Método Simplex. Ing. Ricardo Fernando Otero, MSc
|
|
- Rocío González Villanueva
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Método Simplex Ing. Ricardo Fernando Otero, MSc
2 Forma estándar de un modelo de programación lineal Dirección de mejora: Maximizar Todas las restricciones deben ser El lado izquierdo debe contener solo a las variables El lado derecho de las restricciones debe ser ocupado únicamente por un número positivo.
3 Presencia de variables en restricciones y función objetivo Max z = 3 + 2x 2 Max z = 3 CX + 2x 2 s. a. s. a x 2 x x 2 20, x 2 0 AX 0 + 1x 2 b x 2 20 Cada una de las variables que conforman el modelo está presente en la función objetivo y en las restricciones. En algunas ocasiones, no se aprecian a primera vista porque su coeficiente asociado es cero. Los coeficientes que acompañan las variables en las restricciones se pueden representar con la matriz A. Los coeficientes que acompañan las variables en la función objetivo se pueden representar con el vector fila C. El lado derecho de las restricciones se puede representar con el vector columna b.
4 Formulación matricial de un PL Max z = CX s. a. AX b X 0 A = AX = x x C = 3 2 b= x2 x 2 2x1 = 8 20 X = x x x x 2 3x1 CX = 3 2 1x2 x 2 2x1 = x 2 1x1 AX b x x x x x x 2 20 Por lo tanto, después de realizar las operaciones, verificamos la que notación matricial es equivalente a la notación tradicional de los modelos de programación lineal.
5 Sistemas de ecuaciones Definición: Es un conjunto de dos o más ecuaciones matemáticas en las que se desea encontrar el valor que pueden tomar las variables, respetando las ecuaciones. En un sistema de ecuaciones: Si la cantidad de variables es igual al número de ecuaciones, el sistema tiene una única solución. Si la cantidad de variables es mayor al número de ecuaciones, el sistema tiene infinitas soluciones. Si la cantidad de variables es menor al número de ecuaciones, el sistema no tiene solución Condiciones Cada una de las ecuaciones debe ser linealmente independiente para garantizar que las ecuaciones sean únicas y no tan sólo una combinación de otras ecuaciones. Relación con la programación lineal Si cada uno de los símbolos de las restricciones fuera de igualdad y se tuviera la misma cantidad de variables y restricciones, se podría simplemente resolver el sistema de ecuaciones.
6 Sistema de ecuaciones (2) Para poder relacionar los sistemas de ecuaciones con los modelos de programación lineal, se deben llevar todas las restricciones a igualdad x x x 2 20 Para este caso, debido a que todas las restricciones son de menor o igual, se podría crear una variable adicional positiva (de holgura) para llevar cada una de las restricciones a la igualdad x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 20 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 El lado izquierdo de cada restricción siempre será menor o igual que el derecho. Al ser las variables adicionales positivas, representan para cada restricción, cuánto falta para llegar a la igualdad con el lado derecho. Modificación en la función objetivo. Ahora, las restricciones del modelo de programación lineal tiene igualdad, por lo que podremos utilizar los conceptos de los sistemas de ecuaciones. Aunque para este caso, el número de variables es mayor al número de restricciones.
7 Modificaciones a la formulación matricial original Max z = CX s. a. AX = b X 0 A = x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 x 5 C = b= 8 20 X = x 2 x 3 x 4 x 5 Después de agregar las variables de holgura, se debe modificar la notación matricial. Las restricciones son todas de igualdad. La matriz A incluye los coeficientes de las variables de holgura. El vector C incluye los coeficientes de las variables de holgura. Estos coeficientes deben ser 0 porque son en realidad, variables que no afectan la función objetivo. El número de incógnitas se incrementó en una por cada restricción.
8 Variables básicas y no básicas Sabemos que si el número de variables fuera igual al número de ecuaciones, se podría resolver el sistema. Sin embargo, para el ejemplo anterior, el número de variables es cinco, mientras que tan solo hay tres restricciones. Para poder llegar a una posible solución, se podría fijar dos de las variables (cualquiera) en cero, y sólo resolver el sistema para las tres variables restantes. Variables NO BÁSICAS x 2 x 3 = 0 0 x 4 x 5 Variables usadas para el sistema de ecuaciones Variables BÁSICAS 1 + 0x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 4 + 0x 5 = x 4 + 1x 5 = 20 Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 Sistema de ecuaciones solo con las variables elegidas. Las demás no se incluyen pues toman el valor de cero Modificación en la función objetivo. Las variables básicas XB son aquellas que serán usadas en el sistema de ecuaciones. Mientras que las variables no básicas XN son las que se fijarán en 0. Tienen que existir tantas variables básicas como restricciones.
9 Modificación de la formulación matricial Max z = CB CN XB XN s. a. B N XB XN = b XB, XN 0 CBXB CNXN Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 + 2x 2 + 0x x 4 + 0x 5 + 0x 2 + 1x 3 = BXB NXN b 0 + 1x 4 + 0x 5 + 1x 2 + 0x 3 = x 4 + 1x 5 + 2x 2 + 0x 3 = 20 Max z = CBXB + CNXN s. a. BXB + NXN = b XB, XN 0 Se presenta la formulación de un problema de programación lineal, dividiendo las variables en básicas y no básicas. Puede notarse que la formulación matricial dividió casi todos sus componentes en dos: asociados a las variables básicas y asociado a las variables no básicas.
10 Modificación de la formulación matricial B = x 4 x N = x 2 x x 4 x 5 CB = x 2 x 3 CN = 2 0 XB = x 4 x 5 XN = x 2 x 3 b= 8 20 CB representa los valores de la función objetivo asociados a cada una de las variables básicas. CN representa los valores de la función objetivo asociado a cada una de las variables no básicas. B representa los coeficientes de las restricciones asociados a las variables básicas. N representa los coeficientes de las restricciones asociados a las variables no básicas.
11 Solución del sistema de ecuaciones Variables NO BÁSICAS x 2 x 3 = 0 0 x 4 x 5 Variables usadas para el sistema de ecuaciones Variables BÁSICAS Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 4 + 0x 5 = x 4 + 1x 5 = 20 = x 4 = 8 + x 5 = 20 Los pequeños sistemas de ecuaciones pueden resolverse remplazando variables. Sin embargo, no es un método eficiente para modelos más grandes. Por lo tanto, deben solucionarse usando ecuaciones de matrices. BXB + NXN = b XN = 0 BXB = b B 1 BXB = B 1 b XB = B 1 b
12 Cálculo de la inversa Uno de los métodos para calcular la inversa es Gauss-Jordan. El método consiste en agregar a la derecha de la matriz, una matriz identidad de mismas dimensiones. Posteriormente, a partir de operaciones elementales (+ - / *)entre filas se debe reducir la parte izquierda a la matriz identidad. Recordar que: Una matriz no cuadrada no tiene inversa. Una matriz con columnas linealmente dependientes no tiene inversa. Cálculo de la inversa para la matriz B asociada a, x 4, x 5 B I F3 F1 I En la primera iteración de Gauss-Jordan usamos la operación F3 F1 para eliminar el cero de la esquina inferior izquierda. Después de esta operación, la matriz B se transformó en la matriz identidad, por lo tanto, hemos encontrado su inversa. Con lo anterior, ya hemos encontrado la inversa a la matriz de los coeficientes de las restricciones asociados a las variables básicas. B
13 Conceptos (2) Solución factible: Valores de las variables originales del problema (sin las de holgura) que cumplen todas las restricciones del problema original. Solución óptima: Solución factible que tiene el mejor valor de la función objetivo. Solución básica Es el resultado de resolver sistema de ecuaciones después de haber elegido las variables básicas y las variables no básicas. Solución básica factible Solución básica en la que todos sus componentes son positivos. Es decir, ninguna variable viola el supuesto de no negatividad. Toda solución básica factible es un vértice en el gráfico. Si con la elección de la base inicial no se logra una solución básica factible, o no es posible encontrar una solución porque B no tiene inversa, debe elegirse una nueva base.
14 Relación solución básica factible y gráfico = 0 x + x 3 = 3 = 0 Recta = Recta x 3 = 0 x 4 = 0 x 2 8 x 2 + x 4 = 8 Recta x 2 = 8 Recta x 4 = 0 Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 + 2x x 2 + x 5 = 20 Recta + 2x 2 = 20 Recta x 5 = 0 x 2 = 0
15 Representación geométrica = 0 x 3 = 0 XB = B 1 b x 4 = 0 XB = x 4 x 5 = = 8 z = CB CN XB XN Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 x 2 = 0 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = = 30 XN = x 2 x 3 = 0 0 Solución básica con: XB =, x 4, x 5, XN = {x 2, x 3 } x 4 x 5 x 2 x 3 = Con variables holgura x = 2 0 Sin variables de holgura Vertice C
16 La solución actual es óptima? El sistema de ecuaciones tiene una única solución. Por lo tanto, se debe decidir si las variables utilizadas en la base son las óptimas. Esto implica que, la pregunta en realidad es La selección de variables para la base es óptima? o vale la pena intercambiar alguna variable básica con una variable no básica para mejorar la función objetivo? En el método simplex sólo se puede intercambiar una variable no básica al tiempo. Para lograr esto, se debe analizar la formulación del problema de programación lineal SIN asignar cero a las variables no básicas, es decir, analizar las ecuaciones sin eliminar las variables no básicas de las expresiones. Max z = CBXB + CNXN s. a. BXB + NXN = b XB, XN 0 Despejando XB BXB = b NXN B 1 BXB = B 1 b B 1 NXN XB = B 1 b B 1 NXN En esta relación, las variables básicas XB disminuyen su valor si las variables no básicas toma un valor positivo, es decir, si entran a la base. Por cada unidad que se incrementen las variables no básicas, las variables básicas van a disminuir B 1 N
17 La solución actual es óptima?(2) z = CBXB + CNXN Usando la relación anterior XB = B 1 b B 1 NXN Z= CB B 1 b B 1 NXN + CNXN Z= CBB 1 b CBB 1 NXN + CNXN Z= CBB 1 b CBB 1 N CN XN Costos Reducidos Max Z = CBB 1 b CBB 1 N CN XN Sujeto a XB = B 1 b B 1 NXN En este nuevo modelo, es evidente que será adecuado incluir en la base una variable no básica, siempre y cuando sus costos reducidos sean positivos. Se debe recordar que incluir una variable no básica a la base, significa que será utilizada en el sistema de ecuaciones, por lo que su valor ya no será cero, sino un numero positivo. Para un grupo de variables básicas ya seleccionada, se demostró que XB = B 1 b. Por lo tanto, si se deseará agregar una variable no básica a la base, la variación de la función objetivo Z CBB 1 b estaría dada por CBB 1 N CN XN. Es decir la variación de la función objetivo está dada por los costos reducidos. De esta manera, si se agrega a la base una variable no básica con costo reducido positivo, la función objetivo va a mejorar. En contraste, si se agrega a la base una variable no básica con costos reducidos negativos, la función objetivo va a empeorar. En el caso en el que todas las variables no básicas tengan costos reducidos negativos, significa que la solución actual es óptima.
18 La solución actual es óptima?(3) Según lo anterior, para decidir si la solución actual es óptima, se debe calcular para cada variable no básica sus costos reducidos. XB = x 4 x 5 XN = x 2 x 3 x 4 x CBB 1 N CN = x x3 x 2 x 3 x 2 x x x2 x 2 x 3 = = 2 3 El costo reducido de la variable no básica x 2 es 2 y el costo reducido de la variable no básica x 3 es 3. Agregar x 2 a la base mejoraría la función objetivo mientras que agregar x 3 empeoraría la función objetivo. Ya se ha tomado la decisión de agregar x 2 a la base. Sin embargo, según lo discutido antes, el número de variables básicas debe ser igual al número de restricciones para que el sistema tenga solución, por lo que es necesario decidir Qué variable básica debe salir?, en otras palabras Qué variable básica debe tomar el valor de cero?
19 Selección de la variable de salida XB = B 1 b B 1 NXN Según la expresión anterior. Al entrar una variable no básica a la base, las variables básicas disminuyen en B 1 N por cada unidad que se incremente cada variable no básica. Se conoce que sólo se puede agregar una variable no básica al tiempo, y además, ya se decidió que x 2 entraría a la base, por lo tanto, para este análisis x 3 seguirá siendo cero. Que x 2 entre al grupo de variables básicas, significa que una de las variables básicas se convertirá en no básica. Es necesario recordar que las variables básicas toma un valor positivo, mientras que las variables no básicas toman el valor de 0. En resumen, para decidir qué variable debe salir de la base, es necesario seleccionar la variable básica que más pronto reduce su valor a cero a medida que se incrementa x 2. x 4 = x 5 3x1 8 3x x3 x 2 x x2 x 2 x 3 2x1 x 4 x 5 = x 2 x 3 = 8 0x 2 + x 3 x 2 + 0x 3 2x 2 x 3 = 8 0x 2 x 2 2x 2 + x 3 0x 3 x 3 Para esta iteración, x 3 = 0 x 4 x 5 = x 2 Este vector también es conocido como y
20 Selección de la variable de salida(2) x 4 x 5 = x 2 En este caso, al incrementarse la variable x 2 la primera variable básica que se vuelve cero, es decir sale de la base, es x 5. Para facilitar este proceso, puede usarse también el criterio de la razón mínima. Seleccionar la variable básica que tenga el menor valor de B 1 b nueva XB = x 4 x 2 B = x 4 x y. x 4 x 2 CB = B 1 = nueva XN = x 5 x 3 N = x 5 x x 5 x 3 CN = 0 0 Para evitar confusiones, es importante respetar el orden y posición de las variables que entran a la base y las variables que salen de ella.
21 Representación geométrica iteración 2 = 0 x 3 = 0 XB = B 1 b x 4 = 0 XB = x 4 x 2 = = 3 5 z = CB CN XB XN Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 movimiento x 2 = 0 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = = 40 XN = x 5 x 3 = 0 0 Solución básica con: XB =, x 4, x 2, XN = {x 5, x 3 } x 4 x 2 x 5 x 3 = Con variables holgura x = 2 5 Sin variables de holgura Vertice D
22 La solución actual es óptima? Costos reducidos x 5 x 3 x 4 x CBB 1 N CN = x x3 = = x 5 x x x2 Todos los costos reducidos asociados a las variables no básicas son negativos. Por lo tanto, la solución actual es óptima y se ha terminado el método simplex.
23 Comprobación con gusek Modelo Salida Existe solución óptima Valor variables Valor función objetivo Comando para mostrar resultado
24 Diagrama de flujo del método simplex Inicio Convertir el modelo de programación lineal a su modelo estándar Agregar las variables de holgura para llevar todas las restricciones a la igualdad Seleccionar la variable que tenga mayor costo reducido para que entre a la base Recomendación: Seleccionar como primera base las variables de holgura Solución inicial: Seleccionar arbitrariamente las variables básicas y las variables no básicas Seleccionar la variable básica que debe salir de la base usando el criterio de la razón mínima Resolver el sistema de ecuaciones y calcular el valor de la función objetivo Calcular los costos reducidos de las variables no básicas Fin sí La solución es óptima? no
25 Consideraciones Encontrar el valor óptimo de un problema de programación lineal es equivalente a seleccionar de manera óptima las variables básicas y las variable son básicas. El punto óptimo de un problema de programación lineal siempre será un vértice. Según el gráfico, una posible alternativa sería evaluar la función objetivo para todos los vértices y seleccionar el mejor. Según los dos puntos anteriores, otra alternativa es probar todas las combinaciones de variables + restricciones variables básicas y no básicas. Sin embargo, se requeriría. variables El método simplex prueba de manera inteligente los vértices hasta encontrar el óptimo, sin necesariamente, probarlos todos.
26 Casos especiales Restricciones de mayor o igual Tratar de despejar la restricción para volverla menor o igual con el lado derecho positivo. Si lo anterior no es posible, se deben agregar dos variables nuevas: una de holgura con signo negativo que representa cuánto sobra para llegar a la igualdad y otra con signo positivo que permite construir una base inicial invertible. En este caso, el coeficiente de la función objetivo asociado a la variable con signo positivo debe ser un número muy grande que empeore la función objetivo para evitar que tome valores en la solución óptima. Si en la solución óptima alguna de las variables artificiales está en la base. El problema es infactible. Si en una iteración, el costo reducido de una variable no básica es cero y los demás son negativos. La solución tiene múltiples óptimos. Esto se debe a que se podría ingresar esta variable y la función objetivo no cambia. El método simplex para este caso muestra que hay 2 vértices que tienen el mismo valor de la función objetivo. Sin embargo, la recta que une a estos dos vértices también tendrán el mismo valor de la función objetivo. Si en una iteración, existen aún costos reducidos positivos, sin embargo, por la composición del vector y ninguna variable puede salir de la base. En este caso, el problema es no acotado.
27 Ejercicios 1. Resolver el problema anterior, pero seleccionado como base inicial las variables de holgura Max Z = 7 + 2x 2 s. a x 2 40, x 2 0 Min Z = 2 7x 2 s. a x 2 40 x 2 20, x 2 0
28 Formulas matriciales en Excel Definición: Ecuaciones de excel que trabajan con rangos sino celdas. Permiten automatizar funciones para analizar bases de datos. Formulación Seleccionar en excel el rango de la matriz resultante. Escribir la formulación. Ingresar la formulación con ctrl+shift+enter. Para verificar que la formula matricial es correcta, la formulación de excel debe quedar entre llaves. Uso para operaciones entre matrices Mmult: Multiplicación de matrices. Sólo se pueden multiplicar 2 matrices al tiempo. Si se desean multiplicar 3 o más matrices se pueden anidar. Ejemplo mmult(mmult(m1,m2),m3). Minv: Obtiene la matriz inversa. Si el resultado es #NUM, la matriz no es invertible.
29 Ejemplo C B 1 1. Datos 2. Seleccionar tamaño destino 3. Escribir fórmula 6. Ingresar crt+shift+enter Revisar {}
Forma estándar de un programa lineal
Forma estándar de un programa lineal Sin pérdida de generalidad, todo programa lineal se puede escribir como: min cx s.t Ax = b x 0 Objetivo: minimizar Todas las desigualdades como ecuaciones Todas las
Más detallesFormulación del problema de la ruta más corta en programación lineal
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,
Más detalles5.1. Algoritmo en modelos de maximización
5.1. Algoritmo en modelos de maximización El primer tipo de modelo que vamos a resolver por el método símplex es el que tiene como objetivo maximizar a una función lineal, la cual está sujeta a una serie
Más detallesMÉTODO SIMPLEX. Introducción
MÉTODO SIMPLEX Introducción El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema
Más detallesTema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.
Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo
Más detallesUNIDAD 3 MÉTODO SIMPLEX. Fundamentos del método simplex
UNIDAD 3 MÉTODO SIMPLEX Fundamentos del método simplex Teoría Este método busca la solución, en cada paso, de forma mejorada hasta que no pueda seguir mejorando dicha solución. Al comienzo el vértice principal
Más detallesDualidad 1. 1 Formas simétricas. 2 Relación primal-dual. 3 Dualidad: el caso general. 4 Teoremas de dualidad. 5 Condiciones de holgura complementaria.
Dualidad 1 1 Formas simétricas. 2 Relación primal-dual. 3 Dualidad: el caso general. 4 Teoremas de dualidad. Condiciones de holgura complementaria. 6 Solución dual óptima en la tabla. 7 Interpretación
Más detallesProgramación Lineal. Yolanda Hinojosa
Programación Lineal Yolanda Hinojosa Contenido Formulación primal de un programa lineal. Propiedades Algoritmo del simplex Algoritmo dual del simplex Formulación dual de un programa lineal. Propiedades
Más detallesTema 18. Programación lineal Formulación primal de un programa lineal
Tema 18 Programación lineal 18.1. Formulación primal de un programa lineal Dentro de la programación matemática hablamos de programación lineal (PL) si tanto la función objetivo como las restricciones
Más detallesMETODO SIMPLEX. Paso 1 Se convierte el modelo matemático de Programación Lineal (PL) a su forma estándar.
METODO SIMPLEX El algoritmo Simplex comprende los siguientes pasos: Paso 1 Se convierte el modelo matemático de Programación Lineal (PL) a su forma estándar. Al elaborar el modelo matemático que representa
Más detallesMATE Método Simplex maximización estándar
MATE 3012 Método Simplex maximización estándar Problema de maximización estándar Un problema de maximización de programación lineal está en la forma estándar, si la función objetiva w = c 1 x 1 + c 2 x
Más detallesNelson Devia C Basado en Bertsimas, D., Tsitsiklis, J. (1997) Introduction to Linear Optimization Capítulo 3
IN3701 - Modelamiento y Optimización Departamento de Ingeniería Industrial Universidad de Chile 2011 Basado en Bertsimas, D., Tsitsiklis, J. (1997) Introduction to Linear Optimization Capítulo 3 Contenidos
Más detallesUn sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son:
Unidad X: Programación lineal (continuación) Objetivo específico: Entender ampliamente el fenómeno del comportamiento de los modelos matemáticos para la resolución de problemas enfocados a las ecuaciones
Más detallesProgramación Lineal. El método simplex
Programación Lineal El método simplex El método simplex es una herramienta algebraica que permite localizar de manera eficiente el óptimo entre los puntos extremos de una solución a un problema de programación
Más detallesForma estándar de un PPL con m restricciones y n variables. (b 0)
Forma estándar de un PPL con m restricciones y n variables Maximizar (minimizar) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Más detallesProgramación Lineal. - Si no: Sea j tal que c
Programación Lineal El objetivo de este documento es hacer una breve introducción a la programación lineal que pueda contribuir al fácil manejo de la aplicación. La programación lineal es un procedimiento
Más detallesRepaso del algoritmo SIMPLEX
Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial IN70K: Clase Auxiliar Repaso del algoritmo SIMPLEX Marcel Goic F. 1 1 Esta es una versión bastante
Más detallesINGENIERO EN COMPUTACION TEMA: MÉTODO SIMPLEX
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO CENTRO UNIVERSITARIO UAEM ZUMPANGO INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: MÉTODO SIMPLEX ELABORÓ: M. EN C. LUIS ENRIQUE KU MOO FECHA: MARZO DE 2016 UNIDAD DE APRENDIZAJE
Más detallesINGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA
INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA Sesión 4 Objetivos: Aplicar el método simplex a la solución de problemas reales. Contenido: Introducción al método Simplex Requerimiento del método Simplex
Más detallesRESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY
25 de Junio de 2012 RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )
MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una
Más detallesSOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
SOLUCIÓN DE UN SISEMA LINEAL DE ECUACIONES MÉODO DE LA MARIZ INVERSA EN EXCEL ANECEDENES Un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas se puede escribir en la forma general: 11 1 12 2 1 1n n 1 21
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS // Curso 2017-18 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detalles1.Restricciones de Desigualdad 2.Procedimiento algebraico
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1. Restricciones de Desigualdad Clase # 6 EL MÉTODO M SIMPLEX El método m simplex es un procedimiento algebraico: las soluciones se obtienen al resolver un
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS
GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos. Las
Más detalles3.1. La Optimización Lineal El Planteamiento
Gerardo Febres Última revisión: 2016.03.23 3.1. La Optimización Lineal 3.1.1.- El Planteamiento Planteemos un problema extremadamente sencillo. Hacer máximas las ganancias obtenidas al vender tornillos.
Más detallesmaximización (con restricciones de la forma menor igual que). asociado al modelo primal de minimización y viceversa.
UNIDAD 5 MÉTODO SÍMPLEX maximización (con restricciones de la forma menor igual que). asociado al modelo primal de minimización y viceversa. minimización (con restricciones de la forma mayor que). tenga
Más detallesContenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex.
Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Introducción El método simplex resuelve cualquier problema de PL con un conjunto
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Método de la matriz inversa... 4 Observaciones... 5 Ejemplo I.I... 6 Ejemplo I.II... 7 Ejemplo II... 8 Sistemas compatibles indeterminados... 9 Método
Más detallesSi u y v son vectores cualquiera en W, entonces u + v esta en W. Si c es cualquier numero real y u es cualquier vector en W, entonces cu esta en W.
Unidad 4 Espacios vectoriales reales 4.1 Subespacios Si V es un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Entonces W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones Si u y v son
Más detallesUna ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma:
página 1/39 Teoría Tema 6 Ecuación lineal Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n =c Donde a 1,a 2, a 3,..., a n,c son números reales. En
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesEJERCICIO 1. Max Z = 6 x x 2 s.r. (1) 4 x x 2 12 (2) 2 x x 2 16 (3) 2 x 1 6 x 1, x 2 0
Considere el Programa Lineal siguiente: EJERCICIO Max Z 6 x + 9 x 2 s.r. () 4 x + 6 x 2 2 (2) 2 x + 8 x 2 6 (3) 2 x 6 x, x 2 0 (.a) 3 2 0 2 3 4 5 6 7 8 El Problema tiene una Región Factible delimitada
Más detallesMÉTODO SIMPLEX. Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947.
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DE SAN GIL UNISANGIL UNAB Pág. 1 MÉTODO SIMPLEX Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. Matricialmente podemos representar
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesDirección de Operaciones
Dirección de Operaciones 1 Sesión No.5 Nombre: El método simplex. Segunda parte. Objetivo Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de identificar las herramientas que permiten resolver problemas de
Más detallesCon miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:
Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos 1
Algebra lineal y conjuntos convexos Solución de sistemas. Espacios vectoriales. 3 Conjuntos convexos. 4 Soluciones básicas puntos extremos. Rango de una matriz A R m n. Reducir A a una matriz escalonada
Más detallesCALCULO I UNIDAD I MATRICES. Instituto Profesional Iplacex
CALCULO I UNIDAD I MATRICES 1.3 Transformación de matrices A las matrices se les pueden realizar ciertas transformaciones o cambios internos, siempre y cuando no afecten ni el orden ni el rango de la misma.
Más detallesUniversidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I
Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de expresiones de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 + +
Más detallesPara poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:
TEORIA DE LA DUALIDAD. Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA SEDE: UNI-NORTE PRIMER PARCIAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I (SOLUCIÓN)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA SEDE: UNI-NORTE PRIMER PARCIAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Prof.: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés (SOLUCIÓN) I. Representar gráficamente la región determinada
Más detallesMÉTODO ALGEBRAICO: Obtención de las soluciones básicas:
MÉTODO ALGEBRAICO: El método algebraico es una alternativa de solución a problemas de programación lineal. Sin embargo es muy dispendioso, en razón a que trabaja con todos los datos de las ecuaciones,
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS
GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos. Las
Más detallesUniversidad Nacional de Ingeniería UNI-RUACS 01/09/11
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-RUACS 01/09/11 Elaborado por: Deall Daniel Irías Estelí, Nicaragua El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso.
Más detallesEl método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.
El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial.
Más detallesMatemática 2 MAT022. Clase 4 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. Sistemas de Ecuaciones. logo.
Matemática 2 MAT022 Clase 4 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María Tabla de Contenidos Sistemas de Ecuaciones 1 Sistemas de Ecuaciones Consideremos el sistema
Más detallesMatemáticas
al Método al Método Matemáticas al Método En esta lectura daremos una introducción al método desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914-13 de mayo de 2005) en 1947. Este método se
Más detallesCONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Más detallesDegeneración y ciclaje. Método de las dos fases CO-3411 (S08) 30/03/
CO-3411 (S08 30/03/2008 98 Degeneración y ciclaje En el caso de problemas generales, una solución será degenerada cuando alguna de las variables básicas se encuentra en una de sus cotas (comparar con el
Más detallesPráctica 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales - Matrices
ALGEBRA LINEAL Primer Cuatrimestre 2017 Práctica 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales - Matrices En todas las prácticas, K es un cuerpo; en general K = Q (los números racionales, R (los números reales o
Más detalles7. PROGRAMACION LINEAL
7. PROGRAMACION LINEAL 7.1. INTRODUCCION A LA PROGRMACION LINEAL 7.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL 7.3. SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL 7.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES 7.4.1. Problemas
Más detallesEL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías
EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO M. En C. Eduardo Bustos Farías Modelos sin solución Degeneración. óptima Soluciones múltiples o alternativas () No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesProgramación Lineal. María Muñoz Guillermo Matemáticas I U.P.C.T. M. Muñoz (U.P.C.T.) Programación Lineal Matemáticas I 1 / 13
Programación Lineal María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I M. Muñoz (U.P.C.T.) Programación Lineal Matemáticas I 1 / 13 Qué es la Programación Lineal? Introducción La Programación
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesProgramación lineal: Algoritmo del simplex
Programación lineal: Algoritmo del simplex Se considera la formulación estándar de un problema de programación lineal siguiendo la notación utilizada en las clases teóricas: Minimizar c t x sa: Ax = b
Más detallesFormato para prácticas de laboratorio
Formato para prácticas de laboratorio CARRERA INGENIERIA INDUSTRIAL PLAN DE ESTUDIO CLAVE DE UNIDAD DE APRENDIZAJE 2007-1 9013 NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE METODOLOGIA PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesTEST IO-I T1. CONCEPTOS PREVIOS. C1.1. Cualquier conjunto convexo tiene al menos un punto extremo?
TEST IO-I T1. CONCEPTOS PREVIOS C1.1. Cualquier conjunto convexo tiene al menos un punto extremo? a) Puede tener puntos extremos. b) Puede no tener puntos extremos. c) Puede tener vértices. C1.2. Es convexo
Más detallesOptimización de Problemas de Producción
Optimización de Problemas de Producción Pedro Piñeyro - Luis Stábile Colaboran: Héctor Cancela - Antonio Mauttone - Carlos Testuri Depto. Investigación Operativa. Instituto de Computación. Facultad de
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesDualidad y postoptimización
Dualidad y postoptimización José María Ferrer Caja Universidad Pontificia Comillas Definición A cada problema de optimización lineal le corresponde otro que se denomina problema dual En forma canónica
Más detallesFigura 1: Esquema de las tablas simplex de inicio y general.
RELACIONES PRIMAL-DUAL Los cambios que se hacen en el modelo original de programación lineal afectan a los elementos de la tabla óptima actual el que se tenga en el momento, que a su vez puede afectar
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE ECONOMIA LICENCIATURA DE ACTUARIA Algebra Lineal Práctica: Matriz inversa 1 M. en I. Elizabeth Almazán Torres 2 Resultado de Aprendizaje El estudiante
Más detallesTema 2: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales Curso 2016/2017 Ruzica Jevtic Universidad San Pablo CEU Madrid Índice de contenidos Introducción Algoritmo de Gauss-Jordan Interpretación como un subespacio Existencia
Más detallesEl algoritmo del Simplex. Forma tabular
El algoritmo del Simplex. Forma tabular 1 Soluciones básicas factibles Consideremos el siguiente poliedro P = {x R n, tal que Ax = b, x } con A M m n, b R m, m n, x y RangoA = RangoA, b = m. Observación
Más detallesMatemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas
Más detallesFundamentos de Programación Entera. A. Revisión. Carlos Testuri Germán Ferrari
Fundamentos de Programación Entera A. Revisión Carlos Testuri Germán Ferrari Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación Facultad de Ingeniería Universidad de la República 2012-2018
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden
Más detallesUnidad III Teoría de la Dualidad.
Curso de investigación de operaciones http://www.luciasilva.8k.com/5.5.htm Unidad III Teoría de la Dualidad. III.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL La Teoría de la Dualidad es una de las herramientas que
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 3 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesLa Programación Lineal. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1
La Programación Lineal H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex Desarrollado en 1947 por George Dantzig como parte de un proyecto para el Departamento de Defensa Se basa en la propiedad de la solución
Más detallesMÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)
MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado
Más detallesTema 1. Modelos lineales y solución gráfica. 1.1 El modelo lineal
Tema 1 Modelos lineales y solución gráfica La programación lineal es una importante rama de la Investigación Operativa. Esta técnica matemática consiste en una serie de métodos que permiten obtener la
Más detallesIN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0
IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del
Más detallesMétodo Simplex en Optimización de Problemas de Producción
Método Simplex en Optimización de Problemas de Producción Pedro Piñeyro - Luis Stábile - Fernando Islas - Carlos Testuri Héctor Cancela - Antonio Mauttone Depto. Investigación Operativa. Instituto de Computación.
Más detalles4. Métodos de Solución PPL : Solución Algebraica: MÉTODO SIMPLEX Segunda Parte
4. Métodos de Solución PPL : Solución Algebraica: MÉTODO SIMPLEX Segunda Parte Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co http:/www.docentes.unal.edu.co MÉTODO SIMPLEX Ejemplo de Simplex: Vamos a
Más detallesIntroducción a Programación Lineal
Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 18 Programación Lineal ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach 4 de octubre de 2005
Más detallesMÉTODO SIMPLEX REVISADO O FORMA MATRICIAL
MÉTODO SIMPLEX REVISADO O FORMA MATRICIAL Algoritmo del método simplex que mejora la eficiencia de los cálculos, se realizan los mismos pasos del método simplex visto, sólo se diferencia en la manera de
Más detallesEjercicios - Resolución de problemas lineales. Método Simplex
Ejercicios - Resolución de problemas lineales. Método Simplex Programación Matemática LADE Curso 8/9. Dado el problema lineal máx x x x + x s.a. x + x + x = 4 x + x 4 x justifica que el punto x = ( T es
Más detalles1. Página 10 La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así:
Matrices 1 ACTIVIDADES 1. Página 10 La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así: 2. Página 10 La matriz solución es. 3. Página 10 La matriz
Más detallesMatemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II
Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 05 de abril de 2018 1 hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Dadas las matrices A ( 2 1 1 2 ), B ( 0 1 ) e I la matriz identidad de
Más detallesLicenciatura en Administración y Dirección de Empresas
Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas Programación Matemática de junio de 200 Ejercicio 3 pt. Considera el siguiente problema de programación no lineal:. Se trata de un problema convexo?
Más detallesProgramación Lineal Introducción
Programación Lineal Introducción Curso: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro fjvillatoro.wordpress.com Curso: Catedrático: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro Comunicación
Más detallesINVESTIGACION DE OPERACIONES:
METODO SIMPLEX El algoritmo símplex fue descubierto por el matemático norteamericano George Bernard Dantzig en 1947, es una técnica para dar soluciones numéricas a problema de programación lineal Un problema
Más detallesPROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A,
Más detallesJesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014
Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza
Más detallesGuía de Problemas para el Control 2
Guía de Problemas para el Control 2 Geometría Problema 1 Demuestre que la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo. Utilizando esto demuestre que todo poliedro es un conjunto convexo.
Más detallesECUACIONES MATRICIALES. Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte
ECUACIONES MATRICIALES Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte En sesiones anteriores se ha discutido sobre las operaciones básicas con matrices, sin embargo, la división matricial no fue abordada de una manera
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesAlgoritmo de factorización LU
Algoritmo de factorización LU Objetivos. Estudiar el algoritmo de la factorización LU de una matriz cuadrada invertible. Requisitos. Matrices elementales y su relación con operaciones elementales, matriz
Más detalles3.1 Por inspección del tablero óptimo genere las respuestas a los numerales dados. X 1 = Cantidad de tarjetas de invitación a producir semanalmente en Kimberly Colpapel y X 2 = Cantidad de tarjetas de
Más detallesOpción A ( ) ( ) º. Álgebra lineal. Noviembre 2017
Opción A Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Discútase el siguiente sistema según los valores del parámetro λ y resuélvase en los casos en que sea compatible. x + λ y = λx + y = x + y = λ x + λ y =
Más detallesMatemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales
Matemáticas Empresariales II Lección 4 Sistemas de Ecuaciones lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34 Sistema de ecuaciones lineales
Más detalles