UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN ELBORACIÓN DEL TEXTO: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE AUTOR: Lic. FERNANDO HIPOLITO LAYZA BERMÚDEZ PERIODO DE EJECUCIÓN: Del de junio de al 3 de mayo del Resolución No. 74--R MAYO DEL CALLAO PERÚ

2 ÍNDICE CAPÍTULO I DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE MAPLE....-CONTENIDO DE MAPLE POWER EDITION.....-REQUISITOS MÍNIMOS EL ENTORNO OPERATIVO DE MAPLE PARA WINDOWS EL ENTORNO GRAFICO DE MAPLE PARA WINDOWS...4 CAPITULO II ESPACIOS VECTORIALES COMANDOS MATRICIALES INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIO DE BASES GEOMETRIA VECTORIAL EN Y 3 DIMENSIONES...4 CAPITULO III TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIONES FORMAS CUADRÁTICAS DEFINICIONES... CAPITULO IV MATRICES Y DETERMINANTES VECTORES Y MATRICES OPERACIONES CON MATRICES RE DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EL TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS SISTEMAS HOMOGENEOS CAPITULO V PRODUCTO Y ORTOGONALIDAD MATRICES SEMEJANTES, DIAGONALIZACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE MATRICES DEFINICIONES MATRICES ESPECIALES CAPITULO VI VALORES Y VECTORES PROPIOS AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DEFINICIÓN COMANDOS BÁSICOS CAPITULO VII APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL CON MAPLE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN GRAFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES LÍMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL i

3 7..5.-CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL TEOREMAS FUNDAMENTALES CURVAS EN EL ESPACIO DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE UNA CURVA REGULAR PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA REGULAR, GRAFICA LONGITUD DE ARCO VECTORES UNITARIOS: TANGENTE, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL RECTA TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE CURVATURA Y TORSION CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL DEFINICIONES REGLA DE LA CADENA TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE GRAFICOS EN 3D DE CURVAS, CAMPOS VECTORIALES PROGRAMACIÓN LINEAL, EL METODO DEL SIMPLEX TEORÍA DE GRAFOS... 9 BIBLIOGRAFÍA APÉNDICE ii

4 CAPÍTULO I DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE MAPLE.-CONTENIDO DE MAPLE POWER EDITION Maple proporciona una eensa librería con más de 5 funciones y ruinas, que usaremos en el desarrollo de esa invesigación, las cuales se deallan: Cálculo numérico y simbólico Cálculo : Diferenciación Inegración numérica Inegración Simbólica Limies y series Sumaoria y Producorio Transformaciones inegrales: Laplace, Hankel, Fourier, ec. Transformaciones discreas : Función Z, Transformaciones rápidas de Fourier Funciones definidas a rozos Cálculo de ecuaciones Sisemas de ecuaciones lineales y no lineales Ecuaciones diferenciales ordinarias ODE y en derivadas parcialespde Resolución simbólica y numérica de ODE y PDE vía series de Poencial y méodos aproimados de cálculo numérico Runge Kua, Euler, ec. Funciones especiales y elemenales Funciones rigonoméricas, eponenciales, de error, logarímica, Bessel, Zea, Gama, Hipergeoméricas, ec.

5 Algebra Lineal: Operaciones mariciales, simbólicas y numéricas Valores y Vecores propios de marices simbólicas y numéricas Marices especiales, marices dispersas, bloques mariciales, ec Coordenadas Curvilíneas Formas mariciales normales, descomposición y diagonalización Espacios vecoriales, bases, aplicaciones lineales, formas cuadráicas, ec. Gráficos Gráficos en D Gráficos en 3D Animación..-REQUISITOS MÍNIMOS En cuano al hardware, el programa eige como mínimo para su correco funcionamieno las siguienes caracerísicas: Un ordenador ipo PC- Compaible con miniprocesador 396 o superior Es conveniene la presencia de coprocedor maemáico Un mínimo de 8 megabyes de memoria RAM Disco duro con un espacio libre de enre 8 y 46 megabyes aproimadamene Es indispensable uilizar un raón, dadas las caracerísicas de los enornos Windows.3.-EL ENTORNO OPERATIVO DE MAPLE PARA WINDOWS Maple Bajo Windows goza de odas las venajas que ofrece ese enorno de Microsof. Se raa de un enorno amigable y fácil de manejar. Maple uiliza odos los periféricos que aporan las diferenes versiones de Windows para manejar sus aplicaciones y se puede

6 comunicar direcamene con odas las aplicaciones que corren bajo ese esándar acual. Por ora pare, el uso de menú, el acceso a más memoria y el manejo de raón agilizan basane los procesos. Para enrar a maple se presena la panalla de la figura. En la línea superior de esa panalla vemos el nombre del documeno acual enre corchee. En la línea siguiene se presena el menú general de la aplicación barra de menú principal con odas sus opciones File, Edi, View, Inser, Forma, Opions, Window, Help. La ercera línea presena una serie de iconos que facilian el manejo rápido con el raon de las opciones más usadas del menú general Barra de herramiena. La cuara línea o de salida/ eo barra de coneo FIGURA 3

7 .4.-EL ENTORNO GRAFICO DE MAPLE PARA WINDOWS Las represenaciones gráficas en dos y res dimensiones se realizan a ravés del comando plod y plo3d respecivamene. No se raa aquí de analizar el comando plo con odas sus opciones area que se abordará en capíulos poseriores, sino de ver las po sibilidades de rabajo que nos ofrecen los menús que se presenan en las venanas graficas. En la figura enemos la función f sen, para represenarlo gráficamene se usa el comando pold FIGURA 4

8 En la figura 3 enemos la función f sen y,, y y para represenarlo gráficamene se usa el comando pol3d FIGURA 3 5

9 CAPITULO II ESPACIOS VECTORIALES..-COMANDOS MATRICIALES El algebra maricial iene un fuere campo de aplicaciones en la eoría de espacios vecoriales, así como en odo ipo de ransformaciones lineales definidas enre espacios vecoriales, como son las aplicaciones lineales, las formas lineales, las formas bilineales, la formas cuadráicas, ec. También es de fuere aplicación el álgebra lineal en el esudio de los sisemas de ecuaciones lineales. Se presenan ejemplos, referenes a los campos anes mencionados, en los que la solución envuelve comandos mariciales ya esudiados aneriormene, Así enemos: NullspaceA o kernela NullspaceA,n o kernela,n Devuelve una base para el núcleo de A Devuelve una base para el núcleo de A y asigna a n la dimensión del núcleo. colspacea colspana Devuelve una base para la columna de A Devuelve el conjuno de generadores de vecores para el espacio columna de la mariz A. colspana,n :Devuelve el conjuno de generadores de vecores para el espacio columna de la mariz A y asigna a n la dimensión del espacio columna. rowspacea :Devuelve una base para la fila de A. rowspacea,n :Devuelve una base para la fila de A y asigna a n la dimensión del espacio fila. rowspana :Devuelve el conjuno de generador de vecores para el espacio fila de la mariz A. 6

10 rowspana,n :Devuelve el conjuno de generador de vecores para el espacio fila de la mariz A y asigna a n la dimensión del espacio fila. DoprodA,B :Da el produco escalar de los vecores A y B. DoprodA,B, orogonal :Da el produco escalar de los vecores A y B en espacio orogonal. crossproda,b :Da el produco vecorial de los vecores Ay B. anglea,b :De el ángulo formado por los vecores A y B. normalizev basis{v,v,..vn} :Normaliza el vecor Vcon la norma de V.. :Da una base del espacio vecorial generado por el conjuno de vecores {v,v,..vn}. sumbasis{vs,},{vs},..,{vsn} :Da una base para la suma para los espacios vecoriales generados por el conjuno de vecores {Vs,},{Vs},..,{Vsn} inbasis{vs,},{vs},..,{vsn} :Da una base para la inersección para los espacios vecoriales generados por el conjuno de vecores {Vs,},{Vs},..,{Vsn} GramSchmid{Vs,},{Vs},..,{Vsn} :Devuelve una base orogonal deducida a parir del conjuno de vecores {Vs,},{Vs},..,{Vsn} por el procedimieno de orogonalización de Gran Schmid. La base no iene por qué ser oronormal. 7

11 NormV :Halla la norma infinia del vecor Vmáimo de sus elemenos..-independencia LINEAL, BASES Y CAMBIO DE BASES DEFINICIONES.-Un vecor v en un espacio vecorial V se denomina combinación lineal de los vecores u, u, u 3,.u k en V si v puede epresarse en la forma v c u +c u +c 3 u 3,+.+c k u k donde c,c, c 3,,c k son escalares..-sea S{v, v,, v k } un subconjuno del espacio vecorial V. El conjuno S se denomina conjuno generador de V si odo vecor en V puede epresarse como una combinación lineal de vecores en S. En ese caso se dice que S genera a V. 3.-Un conjuno de vecores S{v, v,, v k } en un espacio vecorial V se denomina linealmene independiene si la ecuación vecorial c v +c v +c 3 v 3,+.+c k v k iene solamene solución rivial, c c.c k. Si ambién hay solución no rivial, enonces S de denomina linealmene dependiene. 4.-Un conjuno de vecores S{v, v,, v n } en un espacio vecorial V se denomina base de V si se cumple las siguienes condiciones: a.-s genera a V b.-s es linealmene independiene EJEMPLOS Esudiar cuales de los siguienes conjunos de vecores son linealmene independienes:.-{{,3,-},{,,},{,,}}.-{{,4,-3,4},{3,-,,},{,-5,,-}} 8

12 3.-{{,,,},{3,4,4,3},{,,,}} 4.-{{,3,},{,,},{,,-5}}.-{{,3,-},{,,},{,,}} Como el deerminane de la mariz es diferene de cero enonces los vecores no son linealmene independienes..-{{,4,-3,4},{3,-,,},{,-5,,-}} Como el deerminane de la mariz es cero enonces los vecores son linealmene independienes. 3.-{{,,,},{3,4,4,3},{,,,}} 9

13 Como el rango es enonces los vecores no son linealmene independienes 4.-{{,3,},{,,},{,,-5}} Como el deerminane de la mariz es cero enonces los vecores son linealmene independienes..-dado el conjuno de vecores: {{,3,4,-,},{3,4,7,-,-},{,3,-,,8},{,5,5,-,4}} Obener la dimensión de la variedad lineal engendrada por ellos y una base de dicha variedad lineal. La dimensión de la variedad lineal engendrada por un conjuno de vecores será el rango de la mariz formada por los vecores: El rango de la mariz es 3, luego la dimensión es 3

14 Para hallar una base, se considera cualquier menor de orden 3 disino de cero de la mariz. Los vecores que conengan componenes incluidas en ese menor orden formaran una base. Como el deerminanes de la mariz es disino de cero, enonces los vecores son {,3,4}, {3,4,7},y {, 5, 5} son linealmene independienes, Luego una base de la variedad lineal generada será el conjuno de vecores {{,3,4,-,},{3,4,7,-,-},{,5,5,-,4}} Se puede calcular una base direcamene de la siguiene forma: 3.-Dado el conjuno de vecores: {{,,3},{,,},{-,,}} Esudiar si forman una base de R 3, y en caso posiivo, obener las componenes del vecor 3,5, en dicha base. Calculando la mariz A

15 Como enemos res vecores de un espacio de dimensión 3, formarán una base si su deerminane es disino de cero linealmene independiene. Luego, los vecores dados forman una base en R 3. En efeco. Hallando la mariz inversa de A para calcular las componenes en la base Evaluando para enconrar las componenes del vecor 3,5, en la base Luego los componenes del vecor en la base {{,,3},{,,},{-,,}} Es dado por : 4.-Consideremos las bases B, B del espacio vecorial real ridimensional: B:{{,,},{-,,},{,,-}} B :{{,,-},{,,},{-,,}} Hallar la mariz de cambio de base de B a B y calcular las componenes del vecor {,,3} en la base B y en la base B. Consruimos la mariz B y B

16 Calculando la mariz de cambio de base se iene: Ahora hallamos las componenes del vecor X 5.-Consideremos las bases B, B del espacio vecorial real ridimensional: B:{{,,},{,,},{,,}} 3

17 B :{{,,},{,-,},{,3,-5}} Hallar la mariz de ransición de B a B La mariz obenida represena la mariz de ransición de B a B..3.-GEOMETRIA VECTORIAL EN Y 3 DIMENSIONES Usaremos algunos comandos de maples para obener realizar operaciones con vecores como la suma, el produco puno, el produco vecorial, el produco mio, ec. EJEMPLOS.-Dados los vecores: 4

18 {,,-} ; {,,} Hallar su epresión normalizada, ver si esos vecores son orogonales y hallar su produco vecorial. Los vecores serán orogonales si su produco escalar es cero Como el produco escalar es disino de cero los vecores no son orogonales. Luego, el produco vecorial es el vecor, -,.-Dados los vecores: {{,,},{,,},{,,}} Hallar su produco mio. El produco mio se ha calculado a parir del produco escalar y del produco vecorial. 5

19 3.-Dados los vecores: {{,,},{,,},{, -,-}} Hallar una base orogonal a parir de ellos por el procedimieno de Gram-Schmi. Usando el comando de Gram-Schmi para hallar dicha base, se iene: 4.-Hallar el área del riangulo cuyos vérices son los vecores,, 5, y 3,7 Aplicando la fórmula del área del riangulo en función de las coordenadas de sus vérices se iene: Por ano, el área del riangulo es de 6 unidades cuadradas. 5.-Hallar el ángulo que forman los vecores a.-,,3, y,3, b.-,-,, y,, c.- -,-3,, y 3,-,3 a.-,,3, y,3, 6

20 b.-,-,, y,, c.- -,-3,, y 3,-,3 7

21 CAPITULO III TRANSFORMACIONES LINEALES 3..-DEFINICIONES.-Sea A una mariz de mn. a.-el espacio renglón de A es el subespacio de R n generado por los vecores renglón de A. b.- El espacio columna de A es el subespacio de R m generado por los vecores columna de A.-Si una mariz A por renglones a una mariz B que esá en forma escalonada por 3.-La dimensión del espacio renglón o columna de una mariz A se llama rango de A y se denoa por rangoa. 4.-Sea T: V W una ransformación lineal. Enonces, el conjuno de odos los vecores en V que cumplen Tv se denomina Kernel de T y se denoa por KerT. 5.- Sea T: V W una ransformación lineal. Enonces, el conjuno de odos los vecores en W que son imágenes de vecores de V se llama rango de T y se denoa por rangt. EJEMPLOS.-Dada la aplicación lineal cuya mariz esá formada por el conjuno de vecores {{, -3,-,-3,-}, {-3, 3,-3, -3-}, {,, -,,}} Enconrar una base de su núcleo. Hallar ambién la imagen de los vecores {4,,,,-6}, {,,-,-,3} mediane la aplicación lineal 8

22 La imagen del vecor {,,-,-,3} es dado por Y la imagen del vecor {4,,,,-6}esa dado por.-consideremos la aplicación lineal f enre dos subespacios vecoriales U y V, de al forma que : fev-v, fev-v3, fe3v3-v4, siendo: B{e, e,e3}una base de U subespacio de R 3 y B {v, v, v3, v4 } una base de V subespacio de R 4 Hallar la mariz asociada a la aplicación lineal f. Hallar la imagen en V del vecor {,,},de U mediane la aplicación lineal f. La mariz asociada a f es evidene sólo con que observar la definición de f para los elemenos de ambas bases: Esa mariz represena la mariz asociada a la aplicación lineal f. Luego, la imagen del vecor {,,} es dado por el vecor [,, -] como sigue 3.-Consideremos la aplicación lineal f enre dos subespacios vecoriales U y V del espacio real ridimensional de al forma que fa,b,ca+b,b+c,a+c, siendo a,b,c cualquier puno de U. Hallar la mariz asociado a las aplicaciones f, f 5. 9

23 Por definición de la forma lineal se iene Para hallar la mariz de f, hay que considerar los vecores ransformados por f de los de la base canónica: Luego, la imagen de cada vecor será respecivamene: La mariz cuyas columnas son los vecores hallados es la mariz de la aplicación lineal f. Luego, la mariz asociada a f 5 será A 5 y es dado por : 4.-Consideremos la forma bilineal f:uvr, siendo U y V dos subespacios vecoriales del espacio real ridimensional, de al forma que: f[{,,3},{y,y,y3}].y -.y + 4..y3 -.y3-3.y 3.3.y3 Hallar la mariz asociada a la forma bilineal f.

24 Luego, la mariz de f es {{,-,},{,,4},{-,,-3}} 5.-Considremos la aplicación lineal f: U V donde UCR 3 y VCR 4 de al forma que fa,b,ca,,c,, siendo a,b,c cualquier puno de U. Hallar la mariz asociada a la aplicación f, su núcleo y las dimensiones del núcleo y la imagen. Definimos la ransformación lineal T: Halando la mariz asociada a la ransformación lineal: Calculo del núcleo o kernel: Con lo que el núcleo será el conjuno de vecores de la forma {, b, } con b variando en U. Además, evidenemene el núcleo iene dimensión, ya que la base es el vecor {,,}. La dimensión de la imagen de f será pues

25 Luego, una base para la imagen de T esa dado por los vecores {{,,,},{,,,}} Pues 3..-FORMAS CUADRÁTICAS 3...-DEFINICIONES.-A la epresión a + by + c y se denomina forma cuadráica asociada con la ecuación a + by + c y + d + ey + f, y la mariz A se denomina mariz de la forma cuadráica..-una forma cuadráica es definida posiiva si y solo si odos los auovalores son posiivos esricamene. 3.-Una forma cuadráica es definida negaivamene si y solo si odos los auovalores son negaivos esricamene. 4.-Una forma cuadráica es semidefinida posiiva y solo si odos los auovalores son no negaivos. 5.-Una forma cuadráica es semidefinida negaiva solo si odos los auovalores son no posiivos. 6.-Una forma cuadráica es indefinida si eisen auovalores posiivos y negaivos. EJEMPLOS.-Consideremos la forma cuadráica f: UR, siendo U subespacio vecorial del espacio real ridimensional de al forma que: F[{,y,z}] y + y + 6z 3yz + 4z Demosrar que la mariz A 3 3/ 3 3/ es la mariz asociada al forma cuadráica f. 4

26 Por dao enemos la mariz A Calculando la forma cuadráica se iene: Simplificando para comparar la forma cuadráica dada Por ano se demuesra que la mariz es la mariz asociada a la forma cuadráica f..-consideremos la forma cuadráica f: UR, siendo U subespacio vecorial del espacio real ridimensional de al forma que: f[{,y,z}] + y + 4yz + z Demosrar que la mariz A su ecuación reducida, su rengo. Por dao enemos la mariz A es la mariz asociada al forma cuadráica f y calcular 3

27 Calculemos la forma cuadráica f : Luego, esa úlima epresión coincide con la forma cuadráica Por ano, queda demosrado que la mariz A es la mariz asociado a la forma cuadráica. Para hallar la ecuación reducida calculemos la mariz de Jordan de A. Y luego la ecuación reducida será: Para calcular el rango usamos Luego el rango es 4

28 CAPITULO IV MATRICES Y DETERMINANTES 4..-VECTORES Y MATRICES Maple implemena la Librería linalg que coniene variedad de comandos referenes al álgebra maricial. Para rabajar con los concepos de ese ema es preciso cargar en memoria previamene la ciada librería, ejecuando el comando wihlinalg. Para ese capíulo inroduciremos varios comandos que permia el rabajo con vecores y marices. La mariz a... a n. a... A aij....., i,... m j,... n..... am... a mn Se inroduce las siguienes formas: a,..., an, a,..., a,... am amn A : mari,... a,..., an, a,..., a,... am amn A : array,... A : marim, n, a,.., an, an,.., an,... am,.., amn A su vez, el vecor V v, v,..., vn se inroduce como caso paricular de mariz de una fila sola fila mariz de dimensión n o de las siguienes formas: : vecor v vn ; V : vecor n, v, v,..., vn o V : array v,. v,... vn V,..., Veamos algunos ejemplos..- 5

29 OPERACIONES CON MATRICES Maple admie la mayoría de las operaciones del álgebra maricial suma, diferencia, produco, produco por un escalar siempre y cuando se guarden las normas de dimensionalidad correspondiene. Daremos algunos comandos que permian las operaciones básicas con marices. evalmepra,b,c, :Evalúa la epresión en las marices A, B, C, Dicha epresión ha de esar formada por los operadores básicos 6

30 suma+, diferencia-, produco & y poencia ^. Denro de evalm la mariz cero se denoa por, la mariz idenidad se denoa por &* y la mariz inversa por A^-, además A^ es siempre el escalar. MaaddA,B MaaddA,B,k,r EscalarmulA,k muliplya,b,c, :Suma de marices o vecores A y B A+B :Calcula k*a+r*b :Calcula k*a :Calcula el produco de las marices dadas en el orden especificado. minora,i,j dea ranka racea :Da el menor complemenario del elemeno i,j de la mariz A :Deerminane de la mariz cuadrada A :Rango de la mariz A :Suma de los elemenos de la diagonal de A orhoga :Dice si A o no mariz orogonal A - A diaga,a,..an :Consruye la mariz diagonal cuyos elemenos diagonales son las sub-marices o elemenos A, A,..An. ransposea adjoina o adja :Vecor o mariz ranspuesa de A A :Mariz adjuna de la mariz cuadrada A EponenialA, :e A calculada a ravés de series de Taylor EJEMPLOS.-Consideremos la mariz siguiene: A 3 3 7

31 Calcular a *A b La ranspuesa de A c La Adjuna de A d La inversa de A e El Deerminane de A f El rango de A g La raza de A a *A b La ranspuesa de A c La Adjuna de A d La inversa de A e El Deerminane de A f El rango de A 8

32 g La raza de A.-Consideremos las marices siguienes: A 3 3 y B 3 4 Calcular a 3A - B b A.B c dea.b d Inversa de A e inversa de B e La eponencial de A a 3A - B b A.B c dea.b 9

33 d Inversa de A. B 3.-Consideremos la mariz siguiene A Calcular la eponencial de A 4.3.-RE DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Maple ofrece deerminados comandos que permien resolver ecuaciones y sisemas de ecuaciones Enre ellos enemos los siguienes: Solveecuación,variable Solveepresión,variable :Resuelve la ecuación dada en la variable dada. :Resuelve la ecuación epresión en la variable dada. Solve{epr,..,eprn},{var,..varn} :Resuelve el siema dado por las ecuaciones dadas para odas sus posibles variables. 3

34 Solveinecuación linsolvem,v :Resuelve la inecuación para la variable especificada. :Halla V vecor solución del sisema M&*VV donde M es la mariz del sisema y V es el vecor de ermionos independienes no de elemenos de V no de filas de M. linsolvem,m :Halla la mariz M al que M&*MM. Las dimensiones de M, M y M han de ser las mismas y el senido de la muliplicación es que M por cada columnas de M es igual a la correspondiene columna de M. LinsolveM,V,nombre,variable :Resuelve el sisema M&*VV y asigna el nombre especifico al rango de M. Si Maple necesia nombrar variables para las soluciones usará los nombres variable[],variable[], ec. Si el argumeno variable no se hubiese especificado, maple uiliza los alores_[],_[], ec como nombres dela variables adicionales necesarias en las soluciones. Leassqrs{equ,,equn},{var, varn} :Halla var, varn que saisface el siema de ecuaciones dado por equ,..,equn en el senido de mínimos cuadrados. EJEMPLOS.-Resolver

35 Ediamos la ecuación en maple como: Resolviendo la ecuación con el siguiene comando: Se obiene las siguienes soluciones: Escribiendo a solveeq, como una nueva variable Aplicando el comando evalf para aproimar las soluciones se iene:.-resolver el sisema de ecuaciones u v w 3u v 3 u v w Ediando el sisema Resolviendo usando el comando solve, se iene: Por ano, el conjuno solución será 3.-Resolver el sisema sujeo a deerminadas condiciones Si.y y y 3

36 Ediando la ecuación y la condición y resolviendo, se iene: Luego, el conjuno solución será: Si deseamos que sea disino de cero, se iene 4.-Resolver la inecuación + > 5 5.-Resolver la inecuación - > 33

37 4.4.-EL TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS Los sisemas de ecuaciones lineales pueden converirse a forma maricial y resolverse uilizando el cálculo con marices. Un sisema puede escribirse en la forma M*XB, siendo X el vecor de variables y B el vecor de érminos independienes y M la mariz de coeficienes del sisema. Un sisema de m ecuaciones con n incógnias iene solución si y sólo si, el rango de la mariz de los coeficienes coincide con el rango de la mariz ampliada con el vecor columna de los érminos independienes del sisema. Si los dos rangos son iguales e iguales al número de incógnias, el sisema iene solución única. Si los dos rangos son iguales, pero menores al número de incógnias, el sisema iene infinias soluciones. Si son disinos, el sisema no iene solución. EJEMPLOS.-Esudiar y resolver el sisema de ecuaciones lineales Ediando la maiz de los coeficienes del siema Ediando la mariz ampliada del sisema 34

38 35 Calculando el rango de A y de B, se iene Ambos rangos son iguales y coinciden con número de variables por lo ano el sisema iene solución única Ediando el vecor independiene para buscar la solución Resolviendo La solución será:.-esudiar y resolver el sisema de ecuaciones lineales Ediando la maiz de los coeficienes del sisema

39 Ediando la mariz ampliada del sisema Calculando el rango de A y de B, se iene Ambos rangos son iguales y coinciden con numero de variables por ano el sisema iene solución única Ediando el vecor independiene para buscar la solución Resolviendo, se iene Por ano la solución será:.-esudiar y resolver el sisema de ecuaciones lineales

40 Ediando la maiz de los coeficienes del sisema Ediando la mariz ampliada del sisema Calculando el rango de A y de B, se iene El rango de A es disino al rango de B. Por ano, el sisema no iene solución. Luego, el sisema es incompaible SISTEMAS HOMOGENEOS El sisema A*XB se dice homogéneo si el vecor de érminos independienes B es nulo, con los que odo sisema homogéneo será de la forma A*X, con solución rivial el vecor X En un sisema homogéneo, el rango de la mariz de los coeficienes y el rango de la mariz ampliada con las columna de los érminos independienes siempre coinciden.. Si aplicamos el eorema de Rouché-Frobenius, un sisema homogéneo endrá una única solución cuando el deerminane de la mariz A sea disino de cero. 37

41 Un sisema homogéneo endrá infinias soluciones cuando el deerminane de la mariz sea cero. En ese caso, las infinias soluciones se calculan igual que el de los sisemas generales o ambién usando la función nullspacea. EJEMPLO.-Esudiar y resolver el sisema: Ediando la mariz de los coeficienes Calculando el rango de A Como el deerminane de la mariz es nulo, el sisema endrá infinias soluciones. Y esas soluciones serán Si aplicamos el comando nullspace, obenemos una base del núcleo de la mariz del sisema En efeco: 38

42 39.-Esudiar y resolver el sisema: Ediando la mariz de los coeficienes Calculando el deerminane de A Como el deerminane de A es disino de cero, enonces el sisema iene única solución Resolviendo se iene La solución será: 3.-Esudiar y resolver según los valores de m, el sisema: m m m m m 3 3 Ediando la mariz de los coeficienes

43 Resolviendo el deerminane de la mariz A en ermino de m e igualando a cero Si m es disino a 46/3, el sisema iene única solución, la rivial Si m 46/3, enonces el sisema iene infinias soluciones Y esán dadas por 4

44 CAPITULO V PRODUCTO Y ORTOGONALIDAD 5..-MATRICES SEMEJANTES, DIAGONALIZACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE MATRICES 5...-DEFINICIONES.-Se dice que dos marices A y B de dimensión mn son equivalenes si eisen dos marices regulares U y V al que A UBV. El comando de Maple svda;u,v calcula una mariz diagonal D que es equivalene a A..-Se dice que dos marices cuadradas de orden n, A y B son congruenes si eise una mariz regular P al que APBP o AP BP. La congruencia implica la equivalencia, y dos marices congruenes han de ener el mismo rango. 3.-Se dice que dos marices cuadradas de orden n, A y B son semejanes si eise una mariz inverible P, llamada mariz de paso, al que APDP -. Se iene que dos marices semejanes son equivalenes. 4.-Una mariz A se dice diagonalizable si es semejane a una mariz diagonal D, eso es, si eise una mariz de paso P regular al que APDP - 5.-El proceso de cálculo de la mariz diagonal D y de paso P se denomina diagonalización de A. 6.-Una mariz cuadrada A es orogonal si y solo si A - Q T 7.-Una mariz cuadrada A es orogonalmene diagonalizable si eise una mariz orogonal Q y una mariz diagonal D al que Q T AQD 8.-Si A es una mariz simérica enonces cualquiera dos eigenvecores disinos correspondienes a eigenvalores disinos de A son orogonales. 9.-Dada una mariz A cuadrada de orden n de números reales, si odos los valores propios 4

45 auovalores A son reales y disinos, enonces A es diagonalizable. La mariz D endrá Como elemenos de la diagonal los valores propios de A. La mariz de paso P iene por Columnas los vecores propios de A correspondienes a sus valores propios. Si la mariz A iene el valor propio r con muliplicidad mayor que, será diagonalizable si y sólo si el núcleo de la maiz A-r*In iene dimensión igual al grado de muliplicidad del valor propio. Maple habilia comandos que permien la descomposición de marices en producos de vecores orogonales y marices diagonales. Así enemos: SvdA SvdA,V,lef :Da un array con los valores singulares de A :Da un array con los valores singulares de A y el array de V con los valores singulares de A por la izquierda SvdA,V,righ :Da un array con los valores singulares de A y el array de V con los valores singulares de A por la derecha SvdA,U,V :Da las marices cuadradas U y V ales que evalmransposeu&*vd, siendo D una mariz cuya diagonal son los valores singulares de A. Si A es cuadrada odas las marices son cuadradas y de la misma dimensión. Si A es de dimensión n, p, enonces U es n, n, V es p, p y D es n, p DefinieA,opción :Deermina si la mariz A es definida posiiva, semideinida posiiva, definida negaicva o 4

46 semidefinida negaiva para los respecivos valores de la opción dados por posiive_def, posiive_semidef, negaive def o negaive_semidef JordanA,P :Devuelve la forma canónica de Jordan J de A con los valores propios de A en la diagonal, y la mariz de paso V cuyas columnas son los auovecores de A, cumpliéndose la igualdad evamv &*A&*VJ OrhogA :Dice si A es ó no mariz orogonal A - A EJEMPLOS.-Dada la mariz: A i i 3 i i Calcular los auovalores, polinomio mínimo, polinomio caracerísico, forma canónica de Jordan y sus valores singulares. 43

47 .-Dada la mariz: A cos a sen a sen a cos a Calcular los auovalores, polinomio caracerísico, forma canónica de Jordan, polinomio mínimo. 44

48 3.-Dada la mariz: A 5 3 Calcular auo valores, polinomio caracerísico, forma canónica de Jordan, polinomio mínimo. 4.- Dada la mariz la mariz A de orden 5, definida por Αιϕ ι ϕ / Calcular La mariz A, auo valores, polinomio caracerísico forma diagonal de Jordan. 45

49 5.-Dada la mariz / A / / / 3 / 3 / 5 / 5 4 / 5 Verificar si esa mariz es orogonal Usando el comando orhog, para ver si mariz A es ó no orogonal En efeco 46

50 El resulado de aplicar ese comando es false lo que significa que la mariz no es orogonal. 6.-Dada la mariz / / A / / / / / / / / / / / / / / Demuesre que la mariz A es orogonal Encuenre la inversa y la ranspuesa de A El resulado de aplicar ese comando es rue lo que significa que la mariz es orogonal. Calculando la mariz inversa 47

51 La ranspuesa de A Luego, la inversa de A es igual su ranspuesa Por ano, La mariz A es orogonal 5..-MATRICES ESPECIALES Maple ofrece comandos para definir deerminados ipos especiales de marices. Enre ellos enemos: hilber n :Mariz de Hilber de orden n al que Aij/i+j- sylveserp,p, :Mariz cuadrada de Sylveser de los polinomios en epandidos dados, con dimensión m+n, siendo mgrado p y ngradop. El deerminane de esa mariz es la resulane de los dos polinomios. 48

52 fibonacci n :Mariz enésima de Fibonacci Fn cuya dimensión es la suma de las dimensiones de Fn- y Fn-. Vandermonde[ep,..,epn] :Mariz de Vandermonde cuyo elemeno i,j es ep j- i. wroskianv, :Mariz bronskiana del vecor Vf,..fn respeco de la variable. El elemeno i,j es difffj,$i-. Jacobian[epr,..eprm],[,..n] :Mariz jacobiana de orden mn de elemenos i,j diffepri,j. Hessiane,[,..n] :Mariz hessiana de orden mn de elemenos i,j diffe,i,j. ismiha,var :Da la mariz diagonal S correspondiene a la forma normal de Smih de la mariz cuadrada A de polinomio en la variable var. ihermiea,var :Da la Mariz H correspondiene a la forma reducida escalonada normal de Hermie de la mariz cuadrada A de polinomios en la variable var sobre los racionales. GaussjordA ;Da la mariz riangular superior correspondiene a la reducida por filas escalonada de Jordan de la mariz A. Esa reducida se uiliza para faciliar la 49

53 resolución de sisemas de ecuaciones lineales cuya mariz de coeficiene es la mariz A. BacksubA :Da el vecor al que A*V siendo A una mariz riangular reducida de gauss de A, que suele ser la obenida con gaussjorda o gausselima y siendo V el vecor úlima columna de la mariz A. BacksubA,V :Da el vecor al que A*V siendo A una mariz riangular reducida de gauss de A, que suele ser la obenida con gaussjorda o gausselima. EJEMPLOS Consideramos la mariz A cuadrada 3 cuyas filas son los vecores, 5,-, -7,3, y,,- Siendo V el vecor de unos, resolver el sisema L*V basándose en la descomposición LU. Resolver el sisema G*V uilizando la ransformación de A a su forma riangular de Gauss Resolver el sisema J*V uilizando la ransformación de A a su forma riangular de Jordan Represenar el sisema maricial en la forma de ecuaciones y realizar las descomposiciones de Hermie y Smih para la mariz A. En primer lugar definimos la mariz A y el vecor V. 5

54 A coninuación hallamos la descomposición LU de A, para resolver el sisema A*V, uilizando el comando backsub Ya hemos resuelo el sisema L*V, cuya epresión en forma de ecuaciones se puede conseguir con el geneqns como sigue: Ahora resolvemos el siema G*V ransformado A a su forma riangular de Gauss El sisema en forma de ecuaciones se epresaría de la forma: Ahora resolvemos el sisema J*V ransformando A a su forma riangular de Jordan y usando poseriormene el comando forwardsub. Por úlimo se presenan las formas de Smih y Hermie para la mariz enera A 5

55 5

56 CAPITULO VI VALORES Y VECTORES PROPIOS 6..-AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 6...-DEFINICIÓN Sea A una mariz de orden nn. Un escalar λ es llamado un eigenvalor de A si eise un vecor disino del vecor cero al que A λ Al vecor de esa nauraleza se le conoce un iegenvecor de A correspondiene al escalar λ. De la definición al dea λi se le conoce con el nombre de polinomio caracerísico de A y a la Mariz A- λi se le conoce como mariz caracerísica COMANDOS BÁSICOS Maple implemena comandos que permien el rabajo fluido con auo valores y auo vecores de una mariz cuadrada. Tenemos los siguienes: eigenvalsa :Devuelve los auovalores de la mariz A raíces del polinomio caracerísico deλ *I - A eigenvalsa,nombre :Asocia la variable nombre a los auovalores de A en modo inere eigenvecorsa charmaa, λ :Devuelve los auovecores de la mariz A :Devuelve la mariz caracerísica de A en función de λ, cuyo valor es M λ*i-a charmaa, epr :Devuelve la mariz caracerísica de A en función de epr, cuyo valor es M λ*i-a charpolya,epr :Devuelve el polinomio caracerísico de A en función de epr, cuyo valor es deepr*i-a 53

57 54 minipolya, :Devuelve el polinomio mínimo de A en la variable. El polinomio mínimo de A es el polinomio p de menor grado que aniquila a A. eso es, al que pa EJEMPLOS Calcular la mariz caracerísica, el polinomio caracerísico y los iegenvalores y eigenvecores de las marices siguienes:.- A A A 4.- A A.- A

58 55 Para el valor de λ - enonces se obiene el vecor, Para el valor de λ enonces se obiene el vecor, A Para el valor de λ enonces se obiene el vecor 3,-3, Para el valor de λ 6 enonces se obiene el vecor,, A

59 Para el valor de λ 3 enonces se obiene el vecor,-, Para el valor de λ enonces se obiene el vecor,, 4.- A Para el valor de λ enonces se obiene el vecor -,, Para el valor de λ - enonces se obiene el vecor 3 3,-, Para el valor de λ 3 enonces se obiene el vecor,, 56

60 4 5.- A 3 3 Para el valor de λ 3 enonces se obiene el vecor -,, Para el valor de λ enonces se obiene el vecor 3,, Para el valor de λ 3 4 enonces se obiene el vecor,, 57

61 CAPITULO VII APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL CON MAPLE CÁLCULO VECTORIAL 7..- FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL 7...-DEFINICIÓN Llamaremos función vecorial, y lo denoaremos por f a la función 3 f : R R definida por: : f, f, f 3 f i f j f 3 f k Ediando en Maple se iene: Donde e, e y y e z son los vecores canónicos o la base canónica del espacio R 3. Por ejemplo e :,,, e y :,, y e z :,, Gráficamene una función vecorial es dado por la siguiene grafica OBSERVACION A las funciones f, f y f3 son llamados funciones coordenadas o funciones componenes de la función vecorial f EJEMPLOS Ediar con maple las siguienes funciones vecoriales 58

62 .- f : cos, sen,.- f : cos, sen, sen 3.- f : cos,3sen, 4.- f : cos sen,3sen,cos.- f : cos, sen,.- f : cos, sen, sen 3.- f : cos,3sen, 4.- f : cos sen,3sen,cos 7...-GRAFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Sea f una función vecorial. Definimos grafica de la función vecorial como: Gra f :, f / Dom f EJEMPLOS I.-Graficar las siguienes funciones vecoriales.- f : cos, sen, 59

63 .- f : cos, sen, sen 3.- f : cos,3sen, Para graficar una función con vecorial con maple usaremos los siguienes pasos: Usaremos el menú de herramienas, hacemos un clic para obener un nuevo menú llamado uorial-cálculo vecorial, hacemos un clic y escogemos curvas en el espacio; saliendo una venana de gráficos de funciones, ediamos la función requerida para hacer un clic en display resulando la gráfica de la función vecorial ediada..- f : cos, sen, 4 6

64 .- f : cos, sen, sen 3.- f : cos,3sen, OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES Dadas las funciones vecoriales f y g con Dom f ydom g sus respecivos dominios; y dado la función real α se iene: f g : f g, Dom f Dom g 6

65 f. g : f. g, Dom f Dom g f g : f g, Dom f Dom g. f :. f, Dom Dom f f o : f, Dom f o Dom f o : R / Dom Dom f EJEMPLOS I.-Dada las funciones vecoriales. f cos, sen,, y g e, e, Calcular a f. g b f g Ediando las dos funciones vecoriales. f y g son funciones vecoriales en el espacio R 3 6

66 Aplicando el comando produco escalar y produco vecorial, se iene a f. g b f g II.-Dadas las funciones f e, e,, y f Calcular. Ediando la función vecorial Aplicando el produco de un función escalar por una función vecorial, se iene: III.-Dadas las funciones. f cos, sen,, g cos, sen,, y h sen, cos, Calcular f g. h Ediando las funciones vecoriales 63

67 64 Calculando el produco vecorial, se iene Luego, calculando el produco escalar, se iene Simplificando Por ano,. h g f LÍMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL Sea f una función vecorial definida en un dominio f Dom y se f Dom o y sea L un vecor. Enonces diremos que L es el límie de la función vecorial f cuando se aproima a si y solo si L f f Dom alque,, OBSERVACION Sea la función vecorial definida por k f j f i f f : 3 Enonces k Lim f j Lim f i Lim f Lim f : 3 Siempre que los limies siguienes eisan y, 3 f Lim f Lim f Lim EJEMPLOS Calcular los siguienes límies de las siguienes funciones vecoriales en el puno indicado : k j i f

68 : k j i sen g : k j i h 4.- cos : k j sen i F Usaremos el comando limi de maple para resolver esos límies : k j i f Ediamos la función Aplicando limie en 3, se iene.- 3 : k j i sen g Aplicando limie en, se iene : k j i h Aplicando límie se iene

69 4.- F : cos i sen j k Aplicando límie, se iene PROPIEDADES Sean las funciones vecoriales f y g al que Lim f a Lim g b y Lim L Enonces se iene Lim f g Lim f Lim g a b Lim f. g Lim f. Lim g a. b Lim f g Lim f Lim g a b Lim. f Lim. Lim f L. a CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL Sea f una función vecorial y Є Dom f, diremos que la función f es coninua en sii f a.- eise b- Lím f eise c.- Lím f f 66

70 OBSERVACION Si la función no cumple con algunas de esas condiciones se dice que la función vecorial no es coninua o disconinua en el puno EJEMPLOS I.-Analizar si la siguienes funciones vecoriales es coninua en el puno que se indica..- f : cos, sen,,.- f : cos, sen, sen, f 3,, sen 4.- f : cos,3,cos, 5.- f : e cos, e sen, e,.- f : cos, sen,, Usaremos la definición de coninuidad a.- f cos, sen,,, es un vecor en R 3 por ano eise b.- Lím f Límcos, Lím sen, Lím,, eise c.- Lím f f Luego la función vecorial cumple con las res condiciones de coninuidad Por lo ano la función vecorial dada es coninua en.- f : cos, sen, sen, Similarmene como en el ejemplo anerior, usaremos la definición de coninuidad 67

71 a.- f cos, sen, sen,, es un vecor en R 3 por ano eise b.- Lím f Límcos, Lím sen, Lím sen,, eise c.- Lím f f Luego la función vecorial cumple con las res condiciones de coninuidad Por lo ano la función vecorial dada es coninua en f 3,, Usando la definición de coninuidad. a.- f 3 3,,,, 8 noamos que la segunda coordenada del vecor no iene significado, por lo que la imagen de 3 no eise Luego la función vecorial dada no es coninua en 3 sen 4.- f : cos,3,cos, Usando la definición de coninuidad sen a.- f cos,3,cos,, de igual manera la segunda coordenada del vecor no iene significado, por lo que la imagen de no eise Luego la función vecorial dada no es coninua en 5.- f : e cos, e sen, e, Usando la definición de coninuidad a.- f e cos, e sen, e,, es un vecor en R 3 por ano eise b.- Lím f Líme cos, Líme sen, Líme,, eise 68

72 c.- Lím f f Luego la función vecorial cumple con las res condiciones de coninuidad Por lo ano la función vecorial dada es coninua en OBSERVACIÓN Hay casos en la cual la imagen de la función vecorial no esá definida en un puno, pero el lime eise alrededor de dicho puno; ó que la imagen de dicho puno esa definida pero no coincide con el limie de la función. En ambos casos la función no es coninua osea disconinua; por lo ano, la función iene una disconinuidad eviable, es decir podemos redifinir la función vecorial al que sea coninua en ese puno. EJEMPLO Analizar la coninuidad de la función vecorial en el puno que se indica. Si f e cos,,, /,,, La imagen de la función vecorial en es el vecor,, Calculando el límie: e cos e cos Lím,, Lím, Lím, Lím /, /, Por ano la imagen de la función en es disina al límie. luego la función vecorial es disconinua en Aplicando la obervación se iene que la nueva función vecoeial será: e cos,,, /, /,, f 69

73 PROPIEDADES DE CONTINUIDAD Sean f y g dos funciones vecoriales coninuas en Enonces. es coninua en es coninua en.- f g.-. f es coninua en donde R 3.- f. g 4.- f g es coninua en OBSERVACIÓN Para demosrar esas propiedades basa con aplicar la siguiene definición. 3 La f f, f, f vecorial es coninuas en si y solo si cada función coordenada es coninua en Por ejemplo. Demosraremos la primera propiedad 3 Supongamos que f f, f, f 3 y g g, g, g Dos funciones vecoriales coninuas en enonces las funciones coordenadas f, f, f3 y g, g, g3 son coninuas en, sumando f g, f g, f3 g3 son coninuas en. Luego la primera propiedad se cumple. El produco vecorial es definida en R 3 7

74 7..6.-DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL Sea f una función vecorial y Є Dom f, diremos que la función f iene derivada en y lo denoamos por finio PROPIEDADES f f f ' si f ' : Lim siempre que ese límie eisa y sea.-si la función vecorial f es definida por : f i f j f 3 f k enonces: ' : f ' i f ' j f 3 f ' k siempre que las funciones derivadas f', f' y f3' eisan..-sean las funciones vecoriales f y g diferenciables y sea α una función real diferenciable, en un inervalo enonces f g y f. g.y f g y. f son diferenciables. Y se cumple: a f g' : f ' g' f. g' : f '. g f. g' c f g' : f ' g f g' d. f ' : '. f. f ' EJEMPLOS I.-Calcular derivada de las siguienes funciones vecoriales en el puno indicado.- f cos, sen,, 3.- f,,, 7

75 5 3.- f e, e,, 4.- f cos, sen,, f,,,.- f cos, sen,, Ediando la función vecorial Aplicando el operador diferencial dado por maple. Por ano, obenemos la derivada de la función vecorial f 3.- f,,, Aplicando la derivad obenemos f e, e,, 4.- f cos, sen,, 7

76 73 5.-,,, 3 f Para ese úlimo ejemplo evaluemos la derivada en, se iene INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA Sea la función vecorial f es definida por k f j f i f f : 3 enonces: La inegral indefinida de f es dado por c k d f j d f i d f d f 3 Donde c es la consane de inegración. DEFINICION DE UNA INTEGRAL DEFINIDA Sea la función vecorial f es definida en un inervalo abiero I] a, b [ y por k f j f i f f : 3 enonces: Para dos punos disinos a y b Є I se iene b a b a b a b a k d f j d f i d f d f 3 PROPIEDADES

77 f, g : a, b R.-Sean 3 funciones vecoriales inegrables, enonces la función. es inegrable en b f g, R b a b b f g d. f d. g d a a a, y se iene f : a, b R.-Si 3 es una función vecorial inegrables y c es un vecor consane, enonces las funciones c. f y c f es inegrable en a, b y se iene b a b c. f d c. f d y c f d c a b a b a f d f : a, b R 3.-Si 3 es una función vecorial inegrables y f es inegrable en a, b y se iene b a f d f d b a TEOREMAS FUNDAMENTALES PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES Sea la función vecorial f coninua en un inervalo abiero I] a, b [ y sea Є I, enonces: D f d f, I SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES Si : f i f j f 3 f k iene derivada coninua sobre el inervalo abiero I] a, b [ b Enonces D f d f b f a a EJEMPLOS 74

78 I.-Calcular las inegrales de las siguienes funciones.- f cos, sen, 3.- f e,, h, sen4, Ediamos la función Aplicando el comando inegral in de maple 3.- f e,, h, sen4, II.-Calcular las inegrales de las siguienes funciones en el inervalo indicado.- f cos, sen,, / 3.- f e,,, 75

79 3 3.- f,4,, -.- f cos, sen,, / Ediando la función Usando el comando in de maple en el inervalo pedido in 3.- f e,,, f,4,, - Por ano la inegral será el vecor,8,. 76

80 7..-CURVAS EN EL ESPACIO 7...-DEFINICIÓN Una función vecorial define curvas en el plano o en el espacio, ésas curvas pueden ser simples, cerradas y cerradas con puno doble A coninuación definimos ésas curvas. La Curva C es una curva cerrada en un inervalo cerrado I [a, b] si a b La Curva C es una curva con punos dobles si, La Curva C es una curva simple si no posee punos dobles. Para nuesro propósio esudiaremos aquellas curvas que no presenan punas o picos. Es decir, curva suave en la cual eisa la derivada, y esas son las curvas regulares. 7..-DEFINICIÓN DE UNA CURVA REGULAR Se dice que la Curva C es una curva Regular si es de clase C y ', a, b OBSERVACIÓN Una curva es de clase C si eisen sus primeras derivadas y ésas son coninuas en un inervalo abiero. EJEMPLOS Las curvas dadas son regulares 77

81 .- cos, sen,.- R a cos, R a sen, a 3.- acos, asen, b, a, b En efeco.- cos, sen, Por ano, la derivada no es cero para odo en los reales Luego, la curva es regular.- R a cos, R a sen, a Por ano, la derivada no es cero para odo en los reales Luego, la curva es regular 3.- acos, asen, b, a, b Por ano, la derivada no es cero para odo en los reales Luego, la curva es regular 78

82 7..3.-PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA REGULAR, GRAFICA Se dice que la curva C C R 3 es una curva paramerizada, si eise una función vecorial 3 : a, b R R al que a, b C OBSERVACIÓN A la función vecorial se le llama paramerización de la curva C. EJEMPLOS I.-Enconrar una paramerización y graficar de las curvas siguienes 36 SOLUCION Paramerizando se iene cos, sen,, Usaremos el comando plo3d de maple que se encuenra en el menú de herramienas..- C : z y y.-c : z z.-c : z y y.-c : z z 36 79

83 Paramerizando la curva se iene 9cos,4sen,, Usaremos el comando plo3d de maple LONGITUD DE ARCO Sea : a,b 3 R R una curva regular definida por,, 3 Si P y Q enonces la LONGITUD DE ARCO de la curva desde P hasa Q esa dado por: L PQ ' d OBSERVACIÓN La función longiud de arco de una curva esa dado por s L ' d, a, b EJEMPLOS I.-Calcular la longiud de arco de las curvas siguienes.- cos,sen, 8

84 .-,,, 3.-,,, cos,3sen,4, 4.- cos, sen, Ediando la función y usando el comando ArcLongh de maple, se iene.-,,, Ediando la función y usando el comando ArcLongh de maple, se iene 3.-,,, Ediando la función y usando el comando ArcLongh de maple, se iene 3 4.-,,, 3 6 8

85 7..5.-VECTORES UNITARIOS: TANGENTE, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL VECTOR TANGENTE UNITARIO. Sea : a,b R R 3 una curva regular. El vecor angene uniario, T en la dirección de ' T : ' ' OBSERVACIÓN Se demuesra que T T ' VECTOR NORMAL PRINCIPAL. El vecor uniario que iene la misma dirección que T ' se denomina Normal principal a la curva. N : T ' T ' EJEMPLOS I.-Calcular el vecor angene uniario y el vecor normal principal de las siguienes curvas. a.- f, 8

86 b.- f,, 3 c.- f e cos, e. sen, e a.- f, Ediando la función Aplicando el comando TangenVecor asociado a normalized de maple, para hallar el vecor uniario de la curva Aplicando el comando PrincipalNormal de maple para hallar el vecor normal principal de la curva b.-,, 3 83

87 c.- f e cos, e. sen, e OBSERVACIÓN Se demuesra que T N, Además B : T N llamado vecor Binormal uniario. EJEMPLO Hallar el vecor Binormal a la curva dado por a.- f e cos, e. sen, e 84

88 Aplicando el comando Binormal normalizado de maple se obiene la Binormal de la curva OBSERVACIÓN 3 Si T, a, b enonces el movimieno es lineal Por ano al conjuno formado por los vecores principales: Tangene, Normal y Binormal uniario T, N, B se lo llama TRIEDRA MOVIL de la curva C. EJEMPLOS Calcular la riadra móvil en el puno indicado de las siguienes curvas a.- f cos, sen,, 3 b.- f,,, c.- f cos, sen,, d.- f,cos, sen, a.- f cos, sen, Aplicando el comando TNBFrame de maple, obenemos el vecor Binormal de la curva en cualquier real. 85

89 La riada móvil en el puno esa dado por b.- f,, 3 Aplicando el comando TNBFrame de maple, obenemos el vecor Binormal de la curva en cualquier Vecor angene uniario es dado por.,,, vecor normal principal es dado por,, Vecor Binormal es el vecor,, 86

90 c.- f cos, sen, La riadra móvil en cualquier real En paricular, para, se iene 87

91 d.- f,cos, sen En odo, la Triada móvil es dado por: 88

92 Evaluando en, se iene De ese vecor columna se puede obener: Vecor angene uniario es dado por. [,,], Vecor normal principal es dado por 5 5, 5, 5 Vecor Binormal es el vecor 5 5, 5 5, RECTA TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL 3 Sea : a,b R R un curva de clase C y ', y '', a,b.-la RECTA TANGENTE a la curva en el puno es definido por: L T T / R.-LA RECTA NORMAL a la curva en el puno es definido por: L n N / R 3.-LA RECTA BINORMAL a la curva en el puno es definido por: 89

93 L B B / R EJEMPLOS Calcular la reca angene a la curva en el puno que se indica 3 a.- f,,, b.- f cos, sen,, c.- f e cos, e sen, e, a.- f,, 3 Ediando la función Aplicando el comando TangenLine de maple obenemos la reca angene en Al descomponer ése vecor nos da la reca angene en que pasa por el puno,, y iene vecor direcor [,,3]. Graficando la curva b.- f cos, sen,, Ediando la función Aplicando el comando TangenLine de maple obenemos la reca angene en 9

94 Al descomponer y evaluar ése vecor nos da la reca angene en que pasa por el puno -,,pi y iene vecor direcor [,-,]. c.- f e cos, e sen, e, Ediando la función Aplicando el comando TangenLine de maple obenemos la reca angene en Al descomponer ése vecor nos da la reca angene en que pasa por el puno,,i y iene vecor direcor [,,] PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE.-El Plano OSCULADOR es el plano generado por el vecor angene y la normal principal T N es decir. ; P O : B. P P.-El Plano NORMAL PRINCIPAL es el plano generado por el vecor Normal y la Binormal N B es decir. P N : T. P P 9