CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA

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2 COORDINADORA Profesora Mercedes Colombo PRESENTACIÓN El siguiente módulo está destinado a los ingresantes de las facultades de Ciencias de la Salud, Ciencias de la Administración, Ciencias Económicas, Ingeniería, Bromatología y Ciencias de la Alimentación. Para complementar el dictado presencial del módulo de Matemática creamos un espacio virtual donde encontrarás otros recursos, notas complementarias y un espacio adicional para comunicarte con tus docentes en la siguiente dirección: CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

3 INDICE COORDINADORA... INDICE... TEMA : LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS Los números enteros Los números racionales Los números irracionales Los números reales Representación de los números reales en la recta numérica... EJERCICIOS El conjunto de los números complejos Operaciones con números reales Valor absoluto de un número real Adición de números reales Diferencia o sustracción de números reales Multiplicación de números reales División de números reales Potenciación... 6 EJERCICIOS Radicación. Potencias de eponentes fraccionarios... 7 Potencias de eponentes racionales... 9 PROBLEMAS... 5 Notación científica... 7 EJERCICIOS... 7 Uso de la calculadora... 8 EJERCICIOS... 8 TEMA : RAZONES Y PROPORCIONES Razón entre dos números Proporciones Propiedad fundamental de las proporciones... 9 EJERCICIOS Serie de razones iguales Magnitudes Proporcionales... EJERCICIOS Problemas de regla de tres simple Porcentaje... 6 TEMA : POLINOMIOS... 8 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

4 Grado de un polinomio... 8 Polinomio ordenado... 8 Polinomio completo... 9 Polinomio nulo... 9 Polinomio constante... 9 Igualdad de polinomios Funciones polinómicas Operaciones con polinomios Adición Diferencia o sustracción Multiplicación División Regla de Ruffini o división sintética... 4 EJERCICIOS EJERCICIOS DE REVISIÓN Divisibilidad de polinomios Divisibilidad de una suma o una diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o la diferencia de las bases Valor de un polinomio P() para = a EJERCICIOS Teorema del resto Teorema del factor... 5 EJERCICIOS Ceros de un polinomio... 5 EJERCICIOS Cuadrado de un binomio Cubo de un binomio Producto de dos binomios conjugados EJERCICIOS Factorización de epresiones algebraicas Algunos casos de factoreo Factor común Factorización por agrupamiento Trinomio cuadrado perfecto Cuatrinomio cubo perfecto Diferencia de cuadrados Suma o diferencia de potencias de igual grado EJERCICIOS CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

5 Teorema de Pitágoras... 6 EJERCICIOS... 6 TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Cero o raíz de una epresión racional fraccionaria... 6 EJERCICIOS Operaciones con epresiones racionales fraccionarias Adición y sustracción Multiplicación División EJERCICIOS TEMA 5: ECUACIONES DE PRIMER GRADO... 7 EJERCICIOS... 7 TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de sustitución Método de reducción o de eliminación por sumas o restas Sistemas consistentes e inconsistentes Sistemas determinados e indeterminados EJERCICIOS PROBLEMAS TEMA 7: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE Definición Cálculo de las raíces de ecuaciones incompletas Ecuación incompleta de la forma a 0. a Ecuación incompleta de la forma a c 0. a Ecuación incompleta de la forma a b Cálculo de las raíces de ecuaciones completas de segundo grado Ecuación completa: a b c 0 ( a, b y c son distintos de cero) Discriminante de la ecuación Ecuaciones fraccionarias que pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática EJERCICIOS Factorización de una ecuación de segundo grado EJERCICIOS Relación entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces EJERCICIOS Ecuaciones con radicales que pueden resolverse mediante ecuaciones cuadráticas EJERCICIOS TEMA 8: LA FUNCIÓN LINEAL CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

6 . Funciones La función lineal en una variable EJERCICIOS Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta... 0 EJERCICIOS Ecuación de la recta determinada por dos puntos EJERCICIOS Forma implícita de la ecuación de la recta EJERCICIOS Inclinación de una recta Rectas paralelas y perpendiculares EJERCICIOS TEMA 9: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA... 6 EJERCICIOS... 7 BIBLIOGRAFÍA... 6 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

7 TEMA : LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS. Los números enteros Desde épocas remotas, el hombre debió satisfacer su necesidad de contar objetos, personas, animales. Para hacerlo, por intuición comenzó a usar los números que llamamos naturales:,,, 4,, asociados al concepto de cantidad. El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos. El primer elemento es el uno, la unidad N,,, 4, 5, 6,. En ese conjunto se definen dos operaciones elementales: la adición y la multiplicación y se establecen las propiedades que para ellas se cumplen. La suma de dos números naturales cualesquiera es otro número natural y el producto entre dos números es también otro número natural. Se definen también, con ciertas limitaciones, las operaciones inversas: la sustracción y la división respectivamente. En el caso de la sustracción, el minuendo debe ser mayor que el sustraendo; en el de la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor. En N, la diferencia entre dos números a y b es el número c si y sólo si c b a. Para que esa operación sea posible, a debe ser mayor que b. Las operaciones, 7 no pueden efectuarse. El cociente entre dos números a y b es otro número c si y sólo si c b a. El cociente 5 : 7 no puede efectuarse porque no eiste ningún número natural que multiplicado por 7 de por resultado 5. Como una etensión del conjunto de los naturales se crearon los números enteros. En el nuevo conjunto la diferencia entre dos números es siempre posible. Por ejemplo: 0 ; 7 4. La unión entre el conjunto de los enteros positivos, el conjunto que tiene como elemento al cero y el de los enteros negativos es, precisamente, el conjunto de los enteros Z. El cero es el elemento neutro para la suma: a 0 a para todo a perteneciente a Z. Los números negativos son los inversos aditivos, u opuestos de los positivos: 0 es el opuesto de 0 pues CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

8 Al conjunto de los enteros positivos con el cero se los denomina conjunto de los enteros no negativos y se llama conjunto de los enteros no positivos al conjunto de los enteros negativos con el cero: Conjunto de enteros no negativos Conjunto de enteros no positivos 0,,,,, 0, 9, 8,,,, 0 Z,,,, 0,,,, Representamos los enteros en la recta numérica:. Los números racionales Las fracciones se crearon para epresar partes más pequeñas que la unidad, por ejemplo:, ;. 4 4 a La fracción b significa que la unidad se dividió en b partes y se tomaron a. El numerador es a, b el denominador y éste no puede ser cero. Los números que pueden escribirse como cociente de dos números enteros a y b, con b 0, se llaman números racionales. EJEMPLOS 4 4 : 8 : 4 Si el numerador es menor que el denominador, la fracción se dice propia; si el denominador es menor que el numerador, impropia, y si el numerador es múltiplo del denominador el número racional es entero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

9 Consideremos los números racionales: 0,6 ; 4 5, 75 ; 0, La epresión decimal tiene un número finito de dígitos. En los siguientes ejemplos, luego de la coma decimal, se tienen infinitas cifras pero hay una parte que se repite periódicamente: a) c) 9 b) c) 0,8888 0, 4 9, , El conjunto de los racionales es un conjunto denso. Esto significa que entre dos números racionales cualesquiera, eiste siempre otro número racional: Entre y, el promedio o media aritmética 7 ; entre y, el Los números racionales se representan en la recta numérica: Un número decimal periódico puede epresarse como fracción, en la forma que eplicaremos mediante ejemplos. a) La epresión n decimal 0,555 se dice periódica pura, el período es 5 y se repite a partir de la coma decimal. Sea 0,555 multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período, , ,55 0,555. Restamos miembro a miembro b),. Es periódica pura, de período de tres cifras:. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

10 Multiplicamos por 000: 000,, c),999 El período tiene una cifra. Multiplicamos por 0: 0 9,999, d) = 0, Es periódica mita: la parte no periódica tiene una cifra y el período tiene dos cifras. Multiplicamos por 000, ambos miembros; también por 0, y luego restamos miembro a miembro: 000, Luego 6 9 0, 49 Verifique que, El pasaje de una epresión decimal periódica, puede hacerse también siguiendo las reglas siguientes: ) Una epresión decimal periódica pura es igual a la fracción cuyo numerador es el período, y el denominador, el número formado por tantos 9, como cifras tenga el período. (parte entera nula). CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

11 ) Una epresión decimal periódica mita es igual a la fracción cuyo numerador es la parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica, y cuyo denominador está formado por tantos 9 como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros, como cifras tenga la parte no periódica. (parte entera nula). Si el período es 9, se suprime toda la parte periódica y se suma uno a la cifra anterior. EJEMPLO:,59999,6. Los números irracionales Los números cuya representación decimal es indefinida y no periódica no son racionales, no pueden ser epresados como cociente de dos números enteros, se llaman números irracionales. Los racionales son conmensurables, los irracionales, no lo son. Son irracionales,4456; el número,459, que epresa la relación entre la longitud de una circunferencia y su propio diámetro, e, , ; el número 4. Los números reales La unión entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales, da por resultado el conjunto de los números reales. 4. Representación de los números reales en la recta numérica Sea el número real (irracional). Construimos un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a. Por corolario del Teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide: Con esa medida, representamos en la recta el número. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

12 Ejercicio Represente en la recta numérica los números: ;. (Ayuda: 4 9 ;.) Entre los números reales y los puntos de una recta eiste una correspondencia según la cual, a cada número real le corresponde un punto de la recta, y, recíprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un número real. El conjunto es también un conjunto denso, porque entre dos números reales cualesquiera eiste otro número real. EJERCICIOS ) Escriba V o F en, según la proposición sea verdadera o falsa: a) Todo número entero es racional. b) Entre dos números enteros cualesquiera, eiste siempre otro número entero. c) El conjunto de los enteros es denso. d) El conjunto de los racionales y el de los irracionales son disjuntos. (conjuntos disjuntos son los que no tienen elementos comunes). ) Eprese como fracciones: a) 0,999; b),9999; c) 0,99999Analice los resultados y formule su propia conclusión ) Escriba como número decimal y clasifique la epresión que obtenga: a) ; b) ; c) ) Ordene de menor a mayor: 0; -; -7; ; -4; ; 4. 5) Ordene de mayor a menor: 0; 0,5; -,; 6 ; ;. 7 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

13 5. El conjunto de los números complejos En el conjunto de los números reales, una ecuación como la siguiente, no tiene solución: 0. Sí queremos despejar, llegamos a:, y no eiste ningún número real cuyo cuadrado sea igual a -. Para dar solución a epresiones como esa, se crearon los números imaginarios. La unidad imaginaria es i. La unión del conjunto de los reales y el de los imaginarios, da por resultado el de los números complejos. La unidad imaginaria i, es el complejo tal que su cuadrado es igual a -. En el conjunto C tienen significado las raíces de índice par de números negativos i pues, por definición i 6. Operaciones con números reales 6. Valor absoluto de un número real DEFINICIÓN El valor absoluto de un número real es el número real, que indicamos, tal que:, si 0, si 0 EJEMPLOS a) 0 0 porque b) -,4,4, porque,4 0. c) 5,5 5,5 porque Adición de números reales PROPIEDADES Si a, b y c son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:. La suma de dos números reales es otro número real: a + b es un número real. (ley de cierre). Asociativa: ( a + b) + c = a + ( b + c). Conmutativa: a + b = b + a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

14 4. Eistencia de elemento neutro: eiste el número real 0 (cero) tal que a + 0 = 0 + a = a 5. Eistencia de elemento opuesto: para todo número real a distinto de cero eiste (-a) tal que a + (-a) = 0. EJEMPLOS a) b) ( ) c) d) 0, - = Diferencia o sustracción de números reales Es la operación inversa de la suma. DEFINICIÓN Dados dos números reales a y b, la diferencia es el número real que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo: a b = a + (-b) EJEMPLO Cuando en una epresión figuran términos encerrados entre paréntesis ( ), corchetes llaves, para efectuar las operaciones se quitan previamente esos símbolos teniendo en cuenta que cuando están precedidos por un signo +, se conservan los signos de los términos encerrados; y si están precedidos por un signo negativo, se cambian los signos de todos los términos encerrados. Cuando en una epresión figuran términos agrupados por esos tres símbolos, se los elimina ordenadamente, comenzando por los símbolos que se encuentran en el interior, y, si corresponde, reduciendo los términos semejantes. o CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

15 EJEMPLO = Multiplicación de números reales PROPIEDADES Si a, b y c son números reales, se cumplen las siguientes propiedades: a) Ley de cierre: el producto de dos números reales es otro número real. b) Asociativa: (a.b).c = a.(b.c) c) Conmutativa: a. b = b. a d) Eistencia de elemento neutro: eiste el número real (uno) tal que a.=.a = = a e) Eistencia de inverso: para todo número real a distinto de cero, eiste el inverso tal a que a.. a Al inverso de a se lo epresa también a. a a f) Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: a (b + c) = a. b + a. c REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN EJEMPLOS a) R: : 6 b) R: 4 5 c) 4 : = = = = R: CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

16 6.5. División de números reales DEFINICIÓN Dados dos números reales a y b, con b distinto de cero, el cociente a : b es el número real c tal que el producto c. b = a. Para efectuar la división, multiplicamos a por el inverso de b. EJEMPLO 5 ( 6) : Potenciación DEFINICIÓN n Si a es un número real positivo, la enésima potencia de a es: a a. a. a. a... a (n factores a) ; si n = es a a ; si n 0 es 0 a a es la base de la potencia, n es el eponente. Si la base es negativa y el eponente es un número par, la potencia es positiva; si la base es negativa y el eponente es impar, la potencia es negativa. EJEMPLOS ( ) 7 ( 5) 65 DEFINICIÓN n Si a es distinto de cero y n es un entero positivo, entonces se define a con a 0. n a LEYES DE LOS EXPONENTES Si m y n son números enteros, las siguientes propiedades llamadas leyes de los eponentes, se demuestran a partir de las definiciones anteriores: m m n m n a) a a a a m n b) a n a, si 0 c) e) d) n a a, sib 0 n b b ( a b) n a n b n n m a a n m n a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

17 Eplique las propiedades epresadas anteriormente. EJEMPLOS a) b) ( ) 8 8 EJERCICIOS a b a b a b 5 7 ) Efectúe los cálculos y escriba cada epresión de manera que todos los eponentes sean positivos. 4 4 y 7 a b a) b) c) 4 5 y a b y 0 y 4 6 RESPUESTAS 5 5 a) b) c) y 4b 4 49a 0 y 5 ) Escriba el valor de que haga verdadera cada una de las siguientes ecuaciones: 4 a) b) c) Radicación. Potencias de eponentes fraccionarios DEFINICIÓN Si a es un número real y n es un número entero positivo mayor o igual que, la raíz enésima n de a es el número, tal que a. n n a si y sólo si a Si a es positivo, entonces es positivo y se llama raíz enésima principal de a. Si a es negativo y n es un número par, entonces la raíz enésima no es un número real. Si a es negativo y n es un número impar, entonces es negativo. Si =0, entonces n 0 0 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

18 EJEMPLOS 4 7 ( 7) porque 4 8 porque 8 4 no es un número real porqueel índicees, número par, y el radicando es negativo. 5 5 porque 5 5 Observación: Si bien ( 5) 5 se conviene en que la raíz cuadrada de 5 es 5. También se la llama raíz cuadrada principal de 5. REGLAS PARA LA RADICACIÓN Si las raíces son números reales, entonces: a) Para la multiplicación: n n a b n ab b) Para la división: n n a b n a b si b 0 c) m n a mn a Enuncie las propiedades epresadas anteriormente. EJEMPLOS a) 4 8 b) y y y c) c) y d) Simplifique la epresión: 4 Rta y y y CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

19 Potencias de eponentes racionales DEFINICIÓN Si a es un número real y n es un número entero mayor o igual que, entonces /n a n a, siempre que eista, dado que si n es par y a es negativo, la epresión no eiste en el conjunto. DEFINICIÓN Si a es un número real y m y n son números enteros primos entre sí (significa que el máimo común divisor es ) con n, entonces: EJEMPLOS n a m m/ n n m n n a a a siempre que eista a n a a) b) /4 / RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Dada una epresión fraccionaria en la que figuran radicales en el denominador, se acostumbra escribir una fracción equivalente que no contenga radicales en el denominador. Este proceso se denomina racionalización de denominadores. Para obtener una fracción equivalente se multiplica el numerador y el denominador por la misma epresión. EJEMPLOS a) b) 9 c) 4 4( ) ( ) ( ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

20 EJERCICIOS ) Calcule: a) b) c) ) Plantee y halle el resultado: a) A la suma de -4 más 0, réstele la diferencia entre 9 y -. b) Reste 0 a la suma entre 8, -5 y. c) A la suma entre - y -4, reste la diferencia entre -8 y el opuesto de ) Efectúe los cálculos: a) b) 5 5 c) d) 7 7 4) Si a y b son números reales, puede demostrarse que se cumplen las propiedades: a) a b a b b) a b a b c) a b a b Se pide: a) Eprese con palabras las propiedades simbolizadas. b) Muestre que se verifican para: a y b 5 ; a y b ) Si A,,,, 0, 6 diga cuáles elementos son números enteros; 5 enteros negativos, racionales, irracionales. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

21 6) Efectúe las siguientes operaciones, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: a) 4 a 5 9 5a R: 5 9a b) 0 4 y 6 y R: 4 6y c) a b a b R: d) a b a b R: a b ab e) a 5 a R: 5 a 5 7) Señale la respuesta correcta: a a) 9a b) a c) 5 a 9a 8) Plantee y efectúe las siguientes operaciones: a 5ab b 5 a) El cuadrado de la suma entre a y b. R: a ab b b) El cuadrado de la diferencia entre a y b R: a ab b c) El cubo de la suma entre a y b. R: a a b ab b d) El cubo de la diferencia entre a y b. R: a a b ab b e) El cuadrado de la suma entre a y el cuadrado de b. R: a a 4 ab b b f) El cuadrado de la diferencia entre y el 6 R: cubo de 4 4. g) El cubo de la diferencia entre el doble de y el triplo del cuadrado de y. R: 4 6 y 8 6 y 54y 7y CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

22 9) Efectúe las siguientes operaciones: a) R: b) R: c) R : 7 6 d) R: e) R: f) 0 4 y y R: y g) 4 6 y : y R: 7 6 y h) a b : 4a b R: 4 a b i) a b : a b R: b 5 54 j) / / 0 R: k),9 0,7,5 R: ,5 0,45 0,075 l) R: 0,75 0,65 6 0) Las sumas que figuran en los ítems a y b del ejercicio 9 se llaman sumas telescópicas. Se pide: escriba la suma telescópica de cuatro binomios si es el minuendo del primer binomio y el resultado de la suma es 0. Verifique su respuesta. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

23 ) Eprese como potencia de eponente fraccionario, o como raíz, según corresponda: 4 ) b R: b a) R: 5 b) R: 5 4 c) b R: d) a R: e) 4 R: 7 64 a a b a 4 ) Efectúe las operaciones: a) R: 0 b) R: ) Racionalice los denominadores: a) R: b) a a R. ( a) a a c) R. 4 d) 0 a b R: 0 a b a b a b f) R: a b a b CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

24 g) 5a a b R: 5a a b a b h) 4 R: i) R: 5 (5 )( 5 ) 4) Señale la epresión correcta: y y y i) ii) iii) y y y y 5) Racionalice el numerador: 7 R. 49 ( )( 7) 6) Racionalice el numerador y simplifique, si es posible: R. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

25 PROBLEMAS ) Albert Einstein determinó que si un cuerpo en reposo de masa viaja a velocidad cercana a la de la luz, su masa aumenta, y si llamamos m a la masa aumentada resulta m m 0 v c donde v es la velocidad del objeto en movimiento y c es la velocidad de la luz. En un acelerador utilizado en un tratamiento terapéutico las partículas viajan a velocidad v = 0,98 c (es decir: 0,98 de la velocidad de la luz). m 0 Encuentre la relación entre la masa m y la masa en reposo. m 0 SOLUCIÓN La velocidad de la luz es v = km/seg. Como se pide la relación entre las masas y conocemos la relación entre las velocidades simplemente podemos sustituir directamente en la fórmula. m m = v 0,98c 0,98 c 0,98 c m m m c c m m m m 0,96 0, 04 0, m 0 RESPUESTA La masa es igual aproimadamente a 5 veces la masa inicial. ) Se espera que la población P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo a t P, donde el tiempo t está medido en años. 5 t 4 a) Simplifique la epresión anterior, racionalizando previamente el denominador. b) Calcule la población de la ciudad dentro de 4 años. c) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que la población sea al menos de habitantes. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

26 ) Un estudio del medio ambiente de una comunidad, sugiere que el nivel promedio diario de smog en el aire será Q 0,5 p 9, 4 0,5 p 9, 4 unidades cuando la población sea p (en miles). a) Racionalice la epresión de Q. b) Determine el valor eacto de la epresión anterior cuando la población sea de habitantes. 4) Algunas veces los pediatras usan la fórmula C SA a fin de calcular una dosis de medicamento apropiada para un niño cuya área superficial es S (en m ) cuando la dosis del adulto es A (en mg). A su vez el área corporal de un niño se calcula con la fórmula S 0,007 W H 0,4 0,7, donde W es el peso del niño (en kg) y H su altura (en m). a) Racionalice la fórmula para calcular C. b) Eprese la fórmula para S utilizando radicales. c) Calcule la dosis para un niño de 9 cm que pesa 8 kg, si para un adulto la dosis es de 50mg (encuentre primeramente el valor eacto y luego el valor aproimado a los milésimos),4 5) La relación longitud-peso de una ballena está dada aproimadamente por W 0,006 L, donde W es el peso en toneladas y L su longitud en pies. Calcule la razón entre los pesos de dos ballenas, si la longitud de una de ellas es el doble de la otra. (Dé el valor eacto, como radical, y el valor aproimado al entero más cercano) RESPUESTAS Problema a) P5 t 4 b) P = c) años Problema 0,5 p 9,4 a) b) 4, Problema 4 SA a) C ; b ) 0,007 W H ; c ) 0,007 W H,, ) 4 4 ; 5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

27 Notación científica La notación científica es una manera concisa para escribir números muy grandes o muy pequeños. Ejemplos: protón es 4 5,98 0 kilogramos es la masa aproimada de la tierra; la masa de un, kilogramos. Un número positivo está escrito en notación científica si tiene la forma a 0 y n es un número entero. a 0 n donde La conversión de la notación científica a la estándar se efectúa de la siguiente manera: Si n es positivo, se corre la coma decimal n lugares hacia la derecha. Si n es negativo, se corre la coma decimal n lugares hacia la izquierda. EJEMPLOS,5 4 0 = 500 7,05 0 = 0,00705 EJERCICIOS ) Escribir en notación científica: a) (, ) (5,7 0 ) b) 4 (,60 )(, 560 ),7 0 8 c) d) 0,05 RESPUESTAS a), b) 8,56 0 c), d),5 0 ) Escribir en notación estándar: a) 9, b) 5,00 0 c), d) 7,6 0 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

28 Uso de la calculadora 6 Al introducir un número en notación científica, por ejemplo,5 0, aparece en la pantalla Al introducir,5 5 0 también.5e5, dependiendo del modelo de calculadora. Si el eponente es negativo, como en,5 luego -5, o también.5e-5., aparece.5 seguido de un espacio y luego 5, o 0 5, aparece.5 seguido de un espacio y EJERCICIOS ) Calcule cada epresión. Escriba la respuesta en notación científica y redondee el resultado usando tres dígitos significativos. a) (, ) (5,7 0 ) R:,87 0 b) 4 (,60 )(, 560 ),7 0 8 R: 8, ) La distancia de la Tierra a la Luna es aproimadamente de metros. Eprese esa distancia como un número entero. Cómo se lee? ) La nanotecnología es un campo de las ciencias aplicadas dedicado al control y manipulación de la materia a una escala menor que un micrómetro (0-6 m). Lo más habitual es que tal manipulación se produzca en un rango entre uno y cien nanómetros. El prefijo nano indica 0-9, un nanómetro equivale a 0-9 metros: a) Eprese la equivalencia n m = 0-9 m sin emplear notación científica. b) Ciertos dispositivos conocidos como nanobots tienen un tamaño de unos 50 nanómetros. Eprese este valor en metros utilizando notación científica. 4) Durante el año 0, Argentina realizó eportaciones a Brasil por un monto aproimado de millones de dólares. Eprese este monto utilizando notación científica. 5) El robot eplorador espacial Curisity de la NASA recorrió 567 millones de km para aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 0 a los 8 meses y 7 días de su partida. Eprese en km la distancia recorrida usando notación científica. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

29 TEMA : RAZONES Y PROPORCIONES. Razón entre dos números DEFINICIÓN Dados dos números a y b distintos de cero, se llama razón al cociente eacto de los mismos. a Se epresa. b EJEMPLOS 4 5 La razón entre y 6 es ; entre -6 y es -; entre y es Proporciones DEFINICIÓN a c Una proporción es la igualdad entre dos razones: b d. a y b son, respectivamente, antecedente y consecuente de la primera razón; c y d, de la segunda. También: a y d son los términos etremos; b y c, los términos medios. EJEMPLO Propiedad fundamental de las proporciones c Sea la proporción b d ; multipliquemos ambos miembros por b d y obtendremos otra a a c igualdad: b d b d. Simplificando: a d c b b d PROPIEDAD En toda proporción, el producto de los términos etremos es igual al producto de los términos medios. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

30 EJERCICIOS ) Calcule el valor de en las proporciones: a) R: b) R: 0, c) R:, 4 0, 4 5 0,5 ) A partir de una proporción, pueden epresarse otras siete proporciones, por ejemplo, a c d c permutando los términos etremos: Si b d, entonces: b a. Deduzca las otras seis. 5 0 ) Dada : 8 6 a) Pruebe que es una proporción. b) Encuentre las otras siete que pueden formarse. a c a b c d a b c d 4) Puede demostrarse que si b d, entonces a c ; b d. la suma de antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente (o consecuente) como la suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente (o consecuente). También se prueban: a b c d a c ; a b c d a b c d ; a b c d b d a b c d a b c d 6 a) Aplique y verifique las propiedades enunciadas en el ejercicio 4, a partir de CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

31 a b b) Si a, b y c son números positivos, y b c, entonces se dice que b es el medio proporcional entre a y c ; también que b es la media geométrica entre a y c. Se tiene b ac b ac. c) Halle la media geométrica entre: 4 y 9; 60 y 5 ; 7 y 4 a c Para dos números positivos cualesquiera a y c, la media aritmética es y la media geométrica es ac. Complete la tabla, consignando la media aritmética y la media geométrica de los números dados. NÚMEROS 9 y 6 y 75 6 y 9 6 y 8 a c ac. Serie de razones iguales DEFINICIÓN Una serie de razones iguales es la igualdad de dos o más razones. PROPIEDAD En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de los antecedentes es a su respectivo consecuente. a c m b d n EJEMPLO Eprese una serie de razones iguales (de cuatro razones) y compruebe la propiedad. La definición de triángulos semejantes es: dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos congruentes y sus lados proporcionales. La proporcionalidad de los lados del triángulo se epresa mediante una serie de razones iguales. a b a b c d m n CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

32 4. Magnitudes Proporcionales El peso de un cuerpo, la longitud, el tiempo, el volumen, la superficie, la velocidad, el trabajo, son magnitudes. De esas magnitudes, podemos dar cantidades. Por ejemplo: de la magnitud tiempo: 4 horas; de la magnitud longitud: 5 centímetros. DEFINICIÓN Dos magnitudes son directamente proporcionales, si a una cantidad de una de ellas corresponde una única de la otra, y si una cantidad de una de ellas se multiplica o divide por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. EJEMPLOS a) La longitud de una cinta y el precio: si 8 m de cinta cuestan $ 4, entonces 40 m= 8 m5 costarán $ 0. b) La longitud de una circunferencia y la longitud del radio. Sabemos que la longitud de la circunferencia está dada por la fórmula L r. Si el radio se multiplica por 6 (por ejemplo), la longitud de la circunferencia será 6L. c) En la fórmula r la constante de proporcionalidad es. Como r es igual al diámetro de la circunferencia, podemos epresar L d, y aquí, es la constante de proporcionalidad entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. DEFINICIÓN Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si a una cantidad de una de ellas corresponde una única de la otra, y si a una cantidad de una de ellas se la multiplica, o divide por un número, la otra queda dividida o multiplicada, respectivamente, por ese mismo número. EJEMPLO km 40 Si un automóvil lleva una velocidad constante de h y tarda 6 horas en recorrer cierta distancia, recorrería esa misma distancia en horas, si la velocidad fuera constante, de. km 80 h CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

33 OBSERVACIÓN: d = v t En el enunciado se considera "constante" a la distancia. Luego, si d es constante, la velocidad es inversamente proporcional al tiempo: d v t y el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad:. d t v EJERCICIOS ) Si y varía directamente con e y = cuando = 4, encuentre y cuando = 49. SOLUCIÓN Por tratarse de magnitudes directamente proporcionales, podemos epresar: y.49 y ) Supóngase que s varía inversamente con respecto al cuadrado de t y que s = cuando t = 9. Encuentre a) la constante de proporcionalidad; b) la fórmula de s en función de t; c) s cuando t = 5, d) t cuando s =. SOLUCIÓN a) s k ; k, k ; la constante es k =.8 = 4 ; t 9 8 b) 4 s t c) s ; s ; d) t ; t ; t ; s t ; t 4,5 4 ) Si y es directamente proporcional a, y sabemos que y 9 cuando, determine y cuando. 4) Se sabe que y es inversamente proporcional a. Cuando es y 8. Encuentre y cuando 5. 5) La pupila del ojo humano es casi circular. Si la intensidad de la luz I que entra es directamente proporcional al área de la pupila, eprese I como función del radio de la CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

34 pupila. Cómo se ve afectada la pupila cuando se duplica la intensidad de la luz? Ayuda: el área de la pupila A = de la pupila: I k r. r ; la intensidad de la luz es directamente proporcional al área DEFINICIÓN Proporcionalidad conjunta: cuando la cantidad variable Q es proporcional al producto de dos o más cantidades variables puede decirse que Q varía conjuntamente con estas cantidades. ) Eprese cada enunciado como una ecuación utilizando k como la constante de proporcionalidad. a) r es directamente proporcional a m e inversamente proporcional a t. b) a es directamente proporcional a b e inversamente proporcional a c. bh. ) La fórmula del área de un triángulo es: A, siendo b la base y h la altura. Eprese con palabras la proporcionalidad que describe la fórmula. Cuál es la constante de proporcionalidad? ) Según la Ley de Gravitación de Newton, la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas m y m queda epresada por F k m m d donde k es una constante y d es la distancia entre las masas. Diga cómo cambia la fuerza F si: a) las masas se duplican y la distancia permanece constante. b) las masas permanecen constantes y la distancia se reduce a la mitad. c) las masas se duplican y la distancia se reduce a la mitad. 4) Sabemos que a es directamente proporcional a b e inversamente proporcional a c. Si a 7,8 cuando b 8, y c, 4 ; encuentre a cuando b 0, 9 y c,. 5) El volumen de la esfera varía directamente con respecto del cubo de su radio de acuerdo 4 V r con la fórmula esfera?. Qué le sucede al volumen cuando se triplica el radio de la CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

35 6) La fuerza destructiva de un auto en un accidente automovilístico se puede describir en forma aproimada, diciendo que F (la fuerza destructiva) varía conjuntamente con respecto del peso del auto W y del cuadrado de la velocidad v del auto. Cómo se afectaría F si: a) se duplica la velocidad del auto? b) se duplica el peso del auto? 7) Utilice la ecuación dada para describir con palabras la forma en que la variable del lado izquierdo de la ecuación varía con respecto a las variables del lado derecho. ( k es una constante). a) S k r h (superficie del cilindro) c) V k r h (volumen del cilindro) b) d) k y z M 0,9 y e) C = r (longitud de la circunferencia) f) h) g) V r h (volumen del cilindro) M 0,4 y z M 0, y z 4.. Problemas de regla de tres simple Los llamados problemas de regla de tres simple, se refieren a magnitudes proporcionales. EJEMPLOS ) Un obrero gana $ 00 por 8 días de trabajo. Cuánto cobraría por 5 días? 8 días... $ 00 5 días... Las magnitudes involucradas son directamente proporcionales. Entonces: entonces 8 días $ 00 5 días 5 días $ 00 $60,70 8 días CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

36 ) En una fábrica, 0 máquinas realizan cierto trabajo en 400 horas. Cuánto tardarían en efectuar ese mismo trabajo 5 máquinas? 0 máquinas horas 5 máquinas... Las magnitudes involucradas son inversamente proporcionales. entonces 0 máq. 5 máq. 400 h 800 horas 0 máq. 400 h 5 máq. 4.. Porcentaje EJEMPLOS ) El siguiente es un problema de proporcionalidad directa: Si un comerciante vende a $ 50 un televisor de $ 4500 de costo. Cuánto gana por cada $ 00 de esa venta? SOLUCIÓN La ganancia por la venta en $ 50 de un televisor de $ 4500 de costo es la diferencia: $70 $ $ 70 $ entonces ; Por cada $ 00 de costo, gana $ 6. Decimos que la ganancia es del 6 % del costo. ) Calcular el 5 % de $ 00. $ $ 5 $ entonces $ 00 $ 5 $ 00 $ 45 ) Justifique que el r % de una cantidad puede hallarse directamente haciendo: r 00 r r de = $6 a) Hallar qué porcentaje es 0 de 0. b) Hallar qué porcentaje es 00 de 50. $ 00 $ 5 $ 00 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

37 4) Por pago en efectivo de una compra, en un supermercado, se efectúa el 5 % de bonificaci6n. Si se hace una compra por un valor de $5,80, cuánto habría que pagar? 5) El día 4 de septiembre del 00 se depositaron $ a plazo fijo, a 0 días, con el % de interés anual. a) Calcular el interés y el importe a cobrar al final del plazo. b) Si al vencimiento se agregaron $0.000 al monto resultante y el total se impone nuevamente a 0 días en las mismas condiciones. Calcule el interés y el capital obtenido al finalizar la operación. R: a) Interés: $59; Importe a cobrar: $ R: b) Interés: $894; Importe a cobrar: $ CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

38 TEMA : POLINOMIOS La epresión algebraica 5 es un polinomio en la variable y coeficientes 5,, -,. Este polinomio tiene cuatro términos: 5,,,. Cada uno de los términos es un monomio. Los números 5,, -, son los coeficientes y los eponentes de la variable son números enteros no negativos. El grado del polinomio es porque es el mayor eponente de la variable. La epresión números enteros no negativos. no es un polinomio porque los eponentes de la variable no son DEFINICIÓN Se llama polinomio en la variable y coeficientes a0, a, a,..., an a la siguiente epresión: n n n P a a a a a n n n 0 Grado de un polinomio Si en el polinomio P es a 0, el número n es el grado de P. n Polinomio ordenado Se dice que un polinomio está ordenado si los términos están escritos de manera que las potencias de la variable figuren ordenadas en forma creciente o decreciente. También se dice que el polinomio está escrito en forma estándar. Está escrito en forma estándar el siguiente polinomio de grado n en la variable : n n a a a a ; con 0 n n 0 a n o bien: n n a0 a an an ; con 0 a n a n es el coeficiente principal. Si el coeficiente principal es el número (uno), se dice que se tiene un polinomio mónico. Los coeficientes pueden ser números reales o complejos. En este curso operaremos con polinomios de coeficientes reales. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

39 Polinomio completo Un polinomio se dice completo si en él figuran todas las potencias de la variable, desde 0 hasta n. En caso contrario se dice incompleto. Completar un polinomio significa escribir, con coeficientes cero, todos los términos que faltan. Ejemplo: Para completar y ordenar el polinomio 5 7 escribimos: Polinomio nulo Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo al que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. El polinomio nulo no tiene grado. Ejemplo: Polinomio constante Un polinomio de grado cero es un polinomio constante. Ejemplo: P 5 Igualdad de polinomios Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes, es decir, de los términos que tienen las mismas potencias de la variable, son iguales entre sí. Ejemplo: Son iguales los polinomios Algunos ejemplos de polinomios de coeficientes reales: y P Q POLINOMIO GRADO ORDENADO COMPLETO Sí No No No 45 0 Sí Sí Sí No Sí No 4 0 Sí No 0 00 no tiene CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

40 . Funciones polinómicas n n Si P a a a a, con a 0 tiene coeficientes reales y n n 0 convenimos en que representa a cualquier número real, el polinomio define una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el codominio es ese mismo conjunto. n EJEMPLO Si P, la correspondencia que define esa fórmula, para algunos valores de, se ilustra en la tabla. P Operaciones con polinomios Los cálculos con polinomios se basan en las propiedades de las operaciones con números reales porque los coeficientes son reales y la variable representa números reales, según hemos convenido. Llamaremos al conjunto de todos los polinomios de coeficiente reales.. Adición 4 Para sumar los polinomios P 4 7 y Q 5 7 se los completa y ordena. Luego conviene escribirlos encolumnados a fin de sumar los términos semejantes n n n n Si P a a a a y Q b b b b. n n 0 n n 0 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 40

41 n n Entonces: P Q a b a b a b a b n n n n 0 0 El grado del polinomio suma no supera al grado del polinomio del sumando de mayor grado. PROPIEDADES ) La suma de dos polinomios de coeficientes reales P y Q es otro polinomio perteneciente también a ese conjunto: (ley de cierre). ) Asociativa: P Q R P Q R ) Conmutativa: P Q Q P 4) Eistencia de elemento neutro: eiste el polinomio nulo, tal que para todo es P 0 0 P P. 5) Eistencia de elemento opuesto: para todo polinomio P distinto del polinomio nulo eiste el polinomio opuesto P tal que P P. Ejemplo: el opuesto de 5 es 5. En efecto: Diferencia o sustracción Para restar dos polinomios, P y Q sumamos a P el opuesto de Q. P es el minuendo y Q es el sustraendo. P Q P Q Ejemplo: 5 5 Sumamos a P() el opuesto de Q(): CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

42 .. Multiplicación Para hallar el producto entre dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la propiedad asociativa de la suma. El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y eponente igual a la suma de los m n m n eponentes de los factores:. a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los factores: gr P Q gr P gr Q EJEMPLOS PROPIEDADES ) El producto de dos polinomios pertenecientes a es otro polinomio perteneciente a ese conjunto. (Ley de cierre). ) Asociativa: P Q R P Q R. ) Conmutativa: P Q Q P. 4) Eistencia de elemento neutro: eiste el polinomio (polinomio identidad) tal que para todo polinomio P se cumple: P P P. 5) Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: P Q R P Q P R. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

43 .4. División Dados dos números enteros, por ejemplo, 5 y 6, eisten dos únicos números enteros, 4 y, 5 6 tales que y 6. La operación es la división 4 5 es el dividendo, 6 es el divisor, 4 es el cociente y es el resto de la división. El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto, y el resto es menor que el divisor. En el caso de la división de dos polinomios, dados dos polinomios P y Q con distinto de cero, eisten dos únicos polinomios C y R tales que P Q C R R 0 P., y el grado de R menor que el grado de Q o bien es el dividendo; Q, el divisor; C el cociente y R, el resto de la división. Para dividir dos polinomios procedemos como en el ejemplo: C 6 7 ; R Pruebe que C().Q () + R() = P() : 6 Q.5. Regla de Ruffini o división sintética Para dividir un polinomio P() por un binomio de la forma a podemos usar la Regla de Ruffini, también llamada división sintética, que eplicaremos mediante un caso particular: la división de un polinomio de cuarto grado por el binomio a. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

44 Se ordena y completa el polinomio dividendo. El cociente será un polinomio de tercer grado y el resto será una constante o bien el número cero: : 0 a a a a a a b b b b R Se disponen los coeficientes del dividendo y el número a como figuran en el esquema. El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. Los siguientes coeficientes y el resto se obtienen, ordenadamente, sumando al coeficiente correspondiente del dividendo, el producto del coeficiente del cociente, obtenido en el paso anterior, por el número a. a a a a a a 4 0 b b b b R 0 b a 4 b a b a b a b a b a b a 0 R a b a 0 0 EJEMPLO ) Divida 4 : 0 0 C ; R. ) Si el divisor es a, hacemos a a. EJEMPLO Divida :. Epresamos: CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 44

45 Cuando el resto es cero se dice que el dividendo es múltiplo del divisor y también que el dividendo es divisible por el divisor. En el ejemplo, el polinomio dado es divisible por porque el resto es cero. Podemos escribir 4 75 : El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente: EJERCICIOS ) Efectúe las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ,5,, 0,9 5 : 4 5 : : RESPUESTAS a) b) c) d) e) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 45

46 f) g) ,6,65,4, R 7 h) C ; 7 C i) ; 59 R 6 C 5 j) ; R 0 EJERCICIOS DE REVISIÓN ) Efectúe las siguientes operaciones: a) ( ) ( 5 6 ) ( 4 8 ) b) ( ) ( 5 5) c) 6 9 d) : ) Halle el polinomio que dividido por 5 da el cociente y el resto. R: a b c d a a b b c d ) Encuentre,, y si: R: a 8 ; b 4 ; c 9 ; d 0 4) Encuentre a, b, c y d tales que a ( ab) ( ac) d = 4 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 46

47 5) Operando con el segundo miembro verifique la forma anidada del polinomio: a) b) c) d) ) Eprese en forma anidada y verifique: a) 4 b) c) 5 d) 5 4 7) Halle el cociente y el resto aplicando la Regla de Ruffini. a) b) 4 5 : 5 4 : : 4 5 c) 4 d) 7 : ; e) 7 : 4 4 f ) 6 : ; g) 6 : h) 6 : ; i) 6 : RESPUESTAS a) C 9 ; R 98 b) C ; R = 0 c) c) C( ) ; R 4 d) C ; R 0 e) C 9; R 0 f) C 9; R 0 g) C 4 8 ; R CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 47

48 h) ; R 0 i) C y y y 4y 8 ; R 0 j) C y y y 4y 8 ; R.6. Divisibilidad de polinomios Si el resto de la división de P por Q es cero se dice que P es divisible por Q. En tal caso, Q es divisor de P. 4 En el ejercicio 6-h se ha probado que t 6 es divisible por t ; en consecuencia, 4 podemos decir que t es divisor de t 6. 8) Determine si la primera epresión es divisor de la segunda. a) ; b) 5 ; c) ; Divisibilidad de una suma o una diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o la diferencia de las bases Los ejercicios 6- ítems e, f, g, h, i, j proponen la división de una suma o de una diferencia de dos potencias de igual grado (de igual eponente) por la suma o por la diferencia de las bases. El resto resultó cero en d, e, g, h. Generalizando podemos establecer las siguientes conclusiones: EJERCICIO Verifique: n n a es divisible por a si n es impar. n n a nunca es divisible por a. n n a es divisible por a si n es par. n n a siempre es divisible por a, sea n par oimpar. ( a ):( a) a a a 4 4 ( a ):( a) a a a 4 4 ( a ):( a) a a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 48

49 .5.. Valor de un polinomio P() para = a Si en el polinomio P reemplazamos la variable por un número real a, obtendremos como resultado un número real que llamaremos valor de P() para a. EJEMPLOS Si, P Si 4, Si, DEFINICIÓN P P El valor de un polinomio P para a es el número que resulta de reemplazar la variable por el número a. Si el polinomio tiene coeficientes reales y a es un número real, el valor obtenido será real; si a es un número complejo, el valor obtenido será complejo. EJERCICIOS 4 ) Halle el valor de P para 6. Observación: Puede epresarse P en forma anidada para facilitar el cálculo: P Sustituimos por 6 y el cálculo se realiza en forma sencilla. Si usamos la calculadora se oprimen las teclas indicadas: P P P 59 Encuentre el valor de P para ; y. R: ; 44 ; P( ) 6 ) Eprese el polinomio en forma anidada y encuentre su valor para CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 49

50 .6. Teorema del resto Si dividimos un polinomio P por un binomio de la forma a, obtendremos un cociente y un resto tales que P a C R. El resto R tendrá grado cero o será el número cero. Si reemplazamos por a, es decir, obtendremos el valor del polinomio para a. Hemos demostrado el teorema del resto o del residuo que puede enunciarse: El resto de la división de un polinomio a es igual al valor del polinomio para a. Otra forma de enunciar este teorema es: de grado mayor o igual que uno por un binomio El valor de un polinomio P para a es igual al resto de la división de P por ( a). C R P a a ac a R P a 0 P R Luego P a R. EJEMPLO El valor de P 5 4 para es igual al resto de la división de P() por. En efecto: P Calculemos el cociente y el resto usando división sintética: El resto es igual a 0(cero) y coincide con el valor hallado: RP() 0. En este ejemplo el resto de la división es cero. Se dice entonces que y podemos escribir: P es divisible por CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 50

51 Hemos epresado el polinomio dado como el producto de dos factores. Uno de ellos, el binomio para., queda perfectamente identificado al comprobar que el polinomio se anula.7. Teorema del factor A partir del teorema del resto podemos demostrar el teorema del factor, el cual puede enunciarse de las siguientes formas: Un polinomio P() es divisible por ( a) si y sólo si se anula para = a y también ( a) es un factor de P() si y sólo si P(a) = 0. EJERCICIOS ) Demuestre que a es un factor de P y factorice P. 6 4 a) P ; b) P 0 ; 5 4 c) P 4 ; ) a) Demuestre que b es factor de los binomios: b ; b ; b ; b. b) Encuentre el cociente correspondiente mediante la Regla de Ruffini ) Demuestre que a es factor de a y también de a. Eprese estos polinomios como producto..7.. Ceros de un polinomio Si P es un polinomio y para a es 0 ; entonces es un cero de P. El cálculo de los ceros o raíces de un polinomio es de gran utilidad en Matemática. EJEMPLO Si P y hacemos resulta P 0; si, es P 0. Decimos entonces que y son ceros de P. P a a Por el teorema del resto sabemos que P a es igual al resto de la división de P por ( a). Luego, si a es un cero del polinomio, a es un factor del polinomio. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

52 Si dividimos el polinomio P por ( ) el cociente será ( + ) y el resto será 0 (cero). Podrá epresarse P ( ) EJERCICIOS ) Analice los polinomios y diga cuál es el grado y cuáles son los ceros. a) b) ) Eprese el polinomio mónico a de cuarto grado cuyos ceros son ; ; - y -4. n ) Indique los ceros de los siguientes polinomios sin efectuar cálculos: a) b) 4-5 c) ) Indique por cuál binomio es divisible: A RESPUESTAS 5 D 4 8 B a 5 5 E 9 4a 4 C 8a F y a ) a) grado ; ceros:, -, -7 b) grado 4; ceros:, 9,, ( es raíz doble) ) ( + ) ( ) ( + ) ( + 4) = , 5,,, 4 ) a) 0, -4,, - ; b) ; c) 4 5 (raíz doble ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

53 4) A por ( + ) ; B por (a - ) ; C por ( a ) ; D por ( 9) y ( + 9) 4 E por ( + a ) y ( - a ) ; F por ( y a ) y 4 ( y a ). Cuadrado de un binomio El cuadrado de a b es a b a b a b a ab b. a b a b a b a ab b. REGLAS El cuadrado de a bes igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo. El cuadrado de abes igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. Por resultado se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. EJEMPLOS a) 5y..5y 5y 9 0y 5y b) c) y y 4y y 4y 4 4 a a a Cubo de un binomio a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a b a b a ab b a b a a b ab b REGLA El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más (o menos) el cubo del segundo. El resultado es un cuatrinomio cubo perfecto. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

54 EJEMPLOS a) b) c) y y.y y 8 y 6y y a a a.a 7a 7a 9a a a. a a 8 a 6 a a Producto de dos binomios conjugados a ba b a ab ba b a b REGLA El producto a b a b es igual a la diferencia de cuadrados a b. EJEMPLOS a) b) a a a a 4 6 EJERCICIOS ) Efectúe las siguientes operaciones: a) c) b) d) a a a 6. Factorización de epresiones algebraicas Factorizar una epresión algebraica significa transformarla en el producto de dos o más factores. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 54

55 6.. Algunos casos de factoreo 6... Factor común Dada la epresión algebraica 5 y 6 y se busca el máimo común divisor: y. Se divide cada término por ese factor común y se epresa el producto: y y y y. Para comprobar que la factorización es correcta, se aplica la propiedad distributiva en el segundo miembro. EJERCICIO Transforme en producto: 4a 7y a 4 a) 6a 4 a b) a 9a a c) 6... Factorización por agrupamiento Ejemplo: a ay by b Asociamos los términos que tengan factores comunes: a b ay by. Se etrae el factor común de cada paréntesis caso anterior: a b y a b y a b y finalmente se aplica el Observación: en este ejemplo también puede agruparse como sigue: a ay by b a ay by b a y b y y a b EJERCICIO Transforme en producto: a) y y 6 b) 6ab b a c) 5 9y 5 y 9y 6... Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza epresándolo como el cuadrado de un binomio. a ab b a b CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 55

56 EJEMPLOS a) b) c) d) y 4y y y y Cuatrinomio cubo perfecto Se factoriza epresándolo como el cubo de un binomio. ; a a bab b a b a a b ab b a b EJEMPLOS a) b) 6 y y 8y y a a a a Diferencia de cuadrados Se factoriza epresando la diferencia de los cuadrados como el producto de la suma por la diferencia de las bases. EJEMPLOS a) a a a b) c) d) m m m 4 4 a a a a 4 a a a a a Suma o diferencia de potencias de igual grado Se factoriza teniendo en cuenta las condiciones de divisibilidad estudiadas. EJEMPLOS a) b) a a a a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 56

57 c) Observación: cuando el binomio factor es ( + a) los signos del otro factor son alternados, siendo el primero positivo. Cuando el binomio factor es ( - a) los términos del otro factor son positivos. EJERCICIOS ) Encuentre el cuadrado y el cubo de los binomios: a) a b b) a b a 5 c) 5 d) e) 5 f) a ) Calcule: a) RESPUESTAS a) ab a b m b) c) m d) b) a b a b a b m 5m c) m m d) 8 a 6 8 ) Factorice los siguientes polinomios: 4 6 a a) 6a 9ab ac b) y y 9 y c) 4 e) m p 4m 6p f) a b ay 5a by 5b g) 44aa h) aa m) o) 4 6 i) a a j) y y y n) q) a r) d) 4 5 y y y a a a a a k) 4 l) 7 a y b 6 4 p) y CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 57

58 s) y yz z t) 6 a 4 a 9 4 RESPUESTAS a) a a b c b) c) e) m p f) g) a h) i) a j) m) y y o) a a a a q) a a r) s) 4 y y 9 y 5 7 y y y d) 4 a b 5 y a 6 a k) l) y 4 4) Encuentre el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios a) P a ab ; Q b b ; n) p) t) a y 6 y 6 9 y z S b a a 4 4 b) P a a b b ; Q a 9a b 9b 4 4 RESPUESTAS a) b a b b b b b) a b ;a b a b ( ) a b CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 58

59 5) La forma totalmente factorizada de 9 y 9 y y es: a) b) 9 y y y y c) y y d) y y y e) ninguna de las anteriores 6) Cuál es la forma totalmente factorizada de la epresión ( ) 4 ( ) 4 ( )? a) b) c) ( )( 4) ( )( ) d) ( ) e) ninguna de las anteriores 7) Una caja tiene las siguientes dimensiones: largo, ancho y alto 5. Eprese el volumen en función de. R: V 5 8) Halle el perímetro y la superficie de un cantero circular que tiene,0 m de diámetro. (la longitud de una circunferencia = r; la superficie de un círculo = r ) 9) Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo producto y necesita diseñar el packaging. Para ello ha pensado en dos opciones: un prisma y un cubo. El ancho de ambos deberá ser el mismo pero el prisma tendrá el triple de profundidad y 4 cm menos de altura. Encuentre las medidas y el volumen de cada caja. SOLUCIÓN Llamemos a la arista del cubo. El volumen del cubo es igual al área de la base multiplicada por la altura: Volumen del cubo = (área base) (altura) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 59

60 Volumen del cubo = (.). = La base del prisma será un rectángulo, uno de los lados tendrá cm; el otro lado tendrá. cm (la profundidad) y la altura será de ( 4) cm. Volumen del prisma = (área base). altura; V = (. )( 4) Volumen del prisma=..( -4)= - Igualando los volúmenes: - = - = 0; - = 0 Para resolver la ecuación podemos factorizar el primer miembro: ( 6) 0 Las soluciones son 0 y 6. La primera solución no conviene al problema, entonces la única solución es = 6 El nuevo packaging podrá ser un cubo de 6 cm de arista o un prisma de base rectangular de dimensiones: VERIFICACIÓN ancho= 6 cm,; profundidad =. 6 cm= 8 cm y altura= 6 cm cm = cm. V cubo= (6 cm) 6 cm ; V prisma = (6 cm)(8 cm)(cm) = 6 cm. 0) Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo cilíndrico y se deberá elegir entre dos recipientes que poseen esta característica y tienen la misma capacidad. El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor. Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen. Volumen cilindro = (área base). altura = π.r.h SOLUCIÓN Si la altura del cilindro A es igual al radio y el radio del cilindro B es el doble del radio de A y su altura es 6 cm menor podemos epresar: Volumen A = π. r.r = π. r Volumen B = π.(r).(r -6) = π [4r.(r 6)] = 4 r ( r 6) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 60

61 Como los volúmenes son iguales: r r r 4 ( 6) Dividimos ambos miembros por r 4( r 6) ; r4r 4 ; r y se obtiene una ecuación de primer grado: 4 r 4 r = 0 ; r 4 =0; r = 4; r = 4 8 El radio del cilindro A es de 8 cm y la altura es también de 8 cm. El radio del cilindro B = r =. 8 cm = 6 cm La altura del cilindro B = r 6cm = 8 cm 6 cm = cm Volumen A = π.r =,4. (8cm) = 607,68 cm Volumen cilindro B = π.(4r 4r ) =,4.[4.(8 cm) - 4.(8 cm) = 607,68 cm Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. b a Si los catetos de un triángulo son a y b y la hipotenusa es c el teorema de Pitágoras demuestra que a b c c c c b a c a b Una demostración del teorema Construimos un cuadrado de lados área es: ( a b) a ab b. Su () y trazamos ab a b los segmentos necesarios para que queden determinados cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b. El área de cada triángulo es A = ab. El cuadrilátero interior es un cuadrado de lado c y área A c. El área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos más el área del cuadrado de lado c. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

62 ab ( a b) 4 c ; Reemplazamos el primer miembro por el segundo miembro de (): a abb abc ; despejamos c a abb ab c a b ; Luego la hipotenusa es c a b EJERCICIOS ) Las longitudes de los lados de un triángulo son 5 cm, 4 cm y 0 cm. Es un triángulo rectángulo? ) Una plaza es un cuadrado de 4400 metros cuadrados. Cuál es la longitud de la diagonal? CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

63 TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS DEFINICIÓN Q Si P y Q () son dos polinomios, y Q es distinto de cero, la epresión se llama epresión racional fraccionaria. P EJEMPLO 5 4 es una epresión racional fraccionaria, válida (o que tiene sentido) para todo sea un número real, ecepto para 4, porque en este caso el denominador se anula. que. Cero o raíz de una epresión racional fraccionaria DEFINICIÓN Un número real es cero o raíz de una epresión racional fraccionaria, si esa epresión tiene sentido para, y se anula para. Esto significa que al reemplazar la variable por el número el denominador debe ser distinto de cero y el numerador debe anularse. EJEMPLOS a) es cero de 4 porque la epresión tiene sentido para pues y se anula para : b) La fracción puede escribirse. Esta epresión es equivalente a la dada. El denominador se anula para 0 y para. En consecuencia la epresión tiene sentido para todo número real, ecepto para 0 y. Observamos que el factor CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

64 figura en el numerador y en el denominador. Podemos simplificar la epresión dividiendo ambos por dicho factor y tendremos: con y 0. La división efectuada es válida para. El único cero o raíz de la epresión fraccionaria es EJERCICIOS ) Indique para qué valores de la variable son válidas las siguientes epresiones algebraicas: a) b) 7 5 c) d) 4 e) 5 RESPUESTAS a) Para todo tal que b) Para todo tal que c) Para todo tal que y d) Para todo tal que 0 e) Para todo tal que 5 y 5. ) Factorice y simplifique las siguientes epresiones, indicando las condiciones que deben cumplirse para que la simplificación sea válida: 5 5 a a b a) b) a ab 6 c) d) 6 6 e) 86 f) 4 9a 8 a 8 a ay b by 8 g) a ab b h) 88 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 64

65 RESPUESTAS a) 5, si a b) b, si b y b 6 c), si y 0 d) 66, si 6 e) si 4 y g) a b, a ) Señale la respuesta correcta y justifique: a a f), si, 4 b h), si 4a 4a a a) Para todo b) Si c) Si 4a a a a d) Si a o a e) Si a y a 8 4 a) Para todo b) Si c) Si 8 d) Si e) Si y 4) Operando sólo con el primer miembro verifique: 4 5 ; si ; si ; si CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 65

66 . Operaciones con epresiones racionales fraccionarias Las reglas son las mismas que para las operaciones con números racionales.. Adición y sustracción. Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los numeradores y se conserva el denominador común. EJEMPLOS a) ; 46 5 b) En este ejemplo se puede multiplicar por (-) el numerador y el denominador del segundo sumando para obtener una epresión equivalente con denominadores iguales: (5 ) ( ) = = =, y también ; Si los denominadores no son iguales, se reducen a mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores, como en el caso de la suma de fracciones: EJEMPLO 6 4 Buscamos el mínimo común denominador que es el mín. múltiplo común de los denominadores. fracciones numéricas. 4 ( ) y procedemos como en una suma de CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 66

67 6 ( )( ) ( )( ) ( 6) 4 = ( )( ) ; y = ( ) 6 ( )( ) = = = 6 ( )( ) 6 ( )( ) ( ) ( )( ) = ( ) ; ;.. Multiplicación Se factorizan los numeradores y los denominadores de las epresiones fraccionarias y si es posible se simplifica. EJEMPLOS 4... a) = = ; ; 0; ( ) b) = = ( ) ; ; 0; ;.. División Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. EJEMPLOS a) : = 5 5 ( 5)( 5). 5 ( ) 5 = ; 5; 0; ; 5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 67

68 b) 4 4 ( ) :. ( ) ( ) =. ( ) =, EJERCICIOS ) Sume y, si es posible, simplifique el resultado: 5 a) R: 5 b) a a 4a R: c) R: d) a b f) a b b a R: R: 7 0 a a 4 a a 8a 4a e) a a 4a R: a a a b b 4 b b g) R: a a 4 4a ) Verifique: a a 6a 6 4 7b 6 ) Diga si el resultado de a b a a b a b a b b a b a b es alguna de las siguientes fracciones: a b b b a b b a b CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 68

69 4) Multiplique: a) R: b) R: 6a c) 0a R: 0 5 d) ab a b a b a b ab R: ab a b e) 4 4 R: f) R: a g) a a a R: a a 5) Divida: a) 4 : R: b) a a : a a R: a a c) : R: d) : a a a R: CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 69

70 6) Señale con una X la respuesta correcta: 44 : a) b) c) d) ninguna de las anteriores ( ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 70

71 TEMA 5: ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son ecuaciones de primer grado las que pueden epresarse en la forma a 0. Para hallar la única raíz hacemos: a b 0 con EJEMPLOS a) a b 5 0, b a SOLUCIÓN Despejamos : 5. Luego Verificación: b) 6 9 SOLUCIÓN 9 6 (Verifique) 5 Observaciones: si se tiene la ecuación, para resolver hacemos: 0 Esto es un absurdo, pues para cualquier número, es 0 0. Se dice, entonces, que la ecuación no tiene solución. c) Dada: 4 5, hacemos: Esta igualdad se verifica para todo valor de. Se dice que la dada es una identidad. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

72 EJERCICIOS ) Sin resolver la ecuación, determine cuáles de los números que se dan son soluciones de la ecuación correspondiente. los números los números de de R: de 0; ; los números 5 R: todos los números 0; ; de 5 R: ninguno ) Resuelva y verifique: RESPUESTAS: a) b) 9 c) 4 d) 5 e) 9 f) 9 a) 4 b) d) e) c) No tiene solución ) Resuelva los siguientes problemas. Plantee, para hacerlo, una ecuación de primer grado en una variable. a) La suma de tres números impares consecutivos es 8. Cuáles son esos números? R: 5, 7, 9 b) Encuentre cuatro números consecutivos, tales que el primero más el cuádruplo del tercero, menos el doble del cuarto, sea igual a 95. R:,,, 4 c) En el triángulo ABC, A tiene 54º y B supera a C en º. Encuentre el valor de B y C. 4 ; ; ; ; 5 R: B 74º 0' ; C 5º 0'. 4 8 R: f) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

73 d) Si a un número se lo multiplica por 5 y se le suma 4, se obtiene el mismo resultado que si a ese número se le resta 9 0. Cuál es el número? R: e) Encuentre el número por el cual se debe dividir 8 para que el cociente sea y el resto 9. R: f) El perímetro de un rectángulo es de 8 cm. El largo supera al ancho en cm. Calcule las dimensiones del rectángulo. R: largo 85 cm ; ancho 74 cm g) El perímetro de un triángulo isósceles es de,57 m. Los lados iguales superan a la base en 8 cm. Calcule el valor de cada lado. R: base 67 cm ; lados 95 cm h) Un artículo cuyo valor actual es de $, tuvo dos aumentos de precio; el primero del % y el segundo del 5 %. Encuentre el valor original. R: $50 i) Se reparten $.500 entre tres personas. La segunda recibe el doble de la primera y la tercera un cuarto de lo que reciben las otras dos juntas. Cuánto recibe cada una? R: $ 6.000, $.000 y $ respectivamente. 4) Resuelva y verifique su respuesta: a) Se tienen dos calidades de leche: la entera y la descremada. La leche entera tiene 700 calorías por litro y la descremada 0 calorías por litro. Qué cantidad de cada leche se debe mezclar para obtener un litro de leche semidescremada con 400 calorías por litro? R: 0,7 litro de leche descremada y 0, litros de leche entera b) Un alumno compró tres libros. El primero le costó $ 75, el segundo $89. Si en total pagó $ 476, cuál es el costo del tercer libro? R: $ c) Se tiene cierta cantidad de dinero. Con ella se compró una silla, gastando el 0% del mismo, luego se compró un tablero, gastando /5 del dinero que quedó. Al final quedan $ 5. De cuánto dinero se disponía al principio? R: $ 800 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

74 d) El perímetro de un campo rectangular es de.0 m. Si uno de los lados mide 50 m más que el otro, cuánto mide cada lado? R: lado menor: 0 m ; lado mayor 80 m e) Marcelo tiene el doble de la edad de Matías y Pablo tiene el triple de la edad de Marcelo. La suma de las edades de los tres es de 08 años. Determinar la edad de cada uno. R: Matías años, Marcelo 4 años y Pablo 7 años. f) Por dos insumos informáticos se pagó $ 050. El primer insumo costó $.450 más que el segundo. Cuánto costó cada insumo? R: Primer insumo: $ 750 ; segundo insumo: $ 00 g) Se realizaron tres análisis clínicos a un señor. En el primero los hematíes fueron /ul ; en el segundo /ul ; y perdió el el resultado del tercer análisis. Sabe que el promedio de los tres análisis fue de hematíes /ul. Cuál fue el resultado del tercer análisis? R: hematíes/ ul h) El perímetro de un triángulo es de 09 cm. Uno de sus lados mide 0 cm. más que cada uno de los otros dos. Cuánto mide cada lado? R: lados iguales: 6 cm.; lado mayor: 8 cm. i) La Facultad compró tres microscopios. Por el segundo pagó.500 dólares más que por el primero, y por el tercero.000 dólares más que por el segundo. En total pagó dólares. Cuánto pagó por cada microscopio? R: º) dólares ; º) dólares ; º) dólares CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 74

75 TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma a b y c a b y c Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de e y que satisfacen ambas ecuaciones. Dichos valores son las soluciones del sistema de ecuaciones. Eplicaremos mediante ejemplos algunos de los procedimientos usados para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.. Método de sustitución y y 4 Despejamos en la segunda ecuación: = y 4 () Reemplazamos en la primera ecuación: (y 4) y = - 6y 8 y = - 5y = 5 y = 5 Sustituimos este valor en () =.5 4 ; = La solución es = ; y = 5 Verificación: Para verificar se reemplazan los valores obtenidos en las dos ecuaciones, operando independientemente en cada miembro de la respectiva ecuación. y =. 5 = - y =.5 = -4. Método de reducción o de eliminación por sumas o restas y y 4 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 75

76 Para eliminar multiplicamos la segunda ecuación por y sumamos las dos ecuaciones. y 6y 8 5y = 5 Luego y = 5 Reemplazamos el valor hallado en una de las ecuaciones del sistema original para encontrar :.5 = -4 ; = ; = La solución es: = ; y = 5. Resuelto el sistema, conviene siempre efectuar la verificación. Sistemas consistentes e inconsistentes Apliquemos el método de eliminación por sumas o restas para resolver el sistema 5y 0 6y4 Multiplicamos la primera ecuación por (-) 0 6y 4 0 6y4 Sumamos miembro a miembro y tenemos: 0 = 8 Este absurdo significa que el sistema no tiene solución. Decimos que es inconsistente o incompatible. Sistemas determinados e indeterminados Resolvemos el sistema por el método de eliminación: y 4 6y 6y 6y 6y 00 ; sumamos: Concluimos que las dos ecuaciones son equivalentes. El sistema es consistente e indeterminado: tiene infinitas soluciones que se encuentran dando un valor arbitrario a una de las variables y hallando el correspondiente de la otra. 6y 6y y ; 6 ; ; y El conjunto de todas las soluciones se epresa: en este caso, se dan valores reales a y se obtienen los correspondientes de y. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 76

77 Cuando la solución consiste en un único valor para cada una de las incógnitas, como ocurrió en el caso del primer sistema resuelto, se dice determinado. EJERCICIOS ) Resuelva por el método de sustitución: 4 5y 0 y 4 0 a) b) y y9 y y 9 5 y c) 4 5 8y 7 d) y 5 8y 8 e) Ayuda para la resolución del ejercicio f: f) 5 y y Pueden efectuarse las sustituciones: t ; u, obteniéndose el sistema y 5 tu 9 4t 6u Se encuentra: t ; u y la solución es = ; y = 9 9 RESPUESTAS a) ; y b) 4 ; y c) ; e) 4 ; y 4 y d) ; y f) ; y 9 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 77

78 ) Resuelva los sistemas usando el método de reducción por sumas o restas. y a) b) y9 y c) d) 4y5 4y 8 e) f) 95y 5 5y 0 6y4 y0 4y 40 45y0 y 40 g) 4y5 6y h) 4 y 5 4 y 4 y 5 5 j) y 0 i) 5 5 y 5 4y k) l) 0,0,y 0,75 0,4 4y, y 4 y RESPUESTAS a) ; y 4 b) Sistema indeterminado (Infinitas soluciones) c) ; 5 e) ; 7 y y 4 g) Sistema inconsistente d) ; y 0 f) ; y h) ; y CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 78

79 ) Señale la respuesta correcta: = -, y = es la solución del sistema: y5 a) 4 y 5 y0 b) y 8 4 y4 7 c) y y 5 4 d) y e) de ninguno de las anteriores y50 4) La solución del sistema de ecuaciones es: 0 y 7 0 a = ; y = 4 b) = - 4 ; y = c) = 6 ; y = d) = 4 ; y = e) ninguna de las anteriores 5) Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y sólo si tienen la misma solución. y El sistema y es equivalente a: y6 y a) y y b) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 79

80 y5 c) y5 y7 d) y 7 e) de ninguno de las anteriores 6) Plantee los problemas siguientes mediante sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resuelva y verifique las soluciones. EJEMPLO Encuentre la fracción tal que sumando 9 al numerador y denominador se obtiene, y multiplicando por 0 al numerador y por 4 al denominador se obtiene 6. SOLUCIÓN La fracción que se busca será y, tal que 9 y 0 6 4y Operando convenientemente se obtiene el sistema equivalente: y 0 4y0 5 La solución del sistema es: = ; y = 5. La fracción que se busca es: (Efectúe la resolución del sistema y verifique la respuesta) PROBLEMAS a) Encuentre dos números tales que su suma sea -56 y su diferencia 06. R: 5 y (-8) b) Dos números son tales que su suma es 40, el cociente y el resto de la división entre los mismos son, respectivamente, y 8. Cuáles son esos números? R: 89 y 5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 80

81 c) Encuentre los valores que deben tomar b y c en la ecuación by c, para que se 6 y verifique simultáneamente para, y ; y para, 5. R: b = -5 y c = -9 d) El valor de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo supera al doble del otro en 0º. Cuál es el valor de los ángulos agudos? Verifique su respuesta. e) Un equipo de básquetbol anotó 08 puntos en un partido. Anotaron veces y media más canastas que tiros libres. Cuántas canastas y cuántos tiros libres hicieron? Cuántos puntos anotaron de cada uno? (Las canastas valen puntos, los tiros libres punto y no hubo canastas de tres puntos) R: 45 canastas y 8 tiros libres. 90 puntos por canastas y 8 por tiros libres. f) En un teatro cobran $0 la entrada de los adultos y $ la de los niños. Un día, abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 56. Cuántas entradas vendieron para adultos y para niños? R: 58 niños y 46 adultos. g) Encuentre dos números tales que su suma sea 06 y su diferencia 56. R: 8 y 5 h) Dos números son tales que su suma es 40, el cociente y el resto de la división entre los mismos son, respectivamente, y 8. Cuáles son esos números? R: 89 y 5 i) Encuentre los valores que deben tomar b y c en la ecuación verifique simultáneamente para R: b = -5 ; c = -9 y, ; y para by c, para que se 6 y, 5. j) El valor de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo supera al doble del otro en 0º. Cuál es el valor de los ángulos agudos? k) En un teatro cobran $ 0 la entrada de los adultos y $ la de los niños. Un día abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $.56. Cuántas entradas vendieron para adultos y para niños? R: 58 entradas para niños y 46 para adultos. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

82 l) En un corral hay un cierto número de conejos y patos. En total hay 94 patas y 6 animales. Cuántos conejos y patos hay? R: 5 patos y 6 conejos m) Un productor agropecuario vendió soja a 7 dólares el quintal y maíz a dólares el quintal. En total vendió 00 quintales y recibió 4.96 dólares. Cuántos quintales de soja y de maíz vendió? R: 4 quintales de soja y 86 quintales de maíz n) Se compraron dos productos de diferente costo por un total de $ 50. El costo del mayor menos cuatro veces el costo del menor es de $ 0. Cuál es el costo de cada producto? R: mayor: $ 40 ; menor: $ 00 o) Un empresario compró tres autos y dos camionetas en dólares. Luego realizó una segunda compra de cinco autos y una camioneta, de los mismos modelos que los anteriores en dólares. Cuánto pagó por cada auto y por cada camioneta? R: auto:.000 dólares; camioneta:.000 dólares p) En el comedor de la Facultad hay 5 mesas y 0 sillas. Hay mesas con 6 sillas y otras con 4 sillas. Cuántas mesas de cada tipo hay? R: 0 mesas con 6 sillas y 5 con 4 sillas. q) Un productor sembró trigo y lino. En total sembró 00 Ha., siendo la cantidad de hectáreas de trigo un 50% más que las de lino. Cuántas Ha. sembró con cada cereal? R: trigo: 60 Ha. ; lino: 40 Ha. r) Un comerciante vendió equipos de soldaduras a $.700 c/u y sierras a $.800 c/u. En total vendió 85 equipos, recibiendo $ Cuántas soldaduras y sierras vendió? R: soldaduras: 60 ; sierras: 5 s) En un garage hay motos y autos. Las motos con dos ruedas y los autos con cuatro. En total hay 80 vehículos y 74 ruedas. Cuántas motos y autos hay en el garage? R: motos: ; autos: 57 t) En un análisis clínico la suma de los linfocitos y los monocitos es de 6% y la diferencia de linfocitos menos monocitos es de 6%. Cuál es el porcentaje de linfocitos y de monocitos en el análisis? R: linfocitos: 49% ; monocitos: % CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

83 u) Una placa radiográfica rectangular tiene un perímetro de 56 cm. y su largo es 6 cm. más que su ancho. Cuáles son las dimensiones de la placa? R: largo: 4 cm. ; ancho 6 cm. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

84 TEMA 7: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE. Definición Si a un polinomio de segundo grado lo igualamos a cero obtenemos una ecuación de segundo grado. Los ceros o raíces del polinomio son las raíces de la ecuación. EJEMPLO Si P 4, los ceros son - y -. Si escribimos 4 0 tenemos una ecuación de segundo grado y sus raíces son - y -. Las ecuaciones de segundo grado en una variable son las que pueden epresarse en la forma a b c 0, con a 0 Un polinomio de grado n tiene n ceros. Una ecuación polinómica de grado n tiene n raíces; si el grado de la ecuación es dos, tendrá dos raíces que podrán ser iguales o diferentes. Polinomio de segundo grado: Ecuación de segundo grado: P a b c a ( ), 0; a b c a 0 ; 0. Cálculo de las raíces de ecuaciones incompletas.. Ecuación incompleta de la forma a 0. a 0 Como a 0, debe ser 0. Luego 0. Ejemplo: 0 La solución es: 0... Ecuación incompleta de la forma a c 0. a 0 c c a c ; ; Hacemos a a Ejemplo: : 9 9 Despejamos : ;. ; y 4 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 84

85 .. Ecuación incompleta de la forma a b 0. 0 Factorizamos: a b. Si un producto es cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Una de las soluciones es 0 ; la otra se encuentra anulando el segundo factor: a, despejamos y b tenemos. a Ejemplo: 5 0; etraemos el factor común: 5 0 Una solución es 0 y la otra: 5 0 5,entonces 5. Cálculo de las raíces de ecuaciones completas de segundo grado.. Ecuación completa: a b c 0 ( a, b y c son distintos de cero). Dada una ecuación, se obtienen ecuaciones equivalentes efectuando las siguientes operaciones: a) Multiplicando ambos miembros por un número distinto de cero. b) Sumando un mismo número en ambos miembros. c) Sumando y restando un mismo número en uno de los miembros. Las ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones. Para deducir la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado usaremos los recursos que hemos formulado. Hacemos: a b c y multiplicamos ambos miembros por, a 0 : b c a a a Sumamos a ambos miembros b 4a a fin de obtener en el primer miembro un trinomio cuadrado perfecto: b b c b a 4a a 4a b 4ac b a 4a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 85

86 Etraemos raíz cuadrada: b b 4ac a 4a b b 4ac a 4a Despejamos : b b 4ac a a b b 4ac Las raíces son: ; a b b 4ac a 4. Discriminante de la ecuación La epresión b 4ac es el discriminante de la ecuación. Si el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales o coincidentes: Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, y si es menor que cero, la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas. EJEMPLO b a Resuelva la ecuación y verifique su respuesta: 0 SOLUCIÓN b b 4ac a Las raíces son números reales. ACTIVIDAD 9 8 ; ; ;. 4 4 Demuestre que las raíces de una ecuación completa reducida de la forma b c 0 b b (donde a = ) pueden obtenerse mediante la fórmula c. 4 Ayuda: puede hacer a = y usar la fórmula deducida anteriormente para resolver a b c 0) EJEMPLOS a) Resuelva 40 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 86

87 SOLUCIÓN b b c 4 Reemplazando: 4 ; Las raíces son números irracionales: ; b) Resuelva: y 6y0 SOLUCIÓN b b y c ; y 9 ; y 4 y i ; y i Las raíces son números complejos conjugados. 5. Ecuaciones fraccionarias que pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática EJEMPLO Se trata de resolver la ecuación 7, con ; Podemos reducir a común denominador: ( )( ) ( ) 7 ( )( ) ( )( ) Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros por el denominador común: Efectuando las operaciones en el numerador del primer miembro, se tiene: Resolviendo la ecuación se obtiene: dada. Por qué? ; 5 esta última no es raíz de la ecuación CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 87

88 Observación: Este método de resolución de ecuaciones fraccionarias puede conducir a la obtención de raíces que no satisfacen la ecuación original, llamadas raíces etrañas, debido a que se multiplican ambos miembros por una epresión variable, en el ejemplo por ( - ) ( + ). Siempre que se multiplique la ecuación por una epresión variable, es necesario verificar las soluciones en la ecuación original para desechar las posibles raíces etrañas. 5 Verificación: Para 5, en el primer miembro se llega a ( ) y en el segundo también 5 a (- ) El valor hallado es raíz de la ecuación original. Si verificamos en la ecuación original haciendo =, en el primer miembro se llega a 5 0 y en el segundo a 0. 0 Esas epresiones carecen de sentido: el cociente por cero no está definido. Por simple inspección en la ecuación original se advierte que = no es solución, y puede desecharse sin efectuar cálculos. EJERCICIOS ) Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique sus soluciones: a) b) c) d) 80 e) 9 5 f) g) 4 0 h) 4 i) 0 0 j) 6 0 k) l) 7 4 m) n) ñ) o) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 88

89 RESPUESTAS a) d) 0, 8 e) 0, 4, f) g) j) 5 5, c) i, i, b) 5 5 h) ; i, i , k), m) ; n) ( no es raíz por qué?) ñ) ; i), 0 l) 5 ( no es solución porque se anula el denominador) o) 0 ) Resuelva: a) 4 0 b) 40 c) d) 0 e) RESPUESTAS a) b) i c) 5 d) i e) 4 f) ; f) Factorización de una ecuación de segundo grado Si las raíces de a b c 0 son y, justifique que esa ecuación puede epresarse como un producto de tres factores: a b c a Asimismo, si son y los ceros de un polinomio a b c ese polinomio (o trinomio) puede epresarse: a b c a EJEMPLO La ecuación 5 tiene raíces y 0 0 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 89

90 Se factoriza: 5 (verifique) EJERCICIOS ) Factorice i) 50 ii) 5 40 ) Eprese como producto el trinomio P ( ) 6 5 RESPUESTAS a) i) ( 4) 0 ii) ( )( 4) 0 b) P( ) ( )( 5) 7. Relación entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces Si y son las raíces de a b c 0, entonces se verifica: b i) ; ii) a c a Enuncie, con palabras, las epresiones i) y ii) y demuestre las propiedades enunciadas. Ejemplos ) Forme la ecuación de segundo grado cuyas raíces son y ( 5). SOLUCIÓN b 5 a c 5 0 a luego b a; c 0a La ecuación es: a a a a 0 0, 0 0 Como a debe ser distinto de cero, debe ser 0 0 VERIFICACIÓN Para = : CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 90

91 Para = -5: Otra forma de verificar es resolviendo la ecuación obtenida. OBSERVACIÓN Si a, se tiene b c 0 y en tal caso resulta: b ; ) Escriba la ecuación de segundo grado que tiene por raíces - y 7, y el coeficiente a 8. c SOLUCIÓN La forma más sencilla de resolver este problema consiste en epresar la ecuación como un producto, para lo cual se tienen los datos necesarios: a( )( ) 0 ; 8( )( 7) 0 Efectuando las operaciones se obtiene la ecuación en la forma Otro procedimiento consiste en aplicar las propiedades de las raíces: b b 7 6 ; 6 ; b48 a 8 c c 7 7 ; 7 ; c 56 Luego b 48 y c 56 a 8 La ecuación es: Observación: en el primer miembro de la ecuación obtenida se tiene el factor común 8. Factorizamos y obtenemos , igualdad que se cumple para tal que 67 0resolviendo esta ecuación se obtienen las raíces y 7. Conclusión: para operar en forma más simple, cuando hay un factor común en la ecuación conviene vivir por dicho factor y las raíces que se obtengan serán también las raíces de la ecuación dada. EJERCICIOS Resuelva los siguientes problemas. Plantee la solución correspondiente aplicando ecuaciones cuadráticas y verifique sus resultados. ) Forme las ecuaciones de segundo grado que cumplan las condiciones que se indican: CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

92 a) a y las raíces son -6 y 0. b) Los coeficientes b y c son números enteros; las raíces son 4y 5. c) Las raíces son los inversos de las raíces de 0. d) a 5, una raíz es 0 y la otra es. ) Determine c en la ecuación 0 c 0 de modo que una de sus raíces sea: a) b) b) 0 c) 5 SOLUCIÓN DE A) 0 0,, c c c la ecuación es verifique 0 0 ( ) R: -c) c = 7, la ecuación: 07 0 ) Determine b en la ecuación b 5 0 de modo que una de sus raíces sea: a) b) c) 5 i R: a) b = 7, la ecuación es 750 ; b) b = 7. SOLUCIÓN DE C) Si un número complejo es raíz, el complejo conjugado también lo es. Además: b a i, i b luego b 6 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

93 La ecuación es 650 4) Halle el valor (o los valores) que debe tomar k en la ecuación 6 k 0, de modo que: a) las dos raíces sean iguales; b) las raíces sean complejas; c) las raíces sean reales. R: a) k = 9, b) k > 9, c) k < 9 5) La suma de n números enteros positivos, a partir del número (uno) puede encontrarse nn ( ) mediante la fórmula S. Encuentre cuántos números enteros positivos deben sumarse a partir del para que la suma sea R: 5 números. 6) El producto de dos números pares consecutivos es 64. Encuéntrelos. R: 4 y 6 8 7) Determine el número que sumado a su inverso dé por resultado. 9 R: 9 8) Encuentre, si eiste, el número tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo número que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65. R: y -5 9) La superficie de un triángulo rectángulo es 70 cm y la suma de sus catetos es 7 cm. Halle las longitudes de los catetos. 0) El largo de una piscina rectangular tiene metros más que el doble del ancho. Si la superficie de la piscina es de 5 m R: ancho: 8 m, largo: 9 m., determine sus dimensiones. ) Si los radios de los émbolos de una prensa hidráulica son: r = y r = r. Cuál es la razón entre las fuerzas aplicadas? SOLUCIÓN La prensa hidráulica es un mecanismo compuesto esencialmente por dos cilindros de distintas secciones y comunicados entre sí. F F CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

94 A cada cilindro se ajusta un émbolo y el recipiente se llena completamente de un líquido que puede ser aceite o agua y su funcionamiento es una aplicación del Principio de Pascal. El Principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido incompresible en el interior de un recipiente de paredes indeformables se transmite íntegramente y con igual intensidad en todas direcciones y en todos los puntos del fluido. Si sobre el émbolo chico se aplica una fuerza F, sobre el grande aparece una fuerza F. La presión es la razón entre la fuerza y la superficie: F p. S F F F F Entonces: p y p igualamos los segundos miembros: S S S S F S F S y de aquí: ; S S 4 La razón entre las fuerzas es F 4 F F ; 4 De aquí se obtiene que F F 4F RESPUESTA La razón entre las fuerzas es 4. Ello significa que si se aplica una fuerza en el émbolo menor, la fuerza que se ejerce sobre el mayor es cuatro veces mayor. Observe que el problema plantea la situación en la cual el radio de uno de los émbolos es el doble del otro. ) Si la razón entre las fuerzas F y F aplicadas a los émbolos de una prensa hidráulica es 9, y los radios son r = y r = + 6, cuál es el diámetro de cada émbolo? SOLUCIÓN 6 9; 6 9 ; 6 9 ; ; podemos multiplicar por (-): 8 6 0, también podemos dividir por 4 y tenemos la ecuación de segundo grado equivalente: 9 0 La fórmula para resolverla es: b b 4a c a CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 94

95 4..( 9) ;. 9 7 ; 4 8 ; 4 9 ; ; 4 La primera solución de la ecuación no conviene al problema por ser negativa. La solución es entonces =. Los radios son: r 6; r 6 9 ; y el diámetro serán respectivamente d8 ; r, luego r; d 6 R: Los diámetros de los émbolos son de 6 unidades y de 8 unidades. 8. Ecuaciones con radicales que pueden resolverse mediante ecuaciones cuadráticas a) Sea la ecuación 6. Elevamos ambos miembros al cuadrado: 4 6 La ecuación es: Se resuelve y se obtienen las raíces ; Es necesario comprobar si las soluciones de la ecuación cuadrática son soluciones de la ecuación original. Esa verificación debe realizarse porque al elevar los dos miembros de una ecuación a la misma potencia, se obtiene una ecuación que admite, al menos, todas las raíces de la primera, pero pueden aparecer raíces que no son soluciones de la ecuación original. Para verificar se reemplaza en cada uno de los miembros y se comparan los resultados, tal como se eplica a continuación: Para : Primer miembro: Segundo miembro: 6 Se verifica la igualdad. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 95

96 Para : 5 Primer miembro: 5 6 Segundo miembro: 5 No se verifica la igualdad. Luego la única solución es. b) Dada:, se eleva al cuadrado: Se dividen ambos miembros por : Se eleva al cuadrado: Se resuelve la ecuación de segundo grado, obteniéndose: ;. 0 Se verifica si las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuación original: Para : Luego es solución. Para :.( ) 0 0 Como los resultados no son iguales, (-) no es solución de la ecuación dada. EJERCICIOS ) Resuelva las ecuaciones: a) 5 b) 5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 96

97 c) 4 4 d) e) 7 f) RESPUESTAS a) 4 b) y 4 c) d) 6 e) y - f) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 97

98 TEMA 8: LA FUNCIÓN LINEAL. Funciones DEFINICIÓN Una función es una correspondencia o relación entre dos conjuntos que a cada elemento del primer conjunto hace corresponder un único elemento del segundo conjunto. El primer conjunto es el dominio de la función, el segundo, es el codominio. Una función puede estar definida mediante una fórmula. Tal es el caso de una función polinómica n P( ) a a... a a n n n 0. Si el polinomio tiene coeficientes reales y convenimos en que la variable puede tomar cualquier valor real, queda definida una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el codominio es también ese conjunto. Si f designa la función, designa cualquier elemento del dominio e y al elemento que le corresponde en el codominio, se conviene en epresar esa correspondencia mediante y = f(). Sea por ejemplo el polinomio f ( ). Con se designa a la variable independiente que puede tomar cualquier valor real: el Dominio de la función es el conjunto. Para cada valor de, mediante la fórmula que define a la función, hallaremos su imagen. El conjunto de todas las imágenes es el recorrido o conjunto imagen de la función. La imagen de es f f, la imagen de 0 es 0, etc. El conjunto imagen de f es el conjunto que tiene por elemento a y tal que y. Ello puede simbolizarse mediante: Dom f =, Im f = Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes; el punto de intersección de los ejes es el origen de coordenadas. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 98

99 II y I y P(, y ) III IV Los puntos del plano que están en el eje tienen ordenada y = 0. Los puntos pertenecientes al eje y tienen abscisa = 0.. La función lineal en una variable Una función polinómica de primer grado está definida por f() = a + b, se llama función lineal y su gráfica es una recta. Esta es la llamada forma eplícita de la ecuación de la recta. También puede epresarse en la forma y = m + p. EJEMPLO ) Dada f, encontraremos las coordenadas de algunos puntos de la gráfica, hallando los valores de y que correspondan a los de la variable independiente anotados en la primera columna de la tabla. f P (, y) y f 0-4 P, 4 y f - P 0, y f P 4, y4 f 4 5 P 4,5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 99

100 ) Represente los puntos de la tercera columna en un sistema de coordenadas ortogonales y verifique que ellos están alineados, es decir, pertenecen a una recta. y Un punto pertenece a una recta, si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta. Ello significa que al reemplazar las variables e y por las coordenadas del punto, la ecuación se transforma en una igualdad. ) A partir de los datos de la tabla de valores encuentre las razones siguientes, y etraiga conclusiones: i) y y ii) y y iii) y y 4 4 iv) y y v) y y vii) y y viii) y y 4 4 La constante obtenida al comparar las razones entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa es la pendiente o coeficiente angular de la recta. En el ejemplo es m. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 00

101 La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (, y ) y (, y ) es y y cambio en y(cambio vertical) cambio en (cambio horizontal) m y y Cambio vertical: y y Cambio horizontal: Encuentre analíticamente (es decir, efectuando los cálculos convenientes) y verifique en la gráfica las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. La ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas se llama ordenada al origen. En el ejemplo el punto es 0,, la ordenada al origen es p = -. La abscisa al origen se encuentra haciendo y = 0. 0 ; ; es la abscisa al origen. El punto de la recta es,0 EJERCICIOS ) Señale con una en las funciones lineales y dé la pendiente y la ordenada al origen. a) f 4 c) y e) 4 6 d) d) y 5 b) b) y5 4 4 y 7 8 f) f) y 6 5 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

102 ) Determine analíticamente si el punto P 0 pertenece a la recta R. RESPUESTAS P ; R: y a) 0, P ; R : y 7 c) 0, b) P0 0, ; R: y d) P0, ; ) a) m 4, p / ; ) m 5, p 4 ; c) no es una función lineal. R : y 5 d) m /, p 4 / 7 ; e) no es una función lineal. f) m 8 / 5, p 6 ) a) El punto no pertenece a la recta. b) El punto no pertenece a la recta. c) El punto pertenece a la recta. d) El punto pertenece a la recta... Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta Encontremos la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto, La ecuación de la recta es: y m p P y P, y pertenece a la recta, luego: y y0 m0 p. y 0 P 0 ( 0, y 0 ) p y0 m0 Despejamos p: 0 Reemplazando en : y m y0 m0 y y m () 0 0 Puede obtenerse la misma ecuación restando las dos primeras epresiones. Para cada valor real de m, se tendrá una recta a la cual pertenece el punto P 0. EJEMPLO La ecuación de la recta de pendiente 4 y que pasa por el punto (-, 7) es y 7 = 4 ( (-)) ; y 7 = 4 ( + ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

103 y 7 = ; y = ; y = Por un punto pasan infinitas rectas. A la ecuación y y m del haz de rectas que pasan por el punto, rectas que pasan por se la llama ecuación 0 0 P y. También ecuación de la familia de También se la llama ecuación de la familia de rectas que pasan por P, y y y 0 P 0 ( 0, y 0 ) 0 EJEMPLO La ecuación del haz de rectas que pasan por el punto (-, 5) es y 5 = m ( + ) Para cada valor de m se tendrá la ecuación de una de las infinitas rectas que pasan por (-, 5). EJERCICIOS ) Escriba la ecuación del haz de rectas que pasan por P 0. a) P0, 5 b) P0 0, c) P 0 0, 0 d) P0 5, 5 ) Eprese la ecuación de la recta que pasa por P 0 y tiene pendiente m. Represente la recta gráficamente. a) P0, 4 ; m b) 0 0, 6 c) P0, 0; m d) P ; m P 0 0, 0 ; m 4 P ; m 5 e) P 0 0, 0 ; m f) 0, CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

104 RESPUESTAS ) a) y 5 m( ) ; b) y m ; 5 c) y m ; d) y m 5 ) a) y ; b) y 6 ; c) y ; d) y ; e) y ; f) y Ecuación de la recta determinada por dos puntos Por un punto pasan infinitas rectas. Dos puntos determinan una recta a la cual pertenecen. Se quiere encontrar la ecuación de la recta determinada por los puntos P0 0, y 0 y, P y. P(, y ) es yy m( )(). La ecuación del haz de rectas que pasan por Determinaremos la pendiente m. Como los puntos P0 0, y 0 y, P y pertenecen a la recta R, sus coordenadas satisfacen la ecuación: y m p. P R y m p P0 R y0 m 0 p Restando miembro a miembro: y y m p m p 0 0 y y0 m pm 0 p y ; y0 m m0 Factorizando el segundo miembro: y y m, luego 0 0 y y0 m () 0 CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 04

105 Reemplazando () en () se tiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. y y y y ( ) También puede epresarse: y y0 0 y y 0 0 EJERCICIOS ) Encuentre la ecuación de la recta determinada por P 0 y P : a) P0 0, ; P b) P ; P, 5 c) P ; P, 6, 0 0 0, 0 d) P 0 6, 0 ; P e) P 0, ; P, 5 0, 0, ) Halle los puntos de intersección de la recta R con los ejes coordenados. a) R) y 4 5 b) R) y 5 7 c) R) y 4 RESPUESTAS d) R) y = 5 9 ) a) y ; b) y ; c) y ; d) y ; e) y ; y ) a) (0; 5), ( ; 0) ; b) (0; 7), ( ; 0) ; c) (0; 4), (4; 0) ; d) (0;0) Forma implícita de la ecuación de la recta Partimos de la ecuación en forma eplícita: y m p. Trasponemos: ym p 0. Ordenamos: m y p 0. Hemos obtenido una ecuación equivalente a la dada, en la cual el segundo miembro es cero, y en el primer miembro figuran un término en, un término en y, y un término independiente p. Puede decirse que es una ecuación de la forma: abyc 0 Esta ecuación lineal en dos variables es la forma implícita de la ecuación de la recta en el plano. a, b y c son constantes; a y b no simultáneamente nulas. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 05

106 EJERCICIOS ) Escriba en forma implícita: a) y 8 b) y9 6 ) Escriba en forma eplícita: a) a by c 0 b) 4y8 0 c) 4 y 0 d) y 0 ) Represente las rectas de los ejercicios ) y ). 4) Analice las gráficas y eprese las ecuaciones de las rectas en: a) forma implícita b) forma eplícita. 5) La ecuación de una recta es a by c 0. Eplique cuál es la característica de la recta si: a) a 0 ; b) b 0 ; c) ac 0 ; d) bc 0. RESPUESTAS ) a) + y 8 = 0 b) 9 y 6 =0 ) a) a c y b b b) y c) y = 4 + d) y = 4 ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 06

107 4) y 4 0 ; y ; 5 y5 0 ; y 5 4y 4 0 ; y 6 4 y 0 ; y 5) a) la recta es paralela al eje c) la recta es el eje. b) la recta es paralela al eje y. d) la recta es el eje y. y.4. Inclinación de una recta Se llama inclinación de una recta al menor ángulo positivo determinado por el eje de abscisas orientado en el sentido positivo y la recta. 0 0 Ese ángulo siempre está comprendido entre 0 y º 80º La pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su inclinación: m tg. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 07

108 Distintas posiciones de una recta en el plano signos de la pendiente y la ordenada al origen p p p Figura Figura Figura p Figura 4 Figura 5 Figura 6 R: Figura : 90º m 0; p 0 Figura : 90º m 0; p 0 Figura : 90º m 0; p 0 Figura 4: 90º m 0; p 0 Figura 5: Recta paralela al eje. 0; tg 0. La ecuación es y p Figura 6: Recta paralela al eje y. 90º La ecuación es a, la tangente de un ángulo de 0 90 no eiste..4.. Rectas paralelas y perpendiculares ) Una recta pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es. a) Pruebe que si, P y pertenece a la recta, se verifica: y. b) Represente esa recta, y, en el mismo sistema de coordenadas, las rectas: R : y R : y R : y c) Compare las ecuaciones y las gráficas. Etraiga conclusiones. RESPUESTA Las ecuaciones tienen la misma pendiente m = CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 08

109 PROPIEDAD Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. ) a) Represente en un mismo sistema de coordenadas los pares de rectas: i) R : y ; R : y ii) R : y ; R : y iii) R : y 4 ; R : y 4 iv) R : y ; R : y b) Compare las gráficas y etraiga conclusiones. RESPUESTA Las rectas son perpendiculares y la pendiente de una es el opuesto del inverso de la pendiente de la otra. PROPIEDAD Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es el opuesto del recíproco de la pendiente de la otra. Si la pendiente de una es m y la dela otra es m, debe ser m m EJERCICIOS ) Encuentre la ecuación de la recta a la cual pertenece P 0 y es paralela a R. P ; R: y a) 0, b) c) P ; R: y =- + d) 0 0, 0, P 0 0, 0 ; R : y 4 P ; R : y 4 y ) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P 0 y es perpendicular a R, con los datos del ejercicio. ) Complete las proposiciones: Las rectas y m p e y m p son paralelas si y sólo si... Las rectas y m p e y m p son perpendiculares si y sólo si... CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 09

110 4) Encuentre la ecuación de la recta R, tal que: a) Tiene pendiente - y pasa por el punto, 8. b) Tiene pendiente 4 y corta al eje en el punto de abscisa. 4, 6. c) Pasa por el punto, y es paralela a la recta determinada por, 4 y d) La ordenada al origen es - y es perpendicular a la recta que une los puntos, y, 0. e) Pasa por, 5 y es paralela a la recta 4y 0. f) Es perpendicular a la recta 4 y 0 RESPUESTAS, por el punto, 5 ) a) y b) y = c) y d) y e) y. ) 7 a) y ; b ) y ; c) y 4; d) y ) a) m m ; b) m m 4) a) y 6 b) y 4 c) y d) 8 y e) y f) 4 9 y 4 g) y h) 5) a) 5 5 y b) 7 5 m c) 7 5 p d) no, en los tres casos e) 5 y f) 7 7 y 5 6) Dados los puntos A, ; B, 4 y C 4, 6, encuentre el punto D tal que el ABCD sea un paralelogramo. Verifique que los lados opuestos son paralelos y represente el paralelogramo en un sistema de coordenadas. R: D (; ) CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

111 7) Encuentre la intersección entre los conjuntos A y B, definidos en. a) A, y y ; b) A, y y 5 ; R: a) el punto ( 4; 5) ; b) las rectas no se cortan. 8) Resuelva y grafique B, y y B, y y 4 5y 4 a) 5 y c) y 5 y 0 R: a) Sistema incompatible; b) b) d) y 5 6y 4y0 y 6 0 ; ; c) ( : 4) d) ( ; 4) 4 4 9) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas satisface una y sólo una de las proposiciones que quedan enunciadas completando los espacios en a), b) y c) con una de las epresiones consignadas más abajo. Complete escribiendo la que corresponda para que la proposición resulte verdadera. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene solución única si y sólo si... b) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas no tiene solución si y sólo si... c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene infinitas soluciones si y sólo si... i) su gráfica consiste en dos rectas paralelas no coincidentes. ii) su gráfica consiste en dos rectas perpendiculares entre sí. iii) su gráfica consiste en dos rectas paralelas coincidentes. iv) su gráfica consiste en dos rectas que se cortan en un punto. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

112 0) La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por la 9 ecuación F C. 5 a) Represente gráficamente la ecuación con los valores en grados Celsius en el eje horizontal y Fahrenheit en el vertical. b) Eplique qué representa el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. c) Diga cuál es la pendiente de la recta y qué representa. d) Un medicamento debe conservarse a una temperatura entre 40 0 F y 50 0 F, a qué intervalo corresponde en grados Celsius? e) Convierta en grados Fahrenheit i) 0 0 C, ii) 00 0 C, iii) 5 0 C. f) Qué temperatura es la misma en ambas escalas? R: d) entre aproimadamente f) F = C 0 C 0 4,4 C y 0 0 C ; e) i) 0 F ; ii) 0 F ; iii) 77 0 F ; ) Cuando el aire seco se eleva, se epande y se enfría. Suponga que la temperatura a nivel del suelo es de 5 0 C y a una altura de 0 km es de 0 C. a) Eprese una fórmula de la temperatura T en 0 C en función de la altitud h en kilómetros, suponiendo que la función es lineal. b) Represente gráficamente la función y eplique el significado de la pendiente. c) Cuál es la temperatura del aire a una altitud de km? R: a) T h 5 c), C 0 ) Cuando se realiza una prueba de esfuerzo en un paciente, se sabe que, cuando el ritmo cardíaco alcance cierto valor, la prueba deberá interrumpirse. El máimo ritmo cardíaco en latidos por minutos permitido puede calcularse mediante la fórmula m = - 0, donde representa la edad del paciente. Determine a) el ritmo cardíaco máimo para una persona de 60 años. b) la edad de un paciente cuyo ritmo cardíaco máimo permitido es de 50 latidos por minutos. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

113 R: a) m = 7 latidos por minuto b) 46 años 4) Un fabricante de camperas tiene costos fijos mensuales de $.450 y costos variables de $ 5,00 por cada campera que fabrica. Escriba una ecuación que relacione el costo C() de fabricar las camperas con la cantidad de camperas fabricadas. Use la fórmula para hallar el costo de fabricar 50 camperas. R: C( ) $5600 5) En una fábrica de relojes para tais deben programar los relojes para lo cual quieren encontrar una función que les permita conocer el precio del viaje de acuerdo con los metros recorridos. Saben que se cobra $5 la bajada de bandera y $,50 por cada 00 metros recorridos. a) Qué fórmula deberán programar? b) Cuánto deberán cobrar por un recorrido de,5 km? R: a) C ( ) 5,5. ; b) $4,50 6) El proceso productivo de una empresa determina que una máquina tarda 0 minutos para empezar a producir, y luego tarda minutos para producir cada unidad. a) Obtenga la relación funcional eistente entre el tiempo de producción T y la cantidad de unidades producidas. b) Cuánto tiempo se tardará en producir 50 unidades c) Cuántas unidades se producen en 0 minutos? R: a) T () = 0 + ; b) 460 minutos = 7 horas 40 min.; c) 440 unidades. 7) Los gastos de consorcio que deben abonar mensualmente los propietarios de un edificio de departamentos se discriminan de la siguiente manera: $ 0 como gasto fijo por los servicios generales y $ por cada metro cuadrado edificado que posee cada propietario. a) Encuentre la relación funcional eistente entre el número de metros cuadrados edificados () y el importe que debe abonar cada propietario C ). b) Cuánto abonará mensualmente el propietario de un departamento de 0 metros cuadrados? c) Si un propietario abona mensualmente $60, cuál es la superficie de su departamento? CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

114 R: a) C( ) 0 ; b) $ 40 ; c) 70 metros cuadrados. 8) Un servicio técnico a domicilio de computadoras cobra a razón de $0 por hora (de acuerdo al tiempo que lleve realizar el trabajo) y un adicional de $5 por la visita. a) Encuentre la fórmula de la función que epresa el costo del servicio en relación al tiempo que demora en hacerse el trabajo. b) Si el costo de un trabajo fue de $75 cuánto tiempo llevó realizarlo? c) Cuál será el costo del servicio si éste requiere de dos horas y media? R: a) C( ) 50 ; b) 6 horas ; c) $40. 9) En una fábrica de relojes para tais deben programar los relojes para lo cual quieren encontrar una función que les permita conocer el precio del viaje de acuerdo con los metros recorridos. Saben que se cobra $5 la bajada de bandera y $,50 por cada 00 metros recorridos. a) Qué fórmula deberán programar? b) Cuánto deberán cobrar por un recorrido de,5 km? R: a) C ( ) 5,5. ; b) $4,50 0) El proceso productivo de una empresa determina que una máquina tarda 0 minutos para empezar a producir, y luego tarda minutos para producir cada unidad. a) Obtenga la relación funcional eistente entre el tiempo de producción T y la cantidad de unidades producidas. b) Cuánto tiempo se tardará en producir 50 unidades? c) Cuántas unidades se producen en 0 minutos? R: a) T () = 0 + ; b) 460 minutos = 7 horas 40 min.; c) 440 unidades. ) Los gastos de consorcio que deben abonar mensualmente los propietarios de un edificio de departamentos se discriminan de la siguiente manera: $ 0 como gasto fijo por los servicios generales y $ por cada metro cuadrado edificado que posee cada propietario. a) Encuentre la relación funcional eistente entre el número de metros cuadrados edificados () y el importe que debe abonar cada propietario C ). CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 4

115 b) Cuánto abonará mensualmente el propietario de un departamento de 0 metros cuadrados? c) Si un propietario abona mensualmente $60, cuál es la superficie de su departamento? R: a) C( ) 0 ; b) $ 40 ; c) 70 metros cuadrados. ) Un servicio técnico de computadoras cobra a razón de $0 por hora (de acuerdo al tiempo que lleve realizar el trabajo) y un adicional de $5 por la visita (sólo realiza trabajos a domicilio). a) Encuentre la fórmula de la función que epresa el costo del servicio en relación al tiempo que demora en hacerse el trabajo. b) Si el costo de un trabajo fue de $75 cuánto tiempo llevó realizarlo? c) Cuál será el costo del servicio si éste requiere de dos horas y media? R: a) C( ) 50 ; b) 6 horas ; c) $40. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 5

116 TEMA 9: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Representemos en un mismo sistema de coordenadas, las siguientes funciones definidas en : f a) f b) f c) f d) f e) f f) Como primer paso, construimos una tabla de valores: ½ - - -/ ½ - - -/ Llevando los puntos de coordenadas (, f()) a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, se obtienen las siguientes gráficas: y La curva obtenida en cada caso recibe el nombre de parábola. Tiene un vértice y un eje de simetría. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 6

117 EJERCICIOS ) a) Dé las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de las parábolas anteriores. b) Eprese el dominio y el conjunto imagen. ) Represente en un mismo sistema de coordenadas las funciones definidas en : a) f b) f c) f ) Idem, las funciones: g h f Dé, en cada caso, el dominio, el conjunto imagen, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría. La función definida en el conjunto de los números reales por f a b c, con a 0, se llama función cuadrática y su gráfica es una parábola. Si a 0 la parábola abre hacia arriba y la función tiene un valor mínimo. Si a 0, la parábola abre hacia abajo y la función tiene un valor máimo. Los ceros de la función cuadrática son los valores de la variable independiente que anulan a la función, esto es, los tales que y f 0. Si los dos ceros o raíces son reales y desiguales, la parábola corta al eje de abscisas en y, si las raíces son reales e iguales:, la parábola es tangente al eje, y si son complejas conjugadas, la parábola no corta a dicho eje. Muestre que la abscisa del vértice de la parábola es b. (Sugerencia; suponga que las a raíces o ceros de la función son reales y desiguales y encuentre las coordenadas del punto medio del segmento que une los ceros de la función). 4) Para las siguientes parábolas se pide: a) los ceros de las correspondientes funciones b) las intersecciones con los ejes coordenados c) las coordenadas del vértice CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 7

118 d) el valor máimo o el valor mínimo de la función, según corresponda e) la ecuación del eje de simetría f) la gráfica g) el conjunto imagen. i) y 6 5 ii) y f 4 5 iii) iv) y f v) RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 4.I) y 6 5 Los ceros de la función se encuentran resolviendo la ecuación , Se obtiene a) las intersecciones con el eje son los puntos 5,0 y,0 Si = 0, se tiene y = 5. La intersección con el eje y es el punto (0, 5). b 6 b) la abscisa del vértice es ; a Si = - es y = -4. Estas son las coordenadas del vértice. V(-,-4). c) el eje de simetría es la recta de ecuación = -. d) Se propone construir la gráfica y comprobar que el conjunto imagen es el conjunto 5) Dadas las siguientes funciones: f ; h, encuentre: g 4 6 y a) las coordenadas del vértice de la curva b) los ceros de las funciones c) represente gráficamente en un mismo sistema de coordenadas d) eprese el conjunto imagen. 6) Halle la ecuación de la parábola, y represente la curva, si: a) Los ceros son 5 y, y pasa por el punto, 6. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 8

119 b) Los ceros son 0 y, y pasa por el punto 4, 8. c) Los ceros son y 5 y pasa por el punto, 9. RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 6-A) La ecuación de la parábola puede escribirse y a( )( ) Reemplazando: y = a ( + 5) ( ) () El punto (,6) pertenece a la parábola (sus coordenadas satisfacen la ecuación): 6 = a ( + 5) ( ) 6 = -6 a Luego es a = - Reemplazando en () se obtiene: y = - ( + 5) ( ) y = 0 Verifique si la solución es correcta y grafique. 7) Determine k en la ecuación: en el eje de abscisas. y 4 5 k, de modo que la gráfica tenga su vértice 8) Encuentre el conjunto de valores de k en la ecuación y 5 k, de modo que la gráfica de la función no corte al eje de abscisas. 9) Dé la ecuación de la parábola: (a) (b) 0) La función cuadrática f a b c tiene por gráfica cartesiana la que se representa. Se pide: a) dé los ceros de la función. b) eprese f como producto. c) determine si los pares, 4 y, pertenecen a la función. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 9

120 RESOLUCIÓN a) los ceros son 5 y. b) f() = a ( + 5)( + ) () El punto (0; -,5) pertenece a la parábola: sus coordenadas satisfacen la ecuación. -,5 = a (0 + 5) (0 + ) ; -,5 = a. 5 Luego es a = -0,5 Reemplazando en () f() = -0,5 ( + 5) ( + ) f ( ) 0,5,5 Verifique si la respuesta es correcta. ) Reemplazando en la fórmula de la función se prueba que (-,4) no pertenece a f y que (-,) sí pertenece. En el caso del punto (-,4) no es necesario efectuar cálculos, por qué?. ) Halle los puntos de intersección de la recta y = - con la parábola y 4. RESOLUCIÓN Se trata de determinar los puntos de coordenadas (,y) que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Para ello debemos resolver el sistema formado por las dos ecuaciones y 4 y Igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación: 4 ; 4 0 ; 0 Se obtiene:, Sustituyendo en la segunda ecuación se tienen los respectivos valores para y. Ellos son: y, y 0. Los puntos de intersección (-,-) y (,0) Verifique si la solución es correcta. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS 0

121 ) Encuentre la intersección de la parábola que tiene por vértice el punto, 9 y corta al eje de abscisas en, 0 y, 0, con la recta y. ) Una recta y una parábola se cortan en los puntos A, 8 y B 4, parábola es V,.. El vértice de la a) Encuentre la ecuación de la recta. b) Encuentre la ecuación de la parábola. c) Represente gráficamente. ) Resuelva, verifique y represente los sistemas mitos: a) y y b) y 6 y y 5 c) y y d) y 4 4) Una parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, corta en el punto, 4 a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6. Cuál es el otro punto de intersección entre las gráficas? 5) Analice la gráfica y determine: a) La ecuación de la recta R si el punto P tiene coordenadas,5,,5 b) La ecuación de la parábola. c) El otro punto de intersección entre la recta y la parábola. d) Las coordenadas del vértice de la parábola. e) El mínimo de la función representada por la parábola. 6) Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo producto y necesita diseñar el packaging (envase). Para ello ha pensado en dos opciones: un prisma y un cubo. El ancho de ambos deberá ser el mismo pero el prisma tendrá el triple de profundidad y 4 cm menos de altura. Hallar las medidas de cada caja y el volumen correspondiente. CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 0 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS

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