimos aspectos de la vida real, alguo de los cuales irás descubriedo a lo largo de este capítulo. Además refleioamos sobre el ifiito, qué se etiede por límite de ua sucesió? Ya los griegos se pregutaba si algo co u úmero ifiito de sumados podía dar u resultado fiito, como e la célebre Paradoja de Aquiles y la tortuga. E el capítulo de úmeros reales hemos mecioado al úmero e. Ahora lo vamos a defiir y aalizaremos alguas de sus aplicacioes. Lo utilizaremos para trabajar co los logaritmos y sus propiedades. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

102 0 Sucesioes. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes Ua sucesió de úmeros reales es ua secuecia ordeada de úmeros. Ejemplo: Las siguietes secuecias so sucesioes: a),,,, 5, 6, b),, 6, 8, 0,, c),,,,,, Defiició: Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació etre los úmeros aturales y los úmeros reales: f: N R Ejemplo: a E el ejemplo aterior, la sucesió,, 6, 8, 0,, la podemos ver como: 6 8 auque la otació que usamos ormalmete para decir que a le correspode es utilizar el térmio geeral de ua sucesió: b =. f: N R b = de la misma forma la sucesió,,,,,,... se puede escribir como: 5 6 f: N R c = / Se llama térmio de ua sucesió a cada uo de los elemetos que costituye la sucesió. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

103 0 Sucesioes Ejemplo: E la sucesió a) tedríamos que: a 5 = 5, ya que es el térmio de la sucesió que ocupa el quito lugar. E la sucesió b), el tercer térmio, se deotaría b y correspodería al 6 E la sucesió c), por ejemplo c = Lo realmete importate a la hora de ombrar los térmios de ua sucesió es el subídice porque deota el lugar que ocupa e la sucesió. Las letras co las que se desiga la sucesió so distitas para sucesioes distitas y suele ser letras miúsculas. Auque ua sucesió es ua fució, usualmete o se utiliza la otació de fució sio que úicamete se escribe su térmio geeral. Se llama térmio geeral de ua sucesió al térmio que ocupa el lugar ésimo y se escribe co la letra que deote a la sucesió (por ejemplo a) co subídice : (a ) Ejemplo: E los casos que estamos cosiderado, los térmios geerales de las sucesioes so: a =, b = y c = /. Actividades resueltas E las sucesioes ateriores, observamos que: a 05 = 05, b = 6 y c 7 = 7 Actividades propuestas. Escribe los diez primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) 7, 0,, 6, b), 5, 0, 7, c),, 5, 7, d) 0,, 8, 5,. Escribe el térmio que ocupa el lugar 00 de cada ua de las sucesioes ateriores.. Sabemos que u cuerpo co desidad suficiete que cae libremete sobre la Tierra tiee ua velocidad que aumeta 9 8 m/s. Si e el primer segudo su velocidad es de 0 m/s, escribe e tu cuadero la velocidad e los segudos idicados e la tabla. Observas algua regla que te permita coocer la velocidad al cabo de 0 segudos? Represeta gráficamete esta sucesió. Tiempo e segudos 0 Velocidad e m/s 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

104 05 Sucesioes.. Formas de defiir ua sucesió Eiste varias formas de defiir ua sucesió:. Dado ua propiedad que cumpla los térmios de esa sucesió Ejemplo: Sucesió de los úmeros pares:,, 6, 8, 0, Sucesió de los úmeros primos:,, 5, 7,,.. Sucesió de los úmeros aturales acabados e 7: 7, 7, 7, 7,... Sucesió de los cuadrados de los úmeros aturales:,, 9, 6, Sucesió de los cubos de los úmeros aturales:, 8, 7, 6,. Dado su térmio geeral o térmio ésimo: Es ua epresió algebraica e fució de. Ejemplo: a = + 5 Sabiedo esto, podemos costruir los térmios de la sucesió si más que sustituir por los úmeros aturales. Así, tedríamos: a = + 5 = 6 a = + 5 = 9 a = + 5 = a = + 5 =.. d = () d = () = d = () = d = () = d = () = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

105 06 Sucesioes. Por ua ley de recurrecia: Es ua epresió que permite obteer u térmio a partir de los ateriores. Ejemplo: La sucesió:,,,, 5, 8,,,, coocida como Sucesió de Fiboacci se obtiee co la siguiete ley de recurrecia: a = a =, a = a + a Es decir, cada térmio, salvo los dos primeros, se obtiee como suma de los dos ateriores.. No siempre se puede defiir la sucesió por los métodos ateriores Ejemplo: La sucesió formada por las cifras decimales de :,,, 5, 9,, Forma ua sucesió pero igoramos la propiedad, la fórmula del térmio geeral o la ley de recurrecia que os permita, por ejemplo, coocer la cifra que ocupa el lugar u trilló. Hoy, co ayuda de los ordeadores, ya sabes que se ha logrado coocer muchas de las cifras de, e 0 más de dos billoes. Actividades resueltas Sea la sucesió de térmio geeral: a = +. Sus cico primeros térmios so: a = 6, a = 8, a = 0, a =, a 5 =. Dada la sucesió e forma recurrete: a =, a = a + Sus cuatro primeros térmios so: a = (ya viee dado), a = + =, a = + = 5, a = 5 + = 7 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

106 07 Sucesioes Actividades propuestas. Escribe los cuatro primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) a = + b) b = c) c =, c = c + d) d =, d = 5, d = d + d 5. Escribe la epresió del térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) {,,,,,,,, } b) {0,, 8, 5,, 5, } c) {,, 6, 8, 0, } d),, , 7 9, 6, E ua sucesió el primer térmio es 5 y los demás se obtiee sumado al térmio aterior. Hallar los 0 primeros térmios de la sucesió. 7. Escribe el térmio geeral de las sucesioes: a) 6, 8, 5, 6, b),, 5/, 6/, 7/5, c) 7, 0 7, 0 07, 0,007, d), 5, 8,, 5, 8. U satélite artificial se puso e órbita a las 0 horas y 0 miutos. Tarda e dar ua vuelta completa a su órbita 90 miutos. A) Completa e tu cuadero la tabla adjuta. B) Escribe ua epresió geeral que te permita coocer la hora e que ha completado la vuelta ésima. C) Busca ua epresió que te permita coocer la hora e fució de la hora de la órbita aterior. D) Busca ua epresió que te permita coocer la hora e fució de la primera. E) Cuátas vueltas completas habrá dado 0 días más tarde a las 9 horas? Nº de órbitas 5 6 Hora e la que la ha completado Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

107 08 Sucesioes.. Progresioes aritméticas y geométricas Ya cooces de cursos ateriores dos tipos de sucesioes, las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas. Recuerda que: Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros reales e la que la diferecia etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. A esta costate se le llama diferecia de la progresió y se suele deotar co la letra d. Es decir, cada térmio se obtiee sumado al aterior la diferecia, d: Ejemplo: a + = a + d Si a = y d = los cico primeros térmios de la progresió aritmética so: a =, a = a + d = + = 5 a = a + d = 5 + = 8 a = a + d = 8 + = a 5 = a + d = + = Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es costate. A esta costate se deomia razó de la progresió y se suele deotar co a la letra r. Es decir, r siedo u úmero atural y siempre que a sea distito de cero. a O lo que es lo mismo, cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por la razó r: Ejemplo: a + = a r U padre plaea meter e ua hucha el día que su hijo recié acido cumpla u año y duplicar la catidad e cada uo de sus cumpleaños. Cuáto debe meter e la hucha el día que su hijo cumple 5 años? La sucesió cuyos térmios so el diero que mete e la hucha cada año es: {,,, 8, 6, }. Cuado cumple 5 años debe meter e la hucha 6 euros. Observamos que los térmios de la sucesió va aumetado de forma que cada térmio es el aterior multiplicado por. Este tipo de sucesioes se llama progresioes geométricas. Recuerda que: El térmio geeral de ua progresió aritmética es: a = a + ( ) d El térmio geeral de ua progresió geométrica es: a = a r Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

108 09 Sucesioes La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética viee dada por: S ( a a El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dado por: a P = a = a r La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dada por: r a a S = = ( a r ) siempre que r. r r Actividades resueltas El térmio 5 de la progresió aritmética co a = 7 y d = es: ). a 5 = a + (5 ) d = 7 + = 7 + = 9. La suma de los 5 primeros térmios de esa progresió es: 5 ( a a5 ) 5(7 9) S El térmio 5 de la progresió geométrica {,,, 8, 6, } es: a 5 = a r 5 = = 6 El producto de los 5 primeros térmios de esa progresió es: P 5 = a a (6) La suma de los 5 primeros térmios de esa progresió es: Actividades propuestas r a a 6 S =. r 9. Escribe los primeros térmios de las sucesioes siguietes e idica si so progresioes aritméticas, progresioes geométricas o de otro tipo. a) a = b) a = c) a = ( ) d) a 0. E las sucesioes del problema aterior que sea progresioes aritméticas, calcula la suma de los 6 primeros térmios.. E las que sea progresioes geométricas, calcula el producto de los 6 primeros térmios y la suma de los 6 primeros térmios. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

109 0 Sucesioes.. Tipos de sucesioes: covergetes, divergetes y oscilates Actividad resuelta Teemos e la mao u cuadrado de papel de área. Cortamos las cuatro esquias por los putos medios de los lados. El uevo cuadrado, qué área tiee? Dejamos los recortes ecima de la mesa. Qué área de recortes hay sobre la mesa? Co el uevo cuadrado que teemos e la mao efectuamos la misma operació de cortar las cuatro esquias y dejarlas sobre la mesa, y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Y los recortes que queda sobre la mesa? Halla la suma de las ifiitas áreas de recortes así obteidas. El área del primer cuadrado os dice que mide u. Al cortar las cuatro esquias el uevo cuadrado tiee u área de / u. Dejamos sobre la mesa las cuatro esquias, por lo que estamos dejado sobre la mesa u área / u. Volvemos a cortar las cuatro esquias, y así sucesivamete. E la mao teemos las siguietes áreas:, /, /, /8, Teemos cada vez meos papel e la mao. Algua vez os quedaremos si ada de papel e la mao? Si siempre cortamos la mitad de lo que os queda, uca llegamos a teer 0. Ecima de la mesa vamos dejado las siguietes áreas: /, / + /, / + / + /8 + Y la catidad de papel que teemos sobre la mesa? Sumamos y sumamos trocitos de papel, pero uca tedremos más del iicial,, y i siquiera llegaremos uca a teer. Actividades resueltas Hay sucesioes como la progresió geométrica, /, /, /8, /6, de razó /, co térmio geeral: a = (/) que se acerca a u cierto úmero real, auque puede ocurrir que uca llegue a alcazarlo. Esta progresió geométrica tiede a 0. Decimos etoces que es covergete, que coverge a 0, o que su límite es 0: lím a lím 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

110 Sucesioes La sucesió a i, o coverge a. es covergete, tiee como límite lím a lím i Otras sucesioes como la progresió geométrica,,,,,, de razó, co térmio geeral a = () + o se acerca a u úico valor, sio que oscila etre y. No tiee límite. Se dice que es ua sucesió oscilate. Otras sucesioes, como la progresió geométrica,, 8, 6, de razó, co térmio geeral a = o se acerca a u úmero real, sio que crece y crece idefiidamete. No tiee límite. No es covergete. Al aumetar los valores de la sucesió puede superar a cualquier úmero por grade que éste sea. Se dice que su límite es ifiito y que la sucesió es divergete. lím a lím. Recuerda que: Las sucesioes puede ser covergetes, si tiee como límite u úmero L, divergetes, si tiede a ifiito, y oscilates..5. Mootoía y acotació Actividades resueltas La sucesió,, 8, 6, es moótoa creciete pero o está acotada. La sucesió,,,,,, o es moótoa, pero si está acotada. La sucesió, /, /, /8, /6, es moótoa decreciete y está acotada. La sucesió /, / + /, / + / + /8 + es moótoa creciete y está acotada. A la vista de estos ejemplos vamos a defiir cuádo ua sucesió es moótoa y cuádo está acotada. Defiició: Ua sucesió a está acotada si eiste k tal que a < k para todo. Defiició: Ua sucesió a es moótoa creciete e setido estricto si para todo se verifica que a < a +. Ua sucesió a es moótoa decreciete e setido estricto si para todo se verifica que a > a +. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

111 Sucesioes.6. Suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica Actividades resueltas E la actividad resuelta del apartado aterior vimos que la catidad de papel que dejábamos sobre la mesa: a = / + / + /8 + + /, se aproimaba a tato como quisiéramos, pero uca iba a ser. Esto es ua idea difícil! Los griegos tardaro e comprederla. Puedes leer sobre ello e la revista la Paradoja de Zeo de Aquiles y la tortuga. No compredía cómo ua suma ifiita, es decir, co ifiitos sumados, podía dar u resultado fiito, e uestro caso,. Recuerda que: lím Este resultado ya lo cooces de º de ESO. Vamos a revisar lo que ya cooces: A) Suma de u úmero ilimitado de térmios cosecutivos de ua progresió geométrica Depediedo del valor de r será posible o o obteer la suma de u úmero ilimitado de térmios: a) Si r =, la progresió es la progresió costate formada por el primer térmio: {a, a, a, a } y si a es positivo la suma de los térmios será cada vez mayor. Si fuera a egativo sería la suma cada vez mayor e valor absoluto, pero egativa. Por tato, si el úmero de térmios es ilimitado, esta suma es ifiita. Es divergete. b) Si r >, los térmios crece idefiidamete y el valor de la suma para u úmero ilimitado de térmios, tambié es ifiito. Es divergete. c) Si r <, la suma de sus térmios se aproima, cuado es grade, a a S r. Observamos que la suma o depede del úmero de térmios, ya que al hacerse cada vez más pequeños, llega u mometo e que o se cosidera. Es covergete. d) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos: {a, a, a, a, } y S es igual a cero si es par, e igual a a si es impar. La suma de la serie oscila etre esos dos valores para u úmero fiito de térmios. Para u úmero de térmios ilimitado o sabemos si es par o impar, co lo que la suma o se puede realizar a o ser que a 0, caso e que a S 0. E el resto de r los casos decimos que la suma de ifiitos térmios o eiste pues su valor es oscilate. e) Si r <, los térmios oscila etre valores positivos y egativos, creciedo e valor absoluto. La suma de sus ifiitos térmios o eiste pues su valor tambié es oscilate. E resume, La suma de u úmero ilimitado de térmios de ua progresió geométrica de primer térmio o ulo sólo toma u valor fiito si r <, y etoces viee dada por: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

112 Sucesioes a S. r E el resto de los casos, o vale ifiito y es divergete, o o eiste pues oscila. Actividades resueltas Calcula la suma de todos los térmios de la progresió geométrica cuyo primer térmio es y la razó /. a S = r E ua progresió geométrica la razó es / y la suma de todos sus térmios es 8. Cuáto vale el primer térmio? Despejamos a de: Actividades propuestas = 8 a S y: a = S ( r) = 8 ( /) = 6 r. Calcula la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 6,, /, /,. Teemos u cuadrado de área e la mao, y lo cortamos por las líeas de putos como idica la figura. El trozo mayor lo dejamos sobre la mesa y os quedamos e la mao co el cuadrado, al que volvemos a cortar de la misma forma. Y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Crece o dismiuye? Escribe el térmio geeral de la sucesió de áreas que teemos e la mao. Y los recortes que queda sobre la mesa? Crece el área sobre la mesa o dismiuye? Vamos sumado áreas, calcula la suma de estas áreas si hubiéramos hecho ifiitos cortes.. El error de Euler: Euler fue u gra matemático, pero se ecotró co el siguiete problema. Quizás tú seas capaz de ayudarle a resolverlo. Hizo la siguiete suma, dode r es u úmero positivo: r r... r... r r r a Primero sumó la primera parte, aplicado la fórmula S : r r r r r r r r r r Luego la seguda: r r... r... r Y al sumar ambas obtuvo: 0, que evidetemete está mal pues la suma de ifiitos r r úmeros positivos o puede ser 0. Dóde está el error? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

113 Sucesioes.7. Aplicacioes de las progresioes geométricas Fracció geeratriz El curso pasado estudiaste cómo pasar de u decimal periódico puro o periódico mito a ua fracció. Ahora vamos a utilizar las progresioes geométricas para que compredas mejor el proceso. Ejemplo: Si teemos u úmero decimal periódico puro, lo podemos escribir como: '7 = O lo que es lo mismo: suma ifiita vale: S dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <, cuya 00 a. Por tato: r = = + = + = Si teemos u úmero decimal periódico mito, se utiliza u proceso similar: O lo que es lo mismo: 8 = E este caso, los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = 0 <. Por tato: = = + + = Nota Co este proceso estamos ilustrado el cocepto de fracció geeratriz como aplicació de las progresioes geométricas, pero a efectos prácticos, es más cómodo efectuarlo segú el proceso que ya cooces. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

114 5 Sucesioes Capitalizació compuesta Ya cooces el iterés compuesto pero vamos a revisarlo a la vista de las progresioes geométricas. Si depositamos e ua etidad fiaciera ua catidad de diero C 0 durate u tiempo t y u rédito r dado e tato por uo, obtedremos u beeficio I = C 0 r t llamado iterés. La pricipal característica de la capitalizació compuesta es que los itereses que se geera e u año, pasa a formar parte del capital iicial y produce itereses e los periodos siguietes. Etoces: Al fial del primer año, el capital será el capital iicial C 0 juto co los itereses producidos durate ese año. Es decir: C = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C 0 ( + r) Al fial del segudo año, el capital que tedremos será el capital que teíamos al fializar el primer año más los itereses producidos ese segudo año. Es decir: C = C + C r = C ( + r) = C 0 ( + r) ( + r) = C 0 ( + r) Observado los capitales obteidos: C, C,, C cocluimos que se trata de ua progresió geométrica de razó ( + r). Por tato: El año ésimo, tedremos: El capital fial obteido después de años dado u capital iicial C 0 y u rédito r dado e tato por uo, es: C = C 0 ( + r) Actividades resueltas Veamos la fracció geeratriz de, 5 como aplicació de las progresioes geométricas. O lo que es lo mismo:, 5 = + 0,5 + 0, , dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <, cuya 00 suma ifiita vale: a S. Por tato: r = = + = + = = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

115 6 Sucesioes Depositamos e u baco 500 al 5 % de capitalizació compuesta durate tres años. Cuáto diero tedríamos al fializar el tercer año? Utilizamos la epresió: C t = C 0 ( + r) t dode C 0 = 500, r = 0,05 pues es el tato por uo y t = años. Por tato: C t = C 0 ( + r) t = 500( ) = Actividades propuestas 5. Calcula la fracció geeratriz del úmero U empresario acude a ua etidad fiaciera para iformarse sobre cómo ivertir los 6000 de beeficios que ha teido e u mes. Le platea dos opcioes: Mateer ese capital durate 5 años al 5 % aual o recibir el 5 % del capital durate los dos primeros años y el % los tres años restates. Qué opció le iteresa más? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

116 7 Sucesioes. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.. Refleioes sobre el ifiito Cuado e el uso de los pricipios del etedimieto o os limitamos a aplicar uestra razó a objetos de la eperiecia, sio que os atrevemos a etederla más allá de los límites de ésta, se origia demostracioes que o espera cofirmació e la eperiecia i puede teer refutació El ifiito, como igú otro problema, siempre ha comovido profudamete el alma de los seres humaos. El ifiito como igua otra idea, ha teido ua ifluecia estimulate y fértil e la mete. Pero el ifiito ecesita, más que igú otro cocepto, clarificarse David Hilbert Vamos a refleioar u poco sobre el ifiito matemático. Refleió : U juego Dos amigos u poco aburridos, Daiel y Jorge, decide jugar a u juego que cosiste e que Daiel escriba úmeros y Jorge los borre. El procedimieto propuesto por Daiel es: A las cico meos u miuto yo escribo los úmeros y, y tú borras el. A las cico meos medio miuto yo escribo y, y tú borras el. A las cico meos u tercio de miuto yo escribo 5 y 6 y tú borras el. Y así sucesivamete. Naturalmete juega co la imagiació. Daiel preguta a Jorge: A las cico meos ua cetésima de miuto, cuátos úmeros te quedará por borrar? Y a las cico meos ua milloésima de miuto? E qué mometo borrarás el úmero 000? Hay algú úmero que o puedas borrar ates de las cico? Ayuda a Jorge a respoder. Refleió : El hotel ifiito Para el dueño de u hotel es u disgusto teer que decir a u cliete que o le queda habitacioes. Pero, qué ocurriría si el hotel tuviera ifiitas habitacioes umeradas,,,,? Imagia que el hotel está completo y llega u uevo cliete, cómo lo alojarías? Muy fácil. El dueño pasa al cliete de la habitació a la, al de la a la, al de la a la y de este modo le queda libre la habitació. Y si llegara 00 clietes más? Y si mil? Muy fácil, Pasa al cliete a la habitació 0 dejado libres las 00 primeras habitacioes. E el segudo pasa al cliete de la habitació a la habitació 00 dejado libres las 000 primeras habitacioes. Y si llegara tatos clietes como hay? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

117 8 Sucesioes E el último caso tiee que pesar u poco más. Ya está! Pasa al cliete a la habitació, al a la habitació =, al a la habitació = 6, y así sucesivamete. Le queda ocupadas las habitacioes pares y libres todas las impares. Refleió : La tabla de Caratheodory Teemos la siguiete tabla ifiita: 0 / / /8 /6 / 0 / / /8 / / 0 / / /8 / / 0 / /6 /8 / / 0. Sabemos que e ua tabla, si sumamos primero todas las filas y luego por columas, os debe dar lo mismo que si primero sumamos todas las columas y luego las filas. Pero esta tabla es ifiita. Mira lo que sale! Al sumar por filas, ya sabemos que la primera fila suma. Ve sumado las otras filas y luego los resultados de las sumas por filas. Ahora empieza a sumar por columas. Y luego los resultados de las sumas por columas. Por último suma por diagoales. Te sorprede el resultado? Cojutos fiitos y cojutos ifiitos Los cojutos fiitos tiee propiedades que o tiee los cojutos ifiitos. Al refleioar sobre las cuestioes ateriores te habrás dado cueta que propiedades muy evidetes de los cojutos fiitos, o las cumple los cojutos ifiitos. U cojuto A es fiito si o es posible establecer ua correspodecia biuívoca etre A y ua parte de A, distita del propio A. Al úmero de elemetos de u cojuto fiito lo llamamos su cardial. Pero como hemos visto e el hotel co ifiitas habitacioes, e u cojuto ifiito podemos establecer ua correspodecia biuívoca etre el cojuto de los úmeros aturales, N, y el cojuto de los úmeros pares, P, que es ua parte de los aturales y distita de N. Co el Hotel ifiito hemos visto que + =, + 00 =, = e icluso + =. El cardial de los úmeros aturales se deomia ifiito umerable y es el mismo que el de los úmeros eteros, Z, y el de los úmeros racioales, Q. Si embargo el ifiito de los úmeros irracioales y el de los úmeros reales es mucho mayor, es la potecia del cotiuo. No es posible establecer ua correspodecia biuívoca etre los úmeros racioales y los úmeros reales del itervalo (0, ). Co la Tabla de Caratheodory hemos comprobado que hay otras propiedades que o se verifica. No se verifica la propiedad asociativa, y al agruparlos de distitas formas se obtiee resultados diferetes. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

118 9 Sucesioes.. Cálculo de alguos límites No hay u procedimieto geeral e ifalible que permita coocer si ua sucesió es covergete y calcular su límite. E el capítulo dedicado a límite de fucioes aprederás co mayor rigor el cocepto de límite de ua fució (las sucesioes so fucioes) y uevos procedimietos que podrá servirte para calcular el límite de las sucesioes, pero tedrás que teer cuidado co que las sucesioes o so fucioes cotiuas. La represetació gráfica de ua sucesió, al ser ua aplicació de los úmeros aturales e los úmeros reales, está formada por putos sueltos. Ya hemos calculado alguos límites como: La sucesió /, /, /8,, /, tiee u úmero ifiito de térmios, pero tiee límite, se acerca a 0 tato como queramos, y ese límite es u úmero fiito, 0. La sucesió,, 8,,, tiee u úmero ifiito de térmios, pero o tiee límite, podemos ecotrar térmios de la sucesió ta grades como queramos. Es divergete. Tiede a ifiito. La suma / + / + /8 + / es ua suma de ifiitos térmios. Qué quiere decir sumar ifiitos térmios? Lo que queremos decir co ello es que esa suma coverge a (e el caso de la catidad de papel que teíamos sobre la mesa, esto quiere decir que podemos teer sobre la mesa ua catidad de papel ta próima a como queramos). Vamos ahora a calcular alguos límites secillos. Actividades resueltas La sucesió a tiee como límite /. 5 Para comprobarlo le damos a valores muy grades y observamos que podemos acercaros a / tato como queramos: a 0 0' ' ' Es atural que para valores muy grades de el del umerador y el 5 del deomiador ya ifluya muy poco comparados co y co. Por ello podemos decir que: Actividades propuestas 7. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) a b) lím a lím lím lím. 5 a ( ) 7 c) a d) a. 5 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

119 0 Sucesioes Actividades resueltas La sucesió La sucesió La sucesió Comprobamos, utilizado la calculadora y dado valores grades a que: a tiee como límite 0. a tiee como límite. a o es covergete, tiede a ifiito. La sucesió a o es covergete, es la sucesió:, 5, 7, 6, y tiede a ifiito. Actividades propuestas 8. Calcula el límite de las sucesioes siguietes, si es que lo tiee: a) b) a 5 6 a 7 c) a 5 d) a Escribe ua sucesió cuyo límite sea, y otra de límite Calcula el límite de las sucesioes siguietes, si es que lo tiee: a) lím 6 b) lím 7 7 c) lím 6 d) lím Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

120 Sucesioes.. El úmero e Vamos a defiir el úmero e como el límite de ua sucesió, pero ates vamos a aalizar situacioes que ya cooces que os ayude a comprederlo. Situació : Crecimieto de uas algas Los residuos vegetales de las calles y jardies de Madrid se lleva a la plata de compostaje de Migas Calietes, dode se obtiee compost que, de uevo, se utiliza para aboar estos jardies. Allí se ivestiga sobre la forma e que los microorgaismos se reproduce y actúa co más rapidez trasformado los restos de poda e compost. Imagia que si somete ua catidad C de microorgaismos (bacterias y Plata de compostaje de Migas Calietes, Madrid hogos) a u determiado proceso durate u mes estos se ha icremetado y se obtiee ua catidad doble, C + C = C de microorgaismos. Acelera el proceso, añadiedo por ejemplo más oígeo, de forma que dure sólo medio mes, pero se obtiee sólo la mitad, C + C/ = C( + /) auque etoces se realiza dos ciclos e u mes por lo que al fial del mes se obtiee ua catidad de microorgaismos de C( + /) + (/)(C( + /)) = C( + /) de microorgaismos al fial del mes. Y si realiza cico ciclos al mes, obteiedo e cada ciclo la quita parte? Primer ciclo: C + C/5 = C( + /5) Segudo ciclo: C( + /5) + (/5) C( + /5) = C( + /5) Tercer ciclo: C( + /5) + (/5) C( + /5) = C( + /5) Cuarto ciclo: C( + /5) + (/5) C( + /5) = C( + /5) Quito ciclo: C( + /5) + (/5) C( + /5) = C( + /5) 5 E geeral si se hace ciclos al mes obteiedo e cada ciclo / de la catidad tratada, al fial del mes teemos ua catidad C( + /) de microorgaismos. Observa que al aumetar el úmero de ciclos, aumeta la catidad de microorgaismos, pero hay u límite o crece hasta el ifiito? Situació : Iterés compuesto Ya hemos estudiado el iterés compuesto. Si u capital C se poe a u iterés del 5 % aual durate u año, al fial del año se obtiee C C = C( ). Si los itereses se acumula cada medio año al cabo del año se obtiee C( /), y si es cada cuarto de año (cada trimestre) se tiee C( /). E geeral si el año se divide e itervalos se obtedría: C( /) Podría uo hacerse milloario e u año ivirtiedo 00 euros e esas codicioes? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

121 Sucesioes Situació : La espiral La figura del marge es la cocha del Nautilus. Forma ua espiral que se llama espiral equiagular, logarítmica, geométrica Dibuja ua teiedo e cueta que cuado sus águlos cetrales está e progresió aritmética, sus radios está e progresió geométrica. Marca u puto O. Toma ua uidad OA =. Marca los águlos cetrales de AOB = 0º; AOC = 80º, AOD = 0º Sobre la recta que cotiee a O y a B, marca B a ua distacia de. OB = OA. Marca C (sobre OC) a ua distacia de OC = OB = OA Pero si el águlo fuera 0º/, el radio habría que multiplicarlo por /. De esta forma obtedríamos uevos putos. Estamos viedo que e distitas situacioes aparece sucesioes parecidas: Defiició: C( + /), C( /). Se defie el úmero e como e lím. Es el límite de ua sucesió! Si damos a valores (co ua calculadora o u ordeador) podemos aproimarlo:, 5, 7,, 5, 5 Para = 00 obteemos 708. Para = 000 obteemos 76. Para igual a u milló, 788 Utilizamos el desarrollo de u biomio por Newto. Recuerda: ( a b) a a b a Como a = a =, y b = /, teemos que: b a b... b Tomamos límites ( ) ( ) ( )( )!! =...!!! = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

122 Sucesioes e lím......!!!! Resulta que e tambié es la suma de ua serie. Ahora el valor de e lo obteemos de ua forma mucho más rápida. Nos basta la suma de 8 térmios para obteer cico cifras decimales de e, mietras que co la sucesió los obteíamos co igual a u milló. e 788 e es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas. Ahora ya sabemos resolver las situacioes de partida: la catidad de microorgaismos de la plata de compostaje si se aumeta el úmero de ciclos e u mes, tiede a Ce C 788. Nuca llegaría a triplicar la catidad C de microorgaismos. E la situació de iterés compuesto, os pregutábamos si podría uo hacerse milloario e u año ivirtiedo 00 euros e esas codicioes. Teemos que calcular el límite: 0'05 0'05 lím lím 00e No os hacemos milloarios. Pero vamos a apreder a calcular estos límites. 0'05 Límites tipo e E geeral para calcular el límite: A lím Vamos completado la defiició de e, dividiedo primero por A. El deomiador /A tiede a ifiito, y lo completamos e el epoete, multiplicado y dividiedo por /A. A lím lím A lím Esta técica podemos usarla si teemos u límite co u epoete que tieda a ifiito y cuya base tieda a, lo que llamamos ua idetermiació tipo. A A A e A Actividades resueltas Calcula el límite: lím Primero comprobamos que es u límite tipo e, el epoete tiede a ifiito, y la base: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

123 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo Sucesioes, tiede a. Queremos completar el primer de la defiició de e, para lo que teemos que dividir: Para coseguir el segudo, dividimos por. Hacemos que el epoete coicida co. ) ( ) ( lím lím lím lím El límite de la base hemos coseguido que sea e. El límite del epoete sabemos calcularlo: 8 8 ) ( Por tato: e e e lím. Actividades propuestas. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) a b) 5 a c) 7 a d) a

124 5 Sucesioes.. Fució epoecial y fució logaritmo Fució epoecial E º de ESO (ºB) ya has estudiado la fució epoecial y la fució logaritmo, pero ahora que cooces mejor el úmero e parece iteresate que aalicemos algo sobre ellas, y resolvamos uevos problemas. La fució epoecial de base e se defie como y = e. Ahora ya sabes bie qué es lo que sigifica. Alguas de sus propiedades so:. e lím......!!!!. e 0 =, y e > 0 para todo.. Es siempre estrictamete creciete, lo que permite resolver ecuacioes epoeciales.. Cuado tiede a +, e tiede a +, pero 5. Cuado tiede a, e tiede a 0. Actividades resueltas Resuelve la ecuació: e + = e. Para resolver ecuacioes epoeciales debemos coseguir que las bases sea iguales y basta, etoces, co igualar los epoetes: e + = e + = =. Actividades propuestas. Calcula /e co tres cifras decimales eactas.. Calcula e co tres cifras decimales eactas. Fució logaritmo La fució logaritmo e base e, es decir, logaritmo eperiao, se defie como: l = y = e y Aplicado esa defiició se demuestra que: El logaritmo de es cero (e cualquier base). El logaritmo de la base es. Solo tiee logaritmos los úmeros positivos, es decir, Dom(l) = +. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

125 6 Sucesioes Cuado tiede a +, l tiede a +. Cuado tiede a 0, l tiede a. Es siempre estrictamete creciete, lo que permite resolver ecuacioes logarítmicas. Propiedades de los logaritmos El logaritmo de u producto (e cualquier base) es igual a la suma de los logaritmos de sus factores. log (ab) = log(a) + log(b) El logaritmo de u cociete (e cualquier base) es igual al logaritmo del dividedo meos el logaritmo del divisor. log (a/b) = log(a) log(b) El logaritmo de ua potecia (e cualquier base) es igual al epoete multiplicado por el logaritmo de la base de la potecia. log (a b ) = blog(a) Actividades resueltas Resuelve las ecuacioes: a) e + = e. b) l() = l(). Para resolver ecuacioes logarítmicas despejamos el logaritmo e ambos miembros, y luego, igualamos. a) e + = e + = =. b) l() = l() = = / =. Actividades propuestas. Calcula el logaritmo eperiao de /e y de e. 5. Resuelve la ecuació l( + ) + l() = 6. Resuelve la ecuació: 8 =. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

126 7 Sucesioes CURIOSIDADES. REVISTA A) El ivetor del ajedrez Ya vimos e el capítulo sobre potecias la leyeda sobre el ajedrez. Ahora puedes utilizar tus coocimietos sobre progresioes para hacer los cálculos: Cueta la leyeda cómo el ivetor del ajedrez presetó su iveto a u prícipe de la Idia. El prícipe quedó ta impresioado que quiso premiarle geerosamete, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El ivetor del ajedrez formuló su petició del modo siguiete: "Deseo que me etregues u grao de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la seguda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quita, y así sucesivamete hasta la casilla 6". La sorpresa fue cuado el secretario del prícipe calculó la catidad de trigo que represetaba la petició del ivetor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era isuficiete para obteer el trigo que pedía. Qué tipo de progresió se utiliza? Aritmética o geométrica? Cuál es la razó? Cuátos trilloes de graos de trigo pedía aproimadamete? Podrías hallar el total de graos de trigo utilizado fórmulas y usado la calculadora? Potecias de e el teis Las potecias de tambié aparece e los toreos de teis. E muchos toreos se efreta los jugadores de la siguiete forma: E la fial juega dos jugadores; e la semifial hay cuatro; e los cuartos de fial hay ocho jugadores. Así, e cada roda adicioal la catidad de jugadores se duplica, tal como ocurría co los graos de trigo e el tablero de ajedrez. Si el toreo tuviera 5 rodas, te imagias cuátos habría? Pues, podría participar casi todos los habitates de España!! y co rodas, podría participar todos los habitates del plaeta!! Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

127 8 Sucesioes Sucesió de Fiboacci Para los que pesáis que es imposible ver Matemáticas fuera del aula y mucho meos e la aturaleza, os presetamos uo de los más bellos coceptos matemáticos estrechamete relacioado co la aturaleza y el arte. Se trata de ua sucesió muy simple, e la que cada térmio es la suma de los dos ateriores. La sucesió comieza por el úmero, Y sigue co,,, 5, 8,,,, 55, 89,,, 77, 60, 987, 597, 58, ya que = 0 + ; = + ; = + ; 5 = + ; 8 = + 5; = 5 + 8; = 8 + etc. Ua de las propiedades más curiosas, es que el cociete de dos úmeros cosecutivos de la sucesió se aproima a la llamada secció áurea o divia proporció, que ya 5 cooces, el úmero de oro descubierto por los reacetistas, = 680, que se ombra co la letra griega. La sucesió formada por los cocietes de úmeros cosecutivos de la sucesió de Fiboacci se acerca rápidamete hacia el úmero de oro. Los griegos y reacetistas estaba fasciados co este úmero y lo cosideraba el ideal de la belleza. De hecho, Leoardo da Vici e su obra El hombre de Vitrubio utiliza este úmero para coseguir las perfectas proporcioes de su obra. Cómo puede ser que el cociete de dos úmeros de ua secuecia ivetada por el hombre se relacioe co la belleza? Pues porque la sucesió de Fiboacci está estrechamete relacioada co la aturaleza. Se cree que Leoardo ecotró estos úmeros cuado estudiaba el crecimieto de las poblacioes de coejos. Supogamos que ua pareja de coejos tarda u mes e alcazar la edad fértil, y a partir de ese mometo cada vez egedra otra pareja de coejos, que a su vez egedrará cada mes ua pareja de coejos. Cuátos coejos habrá al cabo de u determiado úmero de meses? Pues sí, cada mes habrá u úmero de coejos que coicide co cada uo de los térmios de la sucesió de Fiboacci. Parece magia, verdad? Pues muchas platas, como las piñas o las margaritas sigue ua disposició relacioada tambié co la sucesió de Fiboacci, lo que ilustra la famosa frase de Galileo La aturaleza está escrita e leguaje matemático. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

128 9 Sucesioes Los griegos y el ifiito El cocepto de ifiito ha costado tiempo y esfuerzo a la humaidad etederlo. Los griegos opiaba que el úmero de graos de area del mudo era ifiito, hasta que Arquímedes escribió el Areario, tratado e el que estimaba ese úmero, que e efecto es muy grade, pero o ifiito. Paradoja de Aquiles y la tortuga E ese mismo setido, los griegos o podría compreder que si sumaba ifiitas catidades les pudiera dar ua catidad fiita. Así aparece la paradoja de Zeó de Aquiles y la tortuga. Aquiles, el de los pies ligeros, echa ua carrera co ua tortuga. Da a la tortuga ua gra vetaja, pogamos L estadios. E poco tiempo Aquiles recorre los L estadios, pero al llegar allí descubre que la tortuga ha avazado u cierto trecho, supogamos que L/0. Avaza de uevo hasta dode se ecotraba la tortuga, pero al llegar, ésta de uevo ha avazado. De este modo Aquiles uca gaará la carrera, pues al llegar a la posició dode se ecotraba la tortuga, ésta ya se ha movido. La eperiecia les decía que Aquiles sí alcazaba a la tortuga, pero o lograba comprederlo. Tú ya les podrías ayudar pues ya sabes sumar series ifiitas e progresió geométrica de razó meor que : a S r S = L + L/0 + L/0 + = L 0L 9 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

129 0 Sucesioes RESUMEN Cocepto Defiició Ejemplos Sucesió Progresió aritmética Fució etre los úmeros aturales, N, y los reales,.,,,, 5, 9,. Sucesió de úmeros reales e la que la diferecia d etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. Térmio geeral: a = a k + ( k) d Suma de los primeros térmios: S ( a a ), 5, 8,,, 7, a = + S 8 = (8/) ( + ( + 8)) = Progresió geométrica El úmero e Es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es costate. Es decir, a a i r i. Térmio geeral: a = a k r -k Suma: S = r a a r = ( a r ), para r r a Suma ifiita: S, para 0 < r <. r a Producto: P = a = a r e lím, 6,,,, /, /, /8 a 8 ( ) S8 765 P 9 = ( 8 ) 9 = ( ) 9 a ( ) S e es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas: e 788 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

130 Sucesioes EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sucesioes. Calcula el térmio que ocupa el lugar 000 de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es igual a y la diferecia es.. El térmio octavo de ua progresió aritmética es 5 y la diferecia /. Halla el primer térmio y el térmio 00.. Calcula los lados de u triágulo rectágulo sabiedo que sus medidas, epresadas e metros, está e progresió aritmética de diferecia.. Calcula la suma de los múltiplos de compredidos etre 000 y La suma de 6 úmeros e progresió aritmética es 58 y el térmio 6 es Halla el primer térmio. 6. El producto de térmios e progresió geométrica es 58 y el primer térmio es. Escribe el resto de térmios. 7. Por el alquiler de ua casa se acuerda pagar 700 euros al mes durate el primer año, y cada año se aumetará el alquiler e 0 euros mesuales. Cuáto se pagará mesualmete al cabo de 0 años? 8. El quito térmio de ua progresió geométrica es 8 y el primero es. Halla los cico primeros térmios de dicha progresió. 9. Halla para que, +, ( + ) esté e progresió geométrica. 0. A ua cuerda de 50 m de logitud se le da dos cortes, de modo que uo de los trozos etremos tiee ua logitud de 50 m. Sabiedo que las logitudes de los trozos está e progresió geométrica, determia la logitud de cada trozo.. Halla la fracció geeratriz del úmero decimal 0..., como suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada.. Se tiee ua cuba de vio que cotiee 5 litros. El de diciembre se vació la mitad del coteido; al día siguiete se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamete todos los días. Qué catidad de vio se sacó el día 5 de diciembre?. Dado u cuadrado de m de lado, uimos dos a dos los putos medios de sus lados; obteemos u uevo cuadrado, e el que volvemos a efectuar la misma operació, y así sucesivamete. Halla la suma de las ifiitas áreas así obteidas.. Triágulo de Sierpiski: Vamos a costruir u fractal. Se parte de u triágulo equilátero. Se ue los putos medios de los lados y se forma cuatro triágulos. Se elimia el triágulo cetral. E cada uo de los otros tres triágulos se repite el proceso. Y así sucesivamete. A la figura formada por iteració ifiita se la deomia Triágulo de Sierpiski, y es u fractal. A) Imagia que el primer triágulo tiee u área A. Cuado aplicamos la primera iteració, el área es (/)A. Y e la seguda? Escribe la sucesió de las Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

131 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo Sucesioes áreas. Es creciete o decreciete? B) Imagia ahora que la logitud de cada lado del triágulo iicial es L. Escribe la sucesió de las logitudes. Es creciete o decreciete? Límite de sucesioes 5. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 5 c) a d) 7 a 6. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 5 c) a d) 7 a 7. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 5 a b) a c) a d) 7 a 8. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 5 a b) a c) a 8 0 d) 7 a 9. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a c) 8 a 0. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a c) 8 a. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) 6 a c) 5 a Epoecial y logarítmica. La població de peces de ua piscifactoría sigue u modelo de crecimieto epoecial y ha pasado de 00 ejemplares a 500 e 60 días. Qué població tedrá e 00 días?. Igresamos e u baco euros al % de iterés compuesto aual. E cuáto tiempo habremos duplicado uestro diero?. Vaesa ha comprado u coche por euros. Se estima que el precio se devalúa u 0 % cada año. A cuáto lo podrá veder al cabo de 5 años? Si tiee u accidete e que el coche queda destrozado cuado tiee 7 años, cuáto le pagará la compañía de seguros?

132 Sucesioes 5. La escala de Richter relacioa la itesidad de u terremoto,, co su eergía y (e ergios): log y = + 5. Calcula la eergía de u terremoto: a) de ua itesidad 5 e dicha escala, y b) de ua itesidad Jua ha visto cucarachas e su casa. Mira de que tipo es y se etera que se triplica cada mes siguiedo u modelo epoecial. Estima que e este mometo podría teer 0. Si o hiciera ada, cuátas tedría al cabo de 5 meses? 7. E la fórmula del térmio ésimo de ua progresió geométrica, despeja, aplicado logaritmos. 8. Nieves tiee u gra frasco de perfume muy cocetrado de u litro. Saca co ua pipeta 0 cm que sustituye co agua. Vuelve a sacar de la mezcla co ua pipeta 0 cm que vuelve a sustituir co agua. Así hasta coseguir ua mezcla co el 75 % de la iicial. Cuátas operacioes ha debido hacer? 9. Resuelve, tomado logaritmos, la ecuació epoecial: (0 99) = Utiliza la calculadora para estimar el valor de 6. Estima tambié 6.. Resuelve las ecuacioes: a) = 8 b) c) 8 5 d) 7 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

133 Sucesioes AUTOEVALUACIÓN. Cuál es la razó de la siguiete progresió geométrica: a = 7? a) 7 b) c) d) No es ua progresió geométrica. E la sucesió de múltiplos de, el ocupa el lugar: a) b) c) d). La suma de los diez primeros térmios de la progresió aritmética: 5, 0, 5, 0, es: a) 0 b) 75 c) 55 d) 50. La sucesió, /5, /5, /5,...: a) Es ua progresió geométrica de razó 5 b) Es ua progresió aritmética de diferecia 5 c) Es ua progresió geométrica de razó /5 d) Es ua progresió aritmética de diferecia / La solució de la ecuació 65 es: a) 0 b) 8 c) 0 d) 0 6. La progresió aritmética cuyo primer térmio es y su diferecia 5, tiee como térmio geeral: a) a = 5 b) a = 5 + c) a = 5 d) a = 5 7. Pepa está preparado el eame de selectividad. Para o dejar toda la materia para el fial ha decidido estudiar cada día el doble de págias que el día aterior. Si el primer día estudió dos págias, cuátas habrá estudiado al cabo de 5 días? a) 6 b) c) 0 d) 8 8. A Luis le ha tocado 6000 e la lotería y decide depositarlos e el baco a u tipo de iterés compuesto del %. Cuáto diero tedrá al cabo de 5 años? a) 60 b) 60 c) 78,0 d) 799, La sucesió a tiee como límite: 6 a) 0 b) c) / d) 7 0. La sucesió a tiee como límite: a) e b) c) e d) e Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Revisor: Javier Rodrigo

134 MATEMÁTICAS I: º de Bachillerato Capítulo : Trigoometría Autores: José Luis Lorete Aragó y Adrés García Mirates Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

135 6 Trigoometría. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.. UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ARBITRARIOS. CÁLCULO DE RAZONES DE UNOS ÁNGULOS A PARTIR DE OTROS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULOS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE ÁNGULOS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD.5. TRANSFORMACIONES DE SUMA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN PRODUCTOS. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.. ECUACIONES.. SISTEMAS. RESOLUCIÓN GENERAL DE TRIÁNGULOS.. TEOREMA DEL COSENO.. TEOREMA DEL SENO.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.. PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA CON MEDIDAS SIMPLES Y DOBLES E el curso aterior ya te habrás familiarizado co los coceptos más importates de la trigoometría y hasta es posible que coozcas su historia. Como seguramete sabes, la palabra trigoometría sigifica medició de triágulos. Más cocretamete, viee del griego "τριγωνομετρία" ("trigoometria"), dode "τρίγωνο" sigifica triágulo y "μετρεῖν" sigifica medir. Es ua de las disciplias de las Matemáticas más atiguas. Hay tablillas babilóicas del siglo XX ( ates de Cristo!) y papiros egipcios del XVII a.c. que trata temas de trigoometría. No sólo so atiguos sus orígees, tambié su desarrollo. Prácticamete todo lo que vamos a ver e este capítulo (que es esecialmete todo lo que se sabe) acerca de resolució de triágulos ya lo coocía los griegos e el siglo II ates de Istrumeto para medir águlos Museo Arqueológico de Madrid Cristo. El efoque suyo, si embargo era fudametalmete geométrico y muchos teoremas que osotros vemos e forma algebraica se escribía de maera muy diferete. Pero ya era coocidos! Por qué este desarrollo ta rápido? La eplicació o es muy sorpredete. La trigoometría se utiliza muchísimo e Astroomía, medida de terreos (agrimesura) y avegació, tres campos muy ecesarios e las civilizacioes atiguas. Y o pieses que la Astroomía se hacía por curiosidad, era vital saber los movimietos de los astros para las crecidas del Nilo y para guiar barcos por las estrellas. Por eso eiste istrumetos realmete atiguos de medidas de águlos, como la ilustració que puedes ver del Museo Arqueológico de Madrid. E este capítulo o sólo veremos resolució de triágulo. Tambié se estudiará las idetidades y ecuacioes dode aparece razoes trigoométricas. El estudio de estas fórmulas se lo debemos fudametalmete a la civilizació hidú (siglo X fudametalmete). De hecho seo y coseo viee del sácrito. Seo viee de jyā (cuerda de arco) y koṭi jyā (jyā del complemetario). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

136 7 Trigoometría. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.. Medida de águlos E el sistema seagesimal de medida de águlos, la uidad es el grado seagesimal que se defie como la trescietos seseteava parte de u águlo completo. Tiee dos divisores: el miuto que es la seseteava parte de u grado y el segudo que es la seseteava parte de u miuto. Probablemete hayas visto ya e el curso aterior que la uidad de medida de águlos e el Sistema Iteracioal es el radiá. El radiá es u águlo tal que cualquier arco que se le asocie mide eactamete lo mismo que el radio utilizado para trazarlo. Se deota por rad. Puesto que a u águlo completo le correspode u arco de logitud R, a u radiá u arco de logitud R, etoces: R Nº de radiaes de u águlo completo = rad R Y la relació co el sistema seagesimal la obteemos a partir del águlo completo: águlo completo = 60 o = rad águlo llao = 80 o = radiaes Por esta relació se obtiee que rad 57, 6 o 57 o 58. Podríamos por tato haber defiido el radiá de otra maera totalmete equivalete, a partir de los grados. U radiá so 80 grados seagesimales. Por qué esta medida? No resulta u poco etraño usar u úmero irracioal como para medir? Hay dos razoes para ello.. Co radiaes es muy fácil trasformar logitudes e águlos y viceversa. Co grados es u poco más complicado (tampoco mucho).. Cuado veamos e este mismo curso las derivadas, las fucioes trigoométricas se epresa e radiaes. Esto es así porque las derivadas sale más secillas. Pero bueo, lo veremos más adelate. Actividades propuestas. Epresa e radiaes las siguietes medidas: 60 o, 0 o, 5 o, 0 o.. Epresa e grados seagesimales:, π, 0 y radiaes. 6 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

137 8 Trigoometría. Cuáto suma (e radiaes) los águlos de u triágulo? Cuáto mide u águlo recto e radiaes?. Para ver la utilidad de los radiaes, supogamos u móvil que se mueve e ua circuferecia de dos metros de radio co ua velocidad de m/s. Calcula su velocidad e rad/s y e grados por segudo. cuátas vueltas da por miuto? 5. U móvil ha recorrido rad e ua circuferecia de radio m. Cuáto espacio ha recorrido? Y si la circuferecia tuviera radio 0 5 m? 6. Hemos recorrido 0 grados de ua circuferecia de radio m. cuáto espacio hemos recorrido? y si tuviera radio 0 5 m? Es más fácil o más difícil que hacerlo co radiaes?.. Razoes trigoométricas de águlos agudos Ya has visto el año pasado cómo se defiía las razoes trigoométricas e u triágulo. Nos limitaremos por tato a recordar cómo se hacía y a itroducir la otació que vamos a seguir e este capítulo. Los vértices de u triágulo los represetaremos co letras mayúsculas, empezado el alfabeto (A, B, C, ). El lado opuesto a cada vértice lo represetaremos co la letra miúscula correspodiete a dicho vértice (a, b, c ). A su vez el águlo correspodiete a cada vértice lo represetaremos co la letra griega que toque, empezado el alfabeto griego (α, β, γ ). E otras palabras: E el vértice A está el águlo α y opuesto a él, el lado a. E el vértice B está el águlo α y opuesto a él, el lado b. E el vértice C está el águlo α y opuesto a él, el lado c. E la medida de lo posible usaremos siempre esa coveció, para todos los triágulos, sea rectágulos o o. Tambié marcaremos los águlos rectos como e la figura, co forma cuadrada. Como ya sabes, se defie las razoes trigoométricas del águlo α como: tg se cos cateto opuesto cateto cotiguo cateto opuesto hipoteusa cateto cotiguo hipoteusa a c a b c b a b se c cos b E iglés se escribe si(α) para el seo y ta(α) para la tagete. Posiblemete lo tegas así e tu calculadora. Como ya has visto el año pasado, esta defiició o depede del triágulo elegido. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

138 9 Trigoometría Estas razoes o so idepedietes uas de otras. De hecho, si sabemos que u águlo es agudo, basta ua CUALQUIERA de las razoes trigoométricas para calcular todas las demás.. PRIMERA RELACIÓN FUNDAMENTAL: se cos se. SEGUNDA RELACIÓN FUNDAMENTAL: tg cos Ua cuestió de otació Es muy habitual, auque o del todo correcto, escribir los cuadrados de las fucioes trigoométricas ates del argumeto. Es decir se se. se quiere decir se y NO Esta otació está ta geeralizada que creemos coveiete que te habitúes a ella y por eso es la que seguiremos a partir de ahora. Pero fíjate por favor e lo que sigifica. Tambié se utiliza para otras potecias. Así, por ejemplo 8 se 8 se y cos se. Actividad propuesta 7. E la figura se verifica el teorema de Pitágoras a b c. Utilizado dicho teorema, demuestra la primera relació fudametal. 8. Utilizado las defiicioes de las razoes trigoométricas, demuestra la seguda relació fudametal. Otras razoes trigoométricas Además de las razoes trigoométricas que hemos visto, eiste otras tres que so u poco meos habituales. So las siguietes: sec cos cosec se cot g tg Actividad propuesta 9. Utilizado la defiició de las idetidades, demuestra: a) tg sec b) cot g cosec Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

139 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF Trigoometría 0 Razoes trigoométricas de 0 o y 60 o Cosideramos u triágulo equilátero de lado L. Trazamos la altura correspodiete al lado sobre el que se apoya. Co ello queda dividido e dos triágulos rectágulos iguales cuyos águlos mide 90 o, 0 o y 60 o. Además la hipoteusa mide L y uo de sus catetos L/. Por el teorema de Pitágoras podemos obteer el que os falta: L L L L L L h Calculamos las razoes trigoométricas de 0 o y 60 o e el triágulo ABH : : 60 L L L L L h se o : 0 L L L L se o : 60 cos L L L L o : 0 cos L L L L L h o : : 60 L L L L L h L h tg o, : : 0 L L L L h L tg Razoes trigoométricas de 5 o Ahora vamos a trabajar co u triágulo rectágulo isósceles. Pogamos que los dos catetos tiee ua logitud L. Utilizamos de uevo el teorema de Pitágoras y obteemos el valor de la hipoteusa e fució de L: L L L L Ahora podemos calcular ya las razoes trigoométricas de 5 o : 5 L L L se o : 5 cos L L L o 5 L L tg o

140 Trigoometría Águlos complemetarios Ates de ada recordemos que so los águlos complemetarios. Dos águlos so complemetarios si la suma de ambos resulta 90 o,. Por ejemplo 0 o y 60 o so águlos complemetarios, 0 o y 70 o o 5 o y 5 o tambié etre otros. De forma geérica si llamamos α a cualquier águlo agudo su complemetario es 90 α. E todo triágulo rectágulo los águlos o rectos so complemetarios: α + β = 80 o α + β = 90 o β 90 o α E esta secció queremos ver la relació etre las razoes trigoométricas de águlos complemetarios. De mometo os limitaremos a águlos agudos, luego se verá el caso para águlos arbitrarios. Nos fijamos el dibujo del triágulo rectágulo y calculemos las razoes trigoométricas. Para : cateto opuesto se( ) hipoteusa cateto cotiguo cos( ) hipoteusa cateto opuesto tg( ) cateto cotiguo Igualado razoes iguales: Actividades propuestas a c a b b c. Para : cateto opuesto se( ) hipoteusa cateto cotiguo cos( ) hipoteusa cateto opuesto tg( ) cateto cotiguo a se( ) cos(90 ) c b cos( ) se(90 ) c a tg( ) tg(90 ) c 0. Comprueba las ateriores relacioes a partir de los águlos de 0 o y 60 o.. Eplica, a partir de lo visto e este apartado, porque el seo y el coseo de 5 o so iguales, y porque la tagete vale la uidad. b c b a b c Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

141 Trigoometría.. Razoes trigoométricas de águlos arbitrarios Se llama circuferecia trigoométrica o goiométrica a ua circuferecia de radio uidad cetrada e el orige de coordeadas. Es posible represetar cualquier águlo e la circuferecia trigoométrica. Para ello siempre se toma u lado fijo que es la semirrecta defiida por la parte positiva del eje de abscisas; el segudo lado es la semirrecta variable que correspoda segú su medida. El setido de u águlo se mide de OX a la semirrecta variable que determia su amplitud. Se etiede que para u águlo egativo coicide co el de las agujas de u reloj aalógico y para u águlo positivo, el cotrario. y, el puto (, 0 ) y el orige de coordeadas delimita u triágulo. Este triágulo es SIEMPRE rectágulo y su hipoteusa es SIEMPRE uo (puesto que es el radio de la circuferecia). La circuferecia trigoométrica divide al plao e cuatro regioes que se deomia cuadrates. El puto P, PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE Como puedes ver e la figura, si el águlo está e el primer cuadrate, teemos u águlo agudo. Podemos pues calcular sus razoes trigoométricas: se y y, cos y tg y se cos Ahora bie, esta defiició tiee tambié setido cuado el águlo está e cualquiera de los otros cuadrates. Haciedo la misma costrucció, se calcula el puto P, y y se defie el seo, coseo y tagete a partir de sus compoetes, de la misma maera. se y y, cos y tg y se cos La úica diferecia es que las compoetes de P puede ser ulas o egativas y por tato las razoes trigoométricas puede ser ulas y egativas. Asimismo, observa que si el coseo es 0 la tagete o está defiida. E la figura puedes ver u ejemplo e el segudo cuadrate De este modo, se coserva la defiició para águlos agudos que so águlos del primer cuadrate y se amplía a águlos de cualquier sigo y amplitud. E las figuras siguietes aparece el seo y coseo de cualquier cuadrate. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

142 Trigoometría Recuerda fialmete que las fucioes trigoométricas so periódicas co periodo 60 grados o se se para cualquier etero. radiaes. De este modo Tambié se defie co esa fórmula, águlos egativos. U águlo egativo quiere decir que se recorre e setido de las agujas del reloj. Para pasarlo a positivo se le suma 60 grados tatas veces como sea ecesario. Así cos 0 cos 0 60 cos0 y se 00 se se0 Si bie es muy probable que ya lo hayas visto el curso pasado, vamos a repasar las fórmulas de reducció de águlos al primer cuadrate. Los águlos de los cuadrates segudo, tercero o cuarto puede relacioarse co águlos agudos que podemos situar e el primer cuadrate y que tiee razoes trigoométricas co los mismos valores absolutos que los águlos iiciales. E los casos e los que deseemos obteer qué águlos correspode a ua razó trigoométrica dada, resulta especialmete importate ya que, auque hagamos uso de la calculadora, ésta os devolverá u úico valor y, si embargo, eiste ifiitos águlos solució de este problema. Gracias a lo que describiremos e este apartado, podremos ecotrarlos si dificultad. Para hacer más cómoda la eplicació cosideraremos que a partir de P se mide las razoes trigoométricas del águlo y a partir de P las del águlo Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

143 Trigoometría Águlos del segudo cuadrate Costruimos los triágulos rectágulos OPA y OP A iguales de forma que la hipoteusa sea e ambos casos el radio de la circuferecia goiométrica y además = águlo AOP = águlo A OP. P P se AP A P se A O A cos AO A O cos Y dividiedo miembro a miembro, obteemos tg Águlos del tercer cuadrate se cos se tg cos Tambié e este caso los triágulos rectágulos OPA y OP A so iguales. Su hipoteusa es el radio de la circuferecia goiométrica y sus catetos los segmetos determiados por las coordeadas de los putos P y P. La costrucció se realiza además de modo que = águlo AOP = águlo A OP. se AP A P se cos AO A O cos Y dividiedo miembro a miembro, obteemos tg se cos se tg cos Águlos del cuarto cuadrate Por último costruimos los triágulos rectágulos OPA y OP A iguales de modo aálogo a lo descrito e los dos casos ateriores, observado que, e este caso A = A. se AP AP se cos AO cos Y dividiedo miembro a miembro, obteemos: Actividades propuestas tg se cos se tg cos. Copia e tu cuadero, y sitúa e el cuadrate que correspoda y epresa e fució de u águlo Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

144 5 Trigoometría agudo las razoes trigoométricas de los siguietes águlos: Águlo Seo Coseo Tagete Secate Cosecate Cotagete Utiliza la calculadora y lo apredido e este apartado para ecotrar todos los águlos positivos meores que 60 o cuyo seo es de Ídem todos los águlos egativos meores e valor absoluto que 60 o cuya tagete vale. 5. Ídem todos los águlos compredidos etre 60 o y 70 o cuyo coseo vale Águlos determiados por los semiejes Hay cuatro putos P dode la circuferecia corta a los ejes coordeados. Es fácil ver que so los putos: (, 0) [ 0 o ] (0, ) [ 90 o ] (, 0) [ 80 o ] (0, ) [ 70 o ] Por tato, los águlos 0 o 60 o, 90 o 60 o, 80 o 60 o y o o está determiados por semiejes de coordeadas y sus razoes trigoométricas se mide a partir de putos de los ejes. De ahí se obtiee co facilidad: se se se se o o ; 0 o 60 o o o ; o o ; 80 o 60 o o o ; cos ; tg o 60 o o o cos 90 0; tg 60 o o 90 o eiste. cos ; tg cos 70 o 0; tg o o 60 o o 70 o eiste... Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

145 6 Trigoometría. CÁLCULO DE RAZONES DE UNOS ÁNGULOS A PARTIR DE OTROS.. Razoes trigoométricas de la suma de águlos Muchas veces es de utilidad poder calcular las razoes trigoométricas de ua suma de águlos a partir de coocer las razoes trigoométricas de los águlos idepedietes. El objetivo del presete apartado es epresar las razoes se(a+b), cos(a+b) y tg(a+b) e fució de se(a), se(b), cos(a), cos(b), tg(a) y tg(b). Para el cálculo utilizaremos la siguiete figura formada por dos triágulos rectágulos OCB y OBP superpuestos. La hipoteusa OB de u triágulo es u cateto del otro. E la figura a la hipoteusa OP le daremos el valor de uidad. E la costrucció se obtiee u tercer triágulo rectágulo OAP e dode el águlo del vértice O es la suma de los águlos (a+b) de los otros dos triágulos (a y b). Por propiedades de perpedicularidad podemos ver otro triágulo rectágulo semejate PRB (iguales águlos y lados proporcioales) al triágulo OCB. Para eteder la semejaza sólo tiees que ver que los lados de los triágulos so perpediculares. Nuestro objetivo es poer las razoes trigoométricas del águlo a+b, del triágulo OPA e fució de a y b. Vamos a calcular el seo y el coseo de este águlo: se ( ab) AP AR RPCB RP cos ( ab) OAOC ACOCRB Pogamos los segmetos CB, RP, OC y RB e fució de los águlos de a y b: CB se( a) CB OB se( a) OB RB se( a) RB PB se( a) PB RP cos( a) RP PB cos( a) PB OC cos( a) OC OB cos( a) OB PB se( b) PB se( b) OB cos( b) OB cos( b) CB se( a) CB OB se( a) OB RB se( a) RB PB se( a) PB RP cos( a) RP PB cos( a) PB OC cos( a) OC OB cos( a) OB PB se( b) PB se( b) OB cos( b) OB cos( b) Co estas igualdades fácilmete relacioaremos el seo y coseo de la suma de dos águlos co las razoes simples hemos llegado a uestro objetivo!! se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

146 7 Trigoometría Ua ota adicioal: Auque lo hayamos demostrado sólo para águlos agudos, estas fórmulas so válidas para águlos cualesquiera. Sólo hay que ir reduciédolos al primer cuadrate. Es pesado, pero o reviste especial dificultad. Para calcular la tagete utilizaremos la relació que tiee co el seo y el coseo visto e el apartado aterior: se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) tg( a b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) tg( a) tg( b) tg( a) tg( b) dividiedo um y de por cos( a) cos( b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a) cos( b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) cos( a) cos( b) Resume: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) tg( a) tg( b) tg( a b) tg( a) tg( b) Actividades propuestas 6. Calcula a partir de las razoes trigoométricas de 0 o, 5 o, 60 o y 90 o las razoes trigoométricas de 75 o, 0 o, 50 o, 05 o y 5 o 7. Comprueba que las razoes trigoométricas de 90 o se puede obteer a partir de las razoes trigoométricas de 0 o y de 60 o... Razoes trigoométricas de la resta de águlos E este apartado os plateamos obteer las razoes trigoométricas de la resta de dos águlos (a b) e fució de a y b. La demostració e este caso es mucho más secilla que e el sub apartado aterior, pues simplemete vamos a usar el resultado de la suma, sumado u águlo egativo (b). Para la demostració utilizaremos la relació etre u águlo del cuarto cuadrate (b = 60 b) e fució del águlo b e el primero. Recordemos esta relació vista e u apartado aterior: se(b) = se(60 b) = se(b) cos(b) = cos(60 b) = cos(b) tg(b) = tg(60 b) = tg(b) Aplicamos estos resultados a las razoes trigoométricas de la suma visto ateriormete: se(ab) = se(a + (b)) = se(a) cos(b) + cos(a) se(b) = se(a) cos(b) cos(a) se(b) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

147 8 Trigoometría cos(ab) = cos(a + (b)) = cos(a) cos(b) + se(a) se(b) = cos(a)cos(b) + se(a) se(b) tg( a) tg( b) tg( a) tg( b) tg( a b) tg( a ( b)) tg( a) tg( b) tg( a) tg( b) Resumiedo: RAZONES TRIGOMÉTRICAS DE LA RESTA se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) tg( a) tg( b) tg( a b) tg( a) tg( b) Actividades propuestas 8. Calcula a partir de las razoes trigoométricas de 0 o, 5 o, 60 o y 90 o las razoes trigoométricas de 5 o 9. Comprueba que las razoes trigoométricas de 0 o se puede obteer a partir de las razoes trigoométricas de 90 o, y de 60 o. 0. Demuestra las fórmulas de águlos complemetarios usado las fórmulas de la resta. Es decir, verifica que se90 se y las demás usado estas fórmulas. Observa que esta demostració que acabas es más geeral que la que hicimos ates, porque ahora o tiee por qué ser agudo... Razoes trigoométricas del águlo doble E este apartado buscamos epresar las razoes trigoométricas del águlo doble, a, e fució del águlo a. Para calcularlo utilizamos las razoes trigoométricas de la suma: se(a) se( a a) se( a) cos( a) cos( a) se( a) se( a) cos( a) cos(a) cos( a) cos( a) se( a) se( a) cos ( a) se tg( a) tg( a) tg( a) tg(a) tg( a) tg( a) tg ( a) ( a) Resumiedo: RAZONES TRIGOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE se(a) se( a) cos( a) cos(a) cos ( a) se ( a) tg( a) tg(a) tg ( a) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

148 9 Trigoometría.. Razoes trigoométricas del águlo mitad Como has visto e los dos ateriores sub apartados podemos calcular las razoes de las resta y del águlo doble a partir de las razoes trigoométricas de la suma. Para uestro propósito de calcular las razoes trigoométricas de los águlos mitad utilizaremos las fórmulas del águlo doble y de la relació fudametal de la trigoometría. Vamos a ello: cos() cos() cos ( ) se ( ) se ( ) se ( ) se ( ) se( ) cos() cos() cos ( ) se ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos( ) Llamado = a, y por tato = a/ tedremos los resultados que resumimos e el siguiete cuadro RAZONES TRIGOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Actividad resuelta Calcular se(a) e fució úicamete de se(a) Solució: a cos( a) se a cos( a) cos a cos( a) tg cos( a) Para la resolució utilizaremos el seo de la suma, epresado a = a + a. Luego utilizaremos el seo y el coseo del águlo doble para los se(a) y cos(a). Por últimos para epresar todo e fució del seo usaremos la relació fudametal que os relacioa el coseo de u águlo co su seo. Vamos a ello: Paso. Seo de la suma: se(a+b) = se(a) cos(b) + cos(a) se(b). se( a) se(a a) se(a) cos( a) cos(a) se( a) Paso. Seo y coseo del águlo doble: se(a) = se(a) cos(a) y cos(a) = cos (a) se (a). se(a) se( a) cos ( a) cos ( a) cos ( a) se ( a) se( a) se( a) cos ( a) cos ( a) se( a) se ( a) cos ( a) se ( a) se ( a) Paso. Relació fudametal trigoometría: se (a) + cos (a) =. se(a) ( se Actividades propuestas ( a)) se( a) se ( a) se( a) se. Calcula a partir de las razoes trigoométricas de 5 o y 5 o a partir de las razoes trigoométricas de 5 o.. Comprueba que las razoes trigoométricas de 5 o se puede obteer a partir de las razoes trigoométricas de 90 o.. Calcula cos(a) e fució úicamete de cos(a),. Calcula se(a) e fució úicamete de se(a) y cos(a) e fució de cos(a). ( a) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

149 50 Trigoometría.5. Trasformacioes de sumas de razoes trigoométricas e productos E este apartado vamos a ver como trasformar la suma o diferecia de dos razoes trigoométricas e u producto de razoes trigoométricas. La utilidad de esto es más grade del que a simple vista parece, de hecho lo utilizaremos bastate e el apartado siguiete de resolució de ecuacioes trigoométricas. Vamos a demostrar, como e los ateriores sub apartados, las idetidades que os relacioa la suma de dos razoes trigoométricas e el producto de otras dos razoes. Para este objetivo partimos de las ya coocidas razoes trigoométricas del seo y coseo de la suma y diferecia: () se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) () se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) () + () se( a b) se( a b) sea cos( b) () () se( a b) se( a b) cosa se( b) Como el objetivo es que sea los argumetos de las razoes trigoométricas sumadas coocidos se realiza el siguiete cambio de variable: De esta forma: a b A a a b B b A B A B A B A B se( A) se( B) se cos A B A B se( A) se( B) cos se Vamos a obteer la suma y diferecia de coseos: () cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) () cos( a b) cos s( a) cos( b) se( a) se( b) () + () cos( a b) cos( a b) cosa cos( b) () () cos( a b) cos( a b) sea se( b) Haciedo el cambio de variable: A B A B cos( A) cos( B) cos cos A B A B cos( A) cos( B) se se Recapitulemos los resultados: A B A B se( A) se( B) se cos A B A B se( A) se( B) cos se A B A B cos( A) cos( B) cos cos A B A B cos( A) cos( B) se se Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

150 5 Trigoometría Actividad resuelta Simplifica la epresió se(9a) se( a) cos(9a) cos( a) hasta obteer ua úica razó trigoométrica Solució: se(9a) se( a) se(5a) cos(a) Primero trasformamos las sumas e productos: cos(9a) cos( a) se(5a) se(a) se (9a) se ( a) se (5a) cos (a) Podemos simplificar y agrupar e la cotagete: cot g(a) cos (9a) cos ( a) se (5a) se (a) Actividades propuestas 5. Calcula si hacer uso de la calculadora a. se(75) se(5) b. cos(5) se(5) 6. Utiliza las trasformacioes de sumas e productos para poer e fució del seo y coseo del águlo a: a. se(5+a) + se(5 a) b. cos(0+a) + cos(60 + a) c. cos(70 a) cos(90 a) 7. Simplifica las siguietes epresioes hasta obteer ua úica razó trigoométrica: a. b. se(5a) se(a) cos(5a) cos(a) cos se y cos y y se y Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

151 5 Trigoometría. ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICOS.. Ecuacioes Es importate distiguir ua idetidad (trigoométrica o o) y ua ecuació. Auque es algo que trabajas desde la ESO es coveiete recordarlo, para o cofudir coceptos. Ua idetidad es ua igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras (variables), por ejemplo se ( ) cos ( ). Por el cotratio ua ecuació sólo se cumple para algú valor de las letras (ahora se suele llamar icógitas), por ejemplo se() = 0 será cierto para = 0 o y = 80 o pero o para = 90 o. E este puto que ahora abordamos lo que tratamos es de resolver las ecuacioes, es decir ecotrar los valores de las icógitas dode se cumpla la igualdad. Podemos poer alguas pautas para resolver las ecuacioes, pero o hay igua receta mágica que permita resolverlas de forma mecáica como las ecuacioes de segudo grado. Sólo repetir y hacer bastates ecuacioes te va a facilitar resolver otras. Permíteos que te demos esas pautas que ates describíamos: I. Para resolver ua ecuació los argumetos de las razoes trigoométricas (lo que está detro de los parétesis del se, cos, tg ) ha de ser iguales. De esta forma si teemos e alguos e otros, por ejemplo podemos trasformarlos e co el águlo doble II. Si teemos sumas o resta de dos razoes trigoométricas (seo o coseo) igualadas a cero, podemos trasformarlas e producto y así luego separar la ecuació e dos igualdades elemetales. III. Si teemos varias razoes trigoométricas co mismo argumeto mediate las igualdades se( ) trigoométricas, se ( ) cos ( ), tg ( ) o tg( ) podremos poer cos ( ) cos( ) todas las razoes e fució de ua úica razó trigoométrica y mediate u cambio de variable resolver la ecuació. Vamos a ver algua ecuació y su resolució: Actividad resuelta Ecuació básica co ua úica razó trigomométrica: se() = /. Primero despejamos la buscado, e la circuferecia trigoométrica o co la calculadora, el /. E este caso sabemos que el águlo mide o 0º (/6 radiaes) o 50º (5/6 radiaes). Usado la calculadora (recuerda, debes usar las teclas shift y luego si) y obtedrás sólo ua de las dos solucioes que tiee, = 0 o, (segú tegas la calculadora, e grados, = 0 o, o e radiaes, = 0 5 rad). A partir circuferecia trigoométrica podemos obteer la otra solució etre [0 o, 60 o ) que tiee la igualdad. Teemos que e uestro ejemplo las solucioes etre [0 o, 60 o ) so 0 o y 50 o Para completar las solucioes se debe icluir las solucioes e cualquier rago, o sólo e el itervalo [0 o, 60 o ), por lo que debido a la peridicidad de las fucioes trigoométricas podemos sumarle las Cuado es se() =, se() =, cos() =, cos() = sólo tiee ua solució etre [0, 60 o ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

152 5 Trigoometría vueltas que se desée a las solucioes ateriores. o o 0 60 k Luego la solució para el problema es o o k co k (úmero de vueltas) y por tato despejado teemos: 5 75 o 80 k o 80 k o o o 5 60k o 95 60k o 75 60k o 55 60k Actividades propuestas 8. Calcula las solucioes de las siguietes ecuacioes trigoométricas a) cos() = 0 b) tg() = c) se() = 9. Epresa e radiaes las solucioes de la actividad resuelta (se() = /) y de la actividad propuesta aterior. Actividad resuelta Ecuació trigoométrica co suma de dos razoes trigoométricas (seo o coseo) trasformable e productos. U caso particular es la ecuació: se() se() = 0 que procedemos ahora a resolver. Trasformamos la suma e producto aplicado idetidades del apartado aterior: se() se() = 0 cos() se() = 0. Cuado u producto es igual a cero cada uo de los multiplicados puede ser cero, y la ecuació se trasforma e tatas ecuacioes simples como factores tegamos, e uestro ejemplo dos: () cos() = 0 y () se() = 0. Resolvamos estas dos ecuacioes: 0º 60º k 50º 60º k 70º 60º k () cos() = 0= = = 90º 60º k 0º 60º k 0º 60º k () = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

153 5 Trigoometría Actividades propuestas 0. Calcula las solucioes de las siguietes ecuacioes trigoométricas: a) cos(5) cos() = 0 b) se() se() = 0 Actividad resuelta Ecuació trigoométrica dode o podemos trasformar las sumas e productos por ser más de dos o combiar seo y coseo. Tedremos que trasformar todas las razoes trigoométricas e ua misma. Los pasos a seguir so los que sigue: () Si tiee distito argumeto mediate trasformacioes de águlo doble poer todas las razoes co mismo argumeto. () Si teemos mismo argumeto pero distitas razoes trigoométricas poer todas e fució de la misma utilizado las idetidades se () + cos () =, tg() = se()/cos() y +tg () = /cos () Como caso particular vamos a resolver cos()se()= se (). Primero trasformamos el cos() e fució águlo (coseo del águlo doble): cos () se () se() = se () cos () se () se() = 0 Teemos ahora que epresar el seo e fució del coseo o al revés, utilicemos la idetidad fudametal de la trigoometría cos () = se (), co este cambio teemos que la ecuació se trasforma e ecuació e se(): se () se () se() = 0 se () se() = 0 Es ua ecuació de segudo grado e se(), llamado a se() = t lo verás más secillo: t t + = 0. () Resolviedo t = se() = 6 que so dos ecuacioes comolas de la primera actividad resuelta. () 6 se()= 6 = se()= Actividades propuestas 6 =. Calcula las solucioes de las siguietes ecuacioes trigoométricas: a) se() + cos() = b) se( ) cos( ) c) se () cos () cos() = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

154 55 Trigoometría.. Sistemas Teemos u sistema de ecuacioes trigoométricas cuado al meos e ua de las ecuacioes que lo forma es ua ecuació trigoométrica. Resolver los sistemas trigoométricos o siempre es secillo. Veamos los tipos de sistemas más frecuetes: Nota: E las ecuacioes trigoométricas dode las icógitas aparezca e ecuacioes si estar detro de algua razó trigoométrica se supoe que está epresadas e radiaes. Sistemas resolubles por los cambio de variable o por reducció. So sistemas dode aparece sólo dos razoes trigoométricas, tal que podemos hacer el cambio de variable y obteer u sistema de ecuacioes o trigoométricas. Actividad resuelta Este es u ejemplo típico de cambio de variable. se() cos(y) se() cos(y) X Y X = se(), Y =cos(y) resolviedo el sistema lieal teemos X = /, Y = /. X Y, Deshaciedo el cambio de variable os queda ecuacioes trigoométricas del primer tipo: X = / se() = / o o 5 80 k o 75 80k o o 5 60 k o o k o o k o o k Y = / cos(y) = / o o k o o 0 60 k o o 0 60 k y o o 0 60 k o o 0 60 k o o k Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

155 56 Trigoometría Actividad resuelta () y cos ( ) () y se ( ) 0 Podemos obteer ua ecuació si más que restar la ecuació () meos dos veces la ecuació () () () cos () se ()=, Se resuelve trasformado el seo e coseo o al revés mediate la igualdad fudametal: cos = se se () se () = se 0º 60k () = 0 = 80º 60k y = cos () = se () = 0. Actividades propuestas. Resuelve los siguietes sistemas a) se cos y y se( ) cos( y) b) cos( ) se( y) Sistemas dode ua variable se puede despejar. E este tipo de sistemas despejamos la variable y la itroducimos e la ecuació trigoométrica: Actividad resuelta se( ) cos( y) y / Podemos despejar e la seguda ecuació ua de las dos icógitas y meterla e la primera obteiedo u sistema: = y. se( y) + cos(y) =, utilizado la relació de águlos complemetarios se( y) = cos(y), co lo que 60º 60º k k la ecuació es cos(y) + cos(y) = cos(y)=/ y= 5 00º 60º k k Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

156 57 Trigoometría k k Sustituyedo y obtedremos la = k k 6 Solucioes, si = k y = 6 Actividades propuestas. Resuelve los siguietes sistemas 7 k ; si = k y = 6 5 k a) se ( ) se( y) 0 y b) se( ) cos( y) y Sistemas dode podemos elimiar las razoes trigoométricas E estos sistemas elimiamos la razó trigoométrica a partir de las fucioes iversas (arco tagetes, arco coseo o arco seo). Resolvemos el sistema. Actividad resuelta se( y) se( y) Teemos posibles sistemas: a) 5º 60º k y 5º 60º k. 60º 60º k y 0º 60º k y 5º 60º k 5,5º 60º k y 7,5º 60º k 05º 60º k y 60º 60º k,5º 60º k y 87,5º 60º k y 5º 60º k 8,5º 60º k y 7,5º 60º k b) 65º 60º k y 0º 60º k 6,5º 60º k y 7,5º 60º k y 5º 60º k 97,5º 60º k y,5º 60º k c) 95º 60º k y 60º 60º k 77,5º 60º k y,5º 60º k d) y 5º 60º k 7,5º 60º k y 5,5º 60º k 55º 60º k y 0º 60º k 07,5º 60º k y 7,5º 60º k Actividad propuesta. Resuelve los siguietes sistemas a) cos( y) 0 cos( y) 0 b) se( y) / cos( y) / Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

157 58 Trigoometría. RESOLUCIÓN GENERAL DE TRIÁNGULOS E este apartado, os ocuparemos de u problema muy cocreto, la resolució de triágulos. Resolver u triágulo es calcular todos sus lados y sus águlos. E u triágulo hay seis datos: tres lados y tres águlos. Como veremos, u triágulo puede resolverse, e geeral (co las ecepcioes que citaremos) si de los seis datos coocemos tres cualesquiera. Es muy posible que de cursos ateriores ya coozcas gra parte de lo que vamos a ver e este apartado. E cualquier caso, osotros comezaremos desde el pricipio. Notació geeral Por comodidad, vamos a represetar los triágulos siempre de la misma maera, como ya habíamos visto e el apartado. para águlos agudos. Para mayor comodidad lo vamos a repetir aquí.. Los vértices se represetará co letras mayúsculas, A, B, C. El lado opuesto a u vértice se represetará co la letra miúscula correspodiete a, b, c. El águlo correspodiete a u vértice se represetará co la letra griega (miúscula) correspodiete. Podremos (alfa) para el vértice A, (beta) para el vértice B y (gamma) para el vértice C. No utilizaremos más letras griegas, si ecesitáramos represetar más águlos usaremos primas como e ' (alfa prima) o '' (alfa seguda). Puedes ver a cotiuació u esquema. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

158 59 Trigoometría.. Teorema del coseo El teorema del coseo a veces recibe el ombre de Teorema de Pitágoras Geeralizado, que es ua descripció más eacta. Es esecialmete el teorema de Pitágoras para triágulos o rectágulos (y además icluye como caso especial los triágulos rectágulos). Su euciado es secillo: Teorema del coseo Si a, b y c so los lados de u triágulo cualquiera y α es el águlo etre b y c se cumple la igualdad: a b c bc cos Notas Cuado el triágulo es rectágulo y a es la hipoteusa etoces 90º. Si sustituimos e la fórmula teemos a b c bccos90. Pero al ser cos90 0 la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras a b c. Todos los problemas que se resuelve co el teorema de Pitágoras se resuelve co el teorema del coseo (pero, obviamete, o al revés). El teorema del coseo vale para CUALQUIER águlo α, o es ecesario que sea agudo. Por ejemplo puede ser α = 0 º, lo úico que el coseo sería egativo. Pero la fórmula es la misma. Podemos utilizar el teorema de los coseos si e u triágulo coocemos: Los tres lados. Dos lados y el águlo opuesto a uo de ellos. Dos lados y el águlo que forma. Demostració del teorema Vamos a hacerlo para u triágulo acutágulo. Dejaremos como ejercicio el caso obtuságulo (el rectágulo lo supoemos coocido, es el Teorema de Pitágoras). Dibujemos u triágulo ABC y tracemos la altura correspodiete al vértice C. Esta altura puede caer sobre el lado AB o fuera de él. Vamos a cosiderar el primer caso, el segudo quedará como ejercicio. Queremos calcular el lado a = BC. Por el teorema de Pitágoras es a BC CD DB. El problema es que o teemos i CD i DB. Lo que sí teemos es b = AC, c = AB y el águlo α. CD. AC Sabemos que se CD AC se AD Sabemos tambié cos AD AC cos. AC Pero, por costrucció AD + DB = AB y AB sí lo teemos. Luego es DB = AB AD. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

159 60 Trigoometría Recapitulado y escribiedo e fució de a, b y c que so los datos origiales: Fialmete a a a BC CD CD AC se CD b se DB AB AD c AC cos DB b se c b cos c b cos b se c bcos b se c bc cos b cos b se b cos c bc cos b se cos. Basta operar u poco: c bc cos Pero se cos co lo que fialmete teemos el resultado deseado. Actividades propuestas 5. Qué ocurre cuado la altura cae FUERA del segmeto AB? E otras palabras si teemos la figura que ves a la derecha. Demuestra el teorema del coseo e ese caso [Pista: los úicos cambios aparece al despejar AD que se suma e vez de restar]. 6. Demuestra que el teorema del coseo tambié vale para águlos etre 90 y 80 grados. Para ello, procede como sigue: a) E la figura que tiees a tu izquierda cosidera el águlo α. Se cos ' cos Por qué? cumple que b) Cosidera el triágulo rectágulo DBC y po a e fució de CD y DB. c) De la misma maera que ates, po CD y DB e fució de b, c y α. d) Sustituye e la epresió para a hasta llegar a ua fórmula para a e fució de b, c y α. Al sustituir el cos ' cos tiees el resultado. 7. Dibuja u triágulo co b = 5, c = 8 y el águlo etre ellos 0º (usa ua regla y u trasportador). Calcula el otro lado co el teorema del coseo y comprueba que coicide co el resultado medido. No te saldrá eactamete por el redodeo y el error de medició pero debería ser muy similar. 8. U triágulo tiee de lados, 5 y 7. Calcula sus águlos. 9. E u triágulo ABC, los lados AB y AC mide y cm respectivamete. El águlo correspodiete al vértice B mide 0 grados. a) Utiliza el teorema del coseo para calcular el otro lado. Obtedrás dos solucioes. b) Las dos solucioes se debe a que hay dos triágulos serías capaz de dibujarlos? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

160 6 Trigoometría.. Teorema del seo El teorema del coseo es sólo la mitad de las herramietas que ecesitamos para resolver triágulos. La otra mitad es el teorema del seo, que vamos a defiir a cotiuació. Su euciado y demostració so más secillos que el teorema del coseo. Teorema del seo: E todo triágulo los lados so proporcioales a los seos de sus águlos opuestos. a se b c se se Notas Como ates el teorema del seo vale para CUALQUIER águlo α, o es ecesario que sea agudo. E este caso además el seo es siempre positivo pues los lados de u triágulo suma 80 grados. Y obviamete igú águlo puede ser 0 o 80, porque os quedamos si triágulo. El teorema del seo es preferible al del coseo si coocemos: a) Dos águlos (es decir, tres águlos) y u lado. b) Dos lados y el águlo opuesto a uo de ellos. Demostració del teorema Como ates, vamos a hacerlo para u triágulo acutágulo y dejaremos como ejercicio los otros casos, el caso obtuságulo (el rectágulo lo supoemos coocido, es el Teorema de Pitágoras). Dibujemos u triágulo ABC y tracemos la altura correspodiete al vértice C. Esta altura puede caer sobre el lado AB o fuera de él. Vamos a cosiderar el primer caso, el segudo quedará como ejercicio. Por defiició de seo, teemos se h a b se h a se. h se y tambié b. De este modo, despejado h e los dos lados e igualado a b E otras palabras b se a se. se se Co el mismo razoamieto para el águlo correspodiete al vértice C se tiee la otra igualdad. Al igual que e el teorema aterior, e las actividades propuestas veremos el otro caso. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

161 6 Trigoometría Actividades propuestas 0. Qué ocurre cuado la altura cae FUERA del segmeto AB? E otras palabras si teemos la figura que ves a la derecha. Demuestra el teorema del seo e ese caso [Pista: hay que utilizar α e vez de α y ver la relació etre el seo de ambos águlos]. El ejercicio aterior ya demuestra que el teorema del seo vale para triágulos obtuságulos por qué? Demuestra el teorema para u triágulo rectágulo usado que se 90. Como ates, dibuja u triágulo co b = 5, c = 8 y el águlo etre ellos 0º. Calcula co el teorema del seo el águlo opuesto al lado b y calcula, SIN UTILIZAR EL TEOREMA DEL COSENO el otro águlo y el lado que falta. Comprueba que te sale lo mismo que si hubieras utilizado el teorema del coseo para calcular a.. U triágulo dos águlos que vale 0 y 60 grados respectivamete. El lado etre ellos es de 8 cm. Calcula todos sus águlos y lados.. E u triágulo ABC, los lados AB y AC mide y cm respectivamete. El águlo correspodiete al vértice B mide 0 grados. a) Utiliza el teorema del seo para calcular el otro águlo. Hay dos solucioes porque hay dos águlos co el mismo seo. Calcula los dos. b) Las dos solucioes se debe a que hay dos triágulos, serías capaz de dibujarlos? Problemas co el teorema del seo. Las solucioes obtusa y aguda Si sabemos que u águlo está etre 0⁰ y 80⁰ y coocemos su coseo, el águlo está determiado. Eso sigifica que, co el teorema del coseo, siempre podemos calcular águlos de u triágulo si ambigüedad. Pero o ocurre lo mismo co el teorema del seo. Dado el seo de u águlo, hay dos águlos etre 0⁰ y 80⁰ cuyo seo coicida. E efecto, se(0) = se(50), se(0) = se(0) y e geeral se se 80. Sólo lo teemos idetificado cuado se que da úicamete 90º. Por eso, si utilizamos el teorema del seo para calcular águlos, hay dos solucioes, la solució aguda y la solució obtusa. E alguas ocasioes esto está bie porque hay dos triágulos posibles pero e otras simplemete estamos itroduciedo solucioes falsas. Cómo arreglar este problema? Hay dos maeras. La más fácil es o utilizar uca el teorema del seo para calcular águlos, sio sólo lados. La otra maera es utilizarlo para el cálculo de águlos PERO ASEGURÁNDONOS DE QUE EL ÁNGULO ES AGUDO, y cómo saber esto? Pues co el siguiete resultado. Si u triágulo es obtuságulo, el águlo obtuso es opuesto al lado más grade. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

162 6 Trigoometría Demostració del teorema Supogamos u triágulo obtuságulo de lados a, b y c co el águlo opuesto a a obtuso. Debemos ver a b y a c. Por el teorema del coseo y ab cos 0. Eso sigifica abcos 0 a b c abcos. Como el águlo es obtuso etoces cos 0 c y por tato a b. Como los dos so positivos, tomado raíces se deduce a b. Del mismo modo se demuestra que a c... Resolució geeral de triágulos Co las herramietas de que dispoemos, ya podemos solucioar el problema geeral de la trigoometría, es decir, resolver triágulos cualesquiera. U triágulo tiee seis datos. Para resolverlo ecesitamos tres de ellos y al meos uo de ello debe ser u lado. Herramietas fudametales Teorema del seo Teorema del coseo La suma de los águlos del triágulo es 80⁰ Para evitar que los errores se propague es recomedable utilizar los datos que os da iicialmete, y o los que hemos ido calculado. No siempre u triágulo se puede resolver pues co los datos dados os puede aparecer solucioes imposibles. Tambié a veces co los datos dados tedremos dos solucioes. El caso más problemático es cuado se cooce dos lados y uo de los águlos que o forme los dos lados. Vamos a cotiuació a describir la situació co todo el detalle e todos los casos. Coocidos tres lados Puede ocurrir: Ua úica solució Nigua solució: esto ocurre cuado u lado es mayor o igual que la suma de los otros dos, o meor o igual que la resta de los otros dos. Método recomedado para tres lados Si a es el lado mayor, calcular (el águlo opuesto) plateado el teorema del coseo e la forma a b c abcos. Si sale cos o cos es que o hay solució. Calcular cualquiera de los otros dos águlos co el teorema del seo. Calcular el tercer águlo usado que la suma de los águlos del triágulo es 80⁰. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

163 6 Trigoometría Actividad resuelta Resolver u triágulo si sus lados so a = cm, b = cm, c = 5 cm. Solució: El lado más grade es c de modo que lo poemos a la izquierda e el plateamieto del teorema del coseo. Así pues c a b abcos. Sustituyedo teemos. 5 cos 5 6 6cos 5 5 Queda cos arc cos 08'º 6 6 Fíjate que o hemos teido igú problema porque el águlo fuera obtuso. Co el seo habríamos teido que distiguir casos. Podemos ahora calcular cualquiera de los otros águlos co el teorema del seo. Como ya sabemos que so agudos (porque ya hemos calculado el úico que podía ser obtuso) o hay problema. Por ejemplo, vamos a calcular. Podríamos haber calculado igualmete. se se se08' se se. Sustituyedo 08' se 0'76 c b 5 5 De ahí obteemos arc se0'76 9'6º. Fialmete ' 9'6 'º Co este método o estamos utilizado los datos iiciales e cada mometo y por eso podemos teer errores de redodeo. Recomedamos tomar al meos dos decimales. De ua maera u poco más leta, podemos usar sólo los datos iiciales. Método para tres lados sólo co datos iiciales Calcular TODOS los águlos despejado co el teorema del coseo. Actividad resuelta Resolver u triágulo si sus lados so a = cm, b = cm, c = 5 cm. Solució: Ahora podemos hacerlo e el orde que queramos, porque cada uo de ellos o afecta a los de ates. Lo úico, que si empezamos por el más grade sabemos ates si o hay solució. Pero como ya hemos visto ates que sí la hay, empezamos calculado para ver que sale lo mismo. a b c bccos 5 5 cos 6 5 0cos o, lo que es lo mismo 7 7 cos arc cos ' arc 5. 0 De la misma maera cos cos arccos 9' arc. 6 Fialmete cos cos arc cos 08'º Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

164 65 Trigoometría Observa que APARENTEMENTE o hay igua diferecia co la solució aterior. Si embargo, sí que la hay si mostramos todas las cifras. E este ejercicio, por ejemplo hemos calculado arccos 9'58 pero e el aterior hemos hecho arccos0'76 9' 6. 0 El error, e cualquier caso, es pequeño. Coocidos dos lados y el águlo etre ellos E este caso SIEMPRE hay ua úica solució. El método es simple. Método recomedado para dos lados y el águlo que forma Calcular el otro lado co el teorema del coseo. Usar el teorema del seo para calcular u águlo. Hay dos posibilidades, teemos que escoger siempre la que correspoda al lado MENOR. De este modo evitamos la solució obtusa. Calcular el tercer águlo usado que la suma de los águlos del triágulo es 80⁰. Actividad resuelta Solució: Resolver u triágulo co lados a = 0 cm, b = 0 cm y águlo 60º Lo primero, observa que el águlo correspode al vértice c y por tato es el águlo etre a y b. Por el teorema del coseo: c = a + b ab cos c = cos(60) c = 00 7' cm Podemos aplicar el teorema del seo al águlo, correspodiete al lado a = 0 cm o al águlo, correspodiete al lado b = 0 cm. Para evitar la solució obtusa escogemos pues es agudo (recuerda, si hay u águlo obtuso debe correspoder al lado más grade). se b se se se60 c 0 00 se 0'5 0º Fialmete, restado teemos º. No habríamos teido problemas si hubiéramos aplicado el teorema del seo a pero más vale preveir Coocidos dos lados y u águlo que o esté etre ellos E este caso puede ocurrir tres cosas: Ua úica solució (es u triágulo rectágulo). Dos solucioes. Nigua solució. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

165 66 Trigoometría Es muy parecido al otro caso, pero hay que discutir todas las posibilidades. Método recomedado para dos lados y u águlo que o esté etre ellos Platear el teorema del coseo. Nos aparecerá ua ecuació de segudo grado. a) Si o tiee solució hemos termiado. No hay tal triágulo. b) Si tiee solució úica procedemos co los siguietes pasos. c) Si tiee dos solucioes procedemos co los siguietes pasos para cada ua de ellas. So dos triágulos. Usar el teorema del seo para calcular u águlo. Hay dos posibilidades, teemos que escoger siempre la que correspoda al lado MENOR. De este modo evitamos la solució obtusa. Calcular el tercer águlo usado que la suma de los águlos del triágulo es 80⁰ Actividad resuelta Solució: Resolver u triágulo co lados a = 0 cm, b = 0 cm y águlo 0º Observa que, auque el problema es muy similar, e este caso el águlo está e otro lugar. Y esa diferecia, que parece míima, os cambia todo el problema. Sabemos que el triágulo tiee que ser de la forma que aparece a la derecha. El triágulo o está a escala, es simplemete u esquema. Puesto que sólo coocemos u águlo, debemos aplicar el teorema del coseo a ese águlo. b a c accos Sustituyedo obteemos c cos50 c, es decir c 0 c 0' 9 o, epresado como ecuació de segudo grado c 7'60c Resolviedo 7'6 7'6 00 c os da dos solucioes, c 6' y c ' 9. Hay por tato dos triágulos. Uo co a = 0, b = 0, c = 6 y otro co a = 0, b = 0, c = 9. Vamos a resolver el primero. El úico águlo que puede ser obtuso es el. Por tato vamos a calcular el. Co el teorema del seo se se se se0 0 se se0 0'68 arc se0'68 '8º a b Fialmete, 80 '8 0 7'6º El segudo es diferete puesto que ahora puede ser obtuso. Así pues teemos que calcular. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

166 67 Trigoometría se c se se se0 0 '9 0 se '9 0 Fialmete, 80 '95 0 7'05º E resume dos triágulos solució: a = 0 cm, b = 0 cm, c = 6 cm, α = 8⁰, β = 0 ⁰, γ = 7 6⁰. a = 0 cm, b = 0 cm, c = 9 cm, α = 7 05⁰, β = 0 ⁰, γ = 95⁰. se0 0'9 arc se0'9 '95º Coocido u lados y dos águlos E este caso puede ocurrir so cosas:. Nigua solució (si los dos águlos suma 80 grados o más).. Ua úica solució. Este caso es especialmete secillo. Método recomedado para dos águlos y u lado Calcular el tercer águlo usado que la suma de los águlos del triágulo es 80⁰. Si los dos águlos que os da suma 80 grados o más o hay solució. Usar el teorema del seo para calcular los otros lados. Actividad resuelta Resolver u triágulo co lado a = 0 cm y águlos 60º y 80º Solució: El águlo se calcula si dificultad como º. Podemos ahora usar el teorema del seo: se a se se80 se60 se60 c c 0 c se80 0 8'79 cm Es coveiete, al calcular el águlo, poer las proporcioes el revés. Desde luego, o es obligatorio, ya ves que el aterior lo hemos hecho si cambiar. Lo dejamos a tu elecció cómo quieras hacerlo. a se b 0 se se80 se0 b se 0 b se '5 cm Observa que co los tres águlos o se puede calcular los lados. Dos triágulos co los águlos iguales so semejates, pero los lados o se puede calcular si teer algú otro lado. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

167 68 Trigoometría.. Problemas de trigoometría co medidas simples y dobles. Ahora que ya sabemos resolver cualquier tipo de triágulo, podemos tambié resolver problemas co varias medidas y o estamos restrigidos a triágulos rectágulos. Por eso teemos mucha libertad para resolverlos. El problema típico de doble medida es teer dos águlos [de ahí la doble medida] y ua distacia y buscar calcular otra. Alguos ejemplos so: Desde u puto vemos el puto más alto de ua torre co u águlo de 0 grados y al acercaros 5 metros se ve co u águlo de 0 grados. Calcular la altura de la torre. U globo está e la vertical etre dos observadores separados por 0 m. El primero lo ve co u águlo de 0 grados y el segudo co u águlo de 50 grados, a qué altura está el globo? E u viaje de alumos de º de E.S.O. a Lodres, alguos de los viajeros hiciero prácticas de trigoometría. Al coocer que las torres de la Abadía de Westmister tiee 0 metros de altura, decidiero aprovechar sus coocimietos para calcular la altura de la coocida torre Big Be. Desde u puto itermedio etre ambos edificios se divisa el puto más alto de la Abadía co águlo de 60⁰, y el Big Be co u águlo de 5⁰. Si la distacia etre las bases de las torres de los dos edificios es de 50 metros, cuál fue el resultado de sus cálculos?, a qué distacia se ecotraba de cada edificio? (Nota: Los datos so totalmete ficticios y este problema está sacado de u libro de cuarto de la ESO tambié de Marea Verde). Usualmete hay dos maeras de resolver u problema: Dividiedo el problema e varios triágulos rectágulos y plateado u sistema. Ir calculado ua a ua las medidas mediate dos triágulos o ecesariamete rectágulos. Vamos a resolver el primero. Los demás los dejaremos como ejercicio al fial de esta misma secció. Actividad resuelta Desde u puto vemos el puto más alto de ua torre co u águlo de 0 grados y al acercaros 5 metros se ve co u águlo de 0 grados. Calcular la altura de la torre de dos maeras distitas. Solució: E primer lugar vamos a resolverlo co u sistema. Ates de ada, dibujaremos la figura y podremos ombre a las cosas. El puto alejado lo llamamos A y a su águlo. El puto más cercao lo llamamos A y a su águlo '. B es el pie de la torre y C su puto más alto. Plateado u sistema teemos: BC BC BC tg tg ' AB 5 A' B A' B Pero las tagetes las teemos. tg tg0 0' 58 y tg ' tg 0 0'. Por comodidad llamamos y BC, A' B. 8 Así pues teemos el sistema: y 0'58 5. y 0'8 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

168 69 Trigoometría Para resolverlo, lo más fácil es dividir miembro a miembro las dos ecuacioes. y 0 '8 y y y 5 5 '5. 0'58 y 5 y 5 5 '5 5 0'5 5 '. 0'5 y Pero lo que os iteresa es y. Así pues 0'8 y ' 0'8 9'm. ' Vamos ahora a resolverlo directamete. E el triágulo A BC teemos sólo dos águlos ( ' 0º y el otro de 90⁰). Necesitamos u lado para resolverlo. Y os vale cualquier lado. Así pues, vamos a calcular el lado comú co otro triágulo. Del triágulo AA C teemos u lado (AA ) y el águlo 0º. Necesitamos algo más. Pero teemos ' 0º así que tambié teemos su complemetario, al que llamaremos '' y que obviamete vale 0 = Por tato e AA C teemos dos lados y u águlo. Podemos resolverlo. No os iteresa el triágulo etero, solamete el lado comú co A BC. Aplicamos el método recomedado. E primer lugar, el águlo que queda,, vale 0⁰ pues es 0 = A ' C Platemos el teorema del seo. se AA' se 0 0 A' C 5 se Sustituyedo AC 5 '8m se0 se0 se Por tato, ya teemos dos lados y dos águlos. Podemos aplicar el teorema del seo a A BC: BC se A' C BC ' se90 se0 '8 BC '8se 0 9' Hay ua pequeña diferecia debido al redodeo. Si haces los cálculos usado todos los decimales de la calculadora puedes comprobar que sale e los dos casos. Actividades propuestas 5. U globo está e la vertical etre dos observadores separados por 0 m. El primero lo ve co u águlo de 0 grados y el segudo co u águlo de 50 grados, a qué altura está el globo? 6. E u viaje de alumos de º de E.S.O. a Lodres, alguos de los viajeros hiciero prácticas de trigoometría. Al coocer que las torres de la Abadía de Westmister tiee 0 metros de altura, decidiero aprovechar sus coocimietos para calcular la altura de la coocida torre Big Be. Desde u puto itermedio etre ambos edificios se divisa el puto más alto de la Abadía co águlo de 60⁰, y el Big Be co u águlo de 5⁰. Si la distacia etre las bases de las torres de los dos edificios es de 50 metros, cuál fue el resultado de sus cálculos?, a qué distacia se ecotraba de cada edificio? m Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

169 70 Trigoometría CURIOSIDADES. REVISTA Sobre la redodez de la Tierra Desde cuádo sabemos que la Tierra es redoda y o plaa? (más bie habría que decir esférica pero todo el mudo dice redoda). U error relativamete comú es, pesar que todo el mudo opiaba que la Tierra era plaa hasta el siglo XV. Etoces Coló descubrió América e el siglo XV y coveció a casi todo el mudo. Y luego Ferado de Magallaes y Jua Sebastiá Elcao diero la primera vuelta al mudo y disiparo todas las dudas. Bie, pues o es cierto!! Se sabe que la Tierra es redoda desde la Atigüedad. No sólo eso. Desde el siglo III a.c. se cooce su radio y por tato su circuferecia. Así que ya ates de Cristo se sabía cuáto teía que avegar Coló para dar la vuelta al mudo. Etoces, de qué tuvo que covecer Coló a sus patrociadores? Ciertamete o de la redodez de la Tierra. Coló pesaba que la circuferecia de la Tierra era más pequeña y que Japó estaba más cerca de los datos más precisos que teía los cietíficos de la época. De hecho afirmaba que sólo había uos.700 km de las islas Caarias a Japó (la cifra real so.500 Km). Hay cierto debate sobre si realmete Coló pesaba eso o si simplemete sabía que había tierra a esa distacia y se limitó a coger las estimacioes que más se ajustaba a su idea. Pero todo eso os aleja de la preguta fudametal que queríamos respoder, cómo sabía los atiguos que la Tierra era redoda? Retrato de Coló. Fuete: Image e wikipedia Mapa de Toscaelli Posible mapa e que se basó Coló para plaear su viaje. Fuete: Image e wikipedia Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

170 7 Trigoometría Erastóstees y el radio de la Tierra No está claro desde cuádo se sabe que la Tierra es redoda. Alguos dice que fue Pitágoras (siglo VI a.c.) el primero e afirmarlo. Tambié se afirma de otros griegos más o meos de la misma época como Parméides, Zeó o Hesiodo. Lo que sí se sabe es que a partir del siglo V a.c. la idea geeralizada era que la Tierra era redoda. La evidecia veía, etre otros factores, del hecho de que alguas estrellas que se ve desde Egipto o se veía desde Grecia. Eso sólo puede ocurrir si la Tierra es curva. Tambié e los eclipses, la sombra de la Tierra sobre la Lua es siempre circular idepedietemete de cómo sea el eclipse. La úica figura que siempre da sombras circulares es la esfera. Si embargo, hasta el siglo III a.c. sólo era ua cuestió filosófica. El primero que midió realmete el radio de la Tierra y por tato calculó su tamaño fue Erastótees de Ciree. El griego Eratóstees vivió e Alejadría etre los años 76 a. C. y 9 a.c. Era u coocido matemático, astróomo y geógrafo de la época. Etre otros trabajos uo de los más coocidos y aplicados e la actualidad es la deomiada Criba de Eratóstees para el cálculo de úmeros primos. El eperimeto realizado por Eratóstees era geial e su secillez: se sabía que e Siea (hoy Asuá e Egipto) los días próimos al solsticio de verao el Sol al mediodía o proyectaba sombras, es decir estaba e el perpedicular co la horizotal terrestre. E cambio el mismo día a la misma hora e Alejadría esto o ocurría y los palos teía sombra. Mediate esta observació Eratóstees o sólo le valió para darse cueta de que la Tierra o era plaa sio para calcular el radio de la Tierra!!! Vamos a ver gráficamete el eperimeto a fi de etederlo mejor. E la siguiete secció te propoemos realizar co tu clase otra práctica similar. Situació si la Tierra es redoda Situació si la Tierra fuese plaa Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

171 7 Trigoometría Replicado los cálculos origiales REPLICA EL EXPERIMENTO Simplemete observado que lo que ocurre es que dos palos separados da sombras distitas, ya puedes deducir que la Tierra tiee curvatura. Pero el eperimeto os da mucho más que eso. Podemos calcular tambié el radio de la esfera. Si te fijas bie e el esquema primero (dode la Tierra es esférica) podemos observar que los águlos que marca la diferecia de latitud etre las dos ciudades ( ) y el águlo de los rayos solares co el palo e Alejadría so iguales, pues los lados que forma ambos águlos so paralelos. De esta forma calculado el águlo que forma el palo de Alejadría co los rayos solares (co el arco tagete del cociete del tamaño de la sobra y el del palo) hemos calculado la diferecia de latitud. Así lo hizo Eratóstees y calculó este águlo cuyo resultado fue /50 parte de la circuferecia, es decir, 7 o '. Posteriormete, tomó la distacia estimada por las caravaas que comerciaba etre ambas ciudades, auque bie pudo obteer el dato e la propia Biblioteca de Alejadría, fijádola e 5000 estadios, u estadio 7 5 m. Co estos resultado co ua simple regla de tres llegó a la siguiete coclusió, que te pedimos que compruebes co calculadora: Diferecia Latitud Distacia /50 partes circuferecia 7 5*5000/000 = 87 5 km circuferecia = logitud circuferecia = = 56 5 km. Radio Tierra = logitud()/( ) = 69 m (radio real 670 m, error iferior al 0%) Alguas cosideracioes: Para hacer la medició de las sombras es ecesario que la medició se haga a la misma hora solar, esta sólo ocurre e el mismo istate sólo si os ecotramos e ciudades co la misma logitud (e el mismo meridiao). La diferecia etre las dos ciudades elegidas por Eratóstees se diferecia e casi o. Realizado co tu clase u eperimeto similar Vamos a realizar la eperiecia co tus compañeros de clase. Para realizar la eperiecia ecesitas buscar la colaboració de otro istituto, cuato más diferecia de latitud co el tuyo mejor saldrá la eperiecia. Dos so las dudas que se platea a la hora de repetir el eperimeto: ) Necesitamos que los dos istitutos esté e el mismo meridiao? ) Es ecesario que el sol e uo de los istitutos o proyecte sombra? Vamos a resolver estas dos dudas: ) Para hacer las medidas es ecesario que el istate cuado miremos la sombra sea la misma hora solar, es decir el sol estar e la misma posició e los dos cetros. Si los dos cetros o está e la misma logitud etoces tedremos que buscar el istate e cada cetro e el que la hora solar sea la misma. Elegiremos la hora solar más recoocible, el mediodía solar. Es fácil recoocer este mometo, por las siguietes Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

172 7 Trigoometría características: a. El sol ocupa la posició más alta del día (meor sombra) b. El sol está e el Sur del horizote (la sombra cae al Norte) La hora de reloj del mediodía varía segú la época del año y la logitud del cetro. Para calcularlo tedremos e cueta las siguietes cosideracioes: E España estamos ua hora adelatados respecto a la hora Europea. Así hay que sumar ua hora a la hora del mediodía ( h) Meridiao de Greewich E iviero co el cambio de hora tedremos que sumar otra hora. La hora de uestros relojes está referida al cetro del uso horario, e España el meridiao de Greewich. Así al Oeste de este meridiao (que marca logitud 0 o ) tedremos que sumar el tiempo que tarda el sol e llegar a la latitud del local. Si el cetro se ecuetra al Este del Meridiao hay que restar el tiempo que tardó e Sol e llegar al meridiao de Greewich desde el lugar. Este valor se calcula co ua secilla regla de tres ( horas 60 o ). Veamos dos ejemplos: Leó: Logitud 5 57 o, tedremos que sumar a la hora 5 57 o = mi Giroa: Logitud 8 o tedremos que restar 8 o = mi Ecuació del tiempo: es la diferecia etre el tiempo solar medio (medido geeralmete por u reloj) y el tiempo solar aparete (tiempo medido por u reloj de sol). Geera ua gráfica de esta forma Para asetar coceptos veamos la hora real del mediodía solar e Leó el día 90 del año (comiezo de marzo). Hora mediodía = h + h iviero) + h (horario de España) + mi + 6 (ecuació del tiempo) = :6 miutos Ecuació del tiempo ) El Sol sólo se sitúa e la vertical e días de verao de latitudes más próimas al ecuador. Pero esto o limita realizar la eperiecia, pues la diferecia de latitud de los dos cetros se calcula restado los águlos que forma es Sol e los istitutos. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

173 7 Trigoometría Toma de medidas y cálculo del radio Elegimos u día (y esperamos que sea soleado ). Nuestro objetivo es calcular la altura solar (águlo que forma el sol co u gomo o palo perpedicular al suelo) e el mediodía. Para calcular este águlo vamos a hacer varias medidas ua hora ates y otra después del mediodía (recuerda como se calcula). Situamos u palo perpedicular al suelo, podemos usar u recogedor y ua plomada para asegurar la perpedicularidad co el suelo. Marcamos la posició e el suelo de la vertical del palo que os da la sombra y situamos papel de kraf e el suelo para poder situar sobre él la sombra del palo. Cada cico miutos marcamos la posició del etremo de la sombra, así como la hora. La sombra se mueve del Oeste a Este (al revés del sol), además hasta el mediodía la sombra dismiuye de tamaño y a partir de mediodía aumeta. Cuado tegamos las marcas y las horas aalizamos las mismas co el fi de determiar la hora del mediodía y el tamaño de la sombra e este mometo (sombra más pequeña e el mediodía). Podemos hacer esto de observado el tamaño de la sombra y cogiedo el valor meor o usar ua herramieta iformática (como Ecel) para represetar el tiempo frete al tamaño cuya gráfica es ua parábola, siedo el vértice de la misma el puto que os marca la hora del mediodía y la sombra al mediodía. Veamos u ejemplo para asetar ideas: Recuerda que el vértice se calcula a partir de la epresió aalítica de segudo grado y = a + b + c siedo V( 0, y o ) co o = (hora del mediodía solar) e y o = f( 0 ) (sombra del palo e el mediodía solar). Sólo os falta calcular el tamaño del palo (gomo) y co el tamaño de la sombra calcular el águlo que Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

174 75 Trigoometría forma el sol co el palo (altura solar) a partir de la tagete. l d Ya tiees el valor de tu águlo, ahora a esperar que tus compañeros del otro istituto haya hecho lo mismo. La diferecia etre estos dos águlos debería ser la diferecia de latitud etre ambos cetros. Utiliza algú programa iformático como sigpac para ver la distacia (sólo e latitud) etre los dos cetros y mediate ua regla de tres y ya tiees calculado la logitud de la circuferecia terrestre! Leó Málaga Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

175 76 Trigoometría RESUMEN Radiá Razoes trigoométricas de u águlo agudo Relacioes fudametales Otras razoes trigoométricas Es u águlo tal que cualquier arco que se le asocie mide eactamete lo mismo que el radio utilizado para trazarlo. Se deota por rad. Nº de radiaes de u águlo completo = rad se cos ta cateto opuesto hipoteusa b a cateto adyacete hipoteusa cateto opuesto cateto adyacete c a b c se cos se ta cos cosec sec cota se cos ta Ejemplos 90 o so / rad 5 se, cos o o se 0 cos 0 cosec 90 o = sec 90 o No eiste cota 5 o = 5 Reducció al primer cuadrate Las razoes trigoométricas de cualquier águlo puede epresarse e fució de las de u águlo agudo º CUADRANTE se se y cos cos o o se5 se 5 Reducció al primer cuadrate se se cos cos er CUADRANTE y se se cos cos º CUADRANTE y o o se 00 se 0 cos o o 60 cos 60 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

176 77 Trigoometría Fórmulas de la suma se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) se(75) = se(5) cos(0)+ cos(5)se(0) = Fórmulas de la resta se( a b) se( a) cos( b) cos( a) se( b) cos( a b) cos( a) cos( b) se( a) se( b) cos(5) = cos(5) cos(0)+ se(5)se(0) = Águlo doble se(a) se( a) cos( a) cos(a) cos ( a) se ( a) cos(60) = cos 0 se 0 Águlo mitad a a cos cos( a) se se 0 cos( a) cos 60 ( 0'5) / 0' 5 0'5 Teorema del coseo E u triáguloabc cualquiera: a b c Δ abcos Si b = 5, c = 6 y el águlo etre ellos es 0 grados, el lado a es a cos0, es decir a = 0 Teorema del seo E u triáguloabc cualquiera: se a Δ se se b b Si b = 5 y a =,0 el águlo se se 0 cumple '0 5 y da 7'5º Resolució geeral de triágulos E geeral cualquier triágulo se puede resolver si coocemos tres de los seis datos (hay tres lados y tres águlos). Se aplica los teoremas del seo y del coseo y que la suma de sus águlos so 80 grados. Si los datos origiales so b=5, c = 6 y 0 el teorema del coseo os da a = 0, el teorema del seo 7'5º y la suma da '8º. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

177 78 Trigoometría Águlos y razoes trigoométricas. Sabiedo que cos EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5, halla las restates razoes trigoométricas del águlo. [Hay dos solucioes].. Calcula si hacer uso de la calculadora las demás razoes trigoométricas a) se() = 0 (cuadrate II) b) cos() = 0 (cuadrate III) c) tg() = (cuadrate I). Sabiedo que se, y que es u águlo del tercer cuadrate, halla el coseo y la 5 tagete de dicho águlo.. Si tg = /, y es u águlo del primer cuadrate, calcula: a) tg(80º ) b) se(80º + ) c) cos(60º ) 5. Sabiedo que se 0. 5, y que es u águlo del SEGUNDO cuadrate, halla las otras cico razoes de dicho águlo. Idetidades y ecuacioes trigoométricas 6. Resuelve: a) se cos cos 0 b. tg cos 7. Demuestra las siguietes idetidades: cos b) cot a) tg se d) cos c) sec tg cos se g tg cos se e) cosec cot g f) cos se cos se 8. Demuestra que so ciertas las siguietes igualdades: a) sea sea b cos a cosa b cosb tg b) tg tg 9. Resuelve las siguietes ecuacioes trigoométricas: a) cos se 0 b) se cos 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

178 79 Trigoometría 0. Di si so ciertas o falsas las siguietes igualdades: tg se a) tg b) cot g cos. Demuestra que so ciertas las siguietes igualdades: tg se se se a) cos b) cos tg cos cos. Comprueba que so ciertas las siguietes igualdades: tg ( ) cos ( ) a) tg ( ) c) se( ) cot g ( ) se( ) b) sec () + cosec () = sec () cosec (). Resuelve las siguietes ecuacioes trigoométricas: a) cos cos cos 0 b) tg se 0. Demuestra que so ciertas las igualdades: cos sec a) cos se tgcos b) se 70 cos 0 cos 5. Resuelve la ecuació trigoométrica posibles). 6. Resuelve la ecuació trigoométrica se tg cos 7. Resuelve la ecuació trigoométrica cos cos( ) 0' posibles. 8. Resuelve las siguietes ecuacioes a) se () se() = 0 b) cos() + se () = c) tg () = sec () d) se() = Resuelve los siguietes sistemas: a) b) se cos y y cos( ) cos( y) cos( y) c) se( ) cos( y) cos( ) se( y) cos (dado TODAS las solucioes dado TODAS las solucioes posibles. dado TODAS las solucioes Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

179 80 Trigoometría 0. Resuelve las siguietes ecuacioes a) se b) se ( ) se(0º ) 0 c) se( ) cos( ). Simplifica las siguietes epresioes a) (se()+cos()) +(se() cos()) d) se(a) cos( a) se( a) ( cos a) b) se ( ) se( ) cos se( ) ( ) e) tg( a) tg(a) tg( a) c) se( y) se( y) cos( y) cos( y) Problemas de resolució de triágulos. Ua atea de radio está sujeta al suelo co dos cables, que forma co la atea águlos de 6º y 8º. Los putos de sujeció de los cables está alieados co el pie de la atea y dista etre sí 98 metros. Calcula la altura de la atea.. Calcula los lados y los águlos del triágulo ABC, rectágulo e A, del que coocemos el cateto AC=5cm. y la altura relativa a la hipoteusa AD = cm.. Calcular el área de u heptágoo regular iscrito e ua circuferecia de 5 cm de perímetro. Calcular el radio de la circuferecia iscrita. 5. E u tramo de carretera la icliació es del 5 % (sube 5 m e 00 m). Calcular el águlo que forma co la horizotal la carretera. Sabemos que hemos subido 00 m, Cuáto hemos adado por la carretera? 6. Desde u cierto puto del suelo se ve u árbol bajo u águlo de º bajo qué águlo se ve colocádose al doble de distacia? 7. E u triágulo coocemos dos de sus águlos y u lado: A = 55º, B = 98º, a = 7 5 cm. Resuélvelo. 8. E u triágulo coocemos dos lados y el águlo compredido etre ellos A = 5º, b = 0 cm, c = cm. Resuélvelo. 9. Halla los águlos de u triágulo del que se cooce los tres lados: a = 7 cm, b = cm, c = 68 cm. 0. Dos barcos parte de u puerto co rumbos distitos que forma u águlo de 7º. El primero sale a las 0 h de la mañaa co ua velocidad de 7 udos, y el segudo sale a las h 0 mi, co ua velocidad de 6 udos. Si el alcace de sus equipos de radio es de 50 km. Podrá poerse e cotacto a las de la tarde? (udo=milla/hora; milla=850 m). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

180 8 Trigoometría. Dos amigos está e ua playa a 50 m de distacia y e el mismo plao vertical que ua cometa que se ecuetra volado etre ambos. E u mometo dado, uo la ve co u águlo de elevació de 50º y el otro co u águlo de 8º. Qué distacia hay desde cada uo de ellos a la cometa?. U globo aerostático se ecuetra sujeto al suelo, mediate dos cables de acero, e dos putos que dista 70 metros. El cable más corto mide 90 metros y el águlo que forma el otro cable co el suelo es de º. Calcula: a) La medida del otro cable. b) La distacia del globo al suelo.. Desde u faro F se ve u barco A co águlo de º co la costa, y el barco B co º. El barco B está a km de la costa y el A a 5km. Calcula distacia etre los barcos.. Ua fica tiee forma triagular. Dos de sus lados mide 0 m y 00 m respectivamete, y el águlo compredido etre ambos es de 5º. Calcula el perímetro y la superficie de la fica. 5. Calcula el área y el perímetro de u petágoo regular iscrito e ua circuferecia de radio cm. 6. Calcula la altura del edificio: 7. Dos persoas A y B dista etre sí 00m y ve u globo que está situado etre ambas. La primera persoa lo ve co u águlo de 0º y la seguda co u águlo de 60º. a) A qué distacia está B del globo? b) A qué altura está el globo? c) Ua persoa que esté situada detro del globo Co qué águlo ve a A y B? 8. Calcula la altura de la torre grade a partir del siguiete dibujo. 9. Deseamos medir la altura de u edificio. Si lo observamos desde u puto A lo vemos co u águlo de 50º. Ahora bie, si lo cotemplamos desde 0m más lejos el águlo es de 0º. Cuál es la altura del edificio? A qué distacia está el puto Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

181 8 Trigoometría B de dicho edificio? 0. Calcula todos los águlos de u triágulo de lados,5 y 6. Hay más de ua solució? Si hay más de ua, calcúlalas todas, si hay ua sola, eplica por qué.. Justifica que hay EXACTAMENTE DOS triágulos co lados a =, b=5 y águlo (el opuesto al lado a) igual a 5º.. Resuelve los siguietes triágulos a) =5º, b=50m, a=0m b) =0º, a=5cm, b=cm c) =5º, =60º, b=0m d) =5º, b=0m, c=6m e) a=5cm, b=cm, c=cm. Comezamos e ua ciudad A y observamos u cartel. La ciudad B está a 50 Km y la ciudad C a 0 Km. Medimos el águlo que forma las dos carreteras y resulta ser de 60º. a) A qué distacia está B de C? b) Desde la ciudad B Co qué águlo se ve las otras dos ciudades? [E otras palabras: si cosideramos el triágulo ABC cuáto vale el águlo que correspode al vértice B?] Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

182 8 Trigoometría AUTOEVALUACIÓN. Calcula las siguietes razoes trigoométricas si hacer uso de la calculadora. a. se(750 o ) b. tg(570 o ) c. cos(0/). A partir de las razoes trigoométricas de la suma calcula las siguietes razoes trigoométricas: a. se(05 o ) b. cos(75 o ). Sea u triágulo del que coocemos los siguietes datos a = 0cm, b = 0cm, Â = 0º. Calcula los demás datos del triágulo. Calcula el área del triágulo. U buitre vuela a 0 m de altura y formado u águlo co la horizotal respecto de osotros de 60 o E la misma direcció pero formado u águlo de 0 o vuela ua perdiz a 00 m de altura. Si el buitre quiere comerse la perdiz, pero sólo lo cosigue si la distacia etre ambos es meor de 50 m. Puede el buitre cazar a la perdiz? A qué distacia está? 5. Calcula si utilizar la calculadora el resto de razoes trigoométricas (seo, coseo) de, sabiedo que tg(y er cuadrate. 6. Resuelve las siguietes ecuacioes a. 6 cos (/) + cos() = b. se() + cos() = 7. Resuelve los siguietes sistemas: a. se( ) se( y) se( ) se( y) y c. se( ) se( y) b. y 6 se( ) se( y) 8. Demuestra las siguietes igualdades: a) cos(+y+z) = cos() cos(y) cos(z) cos() se(y) se(z) se() cos(y) se(z) se() se(y) cos(z) se (a) b) cos( a) ( cos a) cos( a) 9. Calcula el perímetro de u petágoo regular iscrito e ua circuferecia de 0 cm de radio. Calcula su área 0. E las señales de tráfico que idica la pediete de la carretera la iformació que os da es el porcetaje de subida e fució del avace del coche. Calcula el águlo para ua pediete del 5 %. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Trigoometría Autores: Adrés García Mirates y José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF

183 MATEMÁTICAS I: º de Bachillerato Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó Ilustracioes: Elaboració propia, Wikipedia, Baco de Imágees de INTEF y

184 85 Geometría. VECTORES.. EL PLANO CARTESIANO.. LOS VECTORES EN EL PLANO.. OPERACIONES CON PUNTOS Y VECTORES.. EL PRODUCTO ESCALAR. CÁLCULO DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS.5. BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES. RECTAS Y PROBLEMAS MÉTRICOS.. LUGARES GEOMÉTRICOS.. RECTAS. DEFINICIÓN Y ECUACIONES.. POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS.. PROBLEMAS MÉTRICOS. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.5. TRASLACIONES.6. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ. CÓNICAS.. CIRCUNFERENCIAS Y ELIPSES.. HIPÉRBOLAS.. PARÁBOLAS.. CÓNICAS GENERALES.5. LA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA El objetivo de este capítulo es epoer co detalle la Geometría Aalítica e dos dimesioes. La Geometría Aalítica permite describir diferetes elemetos geométricos como putos, rectas, circuferecias, elipses etre otros. E este curso os cetraremos e geometría e dos dimesioes, es decir que se puede dibujar e u plao; el próimo curso se verá la Geometría Aalítica e el espacio o e dimesioes La Geometría Aalítica se la debemos especialmete a dos matemáticos fraceses del siglo XVII, Pierre de Fermat y Reè Descartes. Es posible que te suee el ombre de años ateriores. U ejemplo de su ifluecia es el coocido plao cartesiao, iveció de Descartes (se llama cartesiao por Cartesio, que era el ombre e latí de Descartes) cocepto básico para describir la Geometría Aalítica. La leyeda cueta que Descartes ivetó esta geometría mietras estaba tumbado e la cama observado el vuelo de ua mosca, actividad ociosa dode las haya. Se le ocurrió que, si poía e el techo dos ejes y llamaba e y a la posició de la mosca co respecto a dichos ejes e cada mometo, podría describir su vuelo co ua epresió que relacioara las dos variables, si ecesidad de dibujar. Este es u ejemplo más de que la creatividad surge e los mometos más iesperados. Fíjate e la idea que se le ocurrió a Newto cuado ua mazaa le cayó e la cabeza (si o cooces la historia, búscala, tambié es curiosa). El (aparetemete) simple hecho de determiar ua posició mediate coordeadas revolucioó totalmete la Geometría, permitiedo represetar toda clase de figuras uevas y estudiar las ya coocidas de u modo muchísimo más eficaz. Fue asimismo vital para la Física, porque gracias a ello se pudo estudiar el movimieto co u detalle que ates era impesable. Tato es así, que ormalmete cuado ua persoa aprede la Geometría Aalítica, ya o vuelve casi a usar geometría si coordeadas. Depede, claro, u poco de gustos persoales. Sea este o o tu caso, esperamos que el capítulo te resulte iteresate y que puedas apreciar la potecia y la belleza de estos uevos métodos. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

185 86 Geometría. VECTORES.. El plao cartesiao E cursos ateriores, para estudiar las figuras geométricas las hemos dibujado. El efoque e este curso va a ser ligeramete distito. E vez de hablar secillamete de las figuras lo que vamos a hacer es relacioar los putos que las forma co sus coordeadas. De esta forma dado valores a la coordeada (o la y) podremos obteer la otra coordeada y así dibujar las figuras e el plao cartesiao. Recordemos muy brevemete qué es el plao cartesiao. U sistema de referecia cartesiao cosiste e dos rectas uméricas perpediculares, llamadas ejes coordeados. El puto e el que se corta los ejes, O, es el orige de coordeadas. Normalmete lo represetamos co u eje vertical y el otro horizotal. Al eje horizotal lo deomiamos eje de abscisas o tambié eje OX y al vertical, eje de ordeadas o eje OY. Al cortarse los dos ejes, el plao queda dividido e cuatro zoas, que se cooce como cuadrates: Primer cuadrate: Zoa superior derecha ( > 0 e y > 0) Segudo cuadrate: Zoa superior izquierda ( < 0 e y > 0) Tercer cuadrate: Zoa iferior izquierda ( < 0 e y < 0) Cuarto cuadrate: Zoa iferior derecha ( > 0 e y < 0) Para represetar putos, sólo hay que recordar que la primera compoete (o abscisa) correspode al eje OX y la seguda compoete (u ordeada) al eje OY. Cada uo de los dos ejes represeta el cojuto de todos los úmeros reales (recta Real), el setido positivo es hacia la derecha e el eje de abscisas y arriba e el de ordeadas. Los úmeros egativos se represeta hacia abajo y hacia la izquierda... Los vectores e el plao U puto o es más que ua posició e el plao. Se represeta co letras mayúsculas como A, B, C... y costa de dos compoetes, la abscisa y la ordeada. Así, escribimos P, represetado el puto que está ua uidad a la derecha del orige y dos hacia abajo. E cotraposició, u vector represeta u movimieto. Imagíate que estás e el puto aterior P, y te quieres mover al puto Q,. E ese caso, tiees que desplazarte dos uidades a la derecha y tres hacia arriba. Esto es muy largo de decir, por eso se dice simplemete que te desplazas co el vector v,. Observa la flecha ecima del ombre del vector! Se poe para distiguir los putos de los vectores v. E alguos libros e ocasioes tambié puedes ecotrar que se escribe e egrita: v. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

186 87 Geometría U vector viee dado por ua pareja de úmeros a, b y represeta u desplazamieto de a uidades e la direcció del eje OX y b uidades e la del eje OY. Los vectores se suele deotar co letras miúsculas y flechas ecima ( v, u, w ) El vector 0, 0 se llama vector ulo y se represeta 0 Actividad resuelta Imagíate que estás e el puto (, ) y te mueves al puto (, ), qué vector represeta ese movimieto? Si las uidades está e metros, cuátos metros te has movido? La mejor maera de resolverlo es gráficamete. Dibujamos los putos y los uimos co el vector que correspode. Vemos etoces que os movemos dos uidades a la derecha y ua hacia abajo. Es decir, que os movemos co el vector v =, Para determiar la distacia que os hemos movido, hay que calcular la hipoteusa del triágulo rectágulo de catetos y. Pero eso es secillo, es simplemete 5 ' metros. Esto os lleva al cocepto de módulo, que o es más que el tamaño del vector o, e otras palabras, la distacia que se recorre al aplicar el vector. Más formalmete: El modulo de u vector v v, v es v = v v. Se represeta co ua o dos barras, es decir como v (esta otació es más frecuete e Matemáticas) o v (más habitual e Física). U vector se dice uitario si tiee módulo. Observa que e la actividad aterior podríamos haber calculado la distacia que os pedía si ecesidad de dibujar, sólo calculado el módulo, 5 '. Observa tambié que los sigos de las compoetes o tiee importacia. Eso es lógico, la distacia es la misma si vamos hacia arriba que hacia abajo. Magitudes escalares y vectoriales Es el mometo de dar u pequeño paso atrás desde las Matemáticas y ver el cuadro desde la perspectiva de otras ciecias, fudametalmete de la Física. La idea de vector aparece de maera atural al estudiar alguas magitudes. Piesa por ejemplo e la fuerza. Decir Aplíquese ua fuerza de Newto tiee tato setido como decir Muévase tres metros. La respuesta es Sí, pero hacia dóde?. Si me preguta dóde está mi casa y digo a 00 m e líea recta o ayudo mucho, tedré que decir e qué direcció. Por el cotrario, si me preguta qué temperatura hace hoy, puedo decir 5 o C y la respuesta es perfectamete válida. De hecho, la misma cuestió 5 o C hacia dóde? o tiee igú setido. Esto os lleva al cocepto de magitudes escalares y vectoriales. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

187 88 Geometría Verás e la asigatura de Física y Química o e la de Física del próimo año muchas magitudes vectoriales. Destacaremos e este capítulo la posició, la velocidad y la aceleració (Ciética), la fuerza (Diámica) y los campos magéticos, eléctricos y gravitatorios etre otros. Magitudes escalares tambié hay muchas, la temperatura, el trabajo, la eergía y la itesidad electróica. Teer claro cuáles so escalares y vectoriales es básico a la hora de trabajar co ellas. Magitudes vectoriales so aquellas que, por defiició, se describe co u vector Magitudes escalares so aquellas que, por defiició, se describe co u úmero U escalar es u úmero. Se les llama así para distiguirlos de los vectores. Actividad resuelta Idica si las siguietes magitudes so escalares o vectoriales: a) La fuerza de la gravedad. b) La masa de u cuerpo c) La velocidad Solució: Es escalar la b). La a) y la c) so vectoriales. De la fuerza ya hemos hablado y la velocidad sólo tiee setido si idicamos hacia dóde vamos. Características de u vector Para coocer bie u vector v v, v ) debemos averiguar tres características: ( Módulo: que como acabamos de ver os proporcioa el tamaño del vector. Direcció: os idica algo sobre la recta e la que os movemos. Es la pediete de la recta que v cotiee el vector. Puede calcularse como m. Observa que si v 0 v o tiee setido. A veces se habla e este caso de pediete ifiita. So los vectores que tiee la direcció del eje de ordeadas. Setido: idicado por la puta de la flecha, os muestra si avazamos e u setido de la direcció o la cotraria. direcció módulo setido E ocasioes se distigue etre vectores libres (que represeta u desplazamieto) y vectores ligados (que está asociados a u puto). Esta distició o suele hacerse e Matemáticas, pero si suele aplicarse mucho e Física. E el apédice I la describiremos co detalle. E el resto del capítulo cosideraremos vectores libres. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

188 89 Geometría.. Operacioes co putos y vectores Lo que vamos a ver ahora es cómo formalizar lo que hemos hecho ates, para poder hacerlo si dibujar. Las operacioes so muy ituitivas y casi o es ecesario poerlas, pero vamos a verlas todas jutas para poder teerlas como referecia. Las operacioes etre putos y vectores so muy frecuetes y útiles. Fíjate, e el siguiete cuadro, cuádo el resultado es u puto y cuádo es u vector. Dados dos putos P p, p y q, q Q se defie el vector PQ q p q., p Dado u puto P p, p y u vector v v, v, su suma es el puto p v, p v. Dados dos vectores v v, v y w w, w, su suma es el vector v w v w v. Dado u vector v v, v y u escalar k, su producto es el vector kv kv, kv, w Ejemplos: A cotiuació mostramos gráficamete las situacioes ateriores. Vector etre dos putos Suma de u puto y u vector Suma de dos vectores U vector por u escalar Actividades propuestas. Dados los putos P,, Q, 0 y, calcula, idicado si el resultado es puto o vector: a) QP b) v w c) v RP R y los vectores v,, 0, d) P v e) R PQ w. Dados tres putos geéricos, P p, p, Q q, q y R r, r, demuestra: a) PQ QR PR b) PQ QP c) PP 0 d) PQ PQ PQ w Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

189 90 Geometría Vectores paralelos Dos vectores so paralelos si tiee la misma direcció. Si la primera compoete es o ula, v v, v es paralelo a v w w w, w si (y sólo si) m. v w Así, los vectores,,, 6 y, so paralelos, pues todos tiee la misma pediete (m = ). Eiste otra maera equivalete de defiir vectores paralelos que evita el problema de que sea v 0. Volvamos a la v w ecuació de la pediete m. Dividiedo e cruz v w teemos kw v v v v. Si llamamos k a este valor comú, es decir, k w w w w v o, lo que es lo mismo, v kw Resumiedo: Dos vectores v y w so paralelos si uo es múltiplo del otro: v k w... El producto escalar. Cálculo de distacias y águlos teemos v kw y Lo más iteresate de este apartado es que vamos a ser capaces de calcular distacias y águlos directamete. Para ello, vamos a ecesitar ua herramieta totalmete ueva, el producto escalar. Puede parecer al pricipio que o tiee ada que ver co lo que estamos viedo, te pedimos u poco de paciecia. Se defie el producto escalar de dos vectores v v, v y w w, w como el úmero o valor escalar v w v w v w No es difícil de recordar que el resultado del producto escalar es u escalar. Vamos a ver uos pocos ejemplos. Observa que el producto escalar puede ser ulo o egativo. Ejemplos:,, 6 8, 0, 0 0,, 0 Actividad propuesta. Calcula el producto escalar de los siguietes vectores. a),, b), 0, 0 c),, d),, e),, 0 f) 5,, g) 0,, 0 h),, Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

190 9 Geometría Propiedades del producto escalar. Comutativa: v w wv. Distributiva respecto a la suma: u v w u v u w u v w u w v w. Asociativa respecto a escalares: v kw kv w k v w si k es escalar.. El producto escalar es el producto de los módulos por el coseo del águlo que forma. Epresado e símbolos, si es el águlo que forma v w v w cos La cuarta propiedad es si duda la más importate pero tambié es la más difícil de demostrar, así que este año o veremos su demostració. Las otras tres demostracioes forma el siguiete ejercicio. Actividad propuesta. Cosidera tres vectores geéricos u u, u, v v, v y w w, w así como u escalar geérico k. Demuestra las propiedades a del producto escalar. Cálculo de distacias El cálculo de distacias ya lo habíamos esbozado ates. La distacia etre dos putos o es más que el módulo del vector que los ue. Es decir P Q d, PQ dode d represeta la distacia. Cálculo de águlos Para calcular el águlo etre dos vectores, debemos utilizar la fórmula del producto escalar y despejar el coseo. Es decir, el coseo del águlo etre dos vectores se obtiee como: v w cos v w E el caso de tres putos A, B y C si queremos calcular el águlo ABC debemos calcular el águlo etre BA BC los vectores que los ue cos ABC BA BC Te e cueta de todos modos lo siguiete:. El coseo de águlos que suma 60 o es idético. La úica maera de distiguir 0 o de 0 o (por ejemplo) es dibujar los vectores. 0 o 0 o Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

191 9 Geometría. Cuado teemos que calcular u águlo, si tomamos u vector co el setido opuesto, calculamos el águlo suplemetario. (el que suma 80 o ). Vamos a ver u problema completo co todos los detalles. Actividad resuelta Calcula todos los lados y águlos del triágulo A,, B,, C 5, 5 Solució: Todos estos cálculos puede hacerse si dibujar para ada el triágulo. Pero, aturalmete, es más claro co u dibujo. Observa que hemos seguido la otació habitual e estos casos. Los vértices se represeta co letras mayúsculas, los lados opuestos co letras miúsculas y los águlos co letras griegas. Las logitudes de los lados ya sabemos calcularlas. So simplemete las distacias etre putos o, lo que es lo mismo, los módulos de los vectores que los ue. Como los vamos a utilizar varias veces, calculamos primero los vectores de los lados. AB,,, 0, AC 5, 5,, y 5, 5,, Así pues c da, B AB 0 b d A, C 5. d B, C 0 ' 6 BC., lo que podía verse directamete e el dibujo. a. Observa que para calcular los lados da lo mismo el orde de los putos (es igual tomar AB que BA ). Los águlos se calcula despejado el coseo. Pero ahora hay que teer cuidado co el orde. cos AB AC arccos 6 '87º AB AC 5 cos BA BC BA BC arccos 0 08 ' º cos CACB CA CB arccos 5 0 '70º Actividades propuestas 5. E el problema aterior, repite el cálculo de águlos cambiado el orde e que se toma los putos BA, AC y CB. Cómo cambia los águlos? Por qué? 6. Calcula todos los lados y los águlos de los siguietes triágulos de dos maeras. Primero co el método aterior y luego por el que se idica: a) A,, B,, C,. Calcula los tres lados y luego usa trigoometría. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

192 9 Geometría b) A,, B,, C,. Calcula los lados a y c y el águlo y luego usa trigoometría. c) A,, B,, C,. Calcula el lado a y los águlos y y luego usa trigoometría. d) A 0,, B,, C,. Calcula tres datos cualesquiera (los que sea, tres lados, dos águlos y u lado ) y luego usa trigoometría. 7. Calcula el área del triágulo de vértices A = (, ), B = (, ) y C = (, 5). [Pista: Puedes calcular todos los lados y águlos. La altura se calcula co trigoometría]. 8. Calcula el área del rectágulo ABCD co A = (, ), B = (, ), C = (5, ) y D = (, ). 9. Calcula el área del rombo ABCD co A = (, ), B = (, 0), C = (, ) y D = (0, ). 0. Calcula u vector que forme 60 grados co el vector, 0. Para ello, procede como sigue. Supó,,0 que el vector sea de la forma, y platea la ecuació cos60º. Despejado,,0 obtedrás el vector. Serías capaz de calcular u vector UNITARIO (de módulo ) que forme u águlo de 60º co el vector, 0?. Cosidera u heágoo regular ABCDEF de cetro el orige. Si el puto B es el (, 0), cuáles so las coordeadas de los putos A y C? Calcula el águlo del heágoo. Vectores paralelos (de uevo) Otro caso importate es el de los vectores paralelos. Para este o ecesitamos el producto escalar (de hecho ya lo habíamos visto) pero creemos que es iteresate que veas que cuado calculamos el águlo os sale que el águlo es de 0 o o 80 o. Recordemos que dos vectores era paralelos si uo era múltiplo del otro:. Así pues, tomamos dos vectores, v y kv y calculamos su producto escalar: Por tato, si 0 80 o. k, cos cos v kv v kv k por lo que 0 o. A su vez, si 0 k v k w kv v k v v k v k v k, cos Es decir, el águlo que forma dos vectores paralelos es de 0 o o 80 o, como era de esperar. Actividades propuestas k k k por lo que k. A = (, ), B = (, ) y C = (, 8) so vértices (cosecutivos) de u paralelogramo ABCD. Calcula el vértice D y el águlo ABC.. Mismo problema que el aterior co A = (, ), B = (, 5) y C = (, ). Se puede resolver el problema sea cuales sea A, B y C.. Sea A = (, ) y B = (, 6) dos vértices de u cuadrado. Calcula los otros dos vértices y el área del cuadrado. (Ayuda: Hay dos solucioes, las dos co la misma área). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

193 9 Geometría.5. Bases ortogoales y ortoormales Vectores perpediculares Ya hemos visto cómo se calcula el águlo etre dos vectores. Hay u caso especial que es iteresate por méritos propios y es la perpedicularidad o, lo que es lo mismo, que los vectores forme 90 o o 70 o. v w Puesto que cos 90 cos 70 0, aplicado la fórmula: cos 0 v w 0. Así pues: v w Dos vectores v y w so perpediculares si, y solamete si, su producto escalar es 0: v w 0. De este modo, es muy fácil calcular u vector perpedicular. Si u vector es de la forma v, v v, basta cambiar las compoetes de orde y ua de sigo para que al hacer el producto escalar salga 0. Puede ivertirse el sigo de cualquiera, pero sólo de ua. Ejemplos: U vector perpedicular a, es, U vector perpedicular a,0 es 0, U vector perpedicular a v es w. Bases ortogoales v, v v, v Ua cuestió que aparece de modo atural es, dado u vector, cuátos vectores puede ser perpediculares a él. La respuesta es que, e el plao, sólo hay uo y sus vectores paralelos. Esto es muy fácil verlo gráficamete. Si costruimos u vector u, su direcció perpedicular es ua recta. Cualquier vector que esté sobre esa recta es perpedicular a u. Y sólo estos vectores so perpediculares. Además, si u ( u, u ) y v ( v, v ) so perpediculares, cualquier vector se puede calcular sumado múltiplos de los dos. Se dice etoces que es combiació lieal de u y v. Es fácil ver gráficamete que, dados dos vectores perpediculares, cualquier vector es combiació lieal de ellos. E el dibujo podemos ver u vector w como combiació lieal de u y v. Puesto que todos los vectores puede calcularse a partir de dos vectores perpediculares, se le ha dado ombre propio a este cocepto. E el plao, dos vectores u y v forma ua base ortogoal si so o ulos y perpediculares etre sí. E geeral, dados dos vectores que NO sea ulos i paralelos siempre se puede poer cualquier otro vector como combiació lieal de ellos. Si o so ortogoales se habla de base oblicua, pero es u cocepto que o ecesitamos este curso. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

194 95 Geometría Actividades propuestas 5. So los siguietes pares de vectores ua base ortogoal? Justifica la respuesta. a., y,, b., y, c. 0, y 00, 0 d., 0 y 0, 0 6. Calcula u vector que forme co, 7. Calcula u vector perpedicular a, ua base ortogoal. que tega módulo [Pista: calcula u vector perpedicular cualquiera. Al dividir por su módulo tedrá módulo. Basta multiplicar por la costate ]. Bases ortoormales E muchos problemas (e casi todos), resulta más secillo si los vectores de referecia además de perpediculares so uitarios. Si teemos que moveros e ua direcció cocreta u úmero de uidades, la maera más fácil para describirla es a partir de vectores de módulo uo. Vamos e primer lugar a ver u ejemplo. Actividad resuelta U barco está e el puto A = (, ) y se mueve hacia el puto B = (, ). Las uidades so millas áuticas. Cuado llega al puto B le avisa de que gire 90 grados e setido de las agujas del reloj y se mueva 5 millas. E qué puto está el barco después de moverse? Solució: El vector que ue los putos es,. U vector perpedicular es el,. Pero su módulo es fácil ver que es 0 y os pide que mida 5. Así pues dividimos por el módulo y obteemos el vector uitario de esa direcció:,. Ahora basta multiplicarlo por 5 y 0 obteemos u vector de módulo 5 que forme u águlo de 90 grados. Dicho vector es v 0 5,. No es la úica solució, sio que hay dos. La otra es el mismo vector cambiado de sigo w 5 0,. Cuál de las dos vale? Observa el dibujo. Sumado v llegamos al puto C y sumado w al puto D. El dibujo os muestra que, si el giro es e el setido del reloj, vamos hacia D. El puto al que llegamos 5 es el puto D que tedrá de coordeadas,, '7, '58 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

195 96 Geometría Así pues, e muchas aplicacioes se cosidera bases ortogoales co vectores uitarios. Estas bases tiee ombre propio. Dos vectores del plao u y v forma ua base ortoormal si so uitarios y perpediculares etre sí. El próimo curso, que se estudiará la geometría e dimesioes, ua base ortoormal la formará tres vectores de módulo, y ortogoales etre sí. Actividades propuestas 8. Forma los siguietes pares de vectores ua base ortoormal? Justifica la respuesta. a., 0 y 0,, b., y, c. 0, y 00, 0 d., y, 9. Si A = (, ) y B = (, ) so dos vértices de u cuadrado, calcula los otros dos vértices y el área del cuadrado (Cuidado: hay dos solucioes, las dos co la misma área). v 0. Dado el vector, calcula ua base ortoormal que cotega a u múltiplo suyo. Hay más de ua solució al problema aterior? E caso afirmativo, calcúlalas todas. Base caóica Es usual tomar como base ortoormal la formada por el vector u de coordeadas (, 0) y el vector u de coordeadas (0, ). Es la base caóica. El vector, puede escribirse como: v v u + u. Se dice que las coordeadas de v respecto de la base { u, u } so (, ). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

196 97 Geometría. RECTAS Y PROBLEMAS MÉTRICOS.. Lugares geométricos Es el mometo de utilizar lo que sabemos de los vectores para estudiar alguas figuras e el plao. Para ello ecesitamos u cocepto adicioal el de lugar geométrico. U lugar geométrico so los putos del plao que verifica ua o varias codicioes geométricas. Estos lugares geométricos cumple determiadas ecuacioes que e breve describiremos Ejemplos: Estos so cuatro lugares geométricos defiidos cada uo como los putos que verifica ua ecuació. Está represetados co el programa Geogebra. E él puedes escribir la ecuació que desees y automáticamete se dibuja el lugar geométrico. y y y y y Este curso estudiaremos alguos de los lugares geométricos más importates, los que viee dados por ecuacioes de primer y segudo grado (e e y). E este apartado veremos los lugares que aparece co ecuacioes de primer grado (las rectas) y e la siguiete los que correspode a ecuacioes de segudo grado (las cóicas). Muchas veces o os da la ecuació, sio simplemete os dice los putos del plao que cumple tal propiedad y tedremos osotros que ecotrar la ecuació... Rectas. Defiició y ecuacioes Ya cooces de cursos ateriores la ecuació de ua recta. Lo que vamos a ver ahora es la recta desde el puto de vista de los vectores y la geometría. Eiste varias maeras equivaletes de defiir ua recta. La más ituitiva, desde uestro puto de vista, es la siguiete: Ua recta es el lugar geométrico de los putos del plao que se puede alcazar sumado a u puto, múltiplos de u vector. Este vector se llama vector director. Ejemplo: Gráficamete se ve bastate más claro. Pesemos e el puto P, y el vector, v. Al irle sumado múltiplos del vector, vamos obteiedo los ifiitos putos de la recta. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

197 98 Geometría Por ejemplo, so putos de la recta:,, 0,,, 0,,,,,, y así sucesivamete. Puede poerse etoces como, y, k, dode k es ua variable que va tomado todos los valores reales. Esta ecuació se cooce como ecuació vectorial de la recta. Si se poe e vertical, k se y k cooce como ecuacioes paramétricas. Dado u puto P p, p y u vector director v v, v se llama ecuació vectorial a la epresió, y p, p kv v,. p vk Se llama ecuació paramétrica a las epresioes y p v k Observa que siempre decimos u vector director. Y es que hay más de uo, ya sabes, cualquier múltiplo de u vector director (e otras palabras cualquier vector paralelo) es tambié vector director. Por ejemplo, si, es vector director, tambié lo so,,,, 0, 5... Las ecuacioes vectorial y paramétrica (que so prácticamete iguales, como puedes comprobar) so muy útiles si lo que queremos es calcular putos de la recta. Actividad resuelta Solució:. Calcula la ecuació vectorial y la ecuació paramétrica de dicha recta, y ecuetra otros dos putos. Ua recta pasa por los putos A,, B, Lo primero, para calcular la ecuació vectorial de la recta ecesitamos u vector de la misma. Puesto que B A AB, es evidete que AB es vector director. Así pues AB, es vector director y, por tato, su ecuació vectorial es, y, k, Su ecuació paramétrica es: k. y k. Para obteer otros dos putos, damos valores a k. Cualquier valor os vale. Por ejemplo si,,, k teemos el puto,,, 5 e tato que si. Observa que para k se obtiee el puto B. k obteemos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

198 99 Geometría Ecuació cotiua Co la ecuació paramétrica o vectorial es muy secillo obteer putos, pero o es demasiado secillo comprobar si u puto perteece o o a ua recta. Por ejemplo, está el puto 0, e la recta, y, k,? Para saberlo tedremos que poer (0,) e lugar de, y y ver si co el mismo valor de k obteemos las dos coordeadas. No parece muy secillo verdad? Buscamos ua ecuació que relacioe la co la y. Para obteerla despejamos k de las dos ecuacioes y las igualamos. p y p kv kv p y p kv kv p v y p v Puesto que los segudos miembros so iguales, los primeros miembros tambié so iguales. De modo p y p que teemos. Esta forma es ta importate que tiee u ombre propio. v v Dado u puto P y u vector director v, v p, p p v v y p. v k k se llama ecuació cotiua a la epresió: Así pues, e el ejemplo aterior, teíamos la ecuació vectorial, y, k, que os da y directamete la ecuació cotiua. Para ver si u puto perteece a la recta, sustituimos e la ecuació el valor de y de y. Si se cumple la igualdad, sí perteece. Si o, o. Ejemplo: Volvamos a la recta de ates, Sustituimos 0, y teemos 0 E cambio si sustituimos el, teemos y.. El puto, 0 0 perteece a la recta.. El puto, o está e la recta. Ecuació puto pediete El problema de las ecuacioes ateriores es que, auque represete lo mismo, la epresió o es úica ya que ua recta tiee muchos putos y vectores de direcció distitos. Puedes comprobar que y y y so la misma recta pues tiee dos putos e comú. Pero, a qué o lo Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

199 00 Geometría parece a simple vista? Para cada vector y cada puto teemos ua ecuació cotiua distita. Vamos a empezar a elimiar la parte que depeda del vector. Si multiplicamos e la ecuació cotiua por el deomiador de la y obteemos primero, teemos que otar que v v v v p y p. Lo es siempre costate, idepedietemete del vector que v v elijamos ya que si dos vectores tiee la misma direcció verifica que k, dode k es la w w pediete del vector. La pediete de la recta se calcula como la de cualquiera de sus vectores. Vamos a resaltar las defiicioes. Se llama pediete de ua recta a la pediete de u vector director suyo. El resultado es el mismo para cualquiera de los vectores directores de la recta. La pediete puede ser positiva o egativa. E el caso v 0 la recta es vertical y su ecuació = b. Otras maeras equivaletes de defiir la pediete:. La pediete so las uidades de subida (si es positiva) o bajada (si es egativa) por cada uidad que os movemos e horizotal. Esta es la defiició que se usa e las señales de tráfico (epresada e tato por cieto). La pediete es la tagete del águlo que forma u vector co la horizotal. Si el águlo es e setido egativo (es decir, hacia abajo) es egativa. v Volvamos pues a la ecuació que teíamos, p y p. v v Si llamamos m a la pediete teemos otra ecuació: v Dado u puto P p, p y u úmero m se llama ecuació puto pediete a la epresió: y p m p Observa que esta epresió NO es úica, porque depede del puto. Pero ya o depede del vector. y 5 pero la pediete será siempre la misma. Así, y da la misma recta que Actividad resuelta Llamemos r a la recta que pasa por los putos A,, B, 0 a) La pediete de dicha recta b) Averigua si el puto 0, 7. Calcula: C perteece a dicha recta y ecuetra otros dos putos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

200 0 Geometría Lo primero, para calcular la recta ecesitamos u vector de la misma. Así pues, director y, por tato, su ecuació vectorial es, y, k, ecuació puto pediete es: y ( )( ) y. AB es vector. La pediete es / =. La Para = 0 y =, luego el puto C o perteece a la recta. Para ecotrar otros putos damos valores a y calculamos y: Para = y =, luego el puto A perteece a la recta. Para = y =, luego el puto D (, ) perteece a la recta. Para = y =, luego el puto E (, ) perteece a la recta. Ecuació implícita p y p Si e la ecuació cotiua hacemos operacioes, de modo que haya sólo u v v coeficiete para el térmio idepediete e y e igualemos a 0, obteemos la ecuació implícita, tambié llamada ecuació geeral. Co más detalle: p v Multiplicado e cruz: v p v p y p v Operado: v v p v y v p v v y v p v p 0 coeficietes: A v, B v, C v p v p.. Basta cambiarles el ombre a los Dados tres úmeros A, B, C se llama ecuació implícita de ua recta a la epresió: A By C 0. Se trata de ua ecuació lieal co dos variables ( e y). Las ifiitas solucioes de esta ecuació so los putos de la recta que estamos describiedo. Hay que teer e cueta que puede haber todas las ecuacioes lieales que queramos que represete la misma recta, basta co multiplicar todos los térmios de la misma por u mismo úmero para obteer ua ecuació equivalete. Por ejemplo y 0 represeta la misma recta que y 0 Vector director Si teemos la ecuació de ua recta e la forma implícita, podemos calcular el vector director directamete. No es muy recomedable aprederse la fórmula porque es fácil cofudirse pero te la poemos por si te resulta útil. Úsala co cuidado. Sea A By C 0 : Observa que pasado la y al otro lado, A C By co lo que la forma C cotiua de esa recta es A B Si la recta es By C 0 y A y su vector director es B, A. A u vector director es el B, A. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

201 0 Geometría El vector = (A, B) se llama vector ormal, que como puedes ver es perpedicular a la recta. Actividad resuelta E la actividad de la recta r que pasa por los putos A,, B, 0 y y 0 Ecuació eplícita, la ecuació implícita es Vamos fialmete a dar ua ecuació que sí es siempre úica. Si e la ecuació puto pediete despejamos la y teemos la epresió que buscamos: y p m p y m mp p y m. Si llamamos mp p obteemos la ecuació. Ya la coocía bie, es la ecuació de la recta vista como ua fució. Dados dos úmeros m y se llama ecuació eplícita de ua recta a la epresió: y m. El úmero m es la pediete y el úmero es la ordeada e el orige. Ya hemos visto que m es la pediete. Qué es pues? Es claro que es el valor de y cuado sustituimos por 0 puesto que y m0. De ahí el ombre, puesto que cuado está e el orige (el 0) la ordeada de ese puto es. De lo aterior vemos que la recta pasa por el puto 0,. Otra maera de ver la ordeada e el orige es el valor de y al cruzar la recta el eje OY. E el dibujo podemos ver cómo la recta y 5 tiee m = como pediete y = 5 como ordeada e el orige (OO e el dibujo). Observa que si m es la pediete, u vector director es SIEMPRE, m. Resume: Acabamos de ver u motó de ecuacioes de la recta y hemos visto brevemete cómo se pasa de ua a otra (realmete sólo e u setido). Es el mometo de recopilar lo que teemos y ver cómo aplicarlo para resolver problemas. Aplicaremos el siguiete PRINCIPIO FUNDAMENTAL. Si ua recta se poe e ua forma cocreta, sus elemetos distiguidos so los de dicha forma. Más detalladamete: p vk. Si la recta tiee de ecuació p, p es u puto de la recta y y p v k v, v es u vector. Esta es la etracció de elemetos de la forma paramétrica.. Si la recta tiee de ecuació v 0 automáticamete y y v 0 automáticamete, y 0 0 es u puto de la recta y v, v es u vector. Esta es la etracció de elemetos de la forma cotiua.. Si la recta tiee de ecuació y y m automáticamete m es la pediete y 0 0 u puto. Esta es la etracció de elemetos de la forma puto pediete., y 0 0 es. Si la recta tiee de ecuació A By C 0 automáticamete (A, B) es u vector perpedicular a Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

202 0 Geometría la recta. Esta es la etracció de elemetos de la forma implícita. 5. Si la recta tiee de ecuació y m automáticamete m es la pediete y es la ordeada e el orige, o bie 0, es u puto y,m es u vector de direcció. Esta es la etracció de elemetos de la forma eplícita. Actividad resuelta Cosideremos la recta 5 y 7 0. Calcula su pediete, u puto y u vector director. Solució: Hay u motó de maeras de resolver esto. Ua directamete: el vector (5, ) es perpedicular a la recta, luego el vector (, 5) es u vector de 7 direcció, y la pediete es: 5/. Si y = 0, etoces = 7/5, luego u puto de la recta es:, 0. 5 Vamos a hacerlo ahora pasado a dos formas que os sea útiles, la puto pediete y la cotiua Despejamos y: 5 y 7 0 y 5 7 y. La pediete, por tato es, y u 7 puto, la ordeada e el orige es. Vamos a partir de uevo de la ecuació implícita y multiplicar e cruz para buscar la forma cotiua. 7 7 y 5 5 y y 7 0 y 5 7. U puto es, por tato, el, 0 y u vector es el, 5. Comprobamos imediatamete que la pediete es como os había salido ates... Posicioes relativas de rectas Las posicioes relativas de dos rectas se puede estudiar desde dos putos de vista, el geométrico y el aalítico. Desde el puto de vista geométrico, las posicioes de dos rectas e el plao so secillas.. Rectas secates, cuado las rectas se corta. Es decir, tiee u úico puto e comú.. Rectas paralelas si o tiee igú puto e comú y tiee misma pediete.. Rectas coicidetes cuado so la misma recta (ifiitos putos e comú). Secates Paralelas La misma recta (paralelas coicidetes) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

203 0 Geometría Cómo distiguir esos casos? Vamos a dar varios métodos para hacerlo. Método : Co vectores directores Es claro que dos rectas so paralelas o iguales si (y solamete si) sus vectores so paralelos. A su vez, si so paralelas o tiee putos e comú y si so coicidetes los tiee todos. Eso sugiere el siguiete método:. Calcular los vectores directores de las dos rectas. Si NO so paralelos, so secates.. Si los vectores so paralelos, tomar u puto cualquiera de ua recta y ver si es puto de la otra. Si lo es, so coicidetes. Si o, so paralelas. Actividad resuelta Estudiar la posició relativa de las rectas 5 y 7 0 y, y, k, 0. Solució: Necesitamos calcular u vector de la primera. El vector (5, ) es ortogoal a la recta, luego el vector,5 es u vector de direcció. La seguda ya os da directamete el vector director, es el, 0. So paralelos estos vectores? Para verlo, dividimos las compoetes: Podría haberse visto si más que observar que, 0, Sí, lo so. 5 Por tato, o las rectas so paralelas o so la misma. Teemos que tomar u puto de ua y ver si es puto de la otra. Puesto que la primera está e forma implícita, ver si es puto de ella es más fácil, así que vamos a tomar u puto de la seguda. El más fácil es obviamete el puto,. Sustituyedo, os da Puesto que el puto o verifica la ecuació, NO es u puto de la recta y las rectas so paralelas. Método : Aalizado y resolviedo el sistema Si pasamos las dos rectas a forma geeral o implícita teemos u sistema de dos ecuacioes co dos A B y C 0 icógitas. El sistema puede ser: A B y C 0 A B. Compatible determiado (si multiplicas e cruz puedes darte cueta que m m ). Hay A B ua úica solució (puto de corte), por tato las rectas so secates. A B C. Compatible idetermiado (ecuacioes proporcioales). Ifiitas solucioes, por A B C tato las rectas so la misma recta o rectas coicidetes. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

204 05 Geometría A B C. Icompatible (misma pediete pero distitas ecuacioes). No hay solucioes, A B C por tato las rectas so paralelas. E resume, el método es:. Escribir las dos rectas e forma geeral. Clasificar el sistema. Idetificar la posició relativa e fució de las solucioes del sistema Resolvemos el sistema Si sale u puto etoces las rectas so secates. Si obteemos 0 = 0 lo que ocurre es que hay ifiitas solucioes. Eso sigifica que las dos ecuacioes so la misma, o, lo que es lo mismo, las dos rectas so la misma. Si obteemos = 0 lo que ocurre etoces es que o hay solució. E otras palabras, las rectas debe ser paralelas. E resume, el método es:. Escribir las dos rectas e forma geeral (cualquier forma ecepto vectorial o paramétrica).. Itetar resolver el sistema.. Teemos tres casos: a. Si sale u puto: SECANTES. b. Si sale 0 = 0: LA MISMA RECTA. c. Si sale = 0 PARALELAS Actividad resuelta Estudiar la posició relativa de las rectas 5 y 7 0 y, y, k, 0. Solució: Ya habrás visto que so las mismas de ates. Lo que ocurre es que vamos a aplicar el otro método. E primer lugar, hay que poer la seguda e forma de implícita. Lo más rápido, puesto que teemos u y puto y u vector, es escribir la forma cotiua:, y operado: 0 y 0 0 Multiplicamos la primera por y sumamos para resolverlo por reducció (o por el método de Gauss). 5 y y y 0 y. 0 y 0 0 y 0 0 y 0 Sumado se obtiee 0. Luego NO tiee solució. Las rectas so paralelas, como ya habíamos visto. Debe salir lo mismo, esto so matemáticas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

205 06 Geometría.. Problemas métricos. Distacia de u puto a ua recta Hasta ahora hemos ido costruyedo las herramietas para resolver problemas de geometría. Vamos a dedicar este apartado a recapitular lo que ya teemos y dar alguas idicacioes sobre cómo resolver problemas. Resolveremos aquí alguos problemas típicos, pero la geometría es muy etesa y te aimamos a que practiques. Veremos tambié u problema muy especial, la distacia de u puto a ua recta. Ya lo puedes resolver co lo que sabes, pero por su importacia vamos a calcular ua fórmula. Alguas cosas que ya sabes (y cómo hacerlas). Calcular distacias etre dos putos (módulo del vector que ue los putos).. Águlo etre rectas (águlo etre sus vectores co el producto escalar).. Calcular águlos e triágulos (águlo etre los vectores co producto escalar).. Calcular ecuacioes de rectas (busca u puto y u vector y aplica la forma vectorial o cotiua). 5. Posicioes relativas de rectas (Resuelve el sistema para hallar el puto de itersecció). Vamos a ver alguos problemas resueltos: Actividad resuelta Solució: Divide el segmeto que ue los putos A, y, El vector que ue los putos es AB, B e cuatro partes iguales.. Si queremos dividir el segmeto e cuatro partes iguales, lo que deberemos hacer es dividir el vector e cuatro partes e irlas sumado: w, 0'5, Por tato, los putos so: P A w, 0'5, ('5, ) P P w, 0,, P P w '5, Observa como la solució la gráfica coicide co lo obteido. E el caso del puto medio, se hace eactamete igual, dividiedo etre. Pero se puede calcular tambié de otro modo: Dados dos putos A = (a, a ) y B = (b, b ), su puto medio es Ejemplo A B a b a b M,. El puto medio etre A, y, ( ) B es M, (, 0) como ya sabíamos. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

206 07 Geometría Actividades propuestas. Dados los putos A, y,6 B calcula su puto medio: a. Costruyedo el vector que los ue. b. Co la fórmula. Comprueba que sale lo mismo.. Cosidera los putos A a, a y B b,b puto medio sale lo mismo.. Demuestra que co las dos maeras de calcular el Actividad resuelta Calcula el águlo etre las rectas r y y la recta s que pasa por el puto, tiee pediete. Solució: A y Lo primero, vamos a calcular la recta s. Ya que os da la pediete, podemos aplicar la ecuació y. puto pediete para obteer: Necesitamos u vector de la recta. Pasamos a forma cotiua, que es: y SIEMPRE, m.. U vector de la recta es, y o, reordeado. Recuerda que si m es la pediete, u vector director es Y ahora, u vector de la otra recta. Hay muchas maeras de hacerlo, vamos a calcularlo obteiedo dos putos. Es claro que, r,, 0 r. El vector que los ue es, que será por tato u vector director de la recta. Más secillo es usar que By 0 A, B y, por tato, como vector directos a B, A (, ). O bie calculado la pediete despejado: y. A tiee como vector ortogoal E cualquier caso, ahora basta calcular el águlo etre los vectores co la fórmula: cos,, cos,, 6 ( ) Haciedo el arco coseo, obteemos arc cos 65'9º. Observa que el águlo etre dos rectas es 6 siempre meor de 90º, por lo que siempre coviee tomar el coseo positivo Actividades propuestas. Calcula ua recta perpedicular a y 5 formas y dibújala. r que pase por, 0. Eprésala al meos e tres. Sea las rectas r y s y. Estudia su posició relativa y calcula sus putos de y corte si los hubiera.. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

207 08 Geometría 5. Cosideremos la recta,, r. a. Calcula su pediete. b. Perteece el puto, a la recta? Y el puto, c. Da al meos tres putos de la recta. d. Dibuja la recta. 0? Distacia de u puto a ua recta E primer lugar vamos a defiir lo que es. La distacia etre u puto y ua recta es la míima distacia que hay etre el puto y cualquiera de d P, r. los putos de la recta. Si P es el puto y r es la recta se represeta por Es decir, dada ua recta r y u puto eterior a ella P, la distacia del puto a la recta es: d P, r mi d P, Q: Q r Este es u problema que ya se puede hacer co lo que sabes. De modo que vamos epoerlo de ua maera u poco diferete del resto. E primer lugar, vamos a resolverlo co lo que ya sabes y después, como es u problema importate, vamos a deducir ua fórmula para hacerlo directamete. Naturalmete, tú puedes resolverlo cómo quieras. Lo úico previo que vamos a otar es ua propiedad que resulta bastate obvia ituitivamete. Dada ua recta r y u puto eterior a ella P, el puto Q de míima distacia es el que cumple que el vector PQ es perpedicular a la recta. Actividad resuelta Calcula la distacia etre el puto P, y la recta r, y, k,. Lo que debemos calcular es el puto Q. De modo que calculamos la recta perpedicular a r que pasa por P (la vamos a llamar s por poerle u ombre). Su itersecció co r será el puto Q. y El vector perpedicular a, ya sabes que es,. Así pues, la recta es s puesto que pasa por P y tiee a, como vector director. Para hacer la itersecció ecesitamos a r e ua y forma co e y. Lo más secillo es pasarla a forma cotiua, que resulta ser r. Para calcular Q, resolvemos el sistema: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

208 09 Geometría y y y 8. y y 8 y Resolvemos el sistema multiplicado la seguda ecuació por : y 8 y 8 y 8 0y 0 y 0 y 8y 8 0y 0 El puto Q es, por tato, (, 0). Basta calcular la distacia etre P y Q, distacia etre dos putos que ya cooces. d P, Q d,,, '. Fórmula geeral para la distacia de u puto a ua recta Ya hemos visto que el problema se puede resolver co los coocimietos que ya tiees. Vamos a dar la fórmula geeral, su demostració la veremos e el apédice II. La distacia etre u puto Actividad resuelta Solució: P, y 0 0 y ua recta r A By C 0 se calcula: d P, r A 0 By A 0 B C Calcula la distacia etre el puto P, y la recta, y, k, r. y Debemos pasar la recta a forma implícita. E forma cotiua (ya lo habíamos visto) es. Multiplicado e cruz es y 8 y 0. Para dejarlo más boito, multiplicamos por, si bie este paso o es ecesario. Obteemos al fial que la ecuació implícita de la recta es: Aplicamos si más la fórmula: A By C d A B Ua vez más, el resultado es el mismo. y 0. ( ) P, r 5 ' Observa que esta fórmula NO calcula el puto de míima distacia. Si lo ecesitáramos, o habría más remedio que utilizar el método aterior. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

209 0 Geometría Puto simétrico Este es u cocepto que aparece mucho e Geometría. Puto simétrico es la image e el espejo. Más cocretamete, el espejo es ua recta. La defiició formal es la que sigue. Dada ua recta r y u puto P eterior a ella el simétrico, P, es u puto situado a la misma distacia de la recta y de forma que el vector PP ' perpedicular a la recta. El puto P simétrico de P respecto a la recta r es igual a P = puto de r de míima distacia a P. Actividad resuelta Solució: Q PQ siedo Q el Calcula el puto simétrico de P, respecto a la recta, y, k, r. Ya habíamos calculado el puto Q, que era (, 0). Así pues, PQ, 0,, por tato P = Q PQ, 0, (, ).. El simétrico es, Actividades propuestas 6. Supote que la distacia de u puto a ua recta es 0. Qué sigifica ese resultado? Aplícalo a la recta y y el puto (, ). 7. Cosidera la recta y y el puto A = (, ). Calcula el puto Q de míima distacia y el simétrico de A respecto de la recta. 8. Calcula la distacia al orige de las rectas que se idica. a. y b., y,, c. 9. Calcula la distacia del puto (, ) a las rectas que se idica. a. y b. c. y y y d. y 0. Ua recta pasa por el puto (, ) y forma co los semiejes positivos u triágulo de área seis uidades. Calcula dicha recta.. Calcula el puto de simétrico de A = (, ) respecto a la recta y =.. Cosideremos u petágoo irregular ABCDE formado por los putos A = (, ), B = (, ), C = (,), D = (, ) y E = (, ). Dibújalo y calcula su área [Te recomedamos dividirlo e figuras más maejables].. Cosideremos u cuadrado ABCD. El puto A es (, ) y los putos B y C está sobre la recta y. Calcula los cuatro vértices del cuadrado y su área. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

210 Geometría.5. Traslacioes Muchos lugares geométricos tiee ecuacioes bastate más secillas si los epresamos cetrados e el orige de coordeadas. Para ello, vamos a ver cómo mover los lugares geométricos. Si queremos trasformar el puto, y 0 0 e el orige de coordeadas se hace ' 0 y de este y' y y 0 modo la ueva ecuació aparece cetrada e el orige. E otras palabras, se usa la tabla: Coordeadas atiguas Puto 0, y 0 Primera coordeada Seguda coordeada Coordeadas uevas 0, 0 y y ' ' 0 y y 0 Esta trasformació se puede hacer e u setido o e el otro. Actividad resuelta Solució: Dada la recta y trasladarla para que pase por el orige de coordeadas. Calcular la recta co pediete que pase por el puto, y el cambio ' la recta se trasforma e y' y y ' ' 0, recta que, e efecto, pasa por el rige de coordeadas.. Basta poerlo juto. Hacemos e 0. Lo que vamos a hacer es la trasformació iversa. La recta co pediete que pasa por el orige es obviamete y' '. El cambio es ahora ' por lo que sustituyedo obteemos la y' y. No por casualidad es la ecuació puto pediete, la ecuació puto pediete SIEMPRE puede deducirse así. ecuació y Puede parecerte que las traslacioes o sirve de gra cosa, poco os ha arreglado los problemas. Pero es que las rectas so lugares geométricos muy secillos, e cuato veamos alguo más complicado veremos su gra utilidad..6. Mediatriz y bisectriz U ejemplo de lugar geométrico que ya cooces es el de las mediatrices y las bisectrices. Co lo que ya sabes, puedes resolver todos los problemas e los que aparezca. Pero vamos a isistir e su defiició como lugar geométrico. La mediatriz de u segmeto AB es el lugar geométrico de los putos, X(, y), que equidista de los Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

211 Geometría etremos del segmeto. Es decir: d(x, A) = d(x, B). Vamos a comezar co u ejemplo: Actividad resuelta Dado el segmeto de etremos A = (, ) y B = (5, ) determia la ecuació de su mediatriz. Solució Debemos impoer: d(x, A) = d(x, B), siedo X = (, y). d(x, A) = ( ) ( y ). d(x, B) = ( 5) ( y ). Igualamos: ) ( y ) = ( 5) ( y ) (. Elevamos al cuadrado: Desarrollamos y simplificamos: ( ) ( y ) = ( 5) ( y ). y y = 0 5 y 6y 9 8 y 0 y 6 0 E efecto, es la ecuació de ua recta! A pesar de los térmios e cuadrado que os aparecía. Ya sabemos que u vector perpedicular a dicha recta os lo da los coeficietes: (, ), que e efecto so las compoetes del vector AB = (5, ) = (, ), que es perpedicular a la recta. Sabemos tambié que debe pasar por el puto medio del segmeto: 5 M, (, ). E efecto (, ) es u puto de la recta pues: + = + = 6. Por tato tambié puedes calcular la ecuació de la mediatriz como Mediatriz de u segmeto es la recta que pasa por el puto medio y es perpedicular al segmeto. E geeral La ecuació de la mediatriz del segmeto AB, co A= (a, a ) y B = (b, b ) es por tato: d(x, A) = d(x, B) ( a a = ( b ) ( y b. ) ( y ) ) ) ( y ) ( a a = ) ( y ) ( b b. a a y a y a = b b y b y b ( b a) ( b a ) y a a b b 0 No te apredas esta ecuació. Úicamete observa que es ua recta perpedicular al segmeto. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

212 Geometría Bisectriz La bisectriz de u águlo es el lugar geométrico de los putos, X (, y), que equidista de los lados del águlo. Si el águlo está formado por las rectas r y s, la defiició os dice: Vamos a comezar co u ejemplo: Actividad resuelta Solució d(x, r) = d(x, s). Dadas las rectas r: + y =, y s: + y = 5, determia la ecuació de su bisectriz (o bisectrices). Debemos impoer: d(x, r) = d(x, s), siedo X = (, y). y y y 5 y 5 d X, r dx, s 5 5 Al quitar los valores absolutos teemos dos solucioes posibles: ) + y = + y 5 + y + = 0 ) + y = ( + y 5) 7 + 7y 6 = 0 Observa que hemos obteido dos bisectrices, ya que dos rectas forma cuatro águlos iguales dos a dos, que so dos rectas perpediculares, y e este caso particular paralelas a las bisectrices de los cuadrates. Actividades propuestas. Determia las mediatrices de los segmetos de etremos A y B. Represétalo gráficamete. a. A = (, 7) y B = (6, ) b. A = (, 5) y B = (0, ) c. A = (, 0) y B = (7, ) 5. Determia las mediatrices de los segmetos de etremos A y B. Represétalo gráficamete. a. A = (0, 7) y B = (0, ) b. A = (, 0) y B = (6, 0) c. A = ( 5, 0) y B = (0, 5) 6. Determia las bisectrices de las rectas r y s. Represétalo gráficamete. a. r : + y 5 = 0 y s : y 8 = 0 b. r : + 5y = 0 y s : 6y = 0 7. Determia las bisectrices de las rectas r y s. Represétalo gráficamete. a. r : = 0 y s : y = 0 b. r : + y = 0 y s : y = 0 8. Dado el triágulo de vértices ABC, siedo A = (0, 0), B = (6, 0) y C = (, ), determia las ecuacioes de: a. Sus mediatrices y las coordeadas del circucetro b. Sus bisectrices y las coordeadas del icetro c. Sus alturas y las coordeadas del ortocetro d. Sus mediaas y las coordeadas del baricetro Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

213 Geometría. CÓNICAS Vamos a cotiuar co lugares geométricos u poco más complicados, los que viee dados por ecuacioes de segudo grado (e e y). Estos lugares de llama cóicas porque se puede obteer cortado u coo por u plao... Circuferecias y elipses Empecemos co uo que debería resultarte familiar, la circuferecia., llamado cetro, y ua distacia r llamada radio, ua circuferecia es el lugar geométrico de los putos que está a distacia r de P. Dado u puto cualquiera P p, p Esta defiició debería soarte al meos u poco, quizás de maera u poco meos formal. Ates ya habíamos visto que u lugar geométrico debe veir dado por ua ecuació, así que vamos a calcular la ecuació de la circuferecia. Cuádo u puto, y perteece a la circuferecia? Pues cuado está a distacia r de p, p. Lo úico que teemos que hacer es isertar la fórmula de la distacia. d y, p p r, sigifica, p Ua circuferecia de cetro, p ecuació a veces se llama ecuació caóica o ecuació reducida. y p r p y p r p y p r p y radio r tiee por ecuació. Esta Propiedades de la circuferecia. Si se toma dos putos e ua circuferecia, su mediatriz pasa por el cetro.. Si tomamos u puto A e ua circuferecia, la tagete a la circuferecia por ese puto es perpedicular al radio que le correspode.. Coocido tres putos de la circuferecia podemos calcular la misma (su cetro es el circucetro del triágulo que forma). Actividad resuelta Solució: Calcula la circuferecia que pasa por los putos A,, B,, C, Sabemos que el cetro está sobre todas las mediatrices. Así pues, calculemos la mediatriz del segmeto AB y la de AC (podría hacerse tambié co BC) y el puto de corte es el cetro. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

214 5 Geometría Se tiee, AB y su puto medio es: A AB,,,. U vector perpedicular a AB es,. Co ese vector director, la recta es y. Simplificado y y. Llamemos a a esta recta. De modo aálogo, la otra mediatriz es la recta que pasa por el puto medio de, y, : (, ), y cuyo vector director es perpedicular a BC,. Puedes comprobar que debe ser la recta y que resulta ser y Resolviedo el sistema y obteemos el cetro, que es el puto 0,. Para calcular el radio, y basta calcular la distacia a cualquiera de sus putos. Por ejemplo, d0,,, r 0 0. La circuferecia es pues: 0 y 0 o, lo que es lo mismo y 0 Es fácil comprobar que los putos A, B y C cumple la ecuació. r que os da. Cómo recoocer ua circuferecia Supote que os da ua ecuació del tipo y 8 y 0 y os preguta a qué lugar geométrico correspode. Debemos itetar que se parezca a algo coocido. Para ello, seguimos el siguiete método.. Dividimos por el coeficiete comú de e y (si el coeficiete o es comú se trata de otro lugar geométrico): y y Completamos los cuadrados para que quede y y A 0 ( ) ( y ) 0 :. Pasamos el úmero A al otro térmio, siedo A el radio al cuadrado (obviamete ha de ser positivo si o es ua circuferecia compleja, es decir o real): ( ) ( y ) 5 Vamos a hacerlo co más detalle: Actividad resuelta La ecuació y 8 y 0 represeta ua circuferecia. Calcula su ecuació caóica, cetro y radio. Solució: Lo primero, dividimos por. De este modo obteemos y y 0. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

215 6 Geometría Ahora, al agrupar, se tiee. Si queremos que sea u cuadrado de la forma a a a es claro que teemos que tomar a. Por tato, teemos la igualdad: De la misma maera y y y. Sustituyedo 0 y y y de dode la ecuació es: y 5. Arregládola u poco, teemos la ecuació caóica: 5 y. El cetro es, por tato, y el radio es 5 Todo este método supoe que los coeficietes de e y so iguales. Qué pasa si o lo so? Pues etoces o teemos ua circuferecia sio otra figura. Es la que vamos a estudiar ahora. Hemos visto ya que la recta viee dada por ecuacioes de primer grado del tipo A By C 0. Tambié hemos otado que, co ecuacioes de segudo grado co los coeficietes iguales y si térmio e y, como y 8 y 0 obteemos circuferecias. La elipse Vamos ahora a ver qué pasa co el caso geeral de segudo grado, A By C Dy E 0 cuado el sigo de A y el de B so iguales. Ates de ada vamos a hacer u caso secillo. Pesemos u mometo e la ecuació y, que es ua circuferecia cetrada e el orige y de radio. y Podemos eprésala como. Esta circuferecia pasa por (, 0), (0, ), (, 0) y (0, ). Y si cambiamos uo de los doses, por y ejemplo por u tres?:. Pues teemos ua figura que pasa por (, 0), (0, ), (, 0) y (0, ). Ua especie de circuferecia deformada cuyo ombre es elipse. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

216 7 Geometría y E geeral, es circuferecia de radio r. Podemos cambiar r por dos costates a y b r r co la úica restricció de que sea positivas. Dados dos úmeros positivos a, b teemos ua elipse (cetrada e el orige) co el lugar geométrico y dado por la ecuació. a b Ua elipse es ua especie de circuferecia deformada, co u radio e horizotal y otro e vertical. Pasa por (a, 0), (a, 0), (0, b), (0, b). ' a ' y b, es la elipse cetrada e el orige, si el cetro se sitúa e ( 0, y 0 ) tedremos que la desp horiz 0 ecuació geérica de la elipse es: y desp vertical y y 0 a 0 y y b Dados dos úmeros positivos a, b y u puto, y 0 0 llamado cetro, ua elipse es el lugar geométrico 0. dado por la ecuació 0 y y 0. Esta ecuació a veces se llama ecuació caóica o a b ecuació reducida de la elipse. Cómo recoocer ua elipse E geeral, cualquier ecuació del tipo A By C Dy E 0 es ua elipse cuado (y sólo cuado) A y B so o ulos y del mismo sigo. Vamos a ver u método para llegar a la ecuació caóica. Si os da ua ecuació del tipo 5 y 8 y 0, siempre que los coeficietes de e y sea del mismo sigo teemos ua elipse. El método es prácticamete idético al de la circuferecia Completamos los cuadrados para que quede By y F 0 ( ) 5( y ) 5 8 ( ) 5 5( y ) A :. Si F es ulo es u úico puto. Si o, dividimos por F para obteer y y : 0 5 ( ) ( y ) 5 A F B F 0 0 y 0 0. La epresamos como y y : 5 A ( ) ( ). Si es egativo o a b ' F 5 hay elipse. A veces se llama elipse imagiaria, pues al sustituir a y b por ai y bi obteemos ua elipse. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

217 8 Geometría Elemetos de ua elipse El estudio geeral de ua elipse os llevaría demasiado tiempo pero sí vamos a dar uas piceladas. Nos vamos a limitar a la forma caóica, porque todas las características ya está e ella. La elipse geeral puede estudiarse simplemete trasformado los elemetos. y Así pues, vamos a ello. La elipse e forma caóica es y vamos a tomar a b a b (observa que si a b es ua circuferecia). Si fuera a b sería lo mismo pero e vertical (es decir, todos los elemetos girados 90 o ). E primer lugar, si bie cosideramos que la defiició que hemos dado de ua elipse es la más ituitiva, o es la defiició clásica. La defiició tradicioal es la siguiete: Dados dos putos F y F llamados focos, ua elipse es el lugar geométrico de los putos P cuya suma de distacias a los focos es costate. E símbolos: d(p, F ) + d(p, F ) = a Tal y cómo está epuesta, o se parece mucho a la defiició que hemos dado. Vamos a avazar u poco más e esta ueva defiició. E primer lugar, dóde está los focos? O, e otras palabras, si los colocamos e los putos F c, 0 y F c, 0 para que sea más cómodo, dóde queda la elipse? Lo siguiete so ideas ituitivas, la demostració rigurosa la puedes ecotrar e el apédice III. Lo primero, parece atural supoer (al meos como primera hipótesis) que el cetro de la elipse será el F F puto medio de sus focos, es decir. Si está e c, 0 y e c, 0 el cetro es el orige. Lo siguiete que otamos es que, si a c el puto a, 0 perteece a la elipse pues d a 0, c, 0 a d a, 0, c, 0 a., c e tato que c De este modo d a 0, F d a, 0, F a c a c a,. y Si esos putos está, eso ya os sugiere que la elipse será b. Nos falta sólo calcular la relació a etre b y c. Esto puede hacerse gráficamete. Teorema de Pitágoras de la elipse:los valores de a, b y c está relacioados etre sí mediate la siguiete epresió: a = b + c Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

218 9 Geometría Demostració: Aplicamos la defiició de la elipse e cualquiera de los putos B o B : d(f, B)+d(F, B)=a d(f, B)=a Se forma u triágulo rectágulo dode los catetos vale b y c y la hipoteusa a. Sabemos que el puto 0, b está e la elipse. Por tato la suma de sus distacias a los focos es a. Calculémoslas: 0 c b 0 0 c b 0 a. De ahí se deduce imediatamete: c b a o, lo que es lo mismo, c a b. y Por tato, si teemos ua elipse, sus focos está e los putos: b a a b, 0 y b, 0 a. Recapitulemos:. La elipse es el lugar geométrico de los putos cuya suma de distacias a dos putos fijos llamados focos es costate. c a los focos y defiimos b y elipse tiee por ecuació. b a. Observa, a b c. No te recuerda al teorema de Pitágoras, dode a es la hipoteusa y b y c los catetos?. Si llamamos a a esa costate, c, 0 y, 0 a c etoces la E el dibujo que mostramos a cotiuació, puedes ver ua elipse dode hemos dibujado sus focos y el sigificado de las distacias a, b y c. Ua última cuestió es u parámetro llamado ecetricidad que vamos a pasar a defiir ahora, juto co la distacia focal. y Dada ua elipse, se llama distacia focal a la a b distacia etre los dos focos, es decir c. Se llama ecetricidad al cociete a c y se suele represetar co la letra e. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

219 0 Geometría Alguas otas sobre la ecetricidad y la distacia focal: c a b b. La ecetricidad de ua elipse siempre está etre 0 y, pues es a a a. El 0 puede alcazarse, correspode a distacia focal 0. E tal caso los dos focos coicide co el cetro de la elipse y la elipse es ua circuferecia. Se cumple c 0 y a b.. El o puede alcazarse si cambiar la defiició. Realmete, se aproima a ua curva que veremos después y que ya has estudiado e cursos ateriores, ua parábola.. Cuáto más pequeña sea la ecetricidad, más se aproima la elipse a ua circuferecia. Cuáto más grade sea (si llegar a ) más ovalada se vuelve. E el dibujo puedes ver cuatro elipses co el mismo parámetro b. Las llamamos a, b, c y d. Sus focos so A para la a, B y B para la b, etc. y al ir variado c, sus ecetricidades so, respectivamete: 0, 0' 5, 0' 8 y 5 0' Observa cómo la iicial es ua circuferecia y la figura se vuelve cada vez más ovalada, co los focos más cerca del borde. Actividades propuestas 9. Ua elipse tiee focos e (, ) y e (5, ) y pasa por el puto (0, ). Calcula su ecuació y dibújala. Cuáto vale su ecetricidad? 0. Calcula todos los elemetos de las elipses siguietes y dibújalas. y a. b. 9 y 8 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

220 Geometría.. Hipérbolas El siguiete caso es A By C Dy E 0 co A y B de distito sigo. Como ates, vamos a aalizar primero la ecuació caóica. Es prácticamete igual que la elipse (e cuato a desarrollo, el dibujo es TOTALMENTE distito) de modo que vamos a ir más rápido. y Cetrada e el orige, la elipse es. La hipérbola aparece simplemete cambiado el a b sigo, es decir: y. a b Dados dos úmeros positivos a, b ua hipérbola (cetrada e el orige) es el lugar geométrico dado por y la ecuació. Esta ecuació a veces se llama ecuació caóica o ecuació reducida. a b Y qué es esta figura? Para verlo, vamos a dibujar ua co valores cocretos. Tomamos dos valores simples cualesquiera, por ejemplo a, b (por igua razó especial). Vamos pues a dibujar, y pues. Para ello, vamos despejar la y. Esto es secillo: y y 9 y 9 y 9 y 9. E resume, teemos: y o, e geeral y b. a E primer lugar, o teemos ua fució sio dos, la raíz positiva y la egativa. Vamos a dibujar la primera y, la otra la obtedremos por simetría. Lo primero que debemos otar es que, puesto que o se puede calcular raíces egativas, hay valores para los que la fució o está defiida. Resolviedo la iecuació 0 obteemos,,, el domiio de la fució. Es fácil otar que es simétrica. Para dibújala vamos a dar valores: Su gráfica es, por tato: y Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

221 Geometría Y qué ocurre co la parte de abajo? Pues es lo mismo por simetría. Vamos a hacer el dibujo completo, visto co ejes más grades ( desde más lejos ): Ecuació geeral ' y' Al igual que ates, si la hipérbola represeta a b la ecuació co cetro e el orige, para el caso más geeral co cetro e ( 0, y 0 ) desp horiz 0 tedremos la epresió geeral 0 y y 0 vertical y desp. y y0 a b Dados dos úmeros positivos a, b y u puto, y 0 0 llamado cetro, ua hipérbola (horizotal) es el lugar geométrico dado por la ecuació 0 y y 0. Esta ecuació a veces se llama a b ecuació caóica o ecuació reducida. Observa que, si cambiamos por y e la ecuació, tedremos y y 0 0. Esto es ua b a hipérbola vertical. Cómo recoocer ua hipérbola E geeral, cualquier ecuació del tipo A By C Dy E 0 da ua hipérbola cuado (y sólo cuado) A y B so o ulos y de sigo cotrario. El método es el mismo que ates.. Completamos los cuadrados para que quede By y F A.. Si F es ulo so dos rectas. Si o, dividimos por F para obteer y y. Depediedo de si 0 y y0 vertical. a b A B F F A es egativo o positivo será 0 y y 0 F a b 0 0 o bie e Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

222 Geometría Elemetos de ua hipérbola Como ates, el estudio geeral os llevaría demasiado tiempo, así que os limitaremos a dar uas pequeñas piceladas. Como ates tambié, os limitaremos a la forma caóica pues e ella ya aparece todas las características. Haremos después algú ejemplo del caso geeral, que se obtiee trasformado los elemetos. y La forma caóica de la hipérbola co cetro e el orige es, e este caso o es a b ecesario que u parámetro sea mayor que otro, basta co que a y b sea positivos. Ua vez más, la defiició que hemos usado o es la clásica. La defiició usual es la que sigue. Dados dos putos F y F llamados focos, ua hipérbola es el lugar geométrico de los putos P cuya diferecia de distacias a los focos es costate. E símbolos: d(p, F ) d(p, F ) = a Ua vez más, aparetemete o tiee ada qué ver co la defiició que habíamos dado. La demostració rigurosa de que coicide está e el apédice, lo que vamos a ver so alguas cuestioes ituitivas. Colocamos los focos e los putos F 0 y F 0 c, c,, co lo que supoemos (e primera hipótesis) que el cetro está e el orige. Observamos que, si a c el puto a, 0 perteece a la hipérbola. Esto es u poco más complicado que e el otro caso. da, 0, c, 0 a c c a pues e este caso c a. A su vez d a 0, c, 0 a c teemos d a, 0, c, 0 d a, 0, c, 0 c a c a a.,. Restado, De la misma maera, el puto a, 0 perteece a la hipérbola. Ua preguta que puedes hacerte es por qué ates, e la elipse, es a c y ahora es a c? Si itetáramos hacerlo al revés, se obtedría que o hay igú puto. y Como a, 0 y a, 0 perteece la hipérbola será. Nos falta sólo calcular la relació b a etre b y c. E este caso o la vamos a hacer porque es mucho más complicado. Pero e el apédice puedes ver que, partiedo de la defiició, obteemos la ecuació b c a. Ahora c es la hipoteusa de u triágulo rectágulo de catetos a y b. Recapitulemos:. La hipérbola es el lugar geométrico de los putos cuya diferecia de distacias a dos putos fijos llamados focos es costate.. Si llamamos a a esa costate, c, 0 y c, 0 a los focos y defiimos b c a etoces el y resultado tiee por ecuació. b a La demostració de este hecho, usado sólo la defiició, puedes verla e el apédice. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

223 Geometría Asítotas Si despejamos la y, ya hemos visto que obteemos y b. Para valores muy grades de, el a b tiee muy poca ifluecia y b es muy semejate a b. De modo formal, lo que a a a b sigifica es que limb 0. No te preocupes por esa codició, la etederás e este a a mismo curso cuado estudiemos límites (auque ya has estudiado esto co el cálculo de límites de sucesioes). Lo que sigifica es que para valores muy grades de la fució se aproima a la recta. Para verlo, vamos a hacer ua tabla co b y a. E ese caso, la fució es y y la recta y, es decir y y y Diferecia (recta meos fució) Observa que al crecer la diferecia etre la recta y la hipérbola es cada vez más pequeña. Lo mismo ocurre por el otro lado, co la recta b y. Vamos a poerle ombre a estas rectas. a y b b Dada ua hipérbola, las rectas y, y se llama asítotas b a a a Ua image vale más que mil palabras, así que vamos a ver u dibujo de ua hipérbola co sus focos y asítotas, desde cerca y desde lejos Como ates, la ecetricidad la defiimos al fial. Es similar a la elipse pero ahora es mayor que uo. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

224 5 Geometría y Dada ua hipérbola, se llama distacia focal a la distacia etre los dos focos, es decir a b c c. Se llama ecetricidad al cociete y se suele represetar co la letra e. a Alguas otas sobre la ecetricidad y la distacia focal: c a b b. La ecetricidad de ua hipérbola es siempre mayor que, pues es a a a. El o puede alcazarse si cambiar la defiició. Si fuera uo, la hipérbola sería ua recta horizotal.. Cuáto más pequeña sea la ecetricidad, más curva es la hipérbola y más se parece a ua recta horizotal. Cuáto más grade sea meos curva se vuelve y más se parece a dos rectas verticales paralelas. E el dibujo puedes ver dos hipérbolas co cetro e el orige y que pasa por, 0 y, 0 (es decir, a ). Las llamamos s y t. Sus focos so S y S para la s y T y T para la t. Observa que, a medida que separamos los focos, la hipérbola se hace más vertical. La ecetricidad aumeta tambié, es e la s y e la t. E el límite, si la ecetricidad es, os quedamos co la recta horizotal y 0 mietras que si se hace muy grade so las dos rectas paralelas y. Naturalmete estos valores o puede alcazarse. Actividades propuestas. Cosidera la hipérbola y y 0. Calcula: a. Su ecuació reducida. b. Su cetro y focos. c. Sus asítotas.. Calcula todos los elemetos de las hipérbolas siguietes y dibújalas. a. y b. y 8 y 0. Ua hipérbola horizotal tiee cetro e el (, ) y ecetricidad. Sabiedo que pasa por el puto (, ), cuál es su ecuació? [Pista: el parámetro a lo puedes sacar simplemete del dibujo]. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

225 6 Geometría.. Parábolas Ahora vamos a supoer que A o B sea 0. Los dos a la vez o puede ser, puesto que os quedaría C Dy E 0 que, como bie sabes, es ua recta. Vamos a hacer primero el caso B = 0. El otro es igual y simplemete vamos a ver las coclusioes. La forma caóica viee de despejar la y. Es simplemete y. Por razoes que veremos más adelate, suele llamarse p, o sea, p. De este modo, la parábola es y. p Dado u úmero p positivo o egativo pero o ulo ua parábola (vertical, co vértice e el orige) es el lugar geométrico dado por la ecuació y. p Esta ecuació es ua fució y ya la has estudiado e cursos ateriores y además es u poco más secilla, de modo que podemos ir u poco más deprisa que co la elipse y la hipérbola. Lo primero que otamos es que, como bie sabes, la parábola o sólo es de la forma y sio que tú ya has estudiado alguas del tipo y a b c, como fucioes. Sabías tambié que el vértice b estaba e. E este capítulo lo estudiamos como lugar geométrico, pero sigue siedo lo a mismo. E primer lugar vamos a estudiarla como las otras cóicas e imediatamete volveremos a esa ecuació. Al igual que e el caso de la elipse y la hipérbola, si es y y hacemos u cambio de coordeadas ' 0 ' y y y y y teemos la ecuació geeral, que viee dada directamete por Dado u úmero p positivo o egativo pero o ulo y u puto, y 0 0 llamado vértice, ua parábola (vertical) es el lugar geométrico dado por la ecuació y y ecuació caóica o ecuació reducida. 0 0 p. Esta ecuació a veces se llama Del mismo modo que e la hipérbola, cambiado e y teemos horizotal. 0 y y 0 p, ua parábola Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

226 7 Geometría Cómo recoocer ua parábola. La parábola despejada E geeral, cualquier ecuació del tipo A C Dy E 0 da ua parábola vertical si D es distito de 0. Aálogamete, cualquier ecuació By C Dy E 0 da ua parábola horizotal si C es o ulo. El método es similar. Vamos a verlo para A C Dy E 0 pues ates hicimos el estudio para la otra. 0. Completamos el cuadrado de y para que quede Dy F 0 A.. Pasamos el primer térmio al otro lado Dy F Ay.. Dividimos por D y reombramos. Observa que si D es 0, o es ua parábola [veremos e u F A 0 ejercicio qué es]. y 0 y y0 D D p y 0 El caso que cooces es y a b c o, lo que es lo mismo a b y c 0, que correspode a A a, C b, D y F c. Merece la pea hacerlo aparte, para demostrar que el vértice es lo que ya habías visto e otros cursos. Queremos poer Como teemos: a b como u cuadrado más algo. Sacamos a factor comú y teemos: b a. a b b queremos que sea el doble del producto, buscamos. Al hacer el cuadrado, a a a b a a b b a a a b b a Es decir, obteemos la igualdad a b a b a b. Sustituyedo: a b b a b y c 0 a y c 0. a a Pasado al otro lado y arreglado u poco: a b a b y c. a Agrupado es: a Puedes comprobar fácilmete que llamado parábola. Por tato el vértice está e 0 b a b a b y c. a b, a 0, como ya sabías. p a e b y a c es la ecuació de la 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

227 8 Geometría Elemetos de ua parábola Al igual que e las dos cóicas ateriores, la defiició que te hemos dado o es la clásica. La defiició usual es la que sigue. Dado u puto F llamado foco, y ua recta r llamada directriz, ua parábola es el lugar geométrico de los putos P que tiee la misma distacia al foco que a la directriz. E símbolos: d(p, F) = d(p, r) Como siempre aparetemete o tiee ada qué ver co la defiició que habíamos dado. Pero e este caso, cosideramos que la demostració del hecho es lo bastate secilla para hacerla aquí. La parábola so los putos que equidista de ua recta y de u foco. Ua maera secilla de demostrar la ecuació es tomar la recta como r y 0 y el foco como el puto 0, p. Luego veremos cómo trasformarlo. Dado u puto, y co 0 sería y y e cualquier caso y ). La distacia etre los putos y, su distacia a la recta y 0, y y, h 0 es y p y p y. Elevado al cuadrado resulta y p y ecuació para valores positivos y egativos de y). r es obviamete y (si fuera egativo. Plateado la ecuació queda (date cueta que es la misma Basta arreglarlo u poco: y py p y py p o, lo que es lo mismo p y. p Esto es claramete ua parábola. Ahora bie, o es ua ecuació reducida como e los otros casos. Podemos poer ua ecuació reducida? Sí, podemos, pero a costa de redefiir la recta y hacerlo meos ituitivo. Despejado la Defiiedo teemos p p y. p y' y teemos la ecuació reducida py ' o y' o y' p. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

228 9 Geometría Como siempre, recapitulemos:. La parábola es el lugar geométrico de los putos que equidista de u puto llamado foco y ua recta llamada directriz.. Haciedo cambios de coordeadas la parábola acaba siedo de la forma y. Si defiimos p etoces p es la distacia etre el foco y la directriz.. E la ecuació y, p puede ser positivo (y la parábola tiee ramas hacia arriba) o egativo p (y la parábola tiee ramas hacia abajo). Cuato más cercao esté a 0, más plaa es la parábola y cuáto más lejao, más aputada. Mostramos a cotiuació varias parábolas, co diferetes valores de p. A la izquierda, sólo la parábola y a la derecha dos parábolas a y b co focos (e A y B) y directrices. Actividades propuestas. El vértice de ua parábola vertical co las ramas hacia arriba es el puto (, ). Sabiedo que pasa por el puto (, 0) escribe la ecuació de la parábola, dibújala y calcula su foco. 5. Idetifica las figuras y dibújalas calculado su foco o focos. a. y + = 0 b. y ² = 9 6. Idetifica las figuras y dibújalas. E el caso de la hipérbola, calcula sus asítotas. y 9 a. 6 y 9 b. = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

229 0 Geometría.. Cóicas geerales E este epígrafe vamos a geeralizar u poco el cocepto de cóica. Te habrás fijado e que todas las cóicas que hemos visto aparece e horizotal o e vertical. Qué ocurre, que o hay elipses e diagoal? Por supuesto que las hay, pero su estudio es bastate más complicado y o vamos a poder demostrar todos los resultados como hacíamos ates. Si embargo, creemos que es iteresate que, icluso si demostració, veas cómo se costruiría. Vamos a empezar por la defiició geeral de ua cóica y de sus ejes. Ua cóica es el lugar geométrico dado por la ecuació A By C Dy E Fy 0. Puede demostrarse (esto sí que o lo vamos a hacer) que sólo puede ser cuatro lugares geométricos:. Ua elipse, es decir el lugar geométrico de los putos cuya suma de distacias a dos putos llamados focos es costate. Dichos focos puede estar e CUALQUIER PARTE.. Ua hipérbola, es decir el lugar geométrico de los putos cuya diferecia de distacias a dos putos llamados focos es costate. Como ates, los focos puede estar e cualquier sitio.. Ua parábola, es decir el lugar geométrico de los putos cuya distacia a u puto llamado foco es igual a su distacia a ua recta llamada directriz. La úica restricció es que el foco NO está sobre la directriz.. U caso degeerado. E Matemáticas se llama caso degeerado a ua situació límite. E este coteto, casos degeerados so u puto (como y 0 que da 0, 0), ua recta (como y 0 que da la recta y 0 ) o dos rectas, como y 0 que da las rectas y 0, y 0. Estos casos o se suele cosiderar. Así pues, cóicas o degeeradas so sólo la elipse (cosiderado la circuferecia como elipse co focos que coicide), la hipérbola y la parábola. No se añade figuras uevas al añadir u térmio e y. Dicho esto, cotiuemos co defiicioes geerales. A partir de ahora, cóica sigifica cóica o degeerada salvo que digamos específicamete lo cotrario. Elemetos de la elipse y la hipérbola geerales Para la elipse y la hipérbola, se defie los siguietes elemetos:. Eje mayor es la recta que ue sus focos.. Cetro es el puto medio de sus focos.. Eje meor es la recta perpedicular al eje mayor que pasa por el cetro. E la hipérbola, es habitual llamar a los ejes mayor y meor, eje real y eje imagiario respectivamete.. El parámetro c es la mitad de la distacia etre los focos. 5. El parámetro a es la mitad de la distacia de referecia. Para la elipse es la mitad de la suma de las distacias a los focos y para la hipérbola la mitad de la diferecia. 6. El parámetro b se defie a partir de a y c como b hipérbola. a c e la elipse y b c a e la Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

230 Geometría Si hay térmio e y, los ejes puede ser rectas de cualquier direcció. El estudio geeral de estas cóicas os llevaría muy lejos de los coteidos de este curso, así que las dibujaremos co ordeador. Ejemplo: Utilizado el programa Geogebra, vamos a dibujar ua elipse geeral. Necesitamos dos focos y la distacia a. Ua maera de dar estas tres cosas (que es la que usa Geogebra) es fijar primero los dos focos y poer u puto. Ua vez teemos dos focos, a es la suma de las distacias a ese puto y ya teemos todos los elemetos. Geogebra os calcula la ecuació (podríamos hacerla co la defiició, pero es muy complicado). Vamos sólo a esbozarla. Vamos a poer los focos e (, ), (, ) y a hacerla pasar por el (0, 0). Puedes ver a cotiuació el dibujo que hace Geogebra. La ecuació, que tambié calcula, la mostramos abajo. Observa que aparece u térmio e y. Esa ecuació tambié podríamos haberla deducido de la defiició. E efecto, si u foco está e (, ), el otro e (, ) y pasa por el (0, 0) sus distacias respectivas so y. Por tato, sumado es a La ecuació, por defiició, sería: y y. No abusaremos de tu paciecia desarrolládola pero créeos, al fial sale la de Geogebra, y y 8 8 y 0. Elemetos de la parábola geeral Para la parábola, se defie:. Eje de simetría es la recta que pasa por el foco y es perpedicular a la recta directriz.. Vértice es el puto dode la parábola corta al eje de simetría. Es tambié el puto de la parábola que está más próimo a la recta directriz.. El parámetro p es la distacia etre el foco y la recta directriz. Al igual que e la elipse y la hipérbola, si o hay térmio e y la parábola es vertical o es horizotal. Si lo hay, etoces el eje de simetría puede ser cualquier recta. Observa que si hay térmio e y tambié puede haberlo e e y A LA VEZ. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

231 Geometría Ejemplo: Como ates vamos a usar Geogebra para dibujar, e esta ocasió, ua parábola. Podremos la directriz e y y el foco (, ), ambas cosas por igua razó e especial. Co el foco y la directriz, Geogebra ya os calcula la parábola. De este ejemplo podemos sacar u par de observacioes que so iteresates.. E primer lugar la parábola tiee elemeto e, e y y e y. Eso es geeral. Si aparece el térmio e y, siempre aparece los dos. Y al revés, si o aparece y, etoces o bie falta (y la parábola es horizotal) o bie falta y (y la parábola es vertical).. E segudo lugar, la directriz es y y el eje de simetría y. Si calculas los vectores directores, resulta ser, y, co lo que, como os dice la teoría, las dos rectas so perpediculares. De hecho, hemos calculado el eje de simetría (co Geogebra) como la recta perpedicular a la directriz que pasa por el foco. Como ates, podríamos haber calculado la ecuació a mao. Si la recta directriz es y puede epresarse como y 0. La distacia de u puto geérico, y a la recta es sustituirlo dividiedo por el módulo del vector de coeficietes: d(p, r) = y. Por otro lado, la distacia de u puto geérico (, y) al foco (, ) es d(p, F) = y y. Igualado las dos distacias (y operado u poco) se obtiee y Para quitar el valor absoluto y la raíz se eleva al cuadrado. 5 y y Ua vez más, o vamos a abusar de tu paciecia desarrollado esta epresió. Pero te damos uestra palabra de que al fial queda la parábola de Geogebra: y y y Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

232 Geometría Actividades propuestas 7. Dibuja co Geogebra o cualquier programa equivalete las siguietes cóicas. E fució del dibujo, clasifícalas e elipses, parábolas o hipérbolas. a. y c. y y y 0 e. y y 0 b. y y d. 6 y y 0 f. y y 0 8. Dibuja co Geogebra o u programa equivalete las siguietes elipses y calcula sus ejes mayor y meor. Serías capaz de calcular su ecetricidad? [Pista: hazlo co el ordeador, cortado la elipse co la recta focal]. a. Ua elipse co focos e (, ) y e (, ), que pasa por el orige. b. Ua elipse co focos e (, 0) y e (5, ) que pasa por el (, ). 9. Dibuja, co Geogebra o u programa equivalete las siguietes hipérbolas y calcula sus ejes mayor y meor. a. Ua hipérbola co focos e (, ) y e (, ) que pasa por el (, 0). b. Ua hipérbola co focos e (, 0) y e (5, ) que pasa por el (, ). 50. Dibuja, co Geogebra o u programa equivalete las siguietes parábolas y calcula su eje de simetría y su vértice. a. Ua parábola co foco e (, ) y recta directriz y =. b. Ua parábola co foco e (, ) y recta directriz +y =..5. La hipérbola equilátera Si lugar a dudas la mayor aplicació de las cóicas co ejes girados es la hipérbola equilátera. La hipérbola equilátera es u caso particular de hipérbola que tiee ua ecuació muy simple si los ejes los giramos. y Pero vamos a empezar por el pricipio. Recuerda que la fórmula de ua hipérbola es. b a y Ua hipérbola se dice equilátera si a b. E tal caso, su ecuació reducida es. a a Ya que estamos viedo cóicas geerales, vamos a dar alguas codicioes que se aplique fácilmete auque os aparezca girada. E la hipérbola c a b. Pero si es equilátera etoces a b por lo que c a es decir c a. Y si calculamos la c a ecetricidad teemos e a a y Fialmete, recordemos las asítotas. De, al despejar y teemos y a que so a a a las rectas. Estas dos rectas so perpediculares, pues sus vectores de direcció so, y, y e y. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

233 Geometría Recapitulemos las codicioes Ua hipérbola es equilátera si se cumple cualquiera de las siguietes codicioes equivaletes:. a b. c a. Su ecetricidad es. Sus asítotas so perpediculares. La hipérbola equilátera más secilla es aquella que tiee sus focos e la recta los ejes coordeados. La vamos a costruir girado los ejes. y y las asítotas so y Comecemos co ua hipérbola equilátera horizotal.. Vamos a girarla. Sabemos a a a, 0 a, 0. Es decir la distacia etre los focos es c por lo que sus focos está e a y e a. Si queremos que la distacia al orige sea a etoces teemos que poer el foco e a, a para que os salga u triágulo como el de la figura. Poemos pues u foco e a, a y etoces el otro tiee que ser a, a Mateemos la distacia a. Etoces la ecuació de la hipérbola es: a y a a y a a Si la desarrollamos (apédice IV) la ecuació fial que aparece es y k, llamado a k o, despejado y, como k y. y a. A veces se escribe como Ejemplo: Vamos a costruir la hipérbola equilátera para a. E horizotal será y y, es decir y e vertical y o y. Los focos ya hemos visto que so, 0y, 0para la primera y, y, para la seguda. E las dos siguietes figuras puedes ver la misma hipérbola e horizotal y e vertical. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

234 5 Geometría Actividad resuelta La ecuació y 8 represeta ua hipérbola equilátera. Calcula sus focos, su recta focal, sus asítotas, sus parámetros a, b y c y su ecetricidad. Solució: E primer lugar, al ser ua hipérbola equilátera, muchos de esos parámetros ya está determiados. La recta focal es y, las asítotas so 0 e y 0 y su ecetricidad es. Para calcular sus focos, ecesitamos el parámetro a. Se puede calcular de dos formas distitas. a a E primer lugar, si recordamos la fórmula y etoces 8 a. Otra maera es porque la distacia etre los dos putos más próimos de la hipérbola es a. Cortamos la hipérbola por la recta focal y. La solució del sistema y 8 os da las solucioes A = y, y B =, que aparece e la figura. Si calculamos la distacia de cualquiera de ellos al orige teemos a. Es fácil calcularla A, 0, 0 6 d. E cualquiera de los casos, a. Por ser la hipérbola equilátera b a. La ecetricidad es luego c. Otra maera de verlo es porque c a b. Fialmete, los focos está a distacia c del orige y tiee las coordeadas iguales. Debe ser por tato los putos c, c y c c,,. Actividades propuestas,, es decir y 5. Calcula los focos y los parámetros a, b y c de las siguietes hipérbolas equiláteras y dibújalas: a. 9 y b. y c. y d. y 5. Calcula la ecuació de la hipérbola equilátera que tiee por focos, y, parámetros a y b y su ecetricidad. Dibújala., así como sus Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

235 6 Geometría CURIOSIDADES. REVISTA Las ateas parabólicas De todas las palabras raras que hemos visto e este tema, posiblemete la que hayas visto más frecuetemete e la vida diaria haya sido la parábola. Y es que es muy posible que e tu casa (o la de tus vecios) haya ua atea parabólica. Y qué es ua atea parabólica? Pues ua atea que tiee ( oh, sorpresa!) forma de parábola. Más eactamete, como ua parábola es ua figura plaa y la atea es e tres dimesioes, es la figura que se obtiee al girar ua parábola (el ombre técico es paraboloide). La razó por la que se hace las ateas de esa maera es porque la parábola tiee ua propiedad muy curiosa. Cualquier rayo que llegue paralelo a su eje de simetría se refleja e el foco. Si las odas de TV (o radio o luz) llega desde muy lejos, so aproimadamete rayos paralelos. Y de este modo todos se refleja e el foco. Por tato basta poer u receptor e el foco y recibiremos toda la señal. Si te fijas e la figura, ua atea tiee úicamete u receptor, situado e su foco. Ua aplicació algo meos coocida del mismo pricipio so los faros de los coches. El faro tiee forma de parábola. Se poe ua luz e el foco y automáticamete, se emite rayos paralelos hacia delate. U foco de luz. Fuete: 9/Parabolicos.htm Rayos reflejádose e ua parábola. Fuete: Wikipedia Ua atea parabólica Fuete: modificació propia de u origial del Baco de imágees de INTEF) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

236 7 Geometría La recta de Euler y la circuferecia de Feuerbach Uo de los hechos más sorpredetes de las Matemáticas es el hecho de que se siga descubriedo cosas sobre objetos matemáticos que parecía ya agotados. Posiblemete la figura geométrica más simple sea el triágulo, que so simplemete tres putos o alieados. Lleva siedo estudiado desde la atigüedad. Ya cooces sus cuatro cetros (ortocetro, circucetro, baricetro e icetro). Lo que quizás o sepas es que los tres primeros (ortocetro, circucetro y baricetro) SIEMPRE está e la misma recta. Esta recta se cooce como recta de Euler e hoor a su descubridor, el matemático suizo del siglo XVIII Leohard Euler. Otra figura otable que se puede costruir a partir de u triágulo o es ua recta sio ua circuferecia. Si tomas los putos medios de los lados y los pies de las alturas, estos seis putos está sobre ua circuferecia. Se llama circuferecia de Feuerbach por Karl Wilhelm Feuerbach, matemático alemá del siglo XIX. Puede probarse además que esta circuferecia divide e dos partes iguales a los segmetos que ue al ortocetro co los vértices. Vale que esto ya es u poco más cogido por los pelos, pero recooce que el hecho de pasar por los otros seis putos es otable. Por cierto, la recta de Euler TAMBIÉN pasa por el cetro de la circuferecia de Feuerbach, cosas de la Matemática! Hemos dibujado e el triágulo de vértices A = (0, 0), B = (6, 0) y C =(, ) las dos figuras. U ejercicio que puedes hacer es calcular la recta y la circuferecia (co Geogebra o programa similar o co papel y boli) M, M y M so los putos medios de los lados, A, A y A so los pies de las alturas y P, P y P los putos medios etre el ortocetro y los vértices Otro ejercicio curioso que puedes hacer es, co Geogebra o programa similar, hacer las costruccioes y luego mover los vértices del triágulo. Observarás que el triágulo se distorsioa, pero la recta de Euler sigue siedo recta y la circuferecia de Feuerbach sigue siedo circular. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

237 8 Geometría RESUMEN Ejemplos Vector Par a, b que represeta u desplazamieto. P=(,), Q= (,-), PQ, Producto escalar Módulo de u vector Águlo etre vectores Recta Distacia de u puto a ua recta Número que se calcula multiplicado las compoetes de dos vectores: v w vw vw (,), ( ) 5 Logitud del desplazamieto que represeta el vector: v = v v w v w v., 0 cos (,), So los putos que se puede alcazar sumádole a u puto u vector. Puede estar e forma vectorial, paramétrica, cotiua, puto pediete, implícita o eplícita. d P, r A 0 By A 0 B C cos (,) (, ), y,, ; d 5 5 r: + y = 7; P(, ); 0 y y ; y P, r Lugar geométrico Putos del plao que verifica ua ecuació y, y Circuferecia Lugar geométrico de los putos que equidista de u cetro. Su 0 y y0 r ecuació es Circuferecia de radio y cetro (0, ): y 6 Elipse Lugar geométrico de los putos cuya suma de distacias a dos putos fijos (llamados focos) es costate. Su ecuació caóica es y y 0 0 a b y Hipérbola Lugar geométrico de los putos cuya diferecia de distacias a dos putos fijos (llamados focos) es costate. Su ecuació es y y 0 0 a b y 9 y 0 Si a = b se llama hipérbola equilátera. E ese caso su ecuació es k y Parábola Lugar geométrico de los putos que equidista de u puto llamado foco y ua recta llamada directriz. Su ecuació es y y0 0 y (vertical) y (horizotal) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

238 9 Geometría Vectores EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Dados los putos P,, Q, y R 0, y los vectores v,,, 0 calcula, idicado si so putos o vectores: a. PQ c. v w e. v RQ b. Q PQ w d. R v f. QP w. Dados los putos P,, Q, 0 y R, y los vectores v,, 0, calcula, idicado si so putos o vectores: a. QP c. v w e. v RP b. R PQ w d. P v f. P QP v. Calcula el módulo del vector que ue P, y Q, distacia etre los putos?. Divide el segmeto formado por los putos P, y, 5. Calcula ua base ortogoal que cotega al vector,. 6. Calcula ua base ortoormal que cotega a u vector paralelo a de v, 7. Calcula u vector perpedicular a, y que tega módulo. w w,, qué relació tiee co la Q e tres partes iguales. 8. Tres putos de u rombo ABCD so A = (, ), B = (, 5) y C = (, 9). Calcula: a. El águlo que correspode al vértice A. b. El perímetro (suma de lados) del rombo. c. El puto D. 9. Calcula el águlo que forma las diagoales del rectágulo ABCD siedo A = (, ), B = (, 8), C = (, 8). [El puto D puedes calcularlo]. Rectas 0. Calcula la recta que es paralela a e tres formas y dibújala. y. Calcula la recta que es paralela a y 0 e tres formas y dibújala.. Calcular ua recta perpedicular a y tres formas y dibújala.. Sea las rectas,, r y pasa por el puto, r y pasa por el puto, r que pase por, 0. Eprésala al meos. Eprésala al meos. Eprésala al meos e r y s y. Estudia su posició relativa y calcula sus Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

239 0 Geometría putos de corte si los hubiera. r y s y 0. Estudia su posició relativa y calcula sus putos de corte si los hubiera.. Sea las rectas 0,, y 5. Cosideremos la recta r. a. Calcula su pediete. b. Perteece el puto 0, 5 a la recta? Y el, c. Da al meos tres putos de la recta. d. Dibuja la recta. 6. Cosideremos la recta y? a. Calcular su pediete y vector director. b. Dar ua recta perpedicular a ella que pase por (, ). Eprésala e al meos cuatro formas. 7. Sea los putos A = (, ) y B = (, 0) a. Calcula el vector que los ue. b. Calcula la recta que pasa por ambos y eprésala e tres formas distitas. c. Perteece el puto (, ) a la recta?, y el (, )? 8. Sea la recta r y. a. Calcula ua recta perpedicular a ella y pase por (, ). b. Calcula ua recta que pase por (, ) y sea paralela a r. 9. Halla la posició relativa de las rectas y 0 s así como el águlo que forma. 0. Calcula la distacia del puto (, ) a la recta y.. Calcula la distacia al orige de las siguietes rectas: a., y,, b. y c. y. Calcula la distacia al puto (, ) de las siguietes rectas. a. y b. y. Sea la recta s : y+ = 0 y, y,, a. Calcula ua recta que sea perpedicular a ella y pase por (, ). b. Calcula ua recta que pase por (0, ) y sea paralela a s. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

240 Geometría. Halla la posició relativa de las rectas águlo que forma. : = y+ r y :, y=, + λ, = 0 s así como el 5. Tres putos de u rectágulo ABCD so A = (, ), B= (0, 7) y D = (5, ). Se pide: a. Comprobar que el águlo B es de 90º. b. Calcular las logitudes de los lados AB, BD y CD del rectágulo. c. Calcular el puto D. 6. Calcula la distacia del puto (, ) a la recta y 7. Tres putos de u triágulo so A = (, ), B = (, 8) y C = (, ). Calcular sus lados y águlos. 8. Sea la recta s : y =. a. Calcula ua recta perpedicular co ella y pase por (, ). b. Calcula la distacia de esa recta al puto (, ). 9. Halla la posició relativa de las rectas r : y 5 y s :, y=, + λ, = 0 así como el águlo que forma. 0. Calcula la recta perpedicular a y que pase por el puto medio de A = (, ) y B = (, ). E u paralelogramo ABCD viee dados por A = (, ), B = (, ) y C =, ). a. Calcula el águlo B (etre BA y BC). b. Calcula la ecuació de la recta que pasa por A y C (la diagoal del paralelogramo). c. Calcula el perímetro de la figura. d. Calcula el puto D.. Ya sabes que la mediatriz es el lugar geométrico de los putos que equidista de dos putos dados. Escribe la ecuació de la mediatriz del segmeto de etremos A = (, 5) y B = (, ).. Recordemos que el circucetro de u triágulo es el puto de corte de las mediatrices de sus lados. Calcula el circucetro del triágulo A = (, ), B = (, 6) y C = (, 8) escribiedo las ecuacioes de las tres mediatrices.. Recordemos que el baricetro de u triágulo es el puto de itersecció de las mediaas (la mediaa es la recta que va desde u vértice al puto medio del lado opuesto). Sabiedo esto, calcula el baricetro del triágulo A = (, ), B = (, ) y C = (, 0), escribiedo las ecuacioes de las tres mediaas. 5. Ya sabes que la bisectriz de u águlo es el lugar geométrico de los putos que equidista de los lados del águlo. Escribe la ecuació de la bisectriz del águlo formado por las rectas y = +, y + 5y =. Cuátas hay? Cómo so? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

241 Geometría Cóicas 6. Calcula la circuferecia que pasa por el puto A = (, ) y tiee por cetro a C = (, ) 7. Idetifica las figuras y dibújalas a. y 9 c. y b. y 0 d. y 0 8. Calcula la circuferecia que pasa por los putos A = (, ), B = (, ) y C = (5, 5). 9. Calcular la ecuació de ua hipérbola co cetro e (, ) y radios 8 y 5. Dibuja dicha hipérbola 0. Idetifica las figuras y dibújalas. Calcula el foco o focos. a. + y = b. y² 9 =. Idetifica las figuras y dibújalas. c. y = d. ² y+ + ² = 9 a. y 0 b. y y 0. Calcula la circuferecia que pasa por A = (, ), B = (, 6) y cuyo cetro es su puto medio.. Cosidera la hipérbola equilátera y 50. Calcula sus focos, ecetricidad y asítotas y dibújala.. Dibuja co Geogebra o cualquier programa equivalete las siguietes cóicas. E fució del dibujo, clasifícalas e elipses, parábolas o hipérbolas. a. y c. y y y 0 e. y y 0 b. y y d. 6 y y 0 f. y y 0 5. Ua elipse tiee focos e (, ) y e (, ) y pasa por el puto (0, ). Calcula su ecuació y dibújala. Cuáto vale su ecetricidad? 6. Ua elipse tiee por cetro el puto (, ) y pasa por los putos (5, ) y (, ). Sabiedo que su radio mayor es : a. Da su ecuació y dibuja la elipse. b. Calcula sus focos y ecetricidad. 7. Ua hipérbola equilátera co cetro el orige pasa por el puto (, ). Calcula sus focos y dibújala. 8. Sabiedo que las asítotas de ua hipérbola so y e y y que pasa por el puto (,0) calcular la ecuació de dicha hipérbola. 9. Ua hipérbola equilátera tiee como ecuació y 8. Calcula sus focos. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

242 Geometría AUTOEVALUACIÓN. Comezamos e el puto (, ) y os movemos primero co el vector, vector w,5. v y después co el a. E qué posició estamos al fial? b. Si quisiéramos hacer los dos pasos e uo, qué vector seguiríamos? P,, Q, 0 y el vector v,, calcula, idicado si so putos o vectores: a. QP b. PQ v c. P v. Dados los putos. Realiza las siguietes operacioes: a.,, b., 0,,. Calcula la recta que es paralela a y 5 cuatro formas, calcula su pediete y dibújala. 5. Calcula el águlo etre las rectas r y 5 y y r y pasa por el puto, 6. Sea las rectas r,, y s y putos de corte si los hubiera. 7. Calcula la distacia del puto (, ) a la recta, y,,. Eprésala al meos de. Estudia su posició relativa y calcula sus e iterpreta el resultado 8. Cosideremos el triágulo ABC rectágulo e B e isósceles. Si A = (, ) y B = (, ), calcula: a. El vértice C (hay dos solucioes posibles). b. Los otros dos águlos del triágulo. c. El área y el perímetro del triágulo. 9. Tres putos de u triágulo so A = (, ), B = (, ) y C = (5, ). Calcula sus lados y águlos. 0. Calcula la circuferecia que pasa por los putos A = (, 5), B = (, ) y C = (6, ).. Calcular la ecuació de ua elipse horizotal co cetro e (, ) y radios y. Calcular sus focos y dibujarla. Cómo cambiaría la respuesta si la elipse fuera vertical?. Dibuja la hipérbola 8 y y sus asítotas. Calcula sus focos y ecetricidad.. Idetifica las figuras y dibújalas a. y 8 0 c. y 0 b. y = d. 8 y 6 y = 0. Ua parábola vertical tiee el vértice e (, ) y las ramas hacia arriba. Si sabemos que pasa por el puto (0, 5) calcula su ecuació y su foco. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

243 Geometría Apédice I. Vectores libres y ligados Vectores ligados o fijos: So aquellos que tiee u puto de aplicació (orige) y por tato u etremo. Se deota como el vector PQ, dode P(p, p y ) es el orige y Q(q, q y ) el etremo. El vector, que o olvidemos os da el grado de avace e las dos direccioes, se calcula restado las coordeadas e y de Q y P: PQ = Q P = (q p, q y p y ). Vector libre: Es el cojuto de todos los vectores co misma direcció, módulo y setido. Se suele deotar por v Para represetar u vector libre, es suficiete co dar dos coordeadas, como e v,. Ahora bie, para represetar u vector ligado ecesitamos o bie u puto y u vector libre, como e P, ; v, o dos putos (orige y etremo) como e P, ; Q 0, 5. Observa que los vectores ligados P, ; v, y R 0, ; v, NO so iguales auque cotega el mismo vector libre, pues empieza e putos distitos. El uso de vectores ligados es ifrecuete e Matemáticas, pero se utiliza bastate e Física. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

244 5 Geometría Apédice II. Deducció de la fórmula de la distacia de u puto a ua recta Supogamos ua recta r e forma implícita A By C 0 y u puto P cualquiera de coordeadas, y 0 0. Queremos demostrar que la distacia del puto a la recta es A0 By0 C d P, r. A B Q q, q y. Ya hemos visto que Pogamos que el puto de míima distacia es Q, co coordeadas el vector PQ es perpedicular a la recta. Tambié hemos visto que el vector director de la recta es B, A por lo que el vector B Pero si PQ t vector PQ y A, es perpedicular a la recta. A, B so perpediculares al mismo vector etoces es porque so paralelos, es decir A, B. Sabemos además que la distacia que buscamos es el módulo de PQ. Si hacemos el A, B uitario, etoces teemos A, B y k es EXACTAMENTE la distacia (observa que teemos que poer valor absoluto porque puede ser egativo). Vamos a calcular k. Si multiplicamos los dos lados por el vector A, B A, B A, B A, B valor de k. PQ k k. A, B A, B A, B A, B Por tato, basta hacer el producto. Hagámoslo. A, B A, B obteemos directamete el A, B A, B PQ q 0, qy y0 pues A, B PQ q, q y 0 y y A, B A B 0 k. A B Aq Bq y A0 By0 Operado: k Pero esto o os arregla mucho, queremos ua fórmula dode A B o aparezca el puto Q. Para ello, teemos e cueta que Aq Aqy C 0 por ser u puto de la recta. Por tato, ecotramos Aq Bq C y llevádolo a la ecuació obteemos la fórmula: y k A 0 A By 0 B C A0 By0 C. Tomado valores absolutos, teemos la fórmula fial: A B d P, r A 0 By A 0 B C Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

245 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó Geometría 6 Apédice III. Deducció de las fórmulas de las cóicas Elipse: Los focos está e 0 c, y 0, c siedo b a c. Es el lugar geométrico de los putos cuya suma de las distacias a los focos es costatemete igual a a, así que plateamos la distacia. Tomamos u puto geérico de la elipse, y,. Su distacia a 0 c, es el módulo del vector que los ue, es decir: 0 y c o, lo que es lo mismo y c. La otra distacia es y c. Si plateamos que la suma sea a el lugar geométrico es: a y c y c. Puesto así, o se parece mucho a ua elipse, verdad? Bie, vamos a simplificarlo u poco y veremos que o sólo se parece, sio que es el mismo. Pasado al otro térmio: y c a y c Elevado al cuadrado para quitar raíces: y c y c a a y c Operado: y c c y c a a y c c Dejamos la raíz sola: y c a y c c a y c c Y se os simplifica casi todo: y c a a c. Dividimos por cuatro para hacerlo más fácil: y c a a c. Y ahora sí, elevamos al cuadrado: y c a a c Operado: y c c a a c a c y a c a c a a a c a c Pasamos las e y a la izquierda y el resto a la derecha: c a a y a c a a c a c Operado y sacado factor comú: a c a y a a c Ahora bie, por defiició, b a c, es decir b a c de dode b a c. Por tato: b a a c a y a b. E resume, teemos b a y a b. Dividiedo por b a se obtiee fialmete la ecuació de la elipse: Es b a b a y b a a b a b o, más boito b y a.

246 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó Geometría 7 Hipérbola: La deducció es muy parecida a la de la elipse. Los focos está e 0 c, y 0, c siedo b a c. Es el lugar geométrico de los putos cuya diferecia de las distacias a los focos es costatemete igual a a, así que plateamos la distacia. Tomamos u puto geérico de la elipse, y,. Su distacia a 0 c, es el módulo del vector que los ue, es decir: 0 y c o, lo que es lo mismo y c. La otra distacia es y c. Si plateamos que la diferecia sea a el lugar geométrico es: a y c y c. Naturalmete, podríamos platearos la diferecia al revés, a y c y c. Vamos hacer primero el primer caso y muy brevemete, describiremos el segudo. Como ates, o es demasiado similar a ua hipérbola. Y como ates lo vamos a simplificar u poco. Pasado al otro térmio: y c a y c Elevado al cuadrado para quitar raíces: y c y c a a y c Operado: y c c y c a a y c c Dejamos la raíz sola: y c a y c c a y c c Y se os simplifica casi todo: y c a a c. Dividimos por cuatro para hacerlo más fácil: y c a a c. Y ahora sí, elevamos al cuadrado: y c a a c Observa que es eactamete lo que os salía e la elipse. Pero ahora a y c tiee iterpretacioes distitas, etre otras cosas es a c. Procediedo igual que e la elipse: Operado: y c c a a c a c y a c c a a a c a c Pasamos las e y a la izquierda y el resto a la derecha: c a a y a c a a c a c Operado y sacado factor comú: a c a y a a c Eactamete igual que e la elipse. Pero ahora es distito b a c por lo que b a c. a c a y a a c b a y a b.

247 8 Geometría E resume, teemos b a y a b. Dividiedo por a b se obtiee fialmete la ecuació de la hipérbola: Es b a b a a b a b a b y o, más elegate: a b y. Y qué pasa co la otra ecuació? Pues que si empezamos co c y c y a y realizamos las operacioes igual, obteemos lo mismo cambiado c por c. Llegaríamos a la ecuació a a c ecuació que ates, c a a y a c a c y que, operado, acaba siedo la misma. Apédice IV. Deducció de la fórmula de la hipérbola equilátera. Los focos está e a, a y a, a y la distacia es a. Como ya hemos visto, la ecuació es: a y a a y a a Llevamos el segudo sumado al otro térmio y elevamos al cuadrado: a y a a a y a a y a a a a y a a y a Operado: Pasado las a y a a a y ya a a y ya a a a, y, a, e y a la izquierda: Dividiedo por a. y a a y a a y a ya a a a. Elevado al cuadrado (otra vez): y a a y a a y y a y a ya a Desarrollamos: y a Si pasamos todo ecepto a al otro lado teemos: a y a que es la fórmula y que buscábamos. y a ya a a y ya a Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 5: Geometría Autor: Adrés García Mirates Revisor: José Luis Lorete Aragó

248 MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo Ilustracioes: José Gallegos Ferádez

249 9 Fucioes Ídice. TIPOS DE FUNCIONES. GRÁFICAS.. FUNCIONES RACIONALES.. FUNCIÓN RAÍZ.. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.5. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. OPERACIONES CON FUNCIONES.. OPERACIONES BÁSICAS.. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.. FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS.. DOMINIO.. RECORRIDO O IMAGEN.. SIMETRÍAS.. PERIODICIDAD.5. PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES.6. SIGNO Resume El cocepto de fució es bastate abstracto, lo que hace complicada su defiició y compresió. Si embargo, sus aplicacioes so múltiples y muy útiles, ya que sirve para eplicar muchos feómeos que ocurre e campos ta diversos como la Física, la Ecoomía, la Sociología A pesar de su complejidad a ivel teórico, alguas características que posee las fucioes se etiede fácilmete cuado se represeta gráficamete, porque resulta etoces muy ituitivas, y eso ha sido suficiete para poder aalizar y resolver muchas cuestioes e los cursos ateriores e los que hemos estudiado las fucioes como tabla de valores, como gráfica y co su epresió aalítica. E este, vamos a itetar profudizar más e dichas propiedades y características, pero estudiádolas aalíticamete, es decir, desde la fórmula que las defie, y aplicádolas a distitas situacioes, etre las que se ecuetra la represetació gráfica, pero si teer que depeder de ella. Tambié vamos a recoocer alguos tipos de fucioes, como las fucioes poliómicas, raíz, logarítmica, epoecial, aalizado sus propiedades. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

250 50 Fucioes. TIPOS DE FUNCIONES. GRÁFICAS Recuerda que: E tercero y e cuarto de ESO ya estudiaste el cocepto y las características de ua fució. Como es muy importate, vamos a isistir y a profudizar e ello. Ua fució es ua relació etre dos magitudes de forma que a u valor cualquiera de ua (variable idepediete) le hacemos correspoder, como mucho, u úico valor de la otra (variable depediete). Para idicar que la variable (y) depede o es fució de otra, (), se usa la otació y = f(), que se lee y es la image de mediate la fució f Esta relació fucioal se puede establecer, muchas veces, mediate ua epresió matemática o fórmula, lo que os permitirá trabajar de forma cómoda co ella. Otras veces viee dada mediate ua tabla dode aparece los valores relacioados etre sí. E ocasioes teemos la relació e forma de gráfica Y tambié eiste fucioes que o se puede escribir mediate ua epresió algebraica! Por tato, se puede asemejar co ua máquia que coge u úmero y lo trasforma e otro mediate ua serie de operacioes que podremos describir mediate ua fórmula. Ejemplos: Fucioes costates (los úmeros vistos como fucioes): f() = k, para todo f() =, para todo, así f() = ; f(0) = ; f( 5 ) = ; Fució idetidad (trasforma cada úmero e él mismo): I() =, para todo, así I() = ; I() = ; I( 5 ) = 5 ; (0) 0 f (0) que o eiste 0 0 () f () f ( ) ( ) f ( ) ( ) (' ) 9'6 f ( ) 9' ' ' Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

251 5 Fucioes Eiste distitos tipos de fucioes, que aalizaremos después, segú sea la fórmula que las defie: TIPO Poliómicas ALGEBRAICAS Racioales Irracioales Epoeciales TRASCENDENTES Logarítmicas Trigoométricas DEFINIDAS A TROZOS FÓRMULA Poliomio Cociete de poliomios Raíz de ua racioal Epoecial (variable e el epoete) Logaritmo (variable como argumeto de u logaritmo) Trigoométrica (variable como argumeto de ua razó trigoométrica) Varias fórmulas depediedo de los valores de la variable La gráfica de ua fució es el lugar geométrico de todos los putos del plao, pares ordeados, e los que el primer valor correspode a uo cualquiera de la variable idepediete y el segudo a su image, es decir, al que se obtiee al trasformarlo mediate dicha fució: {(, y) ; y = f()} Se represeta dibujado todos los putos ateriores y uiédolos co ua líea, y se hace sobre los ejes de coordeadas (dos rectas perpediculares: eje de abscisas para los valores que toma la variable idepediete, eje de ordeadas para los valores que toma la variable depediete, y orige de coordeadas, puto de itersecció de ambos). Uo de los objetivos importates de este capítulo y los siguietes es llegar a represetar gráficamete todo tipo de fucioes (o ecesivamete complejas). Ejemplos: TIPO GRÁFICAS Poliómicas Racioales Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

252 5 Fucioes TIPO GRÁFICAS Irracioales Epoeciales Logarítmicas Trigoométricas Defiidas a trozos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

253 5 Fucioes.. Fucioes racioales Ua fució moómica es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es u moomio, es decir, ua epresió algebraica e la que úicamete aparece productos e la parte variable. Ejemplos: Fució idetidad: I() = Fució poliómica: f() = Volume esfera respecto al radio: V ( r) r U caso particular de fució moómica es la fució potecial, aquella e la que la fórmula que establece la relació etre las variables es ua potecia de epoete atural. Ejemplos: Fució idetidad: I() = = f() = Área del cuadrado respecto del lado: A(l) = l Ua fució poliómica es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es u poliomio, es decir, ua suma de moomios o semejates. Ejemplos: p() = + Actividades resueltas MRUA (Movimieto rectilíeo uiformemete acelerado): et 5 t t Área total de u cilidro de altura respecto al radio: A(r) = r + r Mediate la fució aterior que relacioa el área de u cuadrado co su lado, calcula el área de u: Cuadrado de lado cm: A() = = A = cm. Cuadrado de lado 0 5 m: A(0 5) = 0 5 = 0 5 A = 0 5 m. Cuadrado de lado 5 mm: A( 5 ) = ( 5 ) = 5 A = 5 mm. Qué otras fórmulas de áreas o volúmees de figuras cooces que sea fucioes poliómicas?: h Área de los triágulos de base cm e fució de la altura: Ah h (moómica) Área de los rectágulos de altura m e fució de la base: Área de los trapecios de bases 6 y 8 dm e fució de la altura: Área total del coo de geeratriz 5 mm e fució del radio: A b b b (moómica) A h 6 8 h 7 h A r r 5 r (poliómica) 7 V l l 7 l Volume de la pirámide cuadragular de altura 7 m e fució del lado: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

254 5 Fucioes Actividades propuestas. Realiza ua tabla de valores y represeta la fució idetidad.. Calcula las imágees de los úmeros ; ; 0; ; ; ; 0 por la fució f() = + Recuerda que: Como casos especiales detro de las fucioes poliómicas, se ecuetra las fucioes afies y las cuadráticas que se estudiaro e cursos ateriores: Ua fució afí es ua fució poliómica de grado meor o igual que uo: y = f() = m +. Su represetació gráfica es ua recta, su pediete es el coeficiete líder (m) e idica la icliació de la misma (si es positivo la recta será creciete y si es egativo decreciete) y su ordeada e el orige () es el térmio idepediete, que os proporcioa el puto dode la recta corta al eje de ordeadas. Ejemplo: f() = (poliomio de primer grado) / 0 f() 0 (, ) (, ) (/, 0) (0, ) (, ) Pediete: recta decreciete Ordeada e el orige: (0, ) puto de corte de la recta co el eje de ordeadas Casos particulares de fucioes afies so: Fució costate (recta horizotal): es aquella que siempre toma el mismo valor para todos los valores de la variable idepediete (la pediete es ula): f() =. Ejemplos: Gráficas de f() = ; f() = ; f() = 0; f() =. Por tato, la recta o tiee icliació, es decir, es paralela al eje de abscisas. Observa que La ecuació del eje de abscisas es y = f() = 0. GRÁFICA Fució lieal o de proporcioalidad directa: es aquella que tiee ordeada e el orige igual a 0 (pasa por el orige de coordeadas), es decir, es moómica de grado : f() = m. Ejemplos: Gráficas de f() = (y es el triple de ); f() = (y es el opuesto del doble de ); I() = (fució idetidad: y es igual a ). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

255 55 Fucioes Ua fució cuadrática es ua fució poliómica de segudo grado: y = f() = a + b + c. La gráfica de este tipo de fucioes se llama parábola. Si el coeficiete líder o cuadrático es positivo (a > 0), la parábola está abierta hacia el eje Y positivo (covea). Si el coeficiete líder o cuadrático es egativo (a < 0), la parábola está abierta hacia el eje Y egativo (cócava). y = + > 0 y = + < 0 Los otros coeficietes del poliomio afecta a la posició que ocupa la parábola respecto a los ejes. E ua fució cuadrática hay ua rama que crece y otra que decrece. El puto dode se produce ese cambio se llama vértice y es el mayor (máimo) o meor (míimo) valor que toma la fució. Es el puto más sigificativo e ua parábola y, por eso, es importate saber calcularlo. Para ello, le damos a b la variable idepediete el valor, y lo sustituimos e la fució para calcular su image. Dicho a valor es fácil de recordar: es lo mismo que aparece e la fórmula de las ecuacioes de º grado quitádole la raíz cuadrada. Ejemplo: y 6 5 poliomio º grado GRÁFICA f() (, ) (, 0) (5, 0) (0, 5) (6, 5) Coeficiete líder: > 0 parábola covea Vértice: b 6 y a a b6 (, ) Ordeada e el orige: 5 (0, 5) puto de corte co el eje de ordeadas. Putos de itersecció co el eje de abscisas: (, 0) y (5, 0) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

256 56 Fucioes Las fucioes poliómicas de grado mayor que dos so más complejas de dibujar, auque las gráficas tambié tiee características llamativas: Ua fució racioal es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es ua epresió racioal o fracció algebraica, es decir, ua divisió de dos poliomios. Ejemplos: Fució de proporcioalidad iversa: f g t t t h Recuerda que: Cuado los poliomios que forma la fracció algebraica so, como mucho, de grado (el del deomiador obligatoriamete), la gráfica de la fució es ua curva llamada hipérbola. Ejemplo: GRÁFICA La gráfica de la fució de proporcioalidad iversa es: / /5 /5 / f() / / 5 5 / / Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

257 57 Fucioes.. Fució raíz Ua fució raíz es aquella e la que la variable depediete se calcula haciedo ua raíz a la variable idepediete. Ejemplos: f g t t Es importate recordar que la raíz es ua operació u tato especial puesto que o siempre se puede obteer, por ejemplo cuado el radicado es egativo y el ídice par. La fució raíz cuadrada tiee u úico resultado real, el que asiga la calculadora (o cofudir co las solucioes de ua ecuació de segudo grado, que so dos). Gráficamete, lo aterior se traduce e: RAÍCES DE ÍNDICE PAR ht t j RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR 5 f f f f Actividades propuestas. Copia e tu cuadero las siguietes gráficas de fucioes e idica si el ídice es par o impar e las represetacioes de las siguietes fucioes raíz: ÍNDICE ÍNDICE FUNCIÓN FUNCIÓN Par Impar Par Impar Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

258 58 Fucioes.. Fucioes epoeciales y logarítmicas Ua fució epoecial es aquella e la que la variable depediete se calcula elevado u úmero coocido a la variable idepediete. Actividades resueltas Si la catidad de bacterias de ua determiada especie se multiplica por, cada hora, podemos escribir la siguiete fórmula para calcular el úmero y de bacterias que habrá al cabo de horas (comezado por ua sola bacteria): y = f() =. Número de bacterias e cada hora (Tabla de valores de la fució): Gráfica de la fució Horas trascurridas () Número de bacterias (y) Observa que e este ejemplo o se ha dado a la valores egativos, ya que o tiee setido u úmero de horas egativo. E las fucioes epoeciales e geeral, la variable idepediete sí puede teer valores egativos, pero sus imágees siempre so positivas. Actividades propuestas. Realiza e tu cuadero ua tabla de valores y la gráfica para u caso similar, supoiedo que el úmero de bacterias se duplica cada hora. 5. Vuelve a repetir otra vez el ejercicio aterior supoiedo que el úmero de bacterias queda dividido por cada hora. Observarás que, e el primer caso, los valores de y aumeta mucho más deprisa y eseguida se sale del papel. Mietras que los valores de aumeta de e los valores de y se va multiplicado por. Esto se llama crecimieto epoecial. E el segudo caso, como e lugar de multiplicar se trata de dividir, teemos u decrecimieto epoecial. 6. E tu cuadero, represeta cojutamete las gráficas de y = f() =. (fució potecial) y f() =. (fució epoecial), co valores de etre 0 y 5. Observa la diferecia cuatitativa etre el crecimieto potecial y el crecimieto epoecial. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

259 59 Fucioes Distitas fucioes epoeciales: Las gráficas de las fucioes epoeciales f() = a se diferecia segú el valor de la base a : So distitas si 0 < a < o a >. E el caso e el que a = teemos la fució costate y =, cuya gráfica es ua recta horizotal. Veamos las gráficas de alguas fucioes epoeciales, comparádolas co otras: Fucioes f() = y g() = Fucioes f y g Observamos que la gráfica de f() = a y la de f a El úmero e. La fució epoecial (f() = e ): so simétricas respecto del eje OY. El úmero e tiee ua gra importacia e Matemáticas, comparable icluso al úmero π, auque su compresió o es ta elemetal y ta popular. Ya lo hemos estudiado e capítulos ateriores. Ya sabes que es u úmero irracioal cuyo valor aproimado es e =, Este úmero aparece e las ecuacioes de crecimieto de poblacioes, desitegració de sustacias radiactivas, itereses bacarios, etc. Tambié se puede obteer directamete el valor de e co la calculadora (siempre como aproimació decimal, puesto que es u úmero irracioal). Normalmete hay ua tecla co la etiqueta e pero puedes usar tambié la tecla etiquetada e. Para ello tedrás que calcular el valor de e. La gráfica de la fució f() = e es similar, y comparte características, a la de las fucioes epoeciales de base mayor que dibujadas ateriormete. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

260 60 Fucioes Actividades propuestas 7. Utilizado la calculadora, haz e tu cuadero ua tabla de valores y represeta las fucioes f() = e y g() = e Ua persoa ha igresado ua catidad de euros a iterés del % e u baco, de modo que cada año su capital se multiplica por 0. a. Escribe e tu cuadero ua tabla de valores co el diero que tedrá esta persoa al cabo de,,,, 5 y 0 años. b. Idica la fórmula de la fució que epresa el capital e fució del úmero de años. c. Represeta e tu cuadero gráficamete dicha fució. Piesa bie qué uidades deberás utilizar e los ejes. 9. U determiado atibiótico hace que la catidad de ciertas bacterias se multiplique por / cada hora. Si la catidad a las 9 de la mañaa es de 0 milloes de bacterias: (a) Haz ua tabla calculado el úmero de bacterias que hay cada hora, desde las de la mañaa a las de mediodía (observa que tiees que calcular tambié hacia atrás ). (b) Represeta gráficamete estos datos. Cultivo de la bacteria Salmoella Fució logaritmo: E capítulos ateriores ya hemos estudiado los logaritmos, pero ahora vamos a estudiar la fució logarítmica. Ua fució logarítmica es aquella e la que la variable depediete se calcula haciedo el logaritmo, e ua base coocida, de la variable idepediete. Ejemplos: Fució logaritmo: f() = log() Fució logaritmo eperiao: g() = l() Fució logaritmo de base : h(t) = log0 5(t) Hay ua fució distita para cada valor de la base a. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

261 6 Fucioes La tabla de valores y la gráfica de la fució y log so las siguietes: log La tabla de valores y la gráfica de la fució y log so las siguietes: log Observa que: Las gráficas de f() = loga() y g() = log/a() so simétricas respecto del eje OX: Relació etre las fucioes epoecial y logarítmica: Segú la defiició del logaritmo teemos la siguiete relació: y = loga() = a y. Por tato, lleva itercambiado el lugar de la y la y. E cosecuecia, si partimos de u úmero y le aplicamos la fució logarítmica, y luego al resultado le aplicamos la fució epoecial volvemos al úmero de partida. Lo mismo ocurre si primero aplicamos la fució epoecial y después la logarítmica. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

262 6 Fucioes Ejemplo: Partiedo del úmero, utilizado la calculadora aplicamos ua fució logarítmica: log5 = (recuerda la fórmula de cambio de base). Si a cotiuació aplicamos la fució epoecial: = y obteemos el úmero del pricipio. Haciédolo e setido iverso, partiedo del úmero aplicamos primero ua fució epoecial: 5 = 5. A cotiuació aplicamos la fució logarítmica: log55 = y tambié hemos obteido el úmero del pricipio. Gráficamete, la propiedad aterior se traduce e que sus gráficas so simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrates. Esto se debe a que si el puto (a, b) es de la gráfica de ua de ellas, el puto (b, a) perteece a la gráfica de la otra. Ejemplos: Actividad resuelta Solució: Represeta la fució f() = log() usado ua tabla de valores. A cotiuació, a partir de ella y si calcular valores, represeta las fucioes siguietes: g() =, h() = log/() y, utilizado tambié g() =, represeta k() = (/). Por la simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrate: Por la simetría respecto al eje OX: Por la simetría respecto al eje OY: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

263 6 Fucioes Actividades propuestas 0. Represeta e tu cuadero, mediate tablas de valores, las gráficas de las siguietes fucioes: a) f ( ) log b) f ( ) log / c) f ( ) log5, Comprueba que e todos los casos pasa por los putos (, 0), (a, ) y (/a, ), dode a es la base.. Idetifica las fórmulas de las siguietes fucioes a partir de sus gráficas, sabiedo que so fucioes logarítmicas: a) b) c) d) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

264 6 Fucioes.. Fucioes trigoométricas E el capítulo de Trigoometría hemos estudiado las razoes trigoométricas y sus propiedades, ahora vamos a estudiar las fucioes trigoométricas. Ua fució trigoométrica es aquella e la que la variable depediete se calcula aplicado ua razó trigoométrica a la variable idepediete. Las fucioes seo y coseo: Estas dos fucioes se icluye e el mismo apartado porque so muy parecidas. Su gráfica es la llamada siusoide, cuyo ombre deriva del latí sius (seo). Ya sabes que e los estudios de Matemáticas se suele utilizar como uidad para medir los águlos el radiá. Por tato es ecesario coocer estas gráficas epresadas e radiaes. Las puedes obteer fácilmete co la calculadora. Fíjate e sus similitudes y e sus diferecias: Gráfica de la fució f() = se Gráfica de la fució f() = cos Ya sabes cuáto vale π, π =, Telo e cueta al dibujar las gráficas. Puedes observar que ambas fucioes tiee la misma gráfica pero desplazada e radiaes e setido horizotal. Es decir: se ( + π/) = cos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

265 65 Fucioes La fució tagete: Esta fució es diferete a las otras dos. Por esa razó la presetamos separadamete. Recuerda que: Como razoes trigoométricas: tg = se / cos. Gráfica de la fució f() = tg Recordemos que o eiste la tagete para los águlos de ± π/, ±π/, ±5π/ pues para esos valores se aula el deomiador. La fució cotagete: Recuerda que: Como razoes trigoométricas: cotg = / tg = cos / se. Gráfica de la fució f() = cotg Recordemos que o eiste la cotagete para los águlos de 0, ± π, ±π, ±π pues para esos valores se aula el deomiador. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

266 66 Fucioes Las fucioes cosecate y secate: Estas dos fucioes se icluye e el mismo apartado porque vuelve a ser muy parecidas. Ya sabes que como razoes trigoométricas: cosec = /se y sec = / cos. Gráfica de la fució f() = cosec Recordemos que o eiste la cosecate para los águlos de 0, ± π, ±π, ±π pues para esos valores se aula el deomiador. Gráfica de la fució f() = sec Recordemos que o eiste la secate para los águlos de ± π/, ±π/, ±5π/ pues para esos valores se aula el deomiador. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

267 67 Fucioes.5. Fucioes defiidas a trozos. Fució valor absoluto Ua fució defiida a trozos es aquella e la que la fórmula que establece la relació etre las dos variables o es úica, sio que depediedo de los valores que tome la variable idepediete, los de la variable depediete se calcula e ua u otra fórmula. Piesa e la siguiete situació: Para la tarifa de u teléfoo móvil se paga u fijo de 0 al mes y co eso so gratis los 500 primeros miutos. A partir de allí, se paga a 5 cétimos por miuto. Es evidete que es diferete el comportamieto ates de 500 miutos y después. Para valores meores que 500, el gasto es siempre 0 ; para valores mayores, los miutos que gastamos por ecima de 500 so ( 500) y, por tato, lo que pagamos por esos miutos es 0 05( 500), pues lo medimos e euros, más los 0 que pagamos de fijo. Aalíticamete: f 0 0 ' , 500 0, 500 Gráficamete: Otros ejemplos: Fució valor absoluto: si 0 f si 0 si g si si h t t si t si t t t t si t Actividades propuestas. Represeta gráficamete la fució valor absoluto.. Represeta las siguietes fucioes a trozos. Se idica los putos que tiees que calcular. a) b) si f() si 0 5 si 0 si g() si si Putos: 6; ; ; 0 ; 0; ; ; 9 Putos: 5; ; ; 0 ; 0; ; ; Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

268 68 Fucioes. Fucioes de oferta y demada: Los datos de la tabla idica e la primera fila, los precios, e euros, por saco de arajas, e la seguda fila, las catidades demadadas de arajas por semaas, y e la tercera fila, las catidades ofrecidas: Precio por saco (euros) 8 6 Catidad demadada (miles de sacos por semaa) Catidad ofrecida (miles de sacos por semaa) a) Dibuja ua gráfica co los datos de esta tabla, represetado e el eje vertical los precios, y e el eje horizotal las catidades demadadas y ofrecidas. Ue co u trazo cotiuo ambas curvas. La curva catidad demadada precio es u ejemplo de fució de demada. Observa que es ua fució decreciete, pues al aumetar los precios el cosumidor demada meor catidad del producto. Ilustra el comportamieto de los cosumidores. La curva catidad ofrecida precio es u ejemplo de fució de oferta. Observa que es ua fució creciete, pues al aumetar los precios el vededor aumeta la producció y ofrece mayor catidad del producto. Ilustra el comportamieto de los vededores. b) Determia de forma aproimada e la gráfica aterior el puto de itersecció de ambas gráficas. A ese puto se le deomia puto de equilibrio. La demada y la oferta determia el precio y la catidad de equilibrio. E ese puto se iguala las catidades ofrecidas y demadadas. A u precio mayor la catidad ofrecida ecede la catidad demadada, y al haber depósitos de mercacía o vedida la competecia etre vededores hará que el precio baje hasta el puto de equilibrio. Hay u ecedete. A u precio meor la catidad demadada es mayor que la ofrecida, los compradores quiere más arajas, y eso eleva el precio hasta el puto de equilibrio. Hay u déficit. Este problema ilustra uos coceptos que se utiliza e Teoría Ecoómica. Es u modelo ideal que se eplica e u mercado co competecia perfecta, co muchos compradores y muchos vededores, e los que la demada y la oferta determia el precio. 5. Los datos de la tabla idica e la primera fila, los precios, e euros, del alquiler de u piso de 70 m, e la seguda fila, la catidad de persoas que desea alquilar u piso, y e la tercera fila, los pisos vacíos e ua determiada ciudad: Precio de u piso (euros) Catidad demadada (persoas que desea alquilar) Catidad ofrecida (pisos libres) a) Dibuja ua gráfica de las curvas de oferta y demada. b) Determia de forma aproimada el puto de equilibrio Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

269 69 Fucioes. OPERACIONES CON FUNCIONES.. Operacioes básicas La fució suma, diferecia, producto o cociete de otras dos es aquella que aplica cada elemeto origial e la suma, diferecia, producto o cociete de los elemetos image por cada ua de las fucioes. La epresió algebraica se obtiee sumado, restado, multiplicado o dividiedo respectivamete las epresioes algebraicas de las fucioes origiales: OPERACIÓN EJEMPLO: f ; g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g Caso particular: k f k f k f g f g, g.. Composició de fucioes 6 f g f g f f fució opuesta de f Gráficamete, ua fució y su opuesta so simétricas respecto del eje de abscisas f f 0 g g Eiste ua operació específica de las fucioes que se llama composició y cosiste e: Ejemplo: º Aplicamos ua fució a u úmero. º Aplicamos otra fució al resultado obteido. f ; g f g f g f g f poemos g g compuesto co f (se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha) g f compuesto co g (se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha) f dode poga e f, dode poga e g, g f g f g poemos f 6 6 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

270 70 Fucioes Como queda patete e el ejemplo aterior, la composició de fucioes NO es comutativa, auque sí es asociativa (si variar el orde): f (g h) = (f g) h. Además, podemos observar que, al hacer cualquier operació co fucioes, aparece epresioes de los tipos estudiados, auque más complejas al estar todas mezcladas. A partir de ahora, los distitos tipos de fucioes tedrá fórmulas parecidas a las de los siguietes ejercicios: Actividades propuestas 6. Realiza las operacioes idicadas co las siguietes fucioes: p( ) 5 ; q( ) 7 ; r( ) 6 ; s( ) f ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) k( ) e ; l( ) ; m( ) ; ( ) e a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log a) ( p q)( ) b) ( q r)( ) c) ( q r s)( ) d) ( s q)( ) e) ( q r)( ) f) ( r p)( ) g) ( f p)( ) h) ( j f )( ) i) ( g k)( ) j) ( m a)( ) k) ( b d)( ) l) ( r m)( ) m) ( p q)( ) ) ( q r)( ) o) ( q r : s)( ) p) ( p : q)( ) q) ( f p)( ) r) ( j f )( ) s) ( g : k)( ) t) ( a b)( ) u) ( p q)( ) v) ( a b)( ) w) ( r s)( ) ) ( f p)( ) y) ( j f )( ) z) ( g k)( ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

271 7 Fucioes.. Fució iversa o recíproca f f I La fució iversa (o recíproca) de ua fució f es otra fució, f, tal que:. f f I Para que la fució iversa esté bie defiida (sea fució) es ecesario que e la fució de partida, cada image tega u úico origial. Para obteerla, seguiremos los siguietes pasos: º Llamamos y a f() PASOS EJEMPLO: f() = y º Despejamos e fució de y y( ) = y y = y = y y y( ) = y y º Cambiamos los papeles de e y y f Esto o siempre es posible realizarlo, ya que o siempre se puede despejar la o el resultado al hacerlo o es úico, e cuyo caso cuál sería la iversa? Por ejemplo:??? f y y ó y??? f Si eiste, la iversa es úica y, gráficamete, ua fució y su iversa so simétricas respecto a la recta y = (bisectriz del er y er cuadrates), que es la gráfica de la fució idetidad. Ejemplos f f g Las fucioes logaritmo y epoecial (de la misma base) so fucioes iversas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

272 7 Fucioes Actividades propuestas 7. Calcula e tu cuadero las iversas que eista de las fucioes del ejercicio aterior: p( ) 5 ; q( ) 7 ; r( ) 6 ; s( ) f ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) k( ) e ; l( ) ; m( ) ; ( ) e a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN INVERSA a) p ( ) b) q ( ) c) r ( ) d) s ( ) e) f( ) f) g ( ) g) h ( ) h) j ( ) i) k ( ) j) l ( ) k) m ( ) l) ( ) m) a ( ) ) b ( ) o) c ( ) p) d ( ) 8. Calcula la fució iversa de: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

273 7 Fucioes Iversas o recíprocas de las fucioes trigoométricas: De mismo modo que se puede defiir la fució logaritmo como fució iversa de la fució epoecial pues: y = loga = a y se puede defiir las fucioes iversas de las fucioes trigoométricas, que se deomia arco: Pero ahora se os preseta ua dificultad que ates o teíamos. La image de u valor de ua fució trigoométrica proviee de muchos (ifiitos) valores de la variable idepediete. y = arcse = se(y) y = arccos = cos(y) y = arctg = tg(y) Por tato, o eiste la fució iversa de la fució seo, por ejemplo. Para poderla defiir es preciso seleccioar u itervalo del domiio dode esto o ocurra. Serviría el itervalo (0, )? Observa que o. E la gráfica del marge la recta que hemos dibujado corta e putos a la gráfica e ese itervalo. Serviría el itervalo (0, )? Tampoco! Ahora vemos dos putos de corte. Piesa qué itervalo tomarías. Si tomamos el itervalo [/, /] observa que ahora sí, a cada valor de la image correspode u úico valor de la variable. E la gráfica del marge tiees represetada e color rojo a la fució seo e el itervalo (/, /) y su fució iversa e color azul, la fució arco seo. Tambié se ha dibujado la recta y = para poder observar que so simétricas respecto a dicha recta. Por tato: y = arcse, [, ] = se(y), y [/, /] Aalicemos ahora la fució coseo. No eiste la fució iversa de la fució coseo. El itervalo [/, /] o sirve. Teemos dos putos de itersecció co uestra recta. Piesa qué itervalo tomarías. Serviría ahora el itervalo (0, )? Vamos a probarlo. Al marge puedes ver e rojo la gráfica de la fució coseo etre (0, ) y e azul, la de su iversa, la fució arco coseo. Por tato: y = arccos, [, ] = cos(y), y [0, ] Actividad propuesta 9. Realiza el proceso aterior para la fució arco tagete: y = arctg = tg(y), y [/, /] Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

274 7 Fucioes. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS.. Domiio El domiio o campo de eistecia de ua fució, Dom(f), es el cojuto de valores que tiee image: Dom(f) = { ; y, y = f()}. Actividad resuelta Irracioales Trigoométricas TIPO DOMINIO Ejemplos Poliómicas Racioales Ídice par Ídice impar Epoeciales Logarítmicas Seo Coseo Tagete {polos} Costate: p ( ) Fució afí: I( ) (idetidad) ; p( ) Fució cuadrática: p( ) ; p( ) 6 Fució poliómica geeral: p ( ) 5 6 f ( ) 0 Sol Dom f g( ) 0 Sol Dom g 6 Polos = ceros del deomiador h( ) 6 0 Sol ; Dom g ; { ; radicado 0} {putos problemáticos del radicado} {putos problemáticos del epoete} { ; argumeto > 0} {putos problemáticos del argumeto} {putos problemáticos del argumeto} {ceros del deomiador} f ( ) Sol, Dom f, g( ) 0 Sol,, Dom g,, 6 h( ) 0 Sol Dom h f ( ) 0 0 Sol, Dom f, 7 g( ) Dom g f ( ) e Dom f g( ) 0 0 Sol 0 Dom g 0 5 h( ) Sol, Dom h, f ( ) L Sol Dom f g( ) log 0 Sol, Dom g, h( ) log Sol Dom h 0 Sol 0, j( ) log 05. Sol, Dom j, 0 Sol 0, f se Dom f g se 0 Sol Dom g h Sol Dom h se 0 0 ; ; cos cos 0,, f Dom f g Sol Dom g h cos 0 0 Sol Dom h se f tg Dom f k / k cos cos 0 k g tg Dom g 0, k / k Sol, 0 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

275 75 Fucioes 0 Valores variable f ( ) Dom f L 0 Putos problemáticos No hay Defiidas a trozos valores que o toma la variable y putos problemáticos de cada fórmula icluidos e su rago Valores variable g ( ) Putos problemáticos ya que??? y Dom g 0, h( ) Dom h, 0, Valores variable Putos problemáticos 0, Como se puede ver e todos los ejemplos ateriores, la clave para calcular el domiio de ua fució es localizar todos aquellos putos que NO tiee image, que so más fáciles de idetificar ya que so los que provoca algú tipo de problema a la hora del cálculo de la image, es decir, aparece algua operació que o se puede realizar e el cojuto de los úmeros reales. Y las úicas operacioes que o se puede hacer e so: a) La divisió por cero. b) La raíz de ídice par y radicado egativo. c) El logaritmo de u úmero egativo o de cero. Por tato, cuado os ecotremos co algua de esas operacioes (DIVISIÓN, RAÍZ DE ÍNDICE PAR o LOGARITMO), tedremos que estudiar deteidamete si hay algú(os) valor(es) que provoque problemas, y esto lo podremos hacer, segú la situació, resolviedo ua ecuació o ua iecuació. E caso cotrario, tedremos asegurado que el domiio de la fució es todo el cojuto de los úmeros reales () Gráficamete, lo podemos ituir viedo si la recta vertical (paralela al eje de ordeadas OY) que pasa por u puto del eje OX es tal que: -corta a la gráfica: dicho valor de la variable idepediete perteece al domiio porque tiee image (que será el valor de la ordeada que os proporcioa el puto de corte de recta y gráfica) Ejemplo -NO corta a la gráfica: dicho valor o estará e el domiio. Dom f = {} Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

276 76 Fucioes Actividades propuestas 0. Calcula e tu cuadero el domiio de las siguietes fucioes: FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO 5 a) f( ) b) j ( ) c) g ( ) d) k ( ) e) h ( ) f) l ( ) g) i ( ) h) m ( ). Calcula e tu cuadero el domiio de cada ua de las siguietes fucioes: p( ) ; q( ) 5 7 ; r( ) ; s( ) f ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) k( ) e ; l( ) ; m( ) ; ( ) e a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log 5 FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO a) p ( ) b) q ( ) c) r ( ) d) s ( ) e) f( ) f) g ( ) g) h ( ) h) j ( ) i) k ( ) j) l ( ) k) m ( ) l) ( ) m) a ( ) ) b ( ) o) c ( ) p) d ( ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

277 77 Fucioes.. Recorrido o image El recorrido de ua fució, Im(f), es el cojuto de valores que so image de algú origial, es decir, el cojuto de valores que toma la variable depediete y = f(). E geeral o resulta fácil calcular la image de ua fució, auque: Actividades resueltas A veces se puede deducir de algua propiedad de la fució: a. Fució afí: f a b Im f b. f Im f c. Fució epoecial: f a Im f 0 (al elevar u úmero al cuadrado siempre sale positivo o 0) d. Fució logaritmo: f log Im f Si la fució tiee iversa, la image será el domiio de la iversa: y f ( ) y y 7 y y a y 7 y y 7 y f Dom f e Im f Dom f Gráficamete, lo podemos ituir trazado rectas horizotales (paralelas al eje de abscisas) y viedo si corta a la gráfica de la fució. U puto del eje OY tal que la recta horizotal que pasa por él o corta a la gráfica, o estará e la image: 6 0 Im f,, Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

278 78 Fucioes.. Simetrías Ua fució par es aquella e la que se obtiee lo mismo al sustituir u úmero que su opuesto: f() = f() Dom f Esta propiedad se traduce e que la fució es simétrica respecto al eje de ordeadas, es decir, si doblamos el papel por dicho eje, la gráfica de la fució coicide e ambos lados. Ejemplo La fució cuadrática f() = es par: f() = () = = f() Actividades resueltas Comprueba que las fucioes valor absoluto y coseo so pares. FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA f f f cos f cos cos f f Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

279 79 Fucioes Ua fució impar es aquella e la que se obtiee lo opuesto al sustituir u úmero que su opuesto: f() = f() Dom f Esta propiedad se traduce e que la fució es simétrica respecto al orige de coordeadas, es decir, si trazamos u segmeto que parte de cualquier puto de la gráfica y pasa por el orige de coordeadas, al prologarlo hacia el otro lado ecotraremos otro puto de la gráfica a la misma distacia. Ejemplo La fució de proporcioalidad iversa f es impar porque: f f Actividades resueltas Comprueba que las fucioes potecia de epoete y seo so fucioes impares. FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA f E geeral, cualquier poliomio co sólo grados impares f f f se se se f f Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

280 80 Fucioes.. Periodicidad Ua fució periódica es aquella e la que las imágees de la fució se repite siempre que se le añade a la variable idepediete ua catidad fija, llamada periodo (). Matemáticamete, esto se epresa de la siguiete forma: ; f( + ) = f() Dom f Gráficamete se busca u trozo del dibujo que, si lo repetimos e ambos setidos, os proporcioe la gráfica completa: Ejemplos: Los más típicos so las fucioes trigoométricas: se se periódicas de periodo cos cos tg tg periódica de periodo La gráfica de u electrocardiograma: Se observa claramete que la gráfica se repite a itervalos iguales, ya que los latidos del corazó so rítmicos. Actividades resueltas Qué sigificaría, e la gráfica aterior, que los itervalos de repetició o fuera iguales? Si o teemos u periodo fijo, querría decir que el corazó o está fucioado de forma rítmica y, por tato, diríamos que se ha producido ua arritmia. Cómo ifluiría e la gráfica aterior el que el periodo sea más o meos grade? Qué sigificado tedría? Si el periodo es más grade, es decir, los itervalos de repetició se ecuetra más distaciados, tedríamos u ritmo de latido más leto (meos pulsacioes por miuto), lo que se cooce como bradicardia. Si el periodo es meor, pasaría justo todo lo cotrario, esto es, el corazó estaría latiedo más rápido de lo ormal (más pulsacioes por miuto) y tedríamos ua taquicardia. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

281 8 Fucioes.5. Putos de corte co los ejes El puto de corte de f co el eje de ordeadas (OY) se obtiee dado a la variable idepediete el valor 0, siempre y cuado dicho valor esté e el domiio: (0, f(0)), si f(0) o 0 Dom f. E caso cotrario o habrá. Recordemos que, por la propia defiició de fució, si eiste f(0) es úico). Los CEROS o putos de corte de f co el eje de abscisas (OX) so los que se obtiee dado a la variable depediete el valor 0: {(, 0); Dom f y f() = 0}. Actividad resuelta Tipo PUNTOS CORTE EJES Ejemplos p 5 p 0 0 0, 0 OY 0, f ( 0 ) q q0 0, t t 0 0, Poliomios Racioales OX OY Solucioes de la ecuació 0, f ( 0) si 0 Dom f 5 5 p( ) Sol 0; ( 0, 0);, 0 q( ) 0 Sol No hay t( ) 5 6 Sol ; (, 0) f ( ) f ( 0)??? No hay g( ) g( 0) 0 ( 0, 0) h( ) h( 0) 0, f ( ) 0 falsedad No hay 7 ( ) 7 0 0, 9 ( 0, 0);( 9, 0) h( ) 5 0 Sol, 0 6 OX Numerador=0 g Sol Irracioales OY 0, f ( 0) si 0 Dom f OX Radicado=0 f ( ) f ( 0) No hay g( ) g( 0) 0, 8 8 f ( ) 0 Sol, 0 g( ) 0 Sol, (, 0);(, 0) 8 Epoeciales OY OX 0, f ( 0) si 0 Dom f NUNCA 0 f ( ) e f ( 0) e??? No hay g( ) g( 0) 0, f ( ) e e 0 Nuca g( ) 0 Nuca Logarítmicas OY 0, f ( 0) si 0 Dom f OX Argumeto= f ( ) log( ) f ( 0) log( )??? No hay 7 g( ) log g( 0) log 9 0, f ( ) log( ) Sol (, 0) 7 7 g( ) log Sol,, 0 ;, 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

282 8 Fucioes PUNTOS CORTE EJES Ejemplos Seo OY, ( ) 0 f 0 si 0 Dom f OX se 0 k k se 00, f g se 0, f se k, / k, ;, ;, ;... k g se, 0 / k Trigoométricas Coseo OY, ( ) 0 f 0 si 0 Dom f OX cos 0 k k cos 0, f g cos 0, 5 f cos k, 0 / k, 0 ;, 0 ;, 0 ;... k g cos, 0 / k Tagete OY, ( ) 0 f 0 si 0 Dom f OX tg 0 k k tg 00, f tg 0, g f tg k, / k, ;, ;, ;... k g tg, 0 / k Defiidas a trozos OY OX 0, f ( 0) si 0 Dom f Sustituyedo e la fórmula cuyo rago cotiee al 0. -Cada fórmula=0 -Sólo vale las solucioes icluidas e el rago correspodiete 0 f ( ) f ( 0) 0 ( 0, 0) l 0 g( ) f ( 0)??? No hay Sol 0, y 0 0, 0 ( 0, 0) f( ) l l 0 Sol y 0 (, 0) 0 Sol y g ( ) Sol No hay 0 No hay Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

283 8 Fucioes Actividades propuestas. Calcula e tu cuadero los putos de corte co los ejes de las fucioes siguietes: p( ) ; q( ) 5 7 ; r( ) ; s( ) ; f ( ) g( ) ; h( ) ; j( ) ; k( ) e ; l( ) ; m( ) ( ) e ; a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log 5 FUNCIÓN PUNTOS CORTE EJES PUNTOS CORTE EJES FUNCIÓN Ordeadas Abscisas Ordeadas Abscisas a) p ( ) b) q ( ) c) r ( ) d) s ( ) e) f( ) f) g ( ) g) h ( ) h) j ( ) i) k ( ) j) l ( ) k) m ( ) l) ( ) m) a ( ) ) b ( ) o) c ( ) p) d ( ). Estudia las simetrías y los putos de corte co los ejes de las siguietes fucioes: f( ) 8 h( ) k ( ) e g( ) 7 j( ) 5 9 l ( ) Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

284 8 Fucioes.6. Sigo de ua fució Los itervalos de sigo de ua fució proporcioa ua iformació muy útil para la represetació gráfica. Para estudiarlos, hay que teer e cueta: º Los putos que o está e el domiio, ya que o tiee image y, por tato, hay que estudiar el comportamieto de la fució e u etoro de dichos putos. º Los ceros, puesto que cuado la fució vale cero puede ser que haya u cambio de sigo e ese puto. º E las fucioes defiidas a trozos, los putos dode cambia la defiició, ya que las fórmulas so diferetes ates y después de esos putos, lo que puede provocar u cambio de sigo. Irracioales TIPO SIGNO Ejemplos Poliomios Racioales Ídice par Ídice impar Epoeciales Logarítmicas -Ceros -Recta -Estudio del sigo: * dar valores o * los sigos se altera si hay tatas raíces como grado y so distitas. -Ceros y polos -Recta -Estudio del sigo dado valores POSITIVO siempre e todo su domiio meos e los ceros. Sigo del radicado POSITIVO siempre e todo su domiio. 0<a<: argumeto< + argumeto> - a>: argumeto< - argumeto> + Positivo : Nuca p( ) No hay ceros Negativo : Positivo : Nuca q( ) 0 Hay ifiitos ceros Negativo : Nuca Positivo : r( ) No hay ceros Negativo : Nuca s( ) 8 t( ) 0 f ( ) f( ) 0 g( ) No hay ceros i polos Positivo :, Negativo :, 0 0 Positivo :, Negativo :,, Positivo : Negativo : Nuca Positivo :, Negativo :, Positivo :,, f( ) Negativo : Nuca f( ) g( ) 7 Positivo : f( ) Negativo : Positivo : Nuca Negativo : 0 Nuca 0 Positivo : Negativo : Positivo :,, Negativo :,, Nuca Positivo :, 5 5 g ( ) 7 Negativo : Nuca Sol 0, Positivo : 0, f ( ) log05. Sol, Negativo :, Sol, 0, Positivo :, 0, g( ) L Sol 0, Negativo : 0, Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

285 85 Fucioes TIPO SIGNO Ejemplos +, k k k Seo -, k k k Trigoométricas Coseo + k k, k - k k, k + k, k k Tagete - k, k k Defiidas a trozos -Ceros, putos problemáticos y putos dode cambia la defiició -Recta -Estudio del sigo, utilizado la fórmula correspodiete. Nada L f( ) 0 g ( ) 0 Positivo :,, Negativo :,, Positivo :, Negativo :, Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

286 86 Fucioes Actividades propuestas. Calcula e tu cuadero el sigo de las siguietes fucioes: p( ) ; q( ) 5 7 ; r( ) ; s( ) f ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) k( ) e ; l( ) ; m( ) ; ( ) e a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log 5 FUNCIÓN SIGNO SIGNO FUNCIÓN POSITIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO a) p ( ) b) q ( ) c) r ( ) d) s ( ) e) f( ) f) g ( ) g) h ( ) h) j ( ) i) k ( ) j) l ( ) k) m ( ) l) ( ) m) a ( ) ) b ( ) o) c ( ) p) d ( ) 5. Iterpreta gráficamete los itervalos de sigo del ejercicio aterior, siguiedo el ejemplo: f Ceros: 0 0 f f Polos: 0 f f la gráfica de la fució debe ir por la zoa o sombreada: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

287 87 Fucioes CURIOSIDADES. REVISTA El crecimieto epoecial Eiste muchos feómeos e la aturaleza que sigue u crecimieto epoecial. E Biología se preseta cuado la tasa de variació de ua població es proporcioal a la població e cada istate, esto ocurre cuado o hay factores que limita el crecimieto como ocurre co ciertas poblacioes de bacterias. Tambié aparece e cierto tipo de reaccioes químicas cuado la velocidad de descomposició de ua sustacia es proporcioal a su masa, la más importate de estas reaccioes es la desitegració radiactiva que se utiliza para asigar fecha a acotecimietos que ocurriero hace mucho tiempo y ha sido u istrumeto idispesable e Geología y Arqueología La catearia k k y e e La curva k se deomia catearia, tiee la forma que toma u hilo fleible y homogéeo suspedido etre sus dos etremos y que cuelga por su propio peso. La costate k es el cociete etre el peso por uidad de logitud y la compoete horizotal de la tesió que es costate. La forma catearia miimiza las tesioes, por esa razó, ua curva catearia ivertida se usa e arquitectura, ya que miimiza los esfuerzos de compresió sobre dicho arco, ha sido utilizada, sobre todo, por Gaudí. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

288 88 Fucioes Los logaritmos de Neper Ábaco eperiao Ábaco eperiao E el Museo Arqueológico de Madrid hay dos ábacos cofeccioados e el siglo XVII siguiedo las idicacioes del libro de Joh Napier Rabdología publicado e 67. Es úico e el mudo. No queda igú otro ejemplar completo como éste. Puedes ver u mueble de madera de palosato, co icrustacioes de marfil, co dos puertas, e ua aparece el triágulo de Tartaglia, y e la otra, las tablas de las potecias. E él se guarda dos ábacos, el de los huesos de Napier y, e los cajoes, el ábaco promptuario. Puerta co las potecias Joh Napier E tiempo de Maricastaña (bueo, o tato, e el Reacimieto, e 550) ació e Escocia, Joh Napier, hijo de ua familia oble, rica y calviista. Por eso pudo dedicarse a lo que le gustaba, las Ciecias, llegado a ser coocido por sus vecios como la maravilla de Merchisto por sus muchos ivetos e diferetes campos: e cultivos, fertilizates, armas para combatir a los españoles ( Curiosa paradoja! El úico protuario eperiao que se ha localizado e el mudo es propiedad de la católica moarquía española a la que Neper quería combatir). Uo de estos ivetos fuero los logaritmos. Ya sabes, los logaritmos eperiaos se llama así e su hoor. Joh Napier Para saber más sobre Napier y los logaritmos visita: Quizás, luego ya o llames a los logaritmos eperiaos así, sio logaritmos aturales. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

289 89 Fucioes Los huesos de Napier Costa de 60 varillas de marfil co forma de prisma cuadragular que lleva grabadas las tablas de multiplicar del al 9. Permite multiplicar úmeros de varias cifras por u úmero de ua cifra, si teer que saberse las tablas de multiplicar. Sólo hay que saber sumar. Se basa e la forma de multiplicar itroducida por los árabes del método de la celosía. Ejemplares parecidos sí se coserva varios pues debiero ser muy usados. Cómo se usa? Ábaco promptuario E los cajoes del mueble de la figura arriba a la izquierda está el segudo ábaco de los que se guarda e el Museo Arqueológico, que permite multiplicar úmeros de hasta 0 cifras por úmeros de hasta 0 cifras, que puede icluso ampliarse. Hay regletas de dos tipos: 00 verticales co úmeros y similares a los huesos de Napier, co las tablas de multiplicar escritas por el método de la celosía, y 00 horizotales que costa de u úmero (multiplicado) y perforacioes triagulares, que se superpoe a las ateriores. Co sólo sumar los úmeros que permite ver las tablillas perforadas se puede multiplicar úmeros grades (si saber la tabla de multiplicar). Este ábaco es úico e el mudo. Regletas del ábaco promptuario Tablas de logaritmos Utilizado u istrumeto similar a este ábaco, Napier co la ayuda de Hery Briggs elaboró la primera tabla de logaritmos, poderosa herramieta de cálculo durate siglos. Para saber más visita: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

290 90 Fucioes RESUMEN TIPOS DE FUNCIONES Poliómicas ALGEBRAICAS Racioales Irracioales Epoeciales TRASCENDENTES Logarítmicas Trigoométricas DEFINIDAS A TROZOS FÓRMULA Poliomio Cociete de poliomios Raíz de ua racioal Epoecial (variable e el epoete) Logaritmo (variable como argumeto de u logaritmo) Trigoométrica (variable como argumeto de ua razó trigoométrica) Varias fórmulas depediedo de los valores de la variable OPERACIÓN EJEMPLO: f ; g Fució suma f g f g f g f g Fució compuesta Fució iversa f : f f I f f I Si eiste, la iversa es úica y su gráfica y la de la fució so simétricas respecto a la de la fució idetidad. Fució resta f g f g f g f g (se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha) f compuesto co g (se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha) Fució producto f g : f g f g f g 6 Fució cociete f g : f f, g g g f g f g f g f g f poemos g g compuesto co f g f dode poga e f, 6 dode poga e g, g f g f g 6 poemos f º Llamamos y a f º Despejamos e fució de y º Cambiamos los papeles de e y CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES ) Domiio Cojuto de valores que tiee image. ) Putos de corte co los ejes ) Simetría Ordeadas (OY) f 0 0, f( 0 ) f No hay g y y y y y y y y y y f Operació umérica 0 Nada Abscisas (OX) -CEROS- f 0,,..., 0;, 0 ;... Ecuació Par f f Operació Impar f f algebraica 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

291 9 Fucioes FAMILIAS DE FUNCIONES Domiio (D) polos Racioal Irracioal Epoecial Logarítmica Defiida a trozos Ídice par / radicado 0 Ídice impar putos problemáticos radicado putos problemáticos epoete / argumeto 0 -Valores de la variable -Putos problemáticos de cada fórmula -{valores que o toma la variable y putos problemáticos icluidos e el rago} Putos de corte co los ejes OY 0 0, f ( 0) si f D 0 0, f ( 0) si f D 0 0, f ( 0) si f D 0 0, f ( 0) si f D 0 0, f ( 0) OX Numerador = 0 Radicado = 0 Radicado = 0 No hay Argumeto = si f D 0, f ( 0) si f 0 D sustituyedo e la fórmula cuyo rago cotiee al 0 -Cada fórmula = 0 -Solucioes que perteece a su rago Sigo -Ceros y polos -Estudio del sigo e la recta real Positivo siempre salvo e los ceros Sigo del radicado Positivo e todo su domiio 0<a<: argumeto<: + argumeto>: - a>: argumeto<: - argumeto>: + -Ceros, polos y putos dode cambia la defiició -Estudio del sigo e la recta real Simetría PAR IMPAR Todos los grados pares o impares Todos los grados del dor pares y del d dor impares o viceversa Nuca Simetría del radicado Argumeto par Nuca Argumeto par Nuca Es ta ifrecuete la simetría e este tipo de fucioes que o merece la pea estudiarla CARACTERÍSTICAS Domiio, Recorrido, Putos de corte co los ejes Sigo Simetría Ordeadas, 0<a< a> a log a a log a 0,, 0, 0, 0,, 0 0, 0 0, 0,,, 0, Abscisas, Positivo, Negativo, DIBUJO Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

292 9 Fucioes CARACTERÍSTICAS se cosec / se Domiio, k / k Periodo fudametal 0, 0, Recorrido,,,, Putos de corte co los ejes Ordeadas 00, Abscisas k, 0 k Sigo Positivo k, k k, k k k Negativo k, k k, k k k Simetría Impar Impar DIBUJO Domiio,...,,, 0,,,... Periodo fudametal 0, 0, Recorrido,,,, Putos de corte co los ejes Sigo Ordeadas 00, Abscisas ,,,,,,,,,,,... Positivo..., 0, ,,... Negativo..., 0, ,,... Simetría Impar Impar Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

293 9 Fucioes CARACTERÍSTICAS cos se c / o Domiio, k / k Periodo fudametal,, cs Recorrido,,,, Putos de corte co los ejes Sigo Ordeadas 0, 0, Abscisas k, Positivo Negativo 0 k k k, k k, k k Simetría Par Par k k, k k, k k DIBUJO Domiio,...,,,,,... Periodo fudametal,, Recorrido,,,, Putos de corte co los ejes Sigo Ordeadas 0, 0, Abscisas...,,,,,,, 0 0 0, 0,... Positivo..., 5,... Negativo...,,... Simetría Par Par..., 5,......,,... Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

294 9 Fucioes CARACTERÍSTICAS tg se / cs o cotg /tg cos / s e Domiio k / k k / k Periodo fudametal,, Recorrido,, Putos de corte co los ejes Sigo Ordeadas 00, Abscisas k, Positivo Negativo 0 k k, 0 k k k k, k k, k k, k k, k Simetría Impar Impar k k DIBUJO Domiio...,,,,,... Periodo fudametal,, Recorrido,, Putos de corte co los ejes Sigo Ordeadas 00,...,,, 0,,,... Abscisas...,, 0, 0, 0,, 0,......,,,,,,, 0 0 0, 0,... Positivo..., 0,,......,,,... 0 Negativo...,, 0,......,,,... 0 Simetría Impar Impar Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

295 95 Fucioes EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Esboza la gráfica de la fució f: dada por si, f( ) si.. Realiza las operacioes idicadas co las siguietes fucioes: p( ) 5 ; q( ) 7 ; r( ) 6 ; s( ) f ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) k( ) e ; l( ) ; m( ) ; ( ) e a( ) L ; b( ) log ; c( ) L ; d( ) log a) ( s q)( ) b) ( r p)( ) c) ( p q)( ) d) ( p q r s)( ) e) ( q r s)( ) f) ( p q r s)( ) g) ( g h)( ) h) ( s g)( ) i) ( k)( ) j) ( g d)( ) k) ( b d)( ) l) ( c s)( ) m) ( s q r)( ) ) ( r p)( ) o) ( q : p)( ) p) ( s : q)( ) q) ( g h)( ) r) ( s : g)( ) s) ( k)( ) t) ( g : d)( ) u) ( s q)( ) v) ( r p)( ) w) ( q p)( ) ) ( g h)( ) y) ( s g)( ) z) ( k)( ). Cosidera la fució f: defiida por f( ). Determia los siguietes elemetos: su domiio, putos de corte co los ejes, sigo y simetrías.. Dibuja el recito limitado por los semiejes positivos de coordeadas y las curvas y, y e y. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

296 96 Fucioes 5. Cosideremos las siguietes fucioes: f ( ) h ( ) k ( ) 0 m( ) 5 g ( ) 7 j( ) L 5 9 l ( ) ( ) a) Calcular las siguietes composicioes: f h ; g h ; g j ; k h ; g h j ; m j ; l h ; m h ; j h ; l m b) Calcular f, h, k, j, f, h, k, j y. Por qué g y m y verificar que so las iversas de o so iversas? c) Calcular todos los domiios. d) Calcular los putos de corte co los ejes de todas las fucioes. 6. U objeto se laza verticalmete hacia arriba desde u determiado puto. La altura e metros alcazada al cabo de t segudos, viee dada por h( t) 5 t t. Calcula la altura desde la que se laza el objeto y a la que se ecuetra después de segudo. Determia e qué istate alcazará la altura máima y cuál es. Por último, calcula el istate e que caerá al suelo y represeta gráficamete la situació co los datos obteidos ateriormete. 7. Cosidera las fucioes f, g: [0, ], f ( ) se( ) y g( ) se( ). Dibuja la regió del plao limitada por las gráficas de f y de g. 8. Sea la fució dada por pasa por el puto,. f a b c. Determia a, b y c sabiedo que es impar y que 9. Sea las fucioes defiidas mediate f ( ) y g( ). Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los putos de corte etre ambas. 0. El gasto por el cosumo de luz (e cétimos de euro) de ua vivieda, e fució del tiempo trascurrido (e horas), os viee dado por la epresió f t t t 0 0 t. 5 a) Represete gráficamete la fució. b) Cuál es el cosumo a las 6 horas? Y después de horas? log. Cosidera la fució defiida por f. Calcula su domiio.. Dibuja el recito limitado por las curvas y e, y e y Las gaacias de ua empresa, e milloes de pesetas, se ajusta a la fució f, 5 dode represeta los años de vida de la empresa, cuado 0. Calcula el domiio, corte co los ejes, sigo y simetrías de dicha fució.. Cosidera la fució defiida por g l (dode l deota el logaritmo eperiao). Esboza el recito limitado por la gráfica de g y la recta y =. Calcula los putos de corte etre ellas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

297 97 Fucioes L 5. Calcula el domiio de las siguietes fucioes: f ( ) ( L idica logaritmo eperiao de ); g( ) ( ) cos y h( ) 5. e si 6. Sea la fució f ( ) 9 si. Dibuja su gráfica y, a la vista de ella, 6 0 si idica su domiio, sus putos de corte co los ejes y su sigo. 7. Estudia el domiio, putos de corte co los ejes y sigo de las siguietes fucioes: a) b) c) d) 8. El estudio de la retabilidad de ua empresa revela que ua iversió de milloes de pesetas 8 8 si 0 5 produce ua gaacia de f() milloes de, siedo: f( ) Razoa 5 si 5 cuál es el rago de valores de la variable, los putos problemáticos de cada ua de las fórmulas y, fialmete, el domiio de la fució. 9. U objeto se laza verticalmete hacia arriba de modo que la altura h (e metros) a la que se ecuetra e cada istate t (e segudos) viee dada por la epresió h() t 5t 0 t. a) E qué istate alcaza la altura máima? Cuál es esa altura? b) Represete gráficamete la fució h(t). c) E qué mometo de su caída se ecuetra el objeto a 60 metros de altura? d) E qué istate llega al suelo? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

298 98 Fucioes AUTOEVALUACIÓN. Señala cuál de las siguietes gráficas o correspode a ua fució: a) b) c) d). La fórmula de la composició f g de las fucioes f y g es: a) b) c) d). La fórmula de la fució iversa o recíproca de f es: a) b) c) d). La gráfica de la fució f es: a) b) c) d) 5. El domiio de la fució f e es: a) b) {} c) {, } d) {0} Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

299 99 Fucioes 6. El recorrido de la fució es: a), b), c), d) {} 7. Los putos de corte co el eje de abscisas de la fució f l so: a) No tiee b), 0;, 0 c), 0;, 0 d) 0,l 8. La úica fució impar etre las siguietes es: a) b) c) d) 9. El itervalo dode la fució es egativa es: a), b), c), d), 0 0. La úica fució NO periódica de las siguietes es: a) f se b) g tg c) h e d) j cosec Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 6: Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo