DERIVADAS EN LA EBAU DE MURCIA. 2x 2 2x 1. 2x + 2x + 1 (2x + 1) 2x + 1. g'(x) = 2xe + x 2xe g'(x) = 2xe (1 + x )

Transcripción

1 DERIVADAS EN LA EBAU DE MURCIA a + b 1. (Septiembre 017) Dada la función f() =, donde a y b son números reales, halla el + 1 valor de a y b para que se cumpla que f(0) = 1 y f (0) = 1. b = 1 y a = 1.. (Septiembre 017) Halla las derivadas de las siguientes funciones: f() = f '() = + f '() = + 1 ( + 1) + 1 b) g() = e g'() = e + e g'() = e (1 + ) c) ln( ) ln( ) h() = ln( ) h'() = h'() =. (Junio 017) El volumen de agua (en millones de litros) almacenado en un embalse a lo largo de un periodo de 11 años en función del tiempo t (en años) viene dado por la función f(t) = t 4t + 180t t 11. Calcular: La cantidad de agua almacenada en el último año (t = 11) millones de litros. b) El año del periodo en el que el volumen almacenado fue máimo. En el seto año. c) El volumen máimo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo. 84 millones de litros. 4. (Junio 017) Dadas las funciones f() = 7 + a; g()= 1 + b donde a y b son números reales, hallar a y b sabiendo que f(1) = g(1) y f (1) = g (1). b = -1 y a = (Septiembre 016) Halla la derivada de las siguientes funciones: 5 f() = ln + e 1 f '() = 5 ln + + e f '() = 5 ln + + e b) g() = g() = g'() = = 7 ( ) ( ) ( + ) c) 1 h() = + ( + ) ( 1) h'() = = + + ( ) ( ) 6. (Junio 016) Halla la derivada de las siguientes funciones: f() = e f '() = e e + 1 María de la Rosa Sánchez Pág. 1

2 b) g() = + 4 ( )( ) ( ) ( + ) ( + ) g'() = = 7. (Septiembre 015) Halla la derivada de las siguientes funciones: f() = + f '() = + 4 ( + ) b) g() = ( 1) L 1 g'() = L + c) 5 1 h() = e h'() = 10 e 8. (Septiembre 015) En las cuatro primeras horas de un concierto, el número de miles de asistentes después de t horas, una vez comenzado, varía según la función f(t) = t 7t + 84t, 0 t 4. Hallar el número máimo de asistentes al concierto en ese intervalo de tiempo. Derivamos decidir si son máimos o mínimos. f '(t) = 6t 54t + 84 = 0 t = 0, t =. Estudiamos el signo de la derivada para Intervalos ( 0, ) (,4 ) Signo de f + - Monotonía Creciente Decreciente Por tanto en t = tenemos el máimo de asistentes, siendo este f() = 76 mil. 9. (Junio 015) Dada la función 1 1 f() =, calcular: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento b) Los máimos y mínimos relativos. c) Los puntos de corte con los ejes. (,0) Creciente. ( 0,1 ) Decreciente. ( 1,+ ) Creciente b) Máimo en P(0,0) y mínimo en 1 Q 1, 6 c) Corta al eje Y en (0,0) y al eje X en, (Junio 015) Dada la función f() = + a + b + c, donde a, b y c son números reales, hallar los valores de a, b y c para que la función cumpla las siguientes condiciones: pase por el origen de coordenadas, María de la Rosa Sánchez Pág.

3 b) su derivada se anule en = 0 y además c) la pendiente de la tangente a su gráfica en = 1 valga. Las condiciones se traducen en: f(0) = 0, por lo que c = 0. b) f '(0) = 0 f '() = 4 + a + b, luego b = 0. c) Como f ( 1 ) = 4 + a = a = 4 La función es f() = 11. (Septiembre 014) El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una fábrica por la producción de aceite viene dado por la función hectolitros de aceite producidos en una semana. Representa la función B() con 0. B() = + 6 8, donde representa los b) Calcula los hectolitros de aceite que se debe producir cada semana para obtener el máimo beneficio. Calcula dicho beneficio máimo. Los puntos de corte con los ejes son (0,-8), (,0) y (4,0). El máimo se alcanza en el punto (, 1). La representación gráfica es b) El beneficio máimo se obtiene produciendo hectolitros y es de (Septiembre 014) Dada la función f() = halla su dominio, los puntos de corte 4 con los ejes y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en = 1. El dominio es R {,} Cortes con los ejes (0,1) y (-1,0) 6 f '() = m = f '(1) = 6 es la pendiente de la recta tangente en = María de la Rosa Sánchez Pág.

4 1. (Junio 014) El coste de fabricación de un modelo de teléfono móvil viene dado por la función C() = , donde representa el número de teléfonos móviles fabricados. Supongamos que se venden todos los teléfonos fabricados y que cada teléfono se vende por 80 euros. Determina la función de beneficio (definido como ingreso menos coste) que epresa el beneficio obtenido en función de. b) Cuántos teléfonos deben fabricarse para que el beneficio sea máimo? A cuánto asciende dicho beneficio máimo? c) Para qué valores de se tienen pérdidas (beneficios negativos)? B() = 80 C() = , la gráfica es una parábola abierta hacia abajo. b) Buscamos el máimo de B(). Derivando B'() = + 70;B'() = = 0 = 5. B(5) = 900. Deben fabricarse 5 teléfonos para obtener el máimo beneficio, siendo éste de 900. c) Buscamos los puntos en los que el beneficio es nulo resolviendo la ecuación B() = 0, siendo las soluciones = 5 y = 65. Por tanto, se producen pérdidas si fabrican menos de 5 móviles o más de (Junio 014) Halla las derivadas de las siguientes funciones: b) e f() = + g() = ln( 5) e ( + ) e e ( + ) f '() = = ( + ) ( + ) 5 b) g'() = (Septiembre 01) Se sabe que la epresión que representa el número de personas N(t) que acude un día a un centro médico, en función del número de horas t que lleva abierto, es N(t) = at +bt, 0 t 8, a, b R. Sabiendo que el número máimo de personas que ha habido ese día ha sido de 18, y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. N'(t) = at + b N'(4) = 8a + b = 0 b = 8a N(4) = 16a + 4b = 18 16a a = 18 a = 8;b = 64. Por tanto, N(t) = -8t + 64 b= 8a María de la Rosa Sánchez Pág. 4

5 16. (Septiembre 01) Los ingresos obtenidos por la fabricación de unidades diarias de cierto producto vienen dados por I() = , y los costes vienen dados por la función C( ) = Determinar la función que epresa los beneficios obtenidos por la fabricación de unidades diarias del producto (sabiendo que los beneficios se definen como los ingresos menos los costes) y calcular el número de unidades diarias que hay que fabricar para obtener un beneficio máimo. b) Cuánto vale dicho beneficio máimo? B() = I() C() = La gráfica es una parábola abierta hacia abajo, basta hallar el máimo, B () = ; que se anula para = 8, luego el máimo se consigue fabricando 8 unidades diarias. b) Beneficio máimo es B(8) = (Junio 01) Las funciones I(t) = 0,5t +17t y C(t) = 0,5t t+ con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y los costes de una empresa en miles de euros en función de los años trascurridos desde su comienzo y en los últimos 18 años. Para qué valores de t, desde su inicio, los ingresos coincidieron con los costes? b) Hallar la función que epresa los beneficios (ingresos menos costes) en función de t y representarla gráficamente. c) Cuantos años después del comienzo de su actividad la empresa alcanzo el beneficio máimo? Calcular el valor de dicho beneficio. Igualando I(t) = C(t); 0,5t + 17t = 0,5t t + t 18t + = 0 t =,t = 16 b) B(t) = I(t) C(t) = t + 18t. La representación gráfica es: c) Para calcular el máimo derivamos B'(t) = t + 18 = 0 t = 9. B(9) = 49. Después de 9 años se obtiene el máimo beneficio, siendo este de euros. 18. Deriva las siguientes funciones: f() = e + María de la Rosa Sánchez Pág. 5

6 b) 1 g() = 1 = ( + ) f '() e + b) g'() = 1 ( 1) 19. (Junio 01) Dada la función 4 f() = + a + b, halla a y b sabiendo que en = 1 la función tiene un etremo relativo (un máimo o un mínimo relativo) y que f(1) =. Se trata de un máimo o de un mínimo relativo? Como en = 1 hay un etremo relativo se tiene que ( ) = f '(1) = 4 + a = 0 a = 4 f 1 = 0 f '() 4 + a Además, f(1) = b = b = 5. Por lo que la función es Para ver si es máimo o mínimo estudiamos la monotonía: f '() = 4 4;f '() = 0 = 1 (,1). f (0) < 0 Decreciente ( 1,+ ). f () > 0 Creciente Se trata de un MÍNIMO 4 f() = (Septiembre 01) Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende depende del precio de venta según la función: B() = + 1 9, siendo B() el beneficio y el precio por unidad de producto, ambos epresados en euros. Entre qué precios la función B() es creciente? b) En qué precio se alcanza el beneficio máimo? c) En qué precio el beneficio es? Derivando B'() = = 0 = ( 0, ). f (1) > 0 Creciente (,+ ). f () < 0 Decreciente b) El beneficio máimo será para = María de la Rosa Sánchez Pág. 6

7 c) Resolviendo la ecuación B() =, se tiene que =. Resolviéndola se obtiene =, precisamente donde alcanza el máimo. 1. (Junio 01) Halla la derivada de las siguientes funciones: b) c) + f() = 1 g() = (1 ) e h() = ln( + ) b) 4 5 f '() = ( 1) g'() = e ( 1) c) h'() = + 1. (Junio 01) Una panadería ha comprobado que el número de panes de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio en euros según la función f() = , donde f() es el número de panes vendidos cada semana y el precio por unidad de pan. Calcular: La función l() que epresa los ingresos semanales por la venta de ese tipo de pan en función del precio por unidad de pan,. b) El precio al que hay que vender cada pan para que dichos ingresos semanales sean máimos. A cuánto ascenderán los ingresos semanales máimos? I() = ( ) = b) Derivando e igualando a 0: ( ) I = = = 1,5. Los ingresos semanales máimos serán I(1,5) = , ,5 = 75. (Septiembre 011) Dada la curva de ecuación El dominio de definición. b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Los máimos y los mínimos. Dominio R. b) Derivamos e igualamos a 0: María de la Rosa Sánchez Pág. 7 y = 5 +, calcula:

8 y ' = 4 5 = 0 = 5, = 1. Por tanto, tenemos los siguientes intervalos: Intervalos (, 1) ( 1,5 ) ( 5,+ ) Signo de y Monotonía Creciente Decreciente Creciente c) Máimo en P(-1,f(-1)) y Mínimo en Q(5,f(5)). 14 P( 1, ) y 94 Q(5, ) 4. (Junio 011) Dada la curva de ecuación El dominio de definición. b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Los máimos y los mínimos. y = 9 + 9, calcula: Dominio R. b) Derivamos e igualamos a 0: f '() = 6 9 = 0 =, = 1. Por tanto, tenemos los siguientes intervalos: Intervalos (, 1) ( 1, ) (,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente c) Máimo en P(-1,f(-1)) y Mínimo en Q(,f()). P( 1,14) y Q(, 18) 5. (Septiembre 010) Cuál es el número que al sumarlo con 5 veces su inverso se obtiene un valor mínimo? Sea el número. La función a minimizar es Derivamos: 5 f '() = ;f '() = 0 = ± 5. Estudiamos la monotonía: 1 f() = +. 5 Intervalos (, 5) ( 5,5) ( 5,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente María de la Rosa Sánchez Pág. 8

9 Por tanto el mínimo se alcanza para = (Junio 010) Un terrateniente posee unos terrenos al borde de un río. Allí desea cercar una parcela y montar una playa privada con todo tipo de servicios. Para ello dispone de 4000 metros de alambrada. Cuál es la superficie máima, de forma rectangular, que puede cercar y cuál la longitud de ribera apta para el baño? la longitud de ribera apta para el baño es y = = 000 m la superficie máima rectangular que puede cercar es S = = m. 7. (Septiembre 009) Dada la curva de ecuación Dominio b) Máimos y mínimos c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento d) Asíntotas. y = + 1, determina: Dominio R. b) Derivamos e igualamos a 0: 6 f '() = = 0 = 0. Por tanto, tenemos los siguientes intervalos: ( + 1) Intervalos (,0) ( 0,+ ) Signo de f - + Monotonía Decreciente Creciente c) Mínimo en P(0,f(0)). P(0,0) d) Solo tiene una asíntota horizontal en y =. 8. (Septiembre 009) Dada la parábola de ecuación y = 8+1 hallar el punto en el que la recta tangente es paralela al eje de abscisas. El punto buscado es (4,-4) 9. (Junio 009) La función f() = + p + q tiene un valor mínimo relativo igual a en el punto de abscisa =. Hallar los valores de los parámetros p y q. María de la Rosa Sánchez Pág. 9

10 Que la función f() tenga un mínimo en el punto (,) implica dos condiciones: El punto (,) es un punto de la gráfica de la función, por lo que: f = 8 + 4p + q = 4p + q = 5 ( ) Si la función tiene un mínimo en =, entonces f () = 0, por lo que: f '() = + p f '() = 1 + 4p = 0 p = Sustituyendo este valor en la otra ecuación: 4 ( ) + q = 5 q = 7 0. (Junio 009) Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 600 metros cuadrados de superficie para poderlo cercar con una valla de longitud mínima. La solución es un cuadrado de 60 metros de lado. 1. (Septiembre 008) Descomponer el número 5 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo. Los números son 15 y 10.. (Septiembre 007) Dada la función + 1 f() =, se pide: Calcula su dominio. b) Calcula sus asíntotas. c) Determina los máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica. Dominio R { } b) Veamos si = es una asíntota vertical + 1 lím = 0 que nos dará infinito. Por lo que = es una asíntota vertical. + 1 lím = 1. Por lo que y = -1 es una asíntota horizontal + Al tener asíntota horizontal, no tiene oblícuas c) La derivada es f '() = ( ). Al ser siempre positiva y no anularse, concluimos diciendo que es siempre creciente y que no tiene máimos ni mínimos. d) Para hacer la representación gráfica, hallamos los puntos de corte con los ejes. Son (0,1/) y (-1,0). La representación gráfica es: María de la Rosa Sánchez Pág. 10

11 . (Junio 007) Halla dos números cuya suma sea 0 sabiendo que su producto es máimo. Los números son 10 y (Septiembre 006) Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más 7 veces el cuadrado del segundo, sea mínima. Los números son 5 y (Septiembre 006) Dada la función 4 6 f() =, se pide: 8 Calcula su dominio. b) Determina las asíntotas y los cortes con los ejes. c) Determinar máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica aproimada. Dominio R. b) Como es una función polinómica, no tiene asíntotas. Los puntos de corte son ( 0,0 ),( 6,0 ),( 6,0). c) Derivamos e igualamos a 0: ( ) f '() = = 0 = 0, = ±. Por tanto, tenemos los siguientes intervalos: Intervalos (, ) (,0) ( 0, ) (,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente Decreciente Máimos en ( ( )) ( ),f y,f ( ). Mínimo en ( 0,f(0) ) María de la Rosa Sánchez Pág. 11

12 d) La representación gráfica es: 6. (Septiembre 006) Determinar a y b para que la función f() = + a + b tenga un mínimo en el punto ( 1, ). Que la función f() tenga un mínimo en el punto (-1,) implica dos condiciones: El punto (-1,) es un punto de la gráfica de la función, por lo que: f 1 = 1 a + b = a + b = 1 ( ) Si la función tiene un mínimo en = -1, entonces f (-1) = 0, por lo que: f '() = + a f '( 1) = + a = 0 a = 1 Sustituyendo este valor en la otra ecuación: 1 + b = 1 b = 7. (Junio 006) Dada la función f() = 1 Calcula su dominio. b) Calcula sus asíntotas. c) Estudia la monotonía y los etremos d) Hacer su representación gráfica aproimada. Dominio R { 1,1 } b) Asíntotas verticales = 1 y = -1. Asíntota oblicua y =. c) Derivamos e igualamos a 0: 4 f '() = = 0 = 0, = ±. Por tanto, tenemos los siguientes intervalos: ( 1) Intervalo (, ) (, 1) ( 1,0 ) ( ) 0,1 ( 1, ) (,+ ) Signo f Monoto. Creciente Decreciente Decreciente Decreciente Decreciente Creciente María de la Rosa Sánchez Pág. 1

13 ( ) ( ) Máimo en,f ( ). Mínimo en,f ( ) d) La representación gráfica es: 8. (Junio 006) Hallar los valores de a, b, c y d en la función y = a + b + c + d sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta y = + y que tiene un etremo en el punto (0, ). Que la función f() tenga de recta tangente en (1,1) a la recta y = + implica dos condiciones: El punto (1,1) es un punto de la gráfica de la función, por lo que: f 1 = 1 a + b + c + d = 1 ( ) La pendiente de la recta tangente es -1, luego f (1) = -1, por lo que: f '() = a + b + c f '(1) = a + b + c = 1 Que la función f() tenga un etremo en el punto (0,) implica dos condiciones: El punto (0,) es un punto de la gráfica de la función, por lo que: f ( 0) Si la función tiene un etremo en = 0, entonces f (0) = 0, por lo que: f '() = a + b + c f '(0) = c = 0 = d = Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores y resolviéndolas, se tiene que a = 1,b = 9. (Septiembre 005) Dada la función f() = 1 Halla el dominio y las asíntotas., se pide: b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Hacer una representación gráfica aproimada María de la Rosa Sánchez Pág. 1

14 Dominio R { 1,1 }.Asíntotas verticales = 1 y = -1. Asíntota horizontal y = 0 b) Derivamos e igualamos a 0: 1 f '() = = 0. Esta ecuación no tiene solución, luego la función no tiene máimos ( 1) ni mínimos y como el valor de la derivada en cualquier valor es negativa, la función es siempre decreciente. c) La representación gráfica es: 40. (Septiembre 005) Dibuja la parábola f() = En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f() en el punto P(, 0). En el punto (,-1). b) y = (Junio 005) Dada la función f() =, se pide: + 1 Halla el dominio y las asíntotas. b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Hacer una representación gráfica aproimada Dominio { } 1 R.Asíntotas verticales = -1. Asíntota horizontal y = 1 b) Derivamos e igualamos a 0: María de la Rosa Sánchez Pág. 14

15 1 f '() = = 0. Esta ecuación no tiene solución, luego la función no tiene máimos ( + 1) ni mínimos y como el valor de la derivada en cualquier valor es positiva, la función es siempre creciente. c) La representación gráfica es: María de la Rosa Sánchez Pág. 15