MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2000

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2000 Dado el sistema: x + y+ z= 3 x y + z = 1 i) Añadir una ecuación tal que el sistema resultante sea incompatible. (3 puntos) ii) Idem para sistema compatible determinado. (3 puntos) iii) Idem para sistema compatible determinado. (4 puntos) El departamento de producción de una empresa recibe un contrato para fabricar contenedores empleando dos clases de material A y B. El material A cuesta 30 pesetas por unidad y el material B tiene un coste de 80 pesetas por unidad. Para cada contenedor puede usarse un máximo de 12 unidades de A y como mínimo 16 unidades de B. Cada unidad de A pesa 4 kilos y cada unidad de B pesa 6 kilos. Si el contenedor ha de pesar al menos 120 kilos, cuál debe ser la composición de dichos materiales para minimizar costes? i) Plantear el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (6 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2000 Una empresa textil fabrica tres modelos de camisetas A, B y C. Los precios de venta de cada una de estas camisetas son 1.000, y pesetas respectivamente. Una semana vendió 200 camisetas en total y obtuvo unos ingresos de pesetas. Si el número de camisetas vendidas del modelo A hubiera sido el del modelo B y el número de camisetas del modelo B hubiera sido el de A, los ingresos hubieran ascendido a pesetas. Hallar el número de camisetas vendidas de cada modelo. (Planteamiento: 5 puntos; resolución 5 puntos) Un almacenista desea liquidar 2 toneladas de manzanas y 1 tonelada de peras. Para ello lanza dos ofertas, la oferta 1 consiste en un lote de 10 kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 750 pesetas, la oferta 2 consiste en 30 kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 1250 pesetas. Se desea ofrecer al menos 20 lotes de la oferta 1 y al menos 10 lotes de la oferta 2. Cuántos lotes de cada oferta ha de ofrecer para maximizar los ingresos (suponiendo que se vendan todos) i) Plantear el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (6 puntos)

2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO Sea A= 2 1 A=, hallar las matrices B de orden 2x2 tales que: i) A B = 0. (5 puntos) ii) A B = B A = 0. (5 puntos) y 8 i) Dibuja la región del plano determinada por las inecuaciones: x y 0 (4 puntos) x + y 4 ii) Hallar el máximo de la función z = 2x + 3y en la región del apartado i) (3 puntos) iii) Escribir una función que alcance su mínimo en un punto de la región del apartado i) (3 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2001 Dada una matriz A de orden 3x3, contestar razonadamente a las siguientes preguntas: t i) A A es simétrica? (3 puntos) t ii) A A es simétrica? (3 puntos) t iii) C A C es simétrica para cualquier matriz C de orden 3x3? (4 puntos) Una empresa fabrica dos tipos de sillas, cada silla del modelo A requiere 0 4 m de madera y cada silla del modelo B requiere m de madera. El fabricante desea construir al menos 3 sillas del modelo A y, al menos, el doble de sillas del modelo B que del A. Si dispone de 6 m de madera y los beneficios son 3 euros y 2 euros por cada silla del modela A y del modelo B respectivamente, cuántas sillas de cada modelo ha de fabricar para maximizar los beneficios? i) Plantear el problema (3 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos) iii) Y si los beneficios fueran 2 euros y 1 euro respectivamente? (3 puntos) 3 3

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2002 Dada la matriz A= 2 0 2, calcular: i) A 2A 8I (5 puntos) ii) X tal que A X = I, (I es la matriz identidad 3x3). (5 puntos) Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá A y B que dejan unos beneficios de 40 y 20 unidades monetarias respectivamente. Para cada funda de modelo A se necesitan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A, cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para que el beneficio sea máximo? i) Plantear el problema (3 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos) iii) Analizar gráficamente qué ocurre al disminuir las horas de trabajo disponibles. (3 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2002 Entre Jorge, Daniel y Sergio tienen 31 euros. Para que Jorge y Daniel tuvieran el mismo número de euros, Jorge tendría que dar 3 euros a Daniel. Además, el número de euros de Jorge excede en uno a la suma de los que tienen los otros dos niños. Cuántos euros tiene cada uno? (10 puntos) Dado el problema: Minimizar 4x + 2y 4x+ y 20 2x+ y 14 sujeta a x + 2y 10 xy, 0 i) Dibujar el conjunto de puntos que cumplen las restricciones (3 puntos) ii) Dibujar las rectas de nivel de la función objetivo (3 puntos) iii) Obtener gráficamente la solución. (4 puntos)

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2003 Dada la ecuación matricial: i) Despeja la matriz X. (3 puntos) ii) Calcula la matriz X. (7 puntos) A X + 2B= X con A= y B= Una fábrica de productos químicos considera la posibilidad de producir dos sustancias A y B cuyos beneficios unitarios son 4 y 6 euros, respectivamente. Cada unidad de A requiere 2 horas de trabajo, 2 horas de control de calidad y una unidad de materia prima. Cada unidad de B necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de control de calidad y 3 unidades de materia prima. Si dispone de 18 horas de trabajo, 24 unidades de materia prima y 20 horas de control de calidad. Cuántas unidades de cada sustancia se han de fabricar para maximizar los beneficios? i) Plantea el problema (4 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos) iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el beneficio de B se reduce a 2 euros. (2 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2003 Dada la ecuación 2x + y+ z= 5 i) Añade una ecuación para que el sistema resultante sea incompatible. (2 puntos) ii) Añade dos ecuaciones para que el sistema resultante sea compatible indeterminado. (4 puntos) iii) Añade dos ecuaciones para que el sistema resultante sea compatible determinado. (4 puntos) Una empresa va a contratar personal para su sección de control de calidad. Cada auxiliar que contrate puede revisar 20 unidades al día y cobra 60 euros. Un técnico revisa 25 unidades diarias y cobra 90 euros. Si actualmente hay disponibles (en paro) 10 técnicos y 8 auxiliares, cuántos empleados de cada clase debe contratar para que revisen el mayor número de unidades si la empresa dispone de 930 euros diarios para sus sueldos? i) Plantea el problema (4 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos) iii) Analiza gráficamente qué ocurre si cada técnico puede revisar 30 unidades al día.. (2 puntos)

5 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO Sabiendo que 2A B = y que 3A+ 2B= i) Cuáles son las dimensiones de A y B? (2 puntos) ii) Calcula las matrices A y B. (8 puntos) Una fábrica de helados elabora tres tipos de helados, H1, H2 y H3, a partir de tres ingredientes A, B y C. Se desea saber el precio unitario de cada ingrediente sabiendo que el helado H1 se elabora con 2 unidades de A, 1 unidad d B y 1 unidad de C y supone un coste de 0 9 euros. El helado H2 se elabora con una unidad de A, dos unidades de B y 1 unidad de C y supone un coste de 0 8 euros. El helado H3 se compone de 1 unidad de A, 1 unidad de B y dos unidades de C y supone un coste de 0 7 euros. (10 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2004 Encontrar una matriz X que verifique la ecuación: AX+B = 2C, con: A ; B ; C = = = (10 puntos) Una empresa fabrica dos modelos de guantes; un modelo normal y un modelo de lujo. La empresa tiene 900 horas disponibles en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaquetado. Las horas necesarias de cada departamento por par de guantes y sus beneficios en euros se dan en la siguiente tabla: Corte y costura Terminado Empaquetado Beneficios Modelo normal 1 1/2 1/8 4 Modelo de lujo 3/2 1/3 1/4 8 Cuántos pares de cada modelo debe fabricar para maximizar el beneficio? i) Plantea el problema (4 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos) iii) Analiza gráficamente qué ocurre si las horas disponibles en empaquetado aumentan en 100. (2 puntos)

6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2005 Encontrar una matriz X que verifique la igualdad: AX = B, con Verifica también la matriz X la igualdad XA = B? (3 puntos) A ; B = =, (7 puntos) En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume por jersey 4 madejas de 3 euros y 2 de 2 euros. El segundo tipo, 3 madejas de 3 euros y 3 de 2 euros. Los gastos de fabricación son de 4 euros para el primer tipo y 10 para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta de 30 y 36 euros. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de 100 jerseys y que por cada jersey confeccionado del segundo tipo, hay que confeccionar por lo menos tres del primero, cuántos jerseys de cada tipo hay que fabricar para maximizar el beneficio? i) Plantear el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (4 puntos) iii) Analizar gráficamente qué ocurre si pueden fabricarse 120 jerseys a la semana. (2 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2005 Obtener los valores de x, y, z que verifican la siguiente ecuación matricial: y 2 x = 0 z (10 puntos) Un fabricante produce sillas y mesas, para lo que requiere la utilización de dos secciones: la de montaje y la de pintura. La producción de una silla requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos horas en la de pintura. La fabricación de un mesa precisa de tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar nueve horas diarias en funcionamiento, y la de pintura, ocho horas. El beneficio obtenido por la producción de una mesa y una silla es, respectivamente, de 10 y 5 u.m. Hállese la producción diaria de sillas y mesas que maximiza el beneficio obtenido por la empresa. i) Plantee el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (4 puntos) iii) Analice gráficamente qué ocurre si las horas disponibles en pintura aumentan en dos. (2 puntos)

7 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO i) Considera la matriz D = ; escribe dos matrices de orden tres diferentes y multiplica cada una de ellas por D. (6 puntos). ii) Cómo actúa D al multiplicarla por una matriz cualquiera A? (4 puntos) Una empresa fabrica dos productos P1 y P2 que venden a 50 euros y 44 euros la unidad, respectivamente. Para ello alquila dos máquinas, M1 y M2, al precio de 5 euros por hora y 6 euros por hora, respectivamente. Las horas de funcionamiento de cada máquina necesarias para la fabricación de una unidad de cada producto así como la disponibilidad máxima semanal de cada máquina vienen dadas en la siguiente tabla: Producto P1 Producto P2 Disponibilidad M1 2 horas 4 horas 80 horas M2 4 horas 2 horas 100 horas El coste del material utilizado en la fabricación de una unidad del producto P1 es 10 euros y en una unidad del producto P2, es de 8 euros. Se desea saber cuántas unidades de cada producto se han de fabricar para maximizar el beneficio. i) Plantear el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (4 puntos) iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el precio de P2 se reduce en 2 euros. (2 puntos) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEPTIEMBRE 2006 Hallar la matriz X que verifica la ecuación matricial: X = (10 puntos) Una empresa quiere organizar un viaje para sus 200 trabajadores. Contrata a una empresa que dispone de 4 microbuses de 25 plazas y 5 autobuses de 5 plazas, pero solo dispone de 6 conductores. El alquiler de un autobús es de 320 euros por día y el de un microbús 140 euros por día. Cuántos vehículos de cada clase debe alquilar para que e costo del viaje sea lo menos posible?

8 i) Plantear el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (4 puntos) iii) Analizar gráficamente qué ocurre si el precio del microbús es 160 euros. (2 puntos)