MODELO CINEMÁTICO DINÁMICO DEL MINI ROBÓT MÓVIL RICIMAF

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1 MODELO CINEMÁTICO DINÁMICO DEL MINI ROBÓT MÓVIL RICIMAF Abeardo de Pozo Quintero, Instituto de Cibernética Matemática y Física, Dpto. Contro Automático, Cuba pozo@icimaf.cu, Teéfonos: , Fax: RESUMEN E presente trabajo describe e modeo dinámico de mini robot móvi construido en e Icimaf, cuya tracción se ogra mediante dos motores de paso acopados a dos ruedas pásticas forradas con una capa de goma para faciitar su movimiento y una pequeña rueda direcciona. Se eabora a estructura jacobiana necesaria para e desarroo de modeo dinámico. Se incuye e anáisis de un rasgo especia de estos robots, que es su naturaeza no hoonómica, en contraste con os robots manipuadores, o que da ugar a un tipo de restricción de movimiento. La eaboración de modeo dinámico originó e empeo de os mutipicadores de Lagrange. Para a obtención de as ecuaciones dinámicas se empea e método de Euer-Lagrange Paabras caves: Modeos cinemático y dinámico, matriz jacobiana, dinámica inversa, restricciones hoonómica y no hoonómica, ecuaciones de Euer-Lagrange ABSTRACT This paper describes the dynamic mode of the wheeed mini mobie robot buit in the Icimaf whose traction is achieved by means of two motors couped to two ined pastic whees with a rubber ayer to faciitate its movement and a directiona sma castor whee. The necessary jacobian structure is eaborated for the deveopment of the dynamic mode.the anaysis of a specia feature of these robots is incuded that is its nature non hoonómic, in contrast with the robots manipuators, what gives pace to a type of restriction of the movement. The eaboration of the dynamic mode originated the empoyment of the Lagrange s mutipiers. For the obtaining dynamic equations the Euer-Lagrange' method is used. Key words: Kinematic and dynamic modes, jacobian matrix, inverse dynamic, hoonomic and nonhoonómic constraints, equations of Euer-Lagrange. KINEMATIC DYNAMIC MODEL OF THE MINI MOBILE ROBOT RICIMAF

2 INTRODUCCIÓN Desde e punto de vista de a cinemática, a principa diferencia entre un robot manipuador y un robot móvi estriba en a naturaeza y disposición de sus articuaciones 1. La primera, se suee modear en forma de cadena cinemática abierta, compuesta de una aternancia de sóidos rígidos con articuaciones de un soo grado de ibertad (prismático o de revoución). Por e contrario, a estructura cinemática de un robot móvi, se puede considerar como un conjunto de cadenas cinemáticas cerradas, cuyo número esta dado por a cantidad de ruedas que estén en contacto con e sueo. Normamente, se consideran as siguientes imitaciones para a construcción de modeo cinemático de un mini robot móvi 2 : E robot se mueve sobre una superficie pana. No existen eementos fexibes en a estructura de robot (incuidas as ruedas). Se considera que as ruedas poseen un eje de direccionamiento, que siempre es perpendicuar a sueo. Se desprecia todo tipo de fricción en os eementos móvies de vehícuo contra e sueo. Un rasgo especia de os robots móvies es su naturaeza no hoonómica 3, en contraste con os robots manipuadores. Las restricciones hoonómicas son aquéas que son expresadas como un sistema de ecuaciones agebraicas con as variabes de posición, tanto trasacionaes como rotacionaes, hacen que e sistema sea integrabe sin invoucrar ninguna variabe de veocidad. También se puede constituir un sistema de ecuaciones con variabes de veocidad que ogren integrarse, así de conducir e sistema de restricciones a uno con variabes de posición. Si e sistema de restricciones de veocidad no es integrabe, se dice que as restricciones son no hoonómicas. Por tanto, si un sistema mecánico está sujeto sóo a restricciones hoonómicas, se dice, que e sistema es hoonómico; de o contrario, es no hoonómico. Los manipuadores compuestos de pares prismáticos y de revoución son ejempos de sistemas hoonómicos, mientras que os robots móvies normamente constituyen sistemas no hoonómicos. En genera, os robots móvies podemos coocaros en dos grupos, es decir, os que posee 2-grados-de-ibertad (DOF) o 3-gradosde-ibertad. Una de as definiciones está dada por e número de articuaciones o ruedas energizadas. Por ejempo, un robot móvi de 3-DOF es un vehícuo con tres ruedas motrices y una de esta puede ser direcciona o todas son ruedas direccionaes. Por otro ado, un robot móvi de 2-DOF puede ser un vehícuo con tres-ruedas, pero sóo dos son motrices y a rueda restante es no energizada, este es e caso de robot RICIMAF. MODELO CINEMÁTICO DIFERENCIAL DEL MINI ROBOT RICIMAF. Las tareas a ser ejecutadas por un mini robot móvi requieren cambios diferenciaes en a ocaización (posición y orientación), esto es, en as coordenadas absoutas. Por tanto, es necesario haar os correspondientes cambios diferenciaes en as coordenadas generaizadas y esto se ogra mediante e cácuo de a matriz jacobiana y su inversa. Se define a matriz jacobiana para un mini robot móvi de dos ruedas motrices como una matriz de 3 x n eementos, donde os n eementos son os grados de ibertad. Con a ayuda de esta matriz se trasforma os cambios diferenciaes de as coordenadas generaizadas de robot x y ψ en cambios a as coordenadas gobaes Para a descripción de este modeo usaremos a figura 1 donde son presentados os parámetros de robot 50

3 Fig.1 Esquema de robot y sus parámetros a = C O 1 = C O 2 distancia entre e centro de chasis y os centros de as ruedas energizadas. b = C P distancia entre e centro de chasis y e centro de soporte de a rueda oca. d = P - O 3 distancia entre e centro de soporte de a rueda oca y e centro de a rueda oca. = O 1 O 2 distancia entre os centros de as ruedas energizadas. h atura de chasis sobre e terreno. r radio de as ruedas. ψ ánguo de giro de chasis con respecto a sistema de coordenada en e chasis de robot, {i, j. } θ i ; θ d ; θ ánguos de giro de as ruedas izquierda, derecha y oca sobre su ejes respectivamente. En genera, as ecuaciones cinemáticas diferenciaes de posición 4 surgen a diferenciar con respecto a tiempo as ecuaciones incrementaes de posición esto es: x vsin ψ y vcos ψ (1) donde v es a veocidad inea de a pataforma o chasis y su veocidad anguar viene dada por: ψ w (2) La que representa a ecuación diferencia de orientación Definimos a p como e vector de ocaización de n=3 eementos (dos de posición y uno de orientación), que representa un punto en e espacio de as coordenadas gobaes =x y ψ = v w (3) Siendo q e correspondiente vector de m=2 variabes (as veocidades inea y anguar) en e espacio de as coordenadas generaizadas de robot, siendo n>m además, p y q son as derivadas temporaes correspondientes. De ahora en adeante, se considerará que as variabes se expresarán en e sistema de as coordenadas gobaes. E modeo diferencia directo en forma matricia será: = J (p) (4) Donde J (p ) es una matriz de derivadas parciaes o jacobiana. 51

4 Para obtener os eementos de a matriz jacobiana sustituimos os vaores de y, por sus eementos dados en as ecuaciones (1) y (2) y pueden expresarse en forma matricia como: x sin ψ 0 y cos ψ 0 v w ψ (5) 0 1 Siendo v y w as veocidades instantáneas inea y anguar de mini robot respectivamente y representan a as variabes de entrada o de contro. Entonces a matriz jacobiana directa está dada por: sin ψ 0 J (p) = cos ψ 0 (6) 0 1 Para obtener as ecuaciones cinemáticas diferenciaes inversas en necesario invertir a matriz (6), pero esta es una matriz singuar por tanto es necesario obtener su pseudoinversa a partir de (4), así que mutipicamos por a transpuesta de a matriz jacobiana en ambos ados de a ecuación: J = J J (7) Despejando a tenemos: = J J J J (8) Efectuando operaciones e modeo cinemático diferencia inverso de mini robot es: v x ψ cos ψ 0 sin w y ψ (9) Las ecuaciones (5) y (9) representan os modeos cinemáticos diferenciaes directo e inverso de un mini robot móvi. En e caso de robot RICIMAF tendremos en cuenta que as variabes de entrada o de contro serán as veocidades anguares de as ruedas izquierda y derecha θ y θ respectivamente. Si es a distancia entre as ruedas y r es e radio de as ruedas entonces sus vaores reaes son os siguientes: = 20 cm y r = 4 cm. Si θ y θ son as veocidades anguares de as ruedas izquierda y derecha respectivamente, as veocidades ineaes correspondientes son: v r θ i v d r θ (10) Utiizando as expresiones a veocidad inea y anguar media de mini robot móvi 4 estarán dado por: v = = (11) w = = (12) 52

5 De acuerdo a o anterior se puede determinar as veocidades anguares que hay que apicar a as ruedas izquierda y derecha. Despejando θ de (11) y θ de (12) y combinando ambas ecuaciones obtenemos: w = w = (13) x sinψ y cos ψ ψ θ i θ d r (14) Expresando en forma matricia vectoria as anteriores expresiones en funciones de as veocidades anguares de cada rueda y sustituyendo por sus vaores reaes r y obtenemos e modeo cinemático diferencia directo de mini robot RICIMAF. x 0.2 sin ψ 0.2 sin ψ y 0.2 cos ψθ i 0.2 cos ψθ d (15) ψ MODELO DINÁMICO DEL MINI ROBOT RICIMAF Existen varios métodos disponibes en a iteratura para crear e modeo dinámico de un robot entre eos tenemos e método de Euer-Lagrange y e de Newton-Euer 3, e principio generaizado de D'Aembert 5, e recursivo de Lagrange 6, as ecuaciones de Kane 7 y otros. Sin embargo, hay dos formaismos principaes para derivar as ecuaciones dinámicas en os sistemas mecánicos: - as ecuaciones de Newton-Euer que están directamente basadas en as eyes de Newton. - y as ecuaciones de Euer-Lagrange que tienen su raíz en e trabajo cásico de d'aembert y Lagrange en a mecánica anaítica y e trabajo de Euer y Hamiton en e cácuo variaciona. La diferencia principa entre os dos enfoques está reacionada con as restricciones. Mientras que as ecuaciones Newton tratan cada cuerpo rígido separadamente y modea expícitamente as restricciones a través de as fuerzas requeridas para dominaras. E método de Lagrange y d'aembert ofrece os procedimientos sistemáticos para eiminar as restricciones de as ecuaciones dinámicas, obteniéndose un sistema más simpe de ecuaciones. Las restricciones impuestas por as articuaciones y otros componentes mecánicos son uno de os rasgos característicos de os robots, así que no es sorprendente que e formaismo de Lagrange es a menudo e método de opción en a iteratura de a robótica. E método de Euer-Lagrange es muy expícito y sistemático, pudiendo estructurarse en forma agorítmica para os fines de computación, pero tiene e inconveniente de su ata ineficiencia computaciona, cuando e orden de as operaciones aritméticas (n) es grande. Sin embargo, debido a que as articuaciones de un robot móvi rodante conforman un número pequeño, no existe un excesivo cácuo computaciona. Necesitamos determinar os pares que se han de apicar a as ruedas de robot de manera de vencer, a inercia propia de cada rueda, a inercia de acopamiento debido a as interacciones entre as ruedas y e efecto de a gravedad que posteriormente eiminaremos. Estos pares representan as ecuaciones de movimiento de mecanismo y serán obtenidas con a ayuda de formaismo de a mecánica de Euer-Lagrange 3. La apicación de método de as ecuaciones de Euer-Lagrange para eaborar un modeo dinámico consiste en haar e Lagrangeano tota de sistema L t, basado en a determinación de a energía cinética y potencia de todas as masas de sistema concentradas en forma puntua en e chasis de robot, as ruedas y sus agregados. En este trabajo se utiizará e método de Euer-Lagrange, debido a a caridad en a obtención de os coeficientes dinámicos, que en a simuación por computadora, ayudarán a obtener os agoritmos de contro más adecuados. Restricciones cinemáticas 53

6 Considere a un robot rodante de n DOF compuesto de una pataforma o chasis y ruedas rígidas. Asumimos que e pano de a rueda siempre permanece vertica y que hay en todos os casos un soo punto de contacto entre a rueda y e terreno pano. Además, asumimos que no hay ningún desizamiento en este punto de contacto. Es decir, a rueda sóo ejecuta en e punto de contacto e movimiento bajo as condiciones de puro rodamiento y rotación arededor de eje vertica. Bajo estas consideraciones, tendremos dos restricciones para cada rueda 8. La primera restricción obiga a que a rueda soo debe rodar cuando e movimiento tiene ugar en a dirección paraea a pano de a rueda. La Fig.1, representa e esquema de as ruedas fijas y e chasis e indica su posición dentro de sistema de coordenadas goba E ánguo que e pano de a rueda forma con e chasis es constante, porque a rueda está fijada a chasis y no tiene despazamientos ateraes. La rueda tiene un radio r y puede rotar con un ánguo θ sobre su eje horizonta, por o que su posición rotaciona es una función de tiempo: θt. La distancia entre as dos ruedas está dada por e vaor de. Esta restricción rodante fuerza a que a cantidad de movimiento a o argo de a dirección de pano de a rueda izquierda o derecha sea igua, a giro de a rueda sobre su eje horizonta, con e fin de obtener un puro rodamiento en e punto de contacto sin desizamiento atera. La expresión matemática de esto está dada por: R ψ ψ r (16) E término a a izquierda de signo igua de a ecuación (16) denota e movimiento tota de a rueda a o argo de pano de a rueda. E primer sumando expresa as contribuciones a movimiento de a posición de robot x y ψ en e sistema de coordenada goba a sistema de coordenadas de robot {i j k}: - E producto R ψ sirve para trasadar os parámetros de vector veocidad que están en e a sistema de coordenadas de robot {i j k} debido a que todos os parámetros de robot están en {i j k}donde cos ψ sen ψ 0 Rψ sen ψ cos ψ 0 (17) x y ψ (18) - La expresión es a distancia de a rueda a centro de chasis. E producto ψ representa a contribución de a componente de veocidad de centro de masa de robot a despazamiento inea. - Finamente, e término de a derecha r representa e movimiento rotaciona de as ruedas sobre su eje horizonta - La ecuación (16) se convierte en dos restricciones rodantes, una para a rueda izquierda y otro para a derecha. A partir de ahora, usaremos como subíndice para a rueda izquierda a etra i, para a derecha a etra d y para a rueda oca o. Entonces θ i θ d (19) Efectuando as operaciones en (16), as expresiones de a restricción rodante para cada rueda xcos ψ y senψ 2 ψ r θ i (20) xcos ψ y senψ 2 ψ r θd (21) La segunda restricción pantea que no haya ningún desizamiento atera, esto es, que a rueda no debe resbaar ortogona a pano de a rueda. Esta restricción desizante fuerza a que e componente de movimiento de a rueda ortogona a pano de a rueda sea igua a cero. De modeo cinemático diferencia inverso obtenido en [4] a veocidad inea es: x senψ y cos ψ v 54

7 Pero como no puede haber movimiento atera de aquí surge a restricción. x senψ y cos ψ 0 (22) Por tanto hay tres restricciones, as dos primeras debido a cada rueda motriz obiga a robot a moverse sóo en ínea recta y e robot móvi no tiene desizamiento. La tercera restricción está dada por a ecuación (22). Las tres restricciones, son de tipo no hoonómicas, debido a que (20, 21 y 22) dependen de as veocidades. Po otro ado si debido a su simiitud, sumamos as ecuaciones (20 y 21) podemos reducira a una soa restricción no hoonómica, esto es: v xcos ψ y sen ψ 1 2 r θ i θd (23) Por otro ado, si restamos a ecuaciones (21) de (20) y después integramos podemos eiminar e término de veocidad inea y obtener una restricción hoonómica ψ r θ i θd ; ψ r θ i θ d (24) Las dos restricciones no hoonómicas finaes son: x senψ ycos ψ =0 (25) x cosψ y senψ 1 2 r θ i θd (26) Las expresiones (25) y (26) se pueden representar en a forma matricia vectoria siguiente:[8] A (q) = 0 (27) donde q q1 q 2 q 3 q 4 T x y θ i θd T (28) A sen ψ cos ψ cos ψ sen ψ r 0.5r (29) La formuación de Euer-Lagrange E modeo dinámico competo de robot móvi RICIMAF representado por as ecuaciones de movimiento de robot será descrito usando a formuación de Euer-Lagrange, mostrada por a ecuación (5). Para a descripción de este modeo usaremos a figura1 donde son presentados os parámetros de robot: a energía tota E de un robot de n DOF es a suma de as energías cinética K y a potencia U:,, (30) E Lagrangeano L(q, ) de un robot de n DOF es a diferencia entre su energía cinética K y su energía potencia U, es decir,,, (31) Nosotros asumimos aquí que a energía potencia U es debida sóo a as fuerzas conservadoras como a energía gravitaciona y as energías guardadas en os muees comprimidos. La función de a energía potencia U (q) depende de vector de posición q. Iniciamente es necesario determinar e Lagrangeano de sistema dado por a energía cinética y potencia como está expresado en a ecuación (31). En este caso a energía potencia de robot móvi será nua debido a que a atura es cero, puesto que 55

8 consideramos e movimiento de robot sobre un terreno pano y horizonta. La energía cinética depende de a masa y de a veocidad que ésta adquiere. Vamos anaizar por parte, os diferentes cuerpos con masa que compone este robot móvi, es decir: - La masa de cada una de as ruedas energizadas izquierda y derecha están fijas a chasis y como están baanceadas hace que m m m - La masa de a rueda no energizada y no fijada a chasis para permitir su movimiento direcciona m o es también denominada rueda oca. - La masa de chasis o pataforma es m c - Despreciamos a masa de soporte de a rueda oca a ser muy pequeña comparada con a de chasis. Las veocidades que adquieren estas masas son: Veocidad inea de as ruedas energizadas izquierda, derecha y a rueda oca v ; v ; v Veocidad rotaciona de as ruedas energizadas y a rueda oca arededor de su eje θ Veocidad anguar de as ruedas energizadas y a rueda oca w ; w ; w Veocidad inea de centro de chasis o pataforma v c Veocidad anguar de centro de chasis o pataforma w ; θ ; θ Las veocidades ineaes de os centros de as ruedas fueron presentadas en (10) v =rθ ; v =rθ ; v =-rθ (32) La veocidad de centro de chasis es: v r θ C O ψ ; (33) Restando os términos de (33) 0 = rθ θ - O O ψ obtenemos a veocidad anguar de centro de chasis w, o cua coincide con a ecuación (24) w ψ θ θ (34) Si sumamos os términos de (33) v θ θ + a ψ Entonces a veocidad inea de centro de chasis v será: v a θ θ θ θ (35) Las ecuaciones (34) y (35) constituyen a cinemática directa diferencia de robot Ricimaf La veocidad anguar de as ruedas energizadas w θ ψ θ θ θ k (36) w θ ψ θ θ θ k (37) La veocidad anguar de a rueda oca 56

9 w θ w σ w o θ o f 3 r θ i θd +σ (38) Para poder cacuar a veocidad anguar w es necesario conocer os vaores de θ y σ que son a veocidad de rotación de a rueda oca y e ánguo formado entre os vectores unitarios j y e 3 de os sistemas de coordenadas de centro de chasis y e soporte de a rueda oca. E punto P define e centro de soporte de a rueda oca y su veocidad w s se puede expresar en función de os parámetros de soporte esto es: P v o w s P O o Como v o =-r θ o f 3 ; w s w c + σ O o de 3 ; P r θ f 3 de 3 w c σ (39) Por otro ado, a veocidad de P, a podemos representar en función de os parámetros de chasis P v c +bw c i (40) Iguaando (39) y (40) rθ d w φ v + bw i rθ d φ v +bw -d w (41) Los vectores unitarios de mismo sistema de coordenadas nos permitirán obtener os vaores de v y de σ, es decir, ;.. Mutipicando escaarmente por ambos ados de a ecuación (41) obtenemos θ θ v bw (42) Mutipicando escaarmente por e ambos ado de a ecuación (41) obtenemos σ σ v bw dw (43) Las componentes de as dos ecuaciones anteriores están en dos sistemas de coordenadas diferentes, esto es, en e sistema referido a centro de chasis {i, j} y e sistema estabecido sobre e soporte de a rueda oca {e 3, f 3 }. La reación entre ambos sistemas está dada por a siguiente transformación de coordenadas. =sin φ cosφ cosφ sin φ (44) sin φ ; cos φ (45) Transformemos a ecuación (35) v a θ θ sin φ cosφ θ θ cosφ sin φ 57

10 v a θ θ sin φ θ θ cosφ -a θ θ cos φ θ θ sinφ (46) Mutipicando primero por ambos ados de a ecuación (46) y sustituyendo ésta y (45) en (42) obtenemos e vaor de a veocidad de rotación de a rueda oca: θ = cos φ θ θ sinφθ θ (47) Mutipicando ahora por ambos ados de a ecuación (46) y sustituyendo ésta y (45) en (43) obtenemos e vaor de a veocidad anguar de a rueda oca: σ sin φ θ θ θ θ cosφ (48) Sustituyendo (47) y (48) en (38) obtenemos a veocidad anguar de a rueda oca en función de as variabes de entrada. w cos φ sin φ θ θ + cosφ sin φ θ θ (49) Definidas as expresiones para as masas y veocidades de as componentes de robot pasamos a cacuar as energías cinéticas correspondientes K k k k (50) E primer sumando es a energía cinética trasaciona, e segundo es a rotaciona. E útimo sumando expresa a aportación de energía cinética de centro de masas o de gravedad de todo e robot a punto centra de robot, a no coincidir éste con e punto donde ocurre a intersección de eje de simetría de sistema con e eje horizonta arededor de cua giran as dos ruedas y a veocidad de este sumando queda definida por as veocidades debidas a as restricciones 9. k M m v (51) donde v x y Donde a M denota a suma de as masas de cada rueda M= m m m, esto es, as ruedas izquierda, derecha y oca respectivamente y m a de chasis sin ruedas. k I w I w I w I ψ 52 Sigue as I y w que expresan e momento de inercia y veocidad anguar soo de as ruedas arededor de os ejes horizontaes de as ruedas. I ri m i r 2 ; I rd m d r 2 ; I r m o r 2 (53) donde es e radio de cada rueda. Tenemos que I c = m c z es momento de inercia de centro de chasis con respecto a un eje vertica que se evanta en a intersección de eje de simetría y eje horizonta de as ruedas motrices. Utiizando as ecuaciones (24) y (25) obtenemos a contribución energía cinética de centro de masa dada por e producto de a masa de chasis m c, por z que es e producto de as veocidades de restricción cinemática z = r θ i θd x senψ ycosψ 58

11 k C 1 2 m c z 1 2 m c r θ i θd x senψ ycosψ k C m c r 2 x senψ ycosψθ i x senψ ycosψθd (54) representa a veocidad anguar de a masa de chasis sin ruedas y está dada en a ecuación (34). Desgosamos os eementos que aparecen en (51) y (52) de forma ta que as expresiones queden en función de as veocidades de as ruedas Usando (35) en (51) k Mx y +m a θ θ i θ θ j k M x y +m r θ θ θ θ (55) Usando (34), (36), (37), (47) y (52) k I w I w I w I ψ I θ θ θ θ θ θ I cos ψ θ θ θ θ sin ψ k I θ θ 2 θ θ I cos ψθ θ sin ψθ θ θ θ θ + I θ θ (56) I θ θ sin ψ cos ψ θ En genera para cuaquier robot, a ecuación de Euer-Lagrange está en función de Lagrangeano y de as coordenadas generaizadas de robot es decir: τ=,, (57) Desarroando e primer sumando y recordando que a energía potencia para un robot móvi despazándose por una superficie pana horizonta es constante, podemos obtener por parte a ecuación de Euer Lagrange, o sea, derivamos parciamente as expresiones de a energía cinética con respecto a as veocidades de as ruedas de robots θ y θ. d dt K d dt k T k R k C (58) T 1 k T T 2 k R q T 3 k C 2 xc yc m c r2 θ i θd (59) I r θ i θ d+i ro 1 2 sin2 ψ θ i θ d 1 2 ab sin ψcosψ θ i θ d ab sin ψcosψθ i θd (60) m c r sinψ cosψ θ i cosψ sinψ θd (61) E primer término de a ecuación de Euer-Lagrange concuye con a diferenciación de os términos 59

12 con respecto a tiempo, esto es: dt 1 dt 2 xc yc m cr 2 θ θ (62) dt 2 =I dt rθ i θ d +I ro ab sin ψ cosψθ i θ d 1 2 sin2 ψθ i θd ab cos 2 ψ sin 2 ψθ i θ d ψ sin ψ cosψ θ i θd ψ (63) dt 3 dt m r c sinψ cosψ ψ θ i sinψ cosψ ψ θd sinψ cosψ θ i sinψ cosψ θd (64) Los vaores de T 1 hasta T 3 se pueden representar en a forma matricia, o sea: m m m mt m m m m M m m m m m m m m (65) m m M m m x y (66) q = θ θ c c i d (67) Donde estos vaores son desgosados en coeficientes no ineaes de vector de aceeración generaizado θ y de a veocidad inea v m 11 2 x ; m 12 2y ; m 13 m c r 2 θ i; m 14 m c r 2 θ ; m 15 0; (68) m 21 0; m 22 0 m 23 I r I ro ab sin ψ cosψ 1 2 sin2 ψθ m 24 I r I ro ab sin ψ cosψ 1 2 sin2 ψθd ; m 25 I ro ab cos 2 ψ sin 2 ψ+θ i θ d ψ I ro sin ψ cosψθ i θd ψ 69 m 0; m 0; m m cosψ sinψθ m m cosψ sinψθ (70) i ; m 45 0; (71) Competamos a obtención de a ecuación de Euer-Lagrange cacuando as derivadas parciaes de a energía cinética con respecto a vector de posición 1 2 q k T k R k C (72) k T q 0; k R 0; k C 0; (73) q q 60

13 Podemos evar os coeficientes de a ecuación de Euer-Lagrange a a forma matricia vectoria incuyendo as restricciones no hoonómicas, esto es: τ= M C +A T (q)λ (74) La ecuación anterior es e modeo dinámico de robot Ricimaf, donde han quedado definidos todos os eementos que a compone. Las matrices A y (M, C) han sido cacuadas en as ecuaciones (27) y (67) respectivamente. Por otro ado, e vector = τ τ muestra as fuerzas o pares de actuación sobre cada rueda y e vector λ λ de dimensión 2, es e denominado mutipicador de Lagrange, muy utiizado en os probemas de optimización con restricciones, donde podemos considerar e modeo dinámico sin a matriz A como una función objetivo. A adicionar a matriz de restricciones A a modeo estamos considerándoo como una función objetivo modificada, o que nos permite utiizar e método de os mutipicadores de Lagrange. Las componentes de son iniciamente arbitrarias y de vaor desconocidas pero fáci de determinar y puesto que os vaores de dependen de, a cacuar éstos nos permitirá determinar os vaores de as fuerzas o pares de actuación. CONCLUSIONES * Se ha eaborado e modeo cinemático y dinámico de robot móvi RICIMAF, considerando e aporte a movimiento de todas as componentes de robot, esto es as ruedas fijas motrices y a no energizada o oca así como a pataforma o chasis. * Se anaizaron y se pantearon as ecuaciones que restringen e movimiento de robot por una superficie pana horizonta. * Para obtener e modeo dinámico se utiizó e método de as ecuaciones de Euer- Lagrange que es muy expícito y sistemático, pudiendo estructurarse en forma agorítmica para os fines de a computación. REFERENCIAS 1. MUIR P.F. AND NEUMAN C.P. Kinematic modeing of wheeed mobie robots Journa of Robotics Systems, vo. 4 pp , SILVA- ORTIGOSA R., MOLINA VILCHIS M.A., HERNÁNDEZ GUZMÁN V. M. Y SILVA- ORTIGOSA G Contro de un robot móvi de ruedas mediante ineaización de entrada - saida. III Congreso Internaciona de Tendencias Tecnoógicas en Computación, Nov , México D.F, ANGELES, J., Fundamenta of Robotics Mechanica Systems: Theory, Methods and Agorithms Third Edition, Springer Science, Aemania, POZO A. DEL Modeo cinemático de mini robot móvi RICIMAF Reporte de investigación de Icimaf 455, C.Habana, KURFEES T. editor, Robotics and Automation Handbook CRC Press, LLC, Boca Ratón, London, HOLLERBACH, J.M., "A recursive Lagrangian formuation of manipuator dynamics and a comparative study of dynamic formuation compexity", IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics SMC-10, no. 11, pp

14 7. KANE, T.R. AND LEVINSON, D.A., "The use of Kane s dynamica equations in robotics", The Int. J. Robotics Res. 2, no. 3, pp YUN X.,AND YAMAMOTO Y. Interna dynamic of a wheeed mobie robot. Proc. Of the 1993, IEEE/RSJ Internationa Conference on Inteigent Robots and System, pp , POZO A. DEL., Modeo dinámico de mini robot RICIMAF Reporte de investigación de Icimaf, 569, C.Habana, 2010 AUTORES Abeardo de Pozo Quintero. Ing. Eectricista, Dr. En Ciencias Técnicas, ICIMAF (Instituto de Cibernética, Matemática y Física), C. de a Habana, pozo@icimaf.cu 62