Problemes de Geometria per a l ESO 171

Transcripción

1 roblemes de Geometria per a l ESO Siga un triangle acutangle i i E les altures Si E = 5, E = 3, = etermineu E 3 x 5 Siga = x plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle = 15 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle E = ( + x 3 L àrea del triangle és: 1 1 S = E = 15 ( x = 8 ( + x 9 + Resolent l equació: x = 10 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle ( = 4 10 = : E : :

2 170- alculeu la proporció entre l àrea del quadrilàter ombrejat i l àrea de l hexàgon regular Siga EF l hexàgon regular de centre O Les àrees dels triangles S S F EF SF = = S 3 EF FE, FO i O són iguals F E O

3 1703- En el quadrilàter és dibuixen les bisectrius dels vèrtexs La intersecció dos a dos de les bisectrius formen el quadrilàter RS roveu que el quadrilàter RS és inscriptible en una circumferència S R La suma dels angles d un quadrilàter convex és 360º: = 360º rovarem que els angles oposats del quadrilàter RS són suplementaris, aleshores, pel teorema de Tolomeu és inscriptible onsiderem el triangle S = 180º + onsiderem el triangle S = 180º + Vegem que són suplementaris: S + = 180º º + = 360º = 180º

4 1704- Siga una corda d una circumferència Siga el punt mig de l arc S ibuixem les cordes R, S que tallen la corda en els punts,, respectivament roveu que el quadrilàter RS és inscriptible en una circumferència R rovarem que els angles oposats del quadrilàter RS són suplementaris, aleshores, pel teorema de Tolomeu és inscriptible Siguen = = α, S = β er ser Sangle interior a la circumferència mesura la semisuma dels arcs que abraça: S = α + β, aleshores, S = 180º ( α + β er ser SR = α + β SRangle inscrit a la circumferència mesura la meitat de l arc que abraça: leshores, els angles oposats del quadrilàter RS són suplementaris

5 1705- Siga un polígon inscrit en una circumferència Les rectes i és tallen en Les rectes i és tallen en roveu que les bisectrius dels angles perpendiculars i són T Siguen = α, = β, = γ = δ α + β + γ + δ = 180º Els angles inscrits mesuren la meitat de l arc que abracen, aleshores: = β + γ, = γ + δ, = α + δ, = α + β er ser angle exterior a la circumferència mesura la semidiferència dels arcs que abraça: = β δ = 180º = 180º ( α + β K T L er ser angle exterior a la circumferència mesura la semidiferència dels arcs que abraça: = γ α = 180º = 180º ( γ + δ La bisectriu a l angle talla el costat en el punt K 1 β δ α + β + δ TK = K = 180º + = 180º + 180º ( α + β = La bisectriu a l angle talla el costat en el punt L 1 γ α α + γ + δ TL = L = 180º + = 180º + 180º ( γ + δ = KTL = 360º α + γ + δ ( + TK + TL = 360º β + γ + + = 3( α + β + γ + δ = 360 º = 90º α + β + γ

6 1706- Siga un quadrat inscrit en una circumferència Siguen K, L, M, N els punts migs dels arcs,,,, respectivament roveu que les rectes KM i LN són perpendiculars N M L K Siguen = 4α α + β + γ + δ = 90º, = 4β, = 4γ = 4δ Siga la intersecció de les rectes KM i LN er ser KL interior a la circumferència mesura la semisuma dels arcs que abraça: α + β + β + δ KL = = α + β + γ + δ = 90º

7 1707- uins triangles obtusangles acompleixen que al traçar una recta pel vèrtex obtús divideixen el triangle en dos triangles isòsceles Hi ha algun d ells que ho puga fer de forma diferent amb dues rectes que passen pel vèrtex obtús? KöMaL, 1308 Siga el triangle isòsceles Siga del costat tal que = ha de ser isòsceles: as 1: Suposem que =, > 90º és isòsceles = La suma dels angles del triangle és 180º: + + = 180º, La qual cosa és absurda ja que + < 90º as : Suposem que = = leshores, = + = + = leshores, =, = 180º 4 = 180º 3 3 Hi haurà un triangle que tinga dues rectes solució si el triangle És a dir si = : 1 4 = 180º Resolent l equació: 3 3 Si = 108º, = = 36º és isòsceles: E

8 1708- En la figura hi ha 3 quadrats adossats que tenen les bases alineades i els punts,, R alineats Si el costat quadrat del mig mesura 8cm que el quadrat menut i el costat mesura 50cm etermineu la mesura del quadrat menut UKMT Senior Mathematical hallenge 015 R Siga = E = x costat del quadrat menut Siga = = F = x + 8 costat del quadrat mitjà Siga = R = 50 costat del quadrat gran leshores, E = 8, RF = 50 (x + 8 = 4 x Els triangles rectangles E, FR són semblants plicant el teorema de Tales: 8 4 x = Resolent l equació: x x + 8 x =, 3 El problema té dues solucions R F E

9 Y En la figura, el triangle XYZ té costats XY =, YZ = 3, XZ = 4 M és un punt interior al triangle tal que els segments M, M i SMT són paral lels als costats XZ, YZ, XY, respectivament i = T = S X S M T Z etermineu la mesura del segment UKMT Senior Mathematical hallenge 015 Siga = S = T = x Siga S = M = y Z = 4 (x + y Els triangles XYZ, M són semblants plicant el teorema de Tales: x = (1 y 4 Els triangles x = 4 (x + y XYZ, 3 4 MT són semblants plicant el teorema de Tales: onsiderem el sistema format per les expressions (1 (: x = y 4 Resolent el sistema: x 3 = 4 (x + y 4 1 x = 13 4 y = 13 (

10 1710- El diagrama mostra 8 circumferències de dues mides diferents Les circumferències estan disposades en parells concèntriques de manera que formen els centres un quadrat ada circumferències gran toca un altra circumferència gran i dues circumferències menudes Les circumferències grans tenen radi 1 etermineu el radi de la circumferència menuda UKMT Senior Mathematical hallenge 015 Siga el quadrat que formen els centres de les circumferències grans Siga O el centre del quadrat Siga = x radi de la circumferència menuda = = 1+ x = plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle (1 + x = Resolent l equació: x = 1 : O