Departamento de matemáticas

Transcripción

1 Geometría con solución Problema 1: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 2: Considera los puntos A(1, 0, 2) y B( 2, 3, 1). Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. Problema 3: Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones Halla las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r Problema 4: Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas (1, 2, 3) y por la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1 Problema 5: Determina el valor de a para que los puntos A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 1) y C = (1, 6, a) sean los tres vértices de un triángulo de área 3/2 Problema 6: Halla el simétrico del punto P(1, 0, 2) respecto al plano y 2z + 1 = 0 Problema 7: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r

2 Problema 8: Estudia si son linealmente dependientes los vectores: Problema 9: Sean las rectas: a) Halla la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores. b) Halla la recta perpendicular t común a las recta r y s Problema 10: Estudia la posición relativa de las rectas r y s dadas por en particular, son perpendiculares o paralelas? Problema 11: Sean los vectores: Problema 12: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 13: Sean los puntos A(1, 1, 1), B(a, 2, b) y C(1, 0, 0) a) Con a = 2, calcula b para que los tres puntos determinen un plano que pase por el punto P(2, 0, 1). Cuál es la ecuación de dicho plano? b) Calcula los valores de a y b para que los puntos A, B y C estén alineados.

3 Problema 14: El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3, 0, 1), B(6, 4, 5), C(5, 3, z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo. Problema 15: Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1 Problema 16: Considera un plano π x + y + mz = 3 y la recta a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π? Problema 17: Dados los vectores ortogonales a los vectores dados. calcula los vectores unitarios de R 3 que son Problema 18: Calcula la distancia entre las rectas Problema 19: Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos: π 1 : x + z = λ π 2 : 4x + (λ 2)y + (λ + 2)z = λ + 2 π 3 : 2(λ + 1)x (λ + 6)z = λ Problema 20: Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente a) Calcula el área del triángulo que forman los puntos A, B y C b) Determina el ángulo que forman los vectores y

4 Soluciones Problema 1: a) Para hallar un punto de la recta r, hacemos y = 0, x = m/2, z = 3, A(m/2, 0, 3) Vector director de la recta r, Para hallar un punto de la recta s, hacemos x = 0, y = 2, z = 3/2, B(0, 2, 3/2) Vector director de la recta s, Para que se corten el siguiente determinante tiene que ser cero. b) Para m = 1 hemos visto que las dos rectas se cortan, luego determinan un plano. Un punto del plano es B(0, 2, 3/2) Problema 2: Problema 3: Para hallar un punto A de la recta r, hacemos z = 0, se obtiene, x = 1, y = 4 A( 1, 4, 0) El vector director de la recta r es: La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por P es: π 2(x 3) 3(y 2) z = 0 π 2x 3y z = 0

5 La ecuación de la recta t en paramétricas es: La intersección de r y π es: M(1, 1, 1) Problema 4: Un vector director del plano es el vector director de la recta: Problema 5: Problema 6:

6 Problema 7: Problema 8: Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo: Problema 9: a) La recta t es la intersección de los planos que contienen a cada recta y pasan por el origen de coordenadas.

7 Problema 10: Recta Como tienen el mismo vector director y el punto A no pertenece a la recta s, son paralelas. Problema 11: a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo: Los tres vectores son linealmente dependientes.

8 Problema 12: Problema 13: a) Hallamos el plano que pasa por los puntos A, C y P y le ponemos la condición de que pase por B Problema 14:

9 Problema 15: Problema 16: a) Para que sean paralelos, el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser perpendiculares: b) Para que sean perpendiculares el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser paralelos: c) Para que la recta esté contenida en el plano, m = 1 y el plano será: π x + y z = 3 Probamos el punto A(0, 1, 2) de la recta en este plano: , luego no hay ningún valor de m para que la recta r esté en el plano π Problema 17: Problema 18:

10 Problema 19: Si λ 2, λ 8/3, los tres planos se cortan en un punto. Si λ = 2, tenemos los planos: π 1 : x + z = 2 π 2 : 4x + 4z = 4 π 3 : 6x 8z = 2 Los dos primeros son paralelos y el 3º secante a los otros dos. Si λ = 8/3, tenemos los planos: El 1 er planos y el 3º son paralelos y el 2º secante a los otros dos. Problema 20: