Estimación de modelos de volatilidad estocástica

Transcripción

1 Esimación de modelos de volailidad esocásica García Ceneno, Mª Carmen; Ibar Alonso, Raquel Deparameno Méodos Cuaniaivos para la Economía Faculad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad San Pablo-CEU Dirección posal: Julián Romea, 3 Tf: ex (456) 83 Madrid garcen@ceu.es; ribar@ceu.es; RESUMEN: La volailidad es uno de los principales elemenos que influyen en la evolución de los mercados financieros, pueso que a ravés de ella se puede esimar y medir la cuanía de los cambios que no se pueden predecir y que se producen en la renabilidad de un acivo financiero y ambién, se puede deerminar cuál es el riesgo financiero del mercado o el valor de compra o vena de opciones. La volailidad puede ser de dos ipos: deerminisa y esocásica. En ese arículo se van a esimar disinos modelos de volailidad esocásica, los cuales se van a diferenciar enre sí, según cual sea la forma de dependencia de la volailidad de su propio pasado o según los facores que en ella pueden influir. Palabras claves: Volailidad esocásica, Máxima verosimiliud, ARCH, GARCH, GARCH- M, EGARCH, AGARCH. ABSTRACT: The volailiy is one of he principal elemens which has influenced in he evoluion of financial marke, since hrough hem we can esimae and weigh up he quaniy of he changes hey canno been forecased and hey exis in he financial asses yield and hrough hem, also we can deermine which is financial marke risk and he pu and call opions. There are wo ypes of volailiy: deerminisic and sochasic volailiy. In his paper, we esimae differen sochasic models, he differences beween he models are relaionship beween volailiy and he pas volailiy and he oher facors which influence i. Keywords: Sochasic volailiy, Maximum Likelihood, ARCH, GARCH, GARCH-M, EGARCH, AGARCH, TGARCH.

2 . INTRODUCCIÓN. Al analizar el comporamieno de los mercados (o en ese caso concreo del ipo de cambio cruzado del euro frene al yen-jpy- y el ipo de cambio cruzado del euro frene a la libra eserlina-gbp-) se comprueba que han exisido periodos en los que la dispersión es mayor y oros en los que la dispersión es menor. Por esa razón, es imporane deerminar cual es el comporamieno de la varianza a lo largo del iempo. De forma genérica, se puede decir que la volailidad es una esimación de los cambios que se producen en las renabilidades de los diferenes acivos, divisas, índices del mercado, ec. Así, los agenes financieros raan de obener la mejor esimación de ésa, para poder gesionar y cubrirse del riesgo del mercado o deerminar cual es el valor de una opción. La volailidad, básicamene puede ser de dos ipos: deerminisa o esocásica. La primera no cambia a lo largo del iempo o si lo hace es de forma conocida y ciera; la segunda cambia a lo largo del iempo de forma desconocida o inciera. Para esimar el comporamieno esadísico de esos ipos de volailidad se procede de forma diferene, en el primer caso se uiliza como esimación de la volailidad la desviación ípica de la serie de renabilidades y en el segundo caso enre oros, se uilizan los modelos de heerocedasicidad condicional auorregresiva (modelos ARCH ), la generalización de esos (modelos GARCH) o alguna de sus varianes. En ese rabajo se han esimado modelos GARCH, EGARCH, AGARCH, M-GARCH para esimar la volailidad del ipo de cambio cruzado diario del euro frene a la libra eserlina y frene al yen, durane el período comprendido enre enero de y abril de 3. Los daos para realizar esas esimaciones se han obenido de la página web de cinco días con daos hisóricos de los mercados financieros y de divisas. La finalidad que se persigue con la formulación y esimación de esos diferenes modelos es conseguir el más adecuado (dependiendo de la forma de dependencia de la varianza de su pasado o de oras variables que en ella puedan influir) para lograr la mayor capacidad prediciva o la valoración de opciones (el objeo de ese rabajo no va a ser realizar predicciones fuuras de la volailidad, ni valorar opciones).. ANÁLISIS DE DATOS. Un análisis gráfico de la evolución diaria del ipo de euro frene a la libra eserlina (GBP) y el yen (JPY) a lo largo del periodo considerado indica que esos no son esacionarios, ya que en los primeros años las variaciones son mucho mayores que al final del periodo, así, para realizar un análisis de la volailidad que se ha producido en esas variables se va a rabajar con la primera diferencia regular del logarimo neperiano de los ipos de cambio.

3 . DLGBP ACF-DLGBP PACF-DLGBP dlgbp^. 4 6 ACF-dlgbp^ 4 6 PACF-dlgbp^ Gráfico : ln GBP y su cuadrado juno con sus respecivas funciones de auocorrelación simple y parcial.5 DLJPY ACF-DLJPY PACF-DLJPY dljpy^ 3 ACF-dljpy^ 3 PACF-dljpy^ Gráfico : ln JPY y su cuadrado juno con sus respecivas funciones de auocorrelación simple y parcial En los gráficos y, donde respecivamene esá represenada la primera diferencia del logarimo del ipo de cambio de la libra eserlina y el yen, así como sus funciones de auocorrelación simple (acf) y parcial (pacf), se puede apreciar que: 3

4 . Se producen clusering o concenración de volailidades, es decir, en cieros momenos del iempo se producen alas dispersiones y en oros la dispersión es menor.. No exise auocorrelación enre las observaciones del ruido en los diferenes desfases del iempo, por lo ano no se puede esablecer ninguna relación lineal enre ε y ε -i (ya que odos los valores de sus funciones de auocorrelación simple y parcial no son esadísicamene significaivos). Eso no implica que sean independienes, ya que puede exisir dependencia exponencial, cuadráica o de cualquier oro ipo. 3. Si nos fijamos en las funciones de auocorrelación simple y parcial de sus cuadrados, si que exisen valores significaivos, lo que implica una dependencia en la varianza. 3. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD AUTORREGRESIVA Dado el comporamieno de las funciones de auocorrelación simple y parcial de los cuadrados de los ipos de cambio vamos a proponer para ambos ipos de cambios cruzados un modelo GARCH(,) de la forma: lny ε σ = µ + ε σa a = α + αε + β = i.i.d(,) donde α > y α, β Los resulados de la esimación (uilizando máxima verosimiliud con el PcGive) para la el yen (JPY) son los siguienes: Modelling DLJPY by resriced GARCH(,) The esimaion sample is: o 88 Coefficien Sd.Error robus-se -value -prob Consan X alpha_ H 3.735e-7.8e-7.865e alpha_ H bea_ H log-likelihood HMSE mean(h_) 6.335e-5 var(h_).9e-9 no. of observaions 87 no. of parameers 4 AIC mean(dljpy).6455 var(dljpy) e-5 alpha()+bea() alpha_i+bea_i>=, alpha()+bea()< σ 4

5 .5 DLJPY Fied 5. r:dlj PY (s caled) CondSD Densiy r:dljpy N(s=.997) ACF-r:DLJPY PACF-r:DLJPY -4-4 ACF-r^DLJPY En esa esimación del modelo GARCH(,), se puede apreciar que excepo la consane los parámeros son significaivos, lo que implica que la variación de los ipos de cambio esá influenciada por el comporamieno de la volailidad en el período anerior y de además, se ha recogido con esa esimación de forma adecuada la dependencia de los cuadrados en las funciones de auocorrelación simple y parcial, (ya que odos los valores esán prácicamene en orno a cero), lo que implica que los clusering de la volailidad ya no esán an acenuados como aneriormene. Si nos fijamos en el hisograma de frecuencia se aprecia que la disribución es asimérica, para esimar esa asimería al final del rabajo se va uilizar un modelo AGARCH(,). Para comprobar si la asa de variación del ipo de cambio cruzado depende o no de la varianza heerocedásica (σ ), es necesario incluirla en la ecuación de la media como variable explicaiva y comprobar si su parámero es esadísicamene significaivo o no. Esos modelos se conocen como GARCH en media o GARCH-M 3 y la ecuación que se necesia esimar es: lny µ + δ σ + ε donde α > y α, β ε σ = = σa a = α + αε + β σ i.i.d(,) 5

6 Si se esima el modelo GARCH-M (,) para el ipo de cambio de la libra eserlina, los resulados obenidos son: Modelling DLGBP by resriced GARCH-M(,) The esimaion sample is: 3 o 8 Coefficien Sd.Error robus-se -value -prob Consan X alpha_ H.9385e-7.67e e alpha_ H bea_ H h_ X log-likelihood HMSE.6734 mean(h_).985e-5 var(h_).4987e- no. of observaions 8 no. of parameers 5 AIC mean(dlgbp).5457 var(dlgbp) 3.569e-5 alpha()+bea().9965 alpha_i+bea_i>=, alpha()+bea()< Esos resulados nos indican que la varianza (con parámero esimado posiivo e igual a,68784) no es esadísicamene significaiva (el esadísico es igual a.984) y por lo ano en media, la asa de variación del ipo de cambio cruzado no esá influenciada por la volailidad. Una de las varianes del modelo de heerocedasicidad condicional auorregresiva más uilizada en los mercados financieros, para garanizar que la volailidad es siempre posiiva y así, no planear ninguna resricción sobre el signo de los parámeros, es el modelo general expresado en forma logarímica. Esos modelos se conocen como GARCH exponencial o EGARCH 4. En ese modelo la varianza condicional es una función asimérica de las perurbaciones reardadas (ε -i ) para permiir capar cual es el efeco que las malas o buenas noicias ienen en la volailidad ( efeco leverage ). El modelo que vamos a esimar para el ipo de cambio cruzado de la libra eserlina es un EGARCH(,), donde la expresión para el logarimo de la varianza condicional es: lny ε ln σ = σ a Los resulados obenidos son: = µ + ε = α a ε + α θ σ i.i.d N(,) ε E σ + βln σ Modelling DLGBP by EGARCH(,) The esimaion sample is: 3 o 8 6

7 Coefficien Sd.Error robus-se -value -prob Consan X alpha_ H eps[-] H eps[-] H bea_ H log-likelihood HMSE.6939 mean(h_).96858e-5 var(h_).3978e- no. of observaions 8 no. of parameers 5 AIC mean(dlgbp).5457 var(dlgbp) 3.569e-5 En ese caso, el parámero que mide el efeco laverage no es significaivo (-Suden es igual a.36) sin embargo, como era de esperar, es negaivo, ya que así el impaco que generarían las malas noicias sobre la volailidad es mayor que el que generarían las buenas noicias. En el gráfico 3, se puede apreciar que los valores esimados de los cuadrados de la variación del ipo de cambio de la función de auocorrelación simple y parcial no son esadísicamene significaivos, lo que implica que a ravés del modelo esimado se ha conseguido capar la inercia de la volailidad.. DLGBP Fied r:dlgbp (scaled) CondSD Densiy r:dlgbp N(s=.) ACF-r:DLGBP PACF-r:DLGBP -4-4 ACF-r^DLGBP Gráfico 3: Resulados de la esimación de un modelo EGARCH(,) para el ipo de cambio cruzado de la libra eserlina. 7

8 Para esimar la asimería que se produce en la volailidad (ya que ésa se ve afecada de diferene forma por las variaciones posiivas y negaivas) se ha propueso un modelo AGARCH 5 (,) cuya expresión es la siguiene: lny ε σ = σ a = α = µ + ε + α ε a i.i.d(,) + γ ε si ε < donde : d = reso de α > y α, β d + β σ los casos La variable d es una variable ficicia a ravés de la cual se raa de capar ese comporamieno asimérico en las innovaciones posiivas y negaivas. Los resulados de la esimación de ese modelo para el ipo de cambio cruzado del yen son los siguienes: Modelling DLJPY by resriced AGARCH(,) The esimaion sample is: o 837 Coefficien Sd.Error robus-se -value -prob Consan X alpha_ H e-7 alpha_ H bea_ H asymmery H log-likelihood HMSE 3.93 mean(h_) e-5 var(h_).59e-9 no. of observaions 836 no. of parameers 5 AIC.T AIC mean(dljpy).8 var(dljpy) e-5 alpha()+bea().9974 alpha_i+bea_i>=, alpha()+bea()< Según los valores esimados, se comprueba que la disribución es asimérica ya que el valor esimado del parámero se puede considerar significaivo. Además, por ser negaivo indica que es asimérica hacia la izquierda. 8

9 4. CONCLUSIONES Dependiendo del comporamieno de la volailidad a lo largo del iempo es necesario planear el modelo que mejor lo esime y recoja la mayor información posible para que las predicciones sean lo más adecuadas posible. Para saber cual es el comporamieno fuuro de la volailidad, los daos más recienes pueden aporar más información que los daos conenidos en series hisóricas largas. Los modelos de valoración conjuna que ienen en cuena simuláneamene diferenes elemenos ales como la asimería, clusering, ec, son los más uilizados ya que reflejan mejor la siuación del mercado (se buscan modelos que reúnan odas las caracerísicas del mercado, por esa razón a lo largo del iempo la familia de modelos ARCH y GARCH ha sido muy prolifera, en el ineno de obener las mejores predicciones de la volailidad fuura). Hay muchos modelos de ese ipo, pero aquí solo se han esimado una mínima pare de ellos que raan de recoger la evolución de los ipos de cambio cruzados de la forma más fiable posible. 5. BIBLIOGRAFÍA Andersen, T.G, e al. () The Disribuion of Realized exchange Rae Volailiy, Journal of he American Saisical Associaion, 96, pp Bollerslev, T (986). Generalised auoregresive condiional heeroscedasiciy. Jorunal of Economerics 5, pp Engle, R.F (98). Auorregressive condiional heeroscedasiciy, wih esimaes of he varinance of Unied Kingdom inflaion. Economerica 5, pp hp:// Ruiz, E. (993). Modelos para series emporales heerocedásicas. Cuadernos Económicos ICE, 56, pp73-8 Los modelos ARCH fueron la primera aproximación que se hizo a la varianza condicional y fueron propuesos por Engle en 98. GARCH: Modelo de heerocedasicidad auorregresiva condicionada generalizado propueso por Bollerslev en 986, como generalización de los modelos ARCH propuesos por Engle, permien depender la varianza de la series de un érmino consane (α ) del rendimieno al cuadrado de la serie en el periodo anerior (ε -) y de la varianza de la serie en el periodo anerior (h -). 3 Los modelos GARCH-M fueron propuesos por Bollerslev en Los modelos EGARCH fueron propuesos por Nelson en 99 para solvenar algunos de los inconvenienes que se derivan de la esimación de modelos GARCH. Enre esos inconvenienes se puede ciar: no siempre es 9

10 fácil conseguir la resricciones de no negaividad de los parámeros; no permien esimar de forma adecuada el efeco apalancamieno financiero que se produce en la realidad; la suma de los parámeros es un valor próximo a uno, lo que da lugar a los modelos GARCH inegrados (IGARCH) que ienen una raíz uniaria en la varianza, lo que implica que no son esacionarios y por lo ano no ienen una varianza marginal definida. 5 Los modelos AGARCH fueron propuesos por Zkion (99) y Glosen(993) con el fin de capar como en el mercado los movimienos a la baja son más voláiles que los movimienos al alza.