Vectores Autorregresivos (VAR)

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1 Vectores Autorregresivos (VAR) 1

2 Procesos estocasticos multivariados Y t = [Y 1t, Y 2t,, Y Nt ], t = 1, 2,..., T Estamos interesados en el comportamiento temporal de N variables simultaneamente. E(Y t ) = µ E(Y t µ)(y t τ µ) = Γ(τ) (vector de esperanzas) (matriz de autocovarianzas) El elemento i, j es: γ i,j = E(Y it µ it )(Y j,t τ µ j,t τ ) Los elementos de la diagonal son las autocovarianzas y los de fuera de la diagonal las autocovarianzas cruzadas. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

3 Y t es estacionario si: 1. E(Y t ) = µ <. 2. E(Y t µ)(y t τ µ) = Γ(τ) <, τ = 0, 1, 2,... Estacionariedad de Y t implica estacionariedad de Y it, i = 1,..., N. El converso NO es cierto (porque?) Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

4 Ruido Blanco Multivariado ε t es N 1. Es RBM si: 1. E(ε t ) = 0 2. E(ε t ε s) = Ω N N si t = s 0 si t s Cuidado: los elementos de ε t pueden estar correlacionados contemporaneamente pero no en distintos periodos!! Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

5 Vectores Autorregresivos (VAR) VAR(1) con media cero Y t = ΦY t 1 + ε t, ε t RBM Y t es N 1, Φ es N N. Ejemplo: X t = φ 11 X t 1 + φ 12 Z t 1 + ε 1t Z t = φ 12 X t 1 + φ 12 Z t 1 + ε 2t Relacion entre el presente de una variable y el pasado de todas las variables del sistema. ε 1t y ε 2t pueden estar correlacionados. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

6 Motivacion historica y metodologica del uso de VAR s Motivacion: Sims (1980). Discusion metodologica: Pagan (1987) Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

7 Algunos resultados utiles de algebra Si A es cuadrada y diagonal con elemento carateristico a ii, A K es una matriz diagonal con elemento i, i igual a a K ii. A m m. Cualquier escalar λ que satisfaga Ax = λx para un vector m 1, x 0 es un autovalor de A. x es un autovector de A correspondiente al autovalor λ. Si λ es un autovalor de A, entonces A λi = 0. La ecuacion caracteristica A λi = 0 es una ecuacion de grado m. Entonces, A mm tiene m autovalores. A m m con autovalores λ 1, λ 2,..., λ m, entonces: (a) tr(a) = m i=1 λ i (b) A = m i=1 λ i Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

8 Si A m m tiene m autovalores diferentes, entonces los autovectores asociados son todos linealmente independientes. Si A m m tiene m autovalores diferentes y Λ diag(λ 1,..., λ m ) y X (x 1, x 2,, x m ), entonces: A = XΛX 1 Bajo las condiciones del resultado anterior: A K = AA A = (XΛX 1 )(XΛX 1 ) (XΛ K X 1 ) = XΛ K X 1 con Λ K = diag(λ K 1,..., λ K m) Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

9 Estacionariedad de VAR(1) Recordar caso AR(1): Y t = φy t 1 + ε t. Estacionario si φ < 1. Notar que Y t = ΦY t 1 + ε t y Y t 1 = ΦY t 2 + ε t 1. Reemplazando: Y t = Φ 2 Y t 2 + ε + Φε t 1 Reemplazando ahora Y t 2 y luego Y t 3, etc.: Y t = k 1 j=0 Φ j ε t j + Φ k Y t k En forma similar a AR(1) requeriremos que Φ k 0, o, equivalentemente, Φ < 1 (en un sentido matricial). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

10 De acuerdo al resultado anterior Φ = XΛX 1 en donde X es la matriz de autovectores y Λ la matriz diagonal con los autovalores λ 1,..., λ N. Entonces, Φ k = XΛ k X 1 de modo que Φ K 0 si y solo si λ i < 1, i = 1,..., N. Resumiendo: Y t = ΦY t 1 + ε t es estacionario si y solo si todos los autovalores de Φ son < 1 en valor absoluto, o, equivalentemente, si todas las raices de la ecuacion caracteristica Φ λi N son menores a uno en valor absoluto. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

11 Si VAR(1) es estacionario: Y t = Φ j ε t j j=0 es la representacion V M A( ) estacionaria del VAR(1). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

12 VAR(p) Y t = Φ 1 Y t 1 + Φ 2 Y t Φ p Y t p + ε t, ε t RBM Estacionariedad de VAR(p): todas las raices de λ p I λ p 1 Φ 1 Φ p = 0 son mayores que uno en valor absoluto. Resultado importante: Si VAR(p) es estacionario, tiene una representacion VMA( ) estacionaria. Esto es una consecuencia del Teorema de Descomposicion de Wold. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

13 Estimacion de VAR Consideremos VAR(1): X t = φ 11 X t 1 + φ 12 Z t 1 + ε 1t Z t = φ 12 X t 1 + φ 12 Z t 1 + ε 2t Notar que MCO es consistente, ecuacion por ecuacion. Es un caso particular de SUR con las mismas variables explicativas en cada ecuacion: MCG coincide con MCO, no hay ganancia de eficiencia. Explica gran parte de la popularidad de VAR. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

14 Interpretacion de VAR No es una forma estructural. Los coeficientes no tienen una interpretacion clara ya que solo se busca una representacion de los datos. En la practica es comun basar la interpretacion en tests agregados y ejercicios de simulacion. Simulacion: a) Funciones impulso-respuesta, b) Descomposicion de la varianza. Tests: a) Relevancia de variables, b) Significatividad de rezagos, c) Relaciones entre ecuaciones, d) Causalidad de Granger. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

15 Funciones impulso-respuesta Objetivo: investigar que sucede con el sistema VAR ante variaciones exogenas. Consideremos la representacion VMA( ) de VAR(p): Y t = Ψ s ε t s, s=0 Ψ 0 = I m, ε t RBM Y t ε t j = Y t+s ε t = Ψ s Ψ ij (s) : Efecto sobre Y i,t+s de cambiar ε jt en una unidad. Ψ ij (s)/ V (ε jt ): Efecto sobre Y i,t+s de cambiar ε jt en un desvio estandar: funcion de impulso-respuesta simple. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

16 Ejemplo: VAR(1) con N = 2, hay 4 funciones de impulso respuesta simple. Problema: ε it no son independientes. N = 2 V (ε t ) = Ω = σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 No es intuitivo hablar de cambios en ε 1t dejando ε 2t. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

17 Mas resultados de algebra 1. Si Ω es simetrica y positiva definida, existe H no singular, tal que Ω = HH. H es una raiz cuadrada de Ω. H no es unica. 2. Si ε t es un vector aleatorio con E(ε t ) = 0 y V (ε t ) = E(ε t ε t) = Ω, existe H tal que ε t = Hv t, en donde v t es un vector aleatorio con E(v t ) = 0 y V (v t ) = I. v t son las innovaciones ortogonales de ε t. La idea es: v t Hv t ε t Y t Entonces, lo que realmente nos interesa es Y t+s / v t. Problema: H no es unica. Si Ω es simetrica y positiva definida, existe una unica matrix P no-singular y triangular inferior tal que P P = Ω. P es la matriz de Choleski de Ω. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

18 La idea, entonces, es utilizar: ε t = P v t. Reemplazando: Y t = Ψ s P v t s = Φ s v t s, Φ Ψ s P i=1 i=1 Y t v t s = Y t+s v t = Φ s Elemento caracteristico: φ (s) ij = cambio en Y i,t+s resultante de cambios en v j,t en una unidad. φ (s) ij = funcion de impulso-respuesta con respecto a las innovaciones ortogonales. Notar que como V (v j,t = 1) tambien mide el efecto de cambios en 1 desvio estandar. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

19 Cuestion importante: el uso de P (la descomposicion de Choleski) implica cierta arbitrariedad. Ejemplo: N = 2 ( ε 1t ε 2t ) = ( P 11 0 P 21 P 22 ) ( v 1t v 2t ) ε 1t depende solo de v 1t ε 2t depende de v 1t y v 2t La dependencia entre ε 1t y ε 2t es generada por esta estructura recursiva. Que implicaciones tiene, por ejemplo, si Y 1 es la tasa de crecimiento de la cantidad nominal de dinero y Y 2 es la tasa de inflacion? Entonces, el orden de las variables en la matriz de Choleski es muy importante. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

20 Notar que si Ω = σ σ 22 = P = σ σ22 Si Ω es diagonal el orden de la descomposicion de Choleski no importa. Trivialmente, las innovaciones originales son tambien las innovaciones ortogonales. En la practica, entonces, es importante evaluar empiricamente la diagonalidad de Ω. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

21 Seguimos con el algebra... Si Ω es simetrica y pd, existe una unica matriz H triangular inferior con 1 s en la diagonal principal, y una unica matriz diagonal D con todos sus elementos positivos, tal que Ω = HDH. Si ε t es un vector aleatorio con E(ε t ) = 0 y V (ε t ) = Ω, entonces ε t puede escribirse com ε t = Hu t, con E(u t ) = 0 y V (u t ) = D, en donde H y D satisfacen Ω = HDH. Notar que V (u jt ) = d j, el j esimo elemento de la diagonal principal de D. La idea, en este caso, es permitir que cada una de las innovaciones ortogonales tenga su propia varianza. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

22 Disgresion notacional X = A 1 B 1 A 2 B 2 [ A B ] Chequear que: XX = A 1 A 2 [ A 1 A 2 ] + B 1 B 2 [ B 1 B 2 ] En general, si x i es la i-esima columna de X, XX = x i x i. Es facil verificar que si D es diagonal con elemento caracteristico d i, XDX = d i x i x i Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

23 Descomposicion de la varianza Supongamos un VAR con N variables. Cuanto de la variabilidad total de una variable es atribuible a movimientos en cada una de las otras variables? R 2 en el modelo lineal: proporcion de la varianza de Y que es explicada por movimientos en X. La idea es proporcionar una idea similar para descomponer la variabilidad total de una variable del VAR en terminos de las variabilidades exogenas de cada una de las variables del sistema. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

24 Partimos de la representacion MA( ) de VAR: Y t = Ψ s ε t s, s=0 Ψ 0 = I m, ε t RBM que implica que: V (Y t ) = = = = Ψ s ΩΨ s s=0 Ψ s HDH Ψ s s=0 { N } Ψ s d i h i h i s=0 i=1 Ψ s { N } d i Ψ s h i h iψ s i=1 s=0 Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

25 V (Y t ) = = { N } V (u i ) Ψ s h i h iψ s i=1 s=0 N V (u i ) B (i) i=1 En particular, la j-esima varianza: 1 = V (Y tj ) = N i=1 N i=1 V (u i )B (i) jj V (Y tj ) V (u i )B (i) jj = N i=1 z ji z ji = proporcion de la varianza de la j esima variable que es explicada por el componente exogeno de cada una de las i = 1, 2,..., N variables del sistema. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

26 En la practica: no podemos computar rezagos! Partimos de la representacion V MA( ) de VAR en t + 1: Y t+1 = ε t+1 + Ψ 1 ε t + Ψ 2 ε t 1 + La prediccion de Y t+1 con la informacion disponible en t es la esperanza de Y t+1 condicional en toda la informacion disponible en t: E t (Y t+1 ) = Ψ 1 ε t + Ψ 2 ε t 1 + El error de pronostico de predecir Y t+1 en t sera: Y t+1 E t (Y t+1 ) = ε t+1 Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

27 Analogamente, el error de pronostico de predecir Y t+s en t sera: e t+2 Y t+s E t (Y t+s ) = ε t+s +Ψ 1 ε t+s 1 +Ψ 2 ε t+s 2 + +Ψ s 1 ε t+1 El valor esperado de e t+s es cero y su varianza es: V (e t+s ) = Ω + Ψ 1ΩΨ 1 + Ψ 2ΩΨ Ψ s 1ΩΨ s 1 Da una idea de la magnitud del error de prediccion (es el error cuadratico medio ya que la esperanza es cero!). Notar que cuando s, V (e t+s ) V (Y t ). En la practica: computar la descomposicion para s = 1, 2, 3,... Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

28 Tests de hipotesis basicas en VAR Supongamos que nos interesa evaluar si cierta restriccion sobre los parametros del VAR es correcta, H 0 : h(θ) = 0 versus h(θ) = 0 en donde θ son todos los parametros del VAR y h es cualquier funcion continua. Si ε t RBN(0, Ω) (T c) ( ) ln ˆΩ r ln ˆΩ u χ 2 (m) asintoticamente bajo H 0, en donde ˆΩ r y Ω u son las matrices de varianzas estimadas bajo el modelo restringido y sin restringir, respectivamente, m es el numero de restricciones, c es el numero de parametros estimados en cada ecuacion en el modelo sin restringir, y T es el numero de observaciones utilizables. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

29 Ejemplos 1. Relevancia de rezagos: Ejemplo, si en con series trimestrales los rezagos del 9 al 12 son relevantes. Modelo sin restringir: incluye los 12 rezagos, sin restringir: solo los primeros Relevancia de variables: todos los rezagos de una variable son irrelevantes en todas las ecuaciones. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

30 Causalidad de Granger Consideremos la primera ecuacion de la representacion VAR(p) para x t y y t : x t = c + p α i x t i + i=1 p β i y t i i=1 y t no causa a x t en el sentido de Granger si β 1 = β 2 = = β p = 0 La hipotesis puede ser facilmente evaluada con un test F de significatividad conjunta (existen varias alternativas). En forma similar se puede definir ausencia de causalidad de Granger de x t. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

31 Es uno de los resultados mas abusados en econometria. En realidad evalua si el pasado de y t contribuye a predecir x t. Es mas un test que tiene que ver con precedencia temporal y no con causalidad. Ejemplo 1: Forward-looking behavior y precios de acciones. Ejemplo 2: Shocks en los precios de petroleo y recesiones. Ejemplo 3: Efectos reales del dinero (Stock y Watson (1989), Christiano y Ljungqvist (1988)). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

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