UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONES.

Transcripción

1 IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD 0 DERIVADAS Y APLICACIONES.. Tasa de variación media.. Derivada de una unción en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas.. Reglas de derivación. 4. Interpretación geométrica de la derivada. 5. Rectas tangente y normal a una unción y en un punto A ( a, ( a. 6. Derivadas laterales. 7. Derivabilidad y continuidad. 8. Aplicaciones de las derivadas. 8.. Máimos y mínimos relativos (etremos relativos. 8.. Crecimiento y decrecimiento (monotonía. 8.. Conveidad y concavidad (curvatura Optimización de unciones. 9. Representación gráica de unciones. Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

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3 IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD 0 DERIVADAS Y APLICACIONES.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a, B ( b, b, Si considero la recta que une A su pendiente es: [ a b] m tgα T. V. M., Es usual escribir [ a, b] [ a, a + ], Con lo cual: siendo a Etremo inerior del intervalo. a + Etremo superior del intervalo. Longitud del intervalo. m tgα T. V. M., [ a a + ] ( a + ( a Ejemplo: Halla la T.V.M. de la unción a Los intervalos [, ]; [, ]; [, 4]. El intervalo [, + ]. en: Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

4 IES Padre Poveda (Guadi. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. Una unción y es derivable en a, si eiste el siguiente límite y es inito: ( a lím a a En cuyo caso al valor de este límite se le llama derivada de en a, y se escribe ( a. lím a ( a a ( a d (También se escribe (a d a Si tomamos a + entonces a a 0 0 de derivada de una unción en un punto equivale a que eista: con lo cual, la deinición anterior lím 0 ( a + ( a Ejemplo: Sea la unción +. Calcula, usando la deinición de derivada, ( 0, ( (. ( a y Como emos visto en el ejemplo anterior, ay que calcular un límite para obtener la derivada de una unción en cada uno de los puntos en los que se nos pida, lo cual es un trabajo molesto y engorroso. Es preerible obtener la unción derivada de, es decir, que nos permita obtener ácilmente el valor de la derivada de esa unción en un punto cualquiera simplemente sustituyendo. Ejemplo: Halla la unción derivada de + y úsala para calcular de nuevo ( 0, ( (. y Proesor: Ramón Lorente Navarro. 4 Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

5 IES Padre Poveda (Guadi También se pueden calcular las derivadas sucesivas de una unción: Si derivamos dos veces la unción obtenemos la derivada segunda y así sucesivamente (también se escribe y, y, y... Dico de un modo más ormal: (es decir, acemos la derivada de la unción derivada ; si derivamos tres veces obtenemos la derivada tercera Si es una unción derivable en todos los puntos de un intervalo abierto ( a,, entonces la unción: : ( a, R a se llama unción derivada de. : Si a su vez es derivable en ( a, obtenemos su derivada : ( a, R a que se llama unción derivada segunda de. Análogamente se pueden deinir, iv v,... Sin embargo, para derivar unciones NO es necesario acerlo resolviendo límites como en el ejemplo anterior. Eisten sencillas reglas prácticas con las que se pueden allar ácilmente las derivadas de las unciones elementales. Veamos esas reglas.. REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN Suma y resta ( + g + ( g Producto y cociente ( g g + Producto por un número ( k k Composición de unciones y unción recíproca ( g ( o ( ( Regla de la cadena g g g [ g ] con ( y y Proesor: Ramón Lorente Navarro. 5 Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

6 IES Padre Poveda (Guadi TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuestas k 0 k k g k g k n n ln loga e ( n ( n g n n n g g ( g n n n n n n n g ln g loga ln a ln a ( e g e e a ln g a a ln a cos g sen g ( cos [ ] sen g cos g ( sen [ ] + tg sec g tg [ ] g ( + tg sec [ ] cos cos cos ec g cot g g ( cosec [ ] sen sen sen a a cos tg cot g sec tg sec g sec g ( tg sec[ ] cosec cot g cosec g cosec g ( cot g cos ec [ ] arcsen arccos arctg ( arccot g + ( g arcsen ( g arccos ( g arctg + + ( ( + g arccot g. Halla la derivada de las siguientes unciones: 5 6 ( ( ( Proesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

7 IES Padre Poveda (Guadi ( 6 e + 5 e e e ( + e ln Proesor: Ramón Lorente Navarro. ln( ln 6 7 ln e ln ( 7 ( 5 ln sen( + sen sen sen cos 5 7. Halla la derivada de las siguientes unciones: a ( + ln( + g + ln( e ( e 7 c ( + e + d ln i e 5 6 e ( + ( 6 j e + ln( + ( + k ( cos ( tg tg e + sen e arcsen arccos arctg e arcsen 45 arccos( ln sen 46 sen + cos l ( + ln( + 5 e m + ln n ñ o ( cos e Calcula la derivada de las siguientes unciones (son de la orma g (. a b ( sen cos cos c d ( cos 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Qué a ocurrido en la gráica de Todas estas rectas son secantes a la unción con un punto común A ( a, ( a. y al tomar este límite en la tasa de variación media? Si i 0 entonces P i A, con lo cual la recta tangente a en A ( a, ( a se obtiene como límite de las rectas secantes. Pero además, la pendiente m de la recta tangente a la unción en ( a ( a ( a + ( a m tg α lím tg α lím ( a i α α 0 i α [ a + ] A, es: ( a + ( a m AP tg T. V. M a, m AP m AP tgα T V M a.., [ a + ] tgα T V M a.., [ a + ] ( a + ( a, es decir: m ( a Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones ( a + ( a

8 IES Padre Poveda (Guadi El resultado anterior ( que m ( a dice que: Derivada de una Proesor: Ramón Lorente Navarro. 8 se conoce como Interpretación geométrica de la derivada y nos uncion Pendiente de la recta tangente a la gráica en a de la unción en el punto A( a, ( a 5. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 5.. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN y EN UN PUNTO A ( a, ( a. La ecuación de la recta tangente en su orma punto pendiente es y ( a m( a. Pero m ( a (Por la interpretación geométrica de la Por tanto: y ( a ( a ( a derivada. 5.. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN y EN UN PUNTO ( La ecuación de la recta normal en su orma punto pendiente es A a, a. y a m a. Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre sí. Condición de perpendicularidad: m m m m ( a Por tanto: Ecuación de la recta normal y ( a ( a a a la gráica de en el punto A( a, ( a + y alla: a Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas y. Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. Ejemplo: Calcula la unción derivada de Ejemplo : Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráica de la unción a 5 en. c ln en e. ln en. 6. DERIVADAS LATERALES. A los siguientes límites, si eisten y son initos, se les llama: + ( a + ( a a lím + 0 ( a + ( a a lím 0 Derivada por la dereca de en a. Derivada por la izquierda de en a. Ambos límites reciben el nombre de derivadas laterales de la unción en a. Propiedad: es derivable en a Eisten a a + a a a + +, son initas y ( a ( a En cuyo caso, Ejemplo: Comprueba que la unción valor absoluto derivable en 0. Represéntala. Ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto A( a, ( a, que es continua en 0, no es Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

9 IES Padre Poveda (Guadi Solución: si 0 si < 0 ( 0 + ( 0 ( ( 0 0 lím lím ( 0 + ( 0 ( ( 0 0 lím lím Por tanto, la unción no es derivable en 0. lím 0 lím ( 0 ( 0 7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Si observas el ejemplo anterior está claro que Una unción continua en a NO tiene por qué ser derivable en a (podrá serlo o no. Si es continua en a pero no derivable en a, tendremos puntos angulosos (con pico como en las dos primeras iguras, o puntos de tangente vertical como en la tercera: Funciones continuas en a pero no derivables en a. Sin embargo: Propiedad: Si es derivable en Por tanto: Si NO es continua en a es continua en a. a NO puede ser derivable en a. Función no continua en a y, por tanto, no derivable en a. Una unción derivable tendrá una gráica suave sin puntos angulosos. Ejemplo : Estudia la continuidad y derivabilidad de las unciones: + + si < si ln a + si b c + si > si > si 0 < Ejemplo : Sea la unción + a si b si > 4 a Calcula los valores de a y b para que sea continua en su dominio. Estudia la derivabilidad de para esos valores de a y b. Ejemplo : Estudiar la continuidad y derivabilidad de esta unción: e + + Ejemplo 4: Obtén los valores de m y n para que sea derivable la unción: Ejemplo 5: Estudia la derivabilidad de: a b 9. m + n si < si si 0 si 0< < si si si > Proesor: Ramón Lorente Navarro. 9 Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

10 IES Padre Poveda (Guadi 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 8.. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS (EXTREMOS RELATIVOS. Si alcanza un etremo relativo en a La recta tangente (si eiste, es decir, si es derivable en a a en ese punto es orizontal y tendrá pendiente cero a 0. Puntos críticos o singulares: son aquellos en los que ( a 0, es decir, los candidatos a máimos o mínimos relativos. Los puntos críticos se obtienen resolviendo la ecuación 0. Propiedad: (Condición necesaria pero NO suiciente para la eistencia de etremos relativos Si es derivable en a y tiene un etremo relativo en a ( a 0 Sin embargo, que ( a 0 NO implica que tenga un etremo relativo en a como podemos observar en la gráica de esta unción (Pero SÍ proporciona los candidatos. a.. Propiedad: Si 0 entonces: a Si ( a < 0 tiene un máimo relativo en a b Si ( a > 0 tiene un mínimo relativo en a Ejemplo: Estudiar los etremos relativos de las unciones: a g Solución: a Máimo relativo en con valor ( 6 M (, 6 Mínimo relativo en con valor m(, Mínimo relativo en Máimo relativo en 8.. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MONOTONÍA. Observa la gráica adjunta de una unción derivable: con valor g m(, 9 9 con valor g ( M (, 9 9 Si es estrictamente creciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán sus pendientes serán positivas > 0 en ese intervalo. Por otro lado, si > 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán positivas Las rectas tangentes serán estrictamente crecientes es estrictamente creciente en ese intervalo abierto. Análogamente, si es estrictamente decreciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán y por tanto sus pendientes serán negativas < 0 en ese intervalo. Por otro lado, si < 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán negativas Las rectas tangentes serán estrictamente decrecientes es estrictamente decreciente en ese intervalo abierto. Proesor: Ramón Lorente Navarro. 0 Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

11 IES Padre Poveda (Guadi Propiedad: Sea una unción derivable en un intervalo abierto ( a,. a Si > 0 en ( a, es estrictamente creciente en ( a,. Si < 0 en ( a, es estrictamente decreciente en ( a,. c Si 0 en ( a, es constante en ( a,. Para determinar los intervalos de monotonía de una unción derivable así como sus etremos relativos, tendremos en cuenta el signo de la primera derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real. En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Propiedad: Si a es un punto singular de (es decir, 0 a > 0 a su izquierda ( est. creciente < 0 a su dereca ( est. decrecient e < 0 a su izquierda ( est. decrecient e > 0 a su dereca ( est. creciente a y tiene un máimo relativo en a tiene un mínimo relativo en a Estudia también sus etremos relativos a partir de la inormación proporcionada por la monotonía. Solución: a Estr. creciente en (, (, + ; Estr. decreciente en (, Máimo relativo en con valor ( 0 M (,0 Mínimo relativo en con valor ( 7 m(, 7 Estr. creciente en (, 0 (, + ; Estr. decreciente en ( 0, (, Máimo relativo en 0 con valor g( 0 0 M ( 0,0 Mínimo relativo en g 4 m,4 Ejemplo : Estudia la monotonía de las unciones: a + g Ejemplo : Sea la unción + +. con valor a b + c Calcula a, b y c sabiendo que su gráica pasa por el punto A ( 0,0, que tiene un máimo relativo en y un mínimo relativo en. Solución: a 0; b ; c 0 Ejemplo : Halla a y b para que la unción en el punto P (, 5. a b Solución: 0; + Ejemplo 4: Sea la unción +. punto (,0 a b tenga un mínimo relativo a + b Calcula a y b sabiendo que su gráica pasa por el A y que la recta tangente a la gráica en ese punto es paralela a la recta y + 5. a b Solución: 4; 4 + Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

12 IES Padre Poveda (Guadi 8.. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD (CURVATURA. Para determinar los intervalos de conveidad y de concavidad de una unción tendremos en cuenta el signo de la segunda derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real: Propiedad: Si ( a ( a... n... ( a 0 n y ( a 0. Entonces: Si n es par Etremo relativo en a. Si n es impar Punto de inleión en a. En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Por tanto: Propiedad: Si > 0 en un intervalo abierto ( a, es convea en ( a,. Si < 0 en un intervalo abierto ( a, es cóncava en ( a,. Además, diremos que presenta en a un punto de inleión si en ( ( a a, la unción pasa de ser convea a cóncava o viceversa (la recta tangente atravesará la curva. Candidatos a puntos de inleión: son aquellos en los que ( a 0. Es decir, los posibles puntos de inleión se obtienen resolviendo la ecuación 0. El cambio de curvatura nos asegurará que, en eecto, estamos en presencia de un punto de inleión siempre que la unción sea, al menos, continua en a. También podemos aplicar la siguiente propiedad: Propiedad: Si ( a 0 y ( a 0 tiene un punto de in leión en a. 4 Ejemplo : Estudia la curvatura y puntos de inleión de Solución: Convea en (, (, + ; Cóncava en (, Punto de inleión en con valor ( P (, con valor 7 P (,7 Ejemplo : Estudia la monotonía y curvatura de 6. 4 Esboza su gráica. Solución: Estr. creciente en (,0 (, + ;Estr. decreciente en (, ( 0,. Máimo relativo en 0 Mínimo relativo en:, + Punto de inleión en: con valor ( 0 0 M ( 0,0 con valor ( 9 m (, 9 con valor 9 m (, 9 Convea en (, ; Cóncava en (, con valor ( 5 P (, 5 con valor ( 5 P (, 5 Ejemplo : Sea la unción +. g a + b Calcula a y b sabiendo que su gráica presenta un punto de inleión en el punto (,5. a b g Solución: 6; 6 + Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

13 IES Padre Poveda (Guadi 8.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. En matemáticas y en otras disciplinas cientíicas se trata con recuencia de optimizar una unción (acer máimos o mínimos unos costes, un volumen o área, unos beneicios... Para resolverlos: º Construimos la unción a maimizar o minimizar y se epresa con una sola variable. º Se allan los máimos y/o mínimos de esa unción. Si es continua en un intervalo cerrado [ a, b], abrá que tener en cuenta el valor que toma la unción en a y b. º Se interpretan los resultados recazando los no posibles por la naturaleza del problema. Ejemplo : Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que la suma del quíntuplo del cuadrado del primero más el sétuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. Solución: 4 ; y 0. Ejemplo : Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y 864 dm de capacidad. Cuáles an de ser sus dimensiones para que su supericie sea mínima? Solución: Lado de la base dm; Altura y 6 dm. Ejemplo : De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Calcula su diagonal. Solución: y cm (Un cuadrado. Diagonal cm. Ejemplo 4: De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 0 cm, qué base tiene el de área máima? Solución: 0 cm de base. Ejemplo 5: De todos los cilindros de 8 dm de volumen, cuánto mide el radio y la altura del de menor supericie total? Solución: ; 4 r 4 dm dm. Proesor: Ramón Lorente Navarro. π π Ejemplo 6: Se quiere construir una ventana de orma rectangular de m de supericie. Si el precio del marco es de 5 / m para la parte vertical y de 6 / m para la orizontal. Qué dimensiones debe tener para que el coste sea mínimo? Solución: Tramo orizontal: 5 m; Tramo vertical: y 6 m. 6 Ejemplo 7: Un pastor dispone de 000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovecando una pared ya eistente. Hallar las dimensiones más convenientes para que el área encerrada sea máima. Solución: 500m; 50m. Ejemplo 8: Una oja de papel debe tener 8 cm de teto impreso, márgenes superior e inerior de cm de altura y márgenes laterales de cm de ancura. Obtener las dimensiones que minimizan la supericie del papel. Solución: Anco 5cm ; Alto: 0cm. Ejemplo 9: Un jardinero tiene que acer un jardín con orma de sector circular de 50m de perímetro. Qué radio le debe dar para que su supericie sea máima? Solución: r 7.5m. Ten en cuenta que S tor lr. 9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. Para llevar a cabo la representación gráica de una unción estudiaremos los siguientes puntos:. Dominio de la unción.. Puntos de corte con los ejes. (Esto nos permitirá, además, conocer el signo de la unción.. Simetrías. 4. Periodicidad. 5. Continuidad, discontinuidades y asíntotas. 6. Monotonía. Etremos relativos. 7. Curvatura. Puntos de inleión. 8. Si es necesario, cálculo de otros puntos de la gráica construyendo una tabla de valores. Ejemplos: Representa gráicamente las siguientes unciones: a c d e sen sec Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones

14 IES Padre Poveda (Guadi Soluciones: a c d e Proesor: Ramón Lorente Navarro. 4 Unidad 0: Derivadas y Aplicaciones