Problemes de Geometria per a l ESO 134. Aplicant la potència del punt A respecte de la circumferència menuda:

Transcripción

1 Problemes de Geometria per a l ES Siguen dues circumferències concèntriques de radis 7, 9 La corda talla la circumferència menuda en els punts, tal que = = etermineu la mesura del segment Siga R = = 9, r = = 7 Siga = = = x plicant la potència del punt respecte de la circumferència menuda: = r x x = 9 7 Resolent l equació: x = 4 = 3x = 1

2 133- Siga el cub d aresta a Siguen P, Q, R de les arestes ', '', ' ', 1 'R a respectivament, tal que P = ' Q = = 4 alculeu l àrea i el volum del sòlid truncat pel plànol que passa pels punts P, Q, R plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles P ' R : 3 PR = a 4 L àrea del sòlid truncat és igual a l àrea del cub menys l àrea de tres triangles rectangles P ' R més l àrea del triangle equilàter PQR : S sòlid 6a 3 a a a + = + = a El volum del sòlid truncat és igual al volum de cub menys el volum del tetraedre PQR : V sòlid = a 'P = a a = a

3 1333- En un triangle, = 60º i + = 1 Siga I l incentre del triangle Siga el circumcentre del triangle I alculeu la mesura del segment I = 90º + = 10º ) leshores, I = 10º Per tant, = 10º leshores, el quadrilàter és inscriptible Siga = = r radi de la circumferència circumscrita al triangle I plicant el teorema de Tolomeu al quadrilàter inscriptible : r + r = ( ) r = + 1r = (1) plicant el teorema dels sinus al triangle I: I = r sin10º = r 3 () Substituint l expressió () en l expressió (1): 1r = r 3 Simplificant: = 4 3

4 1334- Siga el trapezi isòsceles amb i paral lels Siga = 4 5 alculeu el producte de les bases Un trapezi isòsceles és un quadrilàter inscriptible + = + = = = 4 5

5 1335- En la figura siga P = 8, M = 6, diàmetre alculeu MN P M N H Siga = r Siga H = x P = 90º, per ser angle inscrit i abraçar el diàmetre plicant el teorema de Pitàgores al triagle rectangle HP : PH = 64 x plicant el teorema de Pitàgores al triagle rectangle MH PM = 36 x = PH MH = 64 x 36 x Siga P el simètric de P respecte del diàmetre PH = P'H = PH + MH = 64 x + 36 x HM: P'M plicant la potència de M respecte de la circumferència: M MN = PM P'M 6 MN = 64 x 36 x 64 x + 36 x ( 64 x ) ( 36 x ) 6 MN = 6 MN = 8 14 MN = 3 P M H P' N

6 1336- En una circumferència de radi R hi ha inscrit el quadrilàter tal que és el costat d un triangle equilàter inscrit en la circumferència, és el costat d un hexàgon regular inscrit en la circumferència i és el costat d un quadrat inscrit en la circumferència alculeu la mesura del costat i els angles del quadrilàter Siga el centre de la circumferència és l angle central d un polígon regular de 3 costats: = = 10º = = 30º 3 és l angle central d un polígon regular de 6 costats: = = 60º = = 60º 6 és l angle central d un polígon regular de 4 costats: = = 90º = = 45º 4 = º + 60º + 90º = 90 (angle central d un polígon regular de 4 costats) ( ) º leshores, és igual al costat d un quadrat inscrit en una circumferència de radi R plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles : = R = = 45º Els angles del polígon són: = 30º + 60º = 90º = 30º + 45º = 75º = 45º + 45º = 90º = 45º + 60º = 105º

7 1337- Siguen,,,, punts d una circumferència de tal que és el costat d un triangle equilàter inscrit en la circumferència, és el costat d un decàgon regular inscrit en la circumferència Les rectes, és tallen en el punt P alculeu la mesura de l angle P P Soluió: és l angle central d un polígon regular de 3 costats: = = 10º 3 és l angle central d un polígon regular de 10 costats: = = 36º 10 P és l angle exterior d una circumferència, la seua mesura és igual a la diferència dels arcs que abraça: 10º 36º P = = = 4º P

8 1338- En una circumferència i ha inscrit el quadrilàter tal que és el costat d un octògon regular inscrit en la circumferència, és el costat d un pentàgon regular inscrit en la circumferència alculeu la mesura de l angle x = x Siga el centre de la circumferència és l angle central d un polígon regular de 8 costats: 135º = = 45º = = 8 és l angle central d un polígon regular de 5 costats: = = 7º = = 54º 5 135º 43º = + = + 54º = = 11º30', x són angles oposats d un quadrilàter inscrit en la circumferència, aleshores són suplementaris: x = 180º = 180º 11º30' = 58º30º x

9 1339- Siga EFGHI un polígon regular de 9 costats tal que + = 14 alculeu la mesura de la diagonal G Solució 1: onsiderem el quadrilàter G inscrit en la circumferència circumscrita al polígon regular F G = G = G plicant el teorema de Tolomeu al quadrilàter inscrit G: G + G = G G + G = G G Simplificant: H G = + = 14 E Solució : Siga R el radi de la circumferència circumscrita al polígon regular plicant el teorema del sinus al triangle G : I = R sin 40º plicant el teorema del sinus al triangle G : = R sin 0º + = (sin0º + sin 40º )R = 4 sin30º cos10º R = cos10º plicant el teorema del sinus al triangle ( ) R G : G = R sin 80º G = R sin80º = R cos10º = + = 14

10 1340- Siga el polígon regular0 de 13 costats EFGHIJKLM tal que = a, E = b alculeu la mesura de la diagonal J Siga x = J Siga c = costat del polígon regular onsiderem el quadrilàter JM inscriptible en la circcumferència circunscrita al polígon regular M = c, JM = a, J = M = b plicant el teorema de Tolomeu: cx + a = b (1) onsiderem el quadrilàter JM inscriptible en la circcumferència circunscrita al polígon regular = c, J = x, JM = M = a, M = b plicant el teorema de Tolomeu: ac + ax = bx () b a c = x (3) a Substituint l expressió (3) en l expressió (1): b a x + a = b Resolent l equació: a x = J = a(a + b)