INTRODUCCION PARA ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS A LA ESTADISTICA. Segundo edlclon

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1 JOSE M. CASAS SANCHEZ Catedratico de Estadlstica Economlco y Empresarial Universidad de Alcala de Henares. Madrid Estadlstlco Facultativo del Estado. JULAN SANTOS PENAS NTRODUCCON, A LA ESTADSTCA PARA ADMNSTRACON Y DRECCON DE EMPRESAS Segundo edlclon EDTORAL CENTRO OE ESTUDOS RAM6N ARECES. S. Po.

2 Primer a edici6n: julio 999 Segunda edici6n: julio 2002 A nuestras [amilias Reservados todos los dereehos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse 0 transmitirse por ningtin proeedirniento eleetr6nieo 0 mecameo, incluyendo fotoeopia, grabaci6n magnetica, 0 eualquier almaeenamiento de informaci6n y sistema de reeuperaei6n, sin permiso eserito de Editorial Centro de Estudios Ram6n Areces, S. A. EDTORAL CENTRO DE ESTUDOS RAMON ARECES, S. A. Tomas Bret6n, Madrid. SBN: Dep6sito legal: M Compuesto e irnpreso por Fernandez Ciudad, S. L. ; Catalina Suarez, Madrid ':,''\..~ mpreso en Espana / Printed in Spain

3 ; ndice PR6LOGO CAPfTULO. EL METODO ESTADfSTCO EN LA NTERPRE TAC6N DE LOS HECHOS ECON6MCOS Las ramas de la Estadfstica y sus metodos cientificos La Estadfstica Descriptiva y el estudio de los hechos econ6 micos.. E Calculo de Probabilidades como herramienta matematica de nferencia Estadfstica. La Estadfstica Moderna La nferencia Estadfstica como metoda de estudio de los hechos econ6micos ' CAPfTULO 2. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UND MENSONALES ntroducci6n Conceptos fundamentales Tareas a desarrollar en las grandes etapas de la investigaci6n estadfstica Construcci6n numerica y grafica de las distribuciones de frecuencias unidimensionales Distribuciones de frecuencias unidimensionales con los datos no agrupados Distribuciones de frecuencias unidimensionales con los,datos agrupados en intervalos de clases Representaciones graficas para distribuciones de frecuencias de datos cualitativos

4 8 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PE:NAS, J. fndce Representaciones graficas para distribuciones de frecuencias de datos cuantitativos.. '.' Medidas de posici6n La media aritmetica La media geometrica La media arm6nica La mediana La moda Otras medidas de posici6n no centrales: los cuantiles Momentos \ Medidas de dispersi6n Medidas de asimetria y curtosis Medidas de concentraci6n. Ejercicios. CAPfTULO 3. DSTRBUCONES MENSONALES DE FRECUENCAS BD fndices simples de precios fndices complejos de precios sin ponderar fndices complejos de precios ponderados ndices de cantidades 0 cuanticos Propiedades que cumplen los indices complejos y ponderados de precios y cantidades fndices en cadena Cambio de base en una misma serie de nnmeros indices Renovaci6n y enlace de series de numeros indices con distintas bases Repercusi6n y participaci6n en las variaciones de un ndice. lndices de valor y deflactaci6n de series econ6micas 4... fndices de valor Deflactaci6n de series econ6micas fndice de precios de consumo (PC) Caracteristicas principales Metodo de calculo Enlace de series. Coeficientes de enlace 3.. ntroducci6n fndice de precios de consumo armonizado (PCA) Tabulaci6n de variables estadfsticas bidimensionales: distribu 4.4. Otros indices 0 indicadores de coyuntura elaborados 249 ciones bidimensionales de frecuencias. 22 Ejercicios Tablas de correlaci6n Tablas de contingencia Dependencia funcional y dependencia estadtstica Regresi6n y correlaci6n lineal simple La regresi6n lineal simple Correlaci6n lineal simple.. Regresi6n y correlaci6n lineal multiple Ajustede un plano por el metoda mfnimo-cuadratico Ajuste de un hiperplano mediante la algebra matricial Ajustes no lineales por minimos cuadrados... utilizaci6n del CAPfTULO 5. ESTUDO CLAsCO 0 SERES TEMPORALES DESCRPTVO DE LAS ntroducci6n... Concepto de serie temporal y definici6n de sus componentes. Determinaci6n de la tendencia Determinaci6n de las variaciones estacionales 5.5. Determinaci6n de las variaciones ciclicas Ejercicios Estudio de la asociaci6n entre variables cualitativas. 84 Ejercicios. 88 CAPfTULO 6. FEN6MENOS ALEATOROS Y SUCESOS ntroducci6n. 297 CAPfTULO 4. NOMEROS fndces Fen6menos aleatorios, Espacio muestral ntroducci6n Sucesos Clasificaci6n de los numeros indices Operaciones con sucesos Propiedades de los mimeros indices Propiedades de las operaciones con sucesos ndices de precios Sucesiones de sucesos

5 -~', ; :!,. i' 0 CASAS-sANCHEZ, J. M. y SANTOS-PENAS, J. :, ' 6.7. Algebra de sucesos Metodos de enumeraci6n 0 conteo ' Tablas de doble entrada Principio de multiplicaci6n Diagramas de arbol Combinaciones, variaciones y permutaciones. 323 Ejercicios.,. 325!: i il CAPiTULO 7. PROBABLDAD ntroducci6n. 33 q 7.2. Definici6n clasica de la probabilidad ~ 7.3. Definici6n frecuentista de la probabilidad. 335!l 7.4. nterpretaci6n subjetiva de la probabilidad. 339 " Ji' 7.5. Defmici6n axiomatica de la probabilidad Teoremas elementales 0 consecuencias de los axiomas Probabilidad condicionada Teorema de la probabilidad compuesta 0 producto.. 36 i Teorema de la probabilidad total Prologo 0 0 Segundo edicion El presente libro esta plante ado para que sirva de texto base para el estudio de un semestre de ntroducci6n a la Estadtstica en la Licenciatura de Administraci6n y Direcci6n de Empresas. Los capftulos y 2 pretenden introducir allector en el manejo de los datos numericos, ensefiarle a organizar los resultados obtenidos de las observaciones y a sintetizar la informaci6n con las diferentes medidas de posici6n, dispersi6n, Teorema de. Bayes. 364 forma y concentraci6n.! 7.7. ndependencia de sucesos. 366 En el capftulo 3 se proporcionan los instrumentos necesarios para el estu Ejercicios. 370 : ii' dio de las variables estadfsticas bidimensionales. Se introducen los conceptos 385 de tablas de correlaci6n, contingencia, distribuciones marginales y condicio BBLOGRAFiA 4 nadas, independencia estadfstica, regresi6n, correlaci6n, etc. Dedicamos los capftulos 4 y 5 a dar algunos instrumentos que nos permitan hacer comparaciones y a estudiar la evoluci6nde magnitudes econ6micas y sociales, introduciendo para ello los numeros indices y el estudio de las series temporales. Tambien dedicamos dos capftulos al estudio de los fen6menos aleatorios y sucesos, asf como a los conceptos mas importantes sobre probabilidad. En esta segunda edici6n se ha introducido la nueva unidad monetaria, el Euro, se ha actualizado todo el capftulo de Ntimeros indices, recogiendo la l, nueva metodologfa del ndice de Precios de Consumo y se ha suprimido la i: Aplicaci6n nformatica PD para Analisis Estadfsticos. \ Por ultimo, deseamos agradecer a nuestros colaboradores, Mariano Ruiz Espejo y Ana sabel Zamora Sanz sus ayudas en la redacci6n de algunos ejercicios practices y en la correcci6n de pruebas. LOS AUTORES Madrid, julio de 2002

6 ' K i Capitulo E rnerodo estadfstico r en la interpretacion : : de los hechos econornlcos '. ;!,,.. Las romos de 0 estodistico y sus metodos.:: cientificos, ' : La Estadistica, en suacepci6n mas general, puede considerarse como la : ciencia que estudia las «regularidades» que se observan en una serie de fen6!:; menos que pueden expresarse a traves de la informaci6n numerica, Su propia "" evoluci6n hist6rica favorece, como veremos, que la percibamos como un con junto de cifras, graficos, promedios, etc. En una segunda acepci6n la Estadfstica es un conjunto de metodos cientfficos que nos permiten interpretar la informaci6n numerica, elegir muestras representativas para hacer inferencias, " ; i ; ii i: ~ '. contrastar hip6tesis, estimar relaciones causa-efecto y hacer predicciones. La agrupaci6n del conjunto de conocimientos que componen a la Estadfstica da origen a tres ramas claramente diferenciadas: La Estadistica Descriptiva que se estudiara en los pr6ximos cinco capftuos. El Calculo de Probabilidades que se desarrolla en el capitulo siete y en i, ', :. el texto del mismo autor: Estadistica : Probabilidad y Distribuciones.,. La nferencia Estadistica que se estudia en otra obra, tam bien del! ~ mismo autor. l La Estadistica Descriptiva es la que tiene sus rakes hist6ricas mas pro."!:. fundas, ya que con una cierta ordenaci6n y sistematica fue empleada por las t~ Jj :..~ ;! sociedades humanas mas primitivas. Su metodo cientffico es el deductivo ya ' ii: que plantea un conjunto de datos ordenados y genericos y va extrayendo conclusiones particulares de los mismos. Va de 0 general a 0 particular que es la esencia del metodo deductivo.

7 ,'..,, '. : i,~ "l 4 CASAS-sANCHEZ, J. M. Y SANTOS-PENAS, J. EL METODO ESTADfsTCO EN LA NTERPRETAC6N DE LOS HECHOS... 5 El Calculo de Probabilidades tambien empiea el metoda deductivo ya que en esencia es un razonamiento puramente matematico, Arranca con la definici6n de probabilidad a traves de una serie de axiomas de los que se van deduciendo un conjunto de teoremas. Este conjunto de conocimientos no constituye en sf una rama de la Estadistica si no las herramientas maternaticas y modelizadoras en las que se apoyara la nferencia Estadfstica para su formulaci6n y desarrollo. El Calculo de Probabilidades empez6 a formalizarse a 0 largo de las siglos XV y XV tratando de resolver problemas de juegos de azar y del mundo de la Astronomfa. Por ultimo, sefialaremos que la nferencia Estadistica empiea el metodo inductivo basandose en el conjunto de instrumental matematico-deductivo que e proporciona el Calculo de Probabilidades. Procede de las observaciones particulares de una muestra representativa y llega a la inducci6n de propiedades generales para el conjunto del que se extrae la mencionada muestra. La nferencia Estadfstica es considerada como la Estadfstica moderna ya que se " ha desarrollado a 0 largo del siglo XX como uni6n y confluencia de la ;j Descriptiva y el Calculo de Probabilidades. i:;o Utilizando las anteriores reflexiones podemos concluir que la Estadfstica, en su conjunto, teniendo en cuenta todas sus ramas, emplea el metodo deductivo ii, en unas determinadas etapas de su proceso de investigaci6n y el inductivo en otras. De manera muy general podemos decir que las etapas de toda investigaci6n estadfstica son las siguientes:., t, :". 8 Definicion de los objetivos que se persiguen con la investigacion Esta primera fase es fundamental, ya que se definen los parametres poblacionales que se pretenden investigar. Por ejemplo, supongamos que deseamos conocer los hogares 0 familias que tienen mas de un autom6vil en la Comunidad de Madrid; la poblaci6n a investigar son todos los hogares de la Comunidad y el parametro poblacional sera la proporci6n 0 porcentaje de los mismos que tienen mas de un autom6vil. ji :i,~ ' 2. 8 Recogida de los datos estadisticos para Uegar a conocer los parametres poblacionales 'ii Existen fundamentalmente dos formas de obtener los datos estadfsticos:, r' Por la ejecuci6n de una encuesta censal. En el ejemplo de los hogaresde la Comunidad de Madrid consistirfa en preguntar a todos ellos si poseen!, il ' '': mas de un autom6vil. La caracterfstica de interes se mide en todos y '" cada uno de los elementos de la poblaci6n. Cuando el estudio estadfstico que se ejecuta es de naturaleza censal no existe ningun problema de : :: 'i inferencia y el metodo empleado sera ntegramente deductivo. Los estu i,: dios censales son excepcionales ya que tienen un elevado coste y un " : perfodo largo de ejecuci6n. Por la ejecuci6n de una encuesta muestral. Esta segunda alternativa es la que se utiliza en la investigaci6n estadfstica ya que tiene las enormes ventajas de un coste econ6mico reducido, un corto perfodo de ejecuci6n, en comparaci6n con los censos, Y la calidad de los datos observados puede controlarse mejor que en estes al ser vohimenes mas reducidos. La caracterfstica que se esta investigando s60 se mide en un subconjunto de la poblaci6n, muestra, y los resultados obtenidos se infieren al total poblacional. El metoda por tanto es inductivo ya que de 0particular de la muestra se generaliza al total de la poblaci6n. Siendo esta la raz6n por la que la nferencia Estadfstica adquiere toda su significaci6n: definicion de estimadores para los parametres poblacionales, modelos de probabilidad que siguen, niveles de confianza en las estimaciones, errores de muestreo que estamos dispuestos a admitir, tamafios de muestras, etc Descrlpclon y estimackin de los parametres poblacionales Si se ha utilizado la investigaci6n censal nuestro estudio finaliza con la descripci6n de las caracterfsticas poblacionales a traves de tablas de frecuencias y graficos, Se empleara el metodo deductivo siguiendo el camino de 0 general a 0 particular. Si se ha utilizado la investigaci6n muestral hay que considerar dos niveles de analisis: el de modelizaci6n probabilfstica del proceso a priori que es deductivo-inductivo (definici6n del modelo y proceso de inferencia) y el de descripci6n de los datos obtenidos 0 analisis a posteriori que es descriptivo 0 deductivo. Cuando se obtienen los datos de la muestra seleccionada por un procedimiento probabilfstico, ya no tenemos estimadores que siguen una distribuci6n 0 modelo de probabilidad, sino estimaciones 0 datos concretos que hay que describir 0 reducir de forma ordenada de 0 general ---conjunto de los datos muestrales- a 0particular. Luego la Estadfstica Descriptiva con su metoda deductivo interviene cuando tenemos un conjunto de datos a posteriori, bien provengan de una investigaci6n censal, bien de una muestral. Cuando estemos en este ultimo caso, las descripciones de las estimaciones deben venir acompafiadas de sus niveles de confianza y de sus respectivos errores de muestreo..2~ La estadistica descriptiva y el estudio de los hechos economicos La utilizaci6n de la Estadfstica en la interpretaci6n de los hechos econ6 micos, hay que contemplarla a traves de la evoluci6n hist6rica de las tres ramas que venimos considerando: la Estadfstica Descriptiva, el Calculo de :

8 rr 6 CASAS-sANCHEZ, J. M. Y SANTOS-PENAS, J. EL METODO ESTADfSTCO EN LA NTERPRETAC6N DE LOS HECHOS... 7 >.' i i i!. ' ii " : :i', ',:,.!'!,! i 'i.,..,.,: ii. il:i.'!"i i' '': hi s.: "., iii:!,,,j!' L :; ", ' " ;i., ' ~,!,~ ~ ",i, Probabilidades y la nferencia Estadfstica, Empecemos por la primera. Es de todos conocido que los egipcios, chinos, griegos y romanos realizaron recuentos descriptivos de su poblaci6n y riquezas. Tenemos referencias del historiador griego Herodoto ( a. de J.e.) que en el afio 3050 a. de J.e. Egipto elabor6 un censo de poblaci6n y riqueza con objeto de abordar la construeci6n de las piramides, Tambien en Egipto Ramses hizo un censo de tierras con objeto de establecer una nueva politica de reparto de las mismas. Siguiendo el enfoque descriptivo, los griegos y romanos efectuaban recuentos periodicos de sus recursos econ6micos y humanos con claros fines tributarios y militares. En la Edad Media no se realizan operaciones estadisticas de descripci6n econ6mica si se exceptuan los inventarios de posesiones de la glesia. Hay que esperar al nacimiento de las escuelas mercantilistas de los franceses, alemanes y anglosajones de los siglos XV, XV YXV. Las ideas mercantilistas de los franceses Colbert, Buffon y Condorcet influyen tanto en la escuela alemana formada por Seckendorff, Coring y Achenwall, como en la inglesa constituida por Graunt, Petty, Halley, Davenant y King, principalmente. La preocupaci6n fundamental de la escuela inglesa eran los datos demograficos, Graunt, a mitad del siglo XV, se plante6 la estimaci6n de la poblaci6n inglesa que estaba sometida a grandes fluctuaciones por causa de las epidemias. Obtuvo tasas de mortalidad y de natalidad partiendo de una muestra de la poblacion, A finales del siglo XV Petty efectua estudios descriptivos sobre demograffa, de rentas y traficos mercantiles. En los siglos XV y XX se produce un rapido crecimiento de datos estadisticos iniciandose la elaboraci6n de los. primeros censos oficiales. En EE.UU. se elaboran censos de poblaci6n cada diez afios desde 790; a 0 largo del siglo XX se crean Oficinas de Estadistica en los principales Estados que se dedican a elaborar estadisticas de forma peri6dica sobre temas econ6micos. Tambien, durante el siglo xx la producci6n de estadisticas descriptivas ha seguido una tendencia exponencial debido a la demanda de datos en los modelos de planificaci6n y desarrollo econ6mico. Vista la evoluci6n hist6rica de la Estadistica Descriptiva podemos concluir con las siguientes reflexiones: El origen de la palabra Estadistica, en terminos filol6gicos, es estadista que proviene a su vez del latin status. Es la ciencia que contabiliza las cosas del Estado desde los tiempos mas remotos hasta nuestros dfas: recoge, describe y analiza informaci6n de cualquier hecho 0 fen6meno. Si es del mundo econ6mico estaremos ante una Estadistica Descriptiva Econ6mica. Es una estadistica econ6mica que no contiene incertidumbre con 0 que esta ausente la probabilidad como medida de aquella, La Estadistica Descriptiva 0 Deductiva la debe de dominar tanto el economista de empresa como el general, ya que e ensefia c6mo debe hacer un analisis primario y basico de un conjunto de datos que provienen de haber efectuado una investigaci6n censal 0 muestral de un determinado fen6meno econ6mico..3. E calculo de probabilidades como herramienta mctemeftco de inferencia estadistica. La estadistica moderna Hemos apuntado anteriormente que,la base cientffica de la nferencia Estadistica es el Calculo de Probabilidades que es una rama de las maternaticas que se basa en el razonamiento deductivo. Veremos posteriormente que la Estadistica Moderna del siglo xx es el resultado de la fusi6n de la Descriptiva y el Calculo de Probabilidades con 0 que es obligado efectuar un breve desarrollo hist6rico de este, El origen del Calculo de Probabilidades esta relacionado con la resoluci6n de problemas de juegos de azar. Las excavaciones arqueol6gicas han demostrado que las culturas primitivas practicaban juegos de azar cuyos resultados estaban ligados a la voluntad divina. Pero es a partirdel siglo XV, con pequefios antecedentes de Cardano (50-576) y Galileo ( ) cuando se empieza a formalizar esta rama de las maternaticas. Los Matematicos Bias Pascal ( ) y Pierre de Fermat (60-665) empiezan con su famosa correspondencia la formalizaci6n del Calculo de Probabilidades sobre juegos de azar que les planteaba el conocido jugador Caballero de Mere. Christian Huygens recopil6 los trabajos de Fermat y Pascal apareciendo en 669 la primera sistematizaci6n del Calculo de Probabilidades. Espoleados por la contrastaci6n empirica de las teorias sobre astronomia y fisica siguieron las aportaciones de Jacobo Bernoulli ( ); Abraham de Moivre ( ); Daniel Bernoulli ( ); Pierre Simon Laplace ( ); Karl Friedrich Gauss ( ); Simeon Denis Poisson (78-840) y P. Chebychev como grandes impulsores de esta disciplina a 0 largo de los siglos XV y XX. Durante el siglo xx son autores clasicos del Calculo de Probabilidades Markov, Liapounoff y Kolmogoroff de la escuela rusa; Borel; Levy, Lebesgue y Frechet de la francesa. Durante los siglos XV, XV YXX el Calculo de Probabilidades se desarrolla desconectado de la Descripci6n estadistica de los hechos econ6micos si exceptuamos pequefias interrelaciones efectuadas fundamentalmente por Quetelet a mediados del siglo XX. Los matematicos dedicados a los problemas de la ffsica y la astronomia emplean un lenguaje diametralmente opuesto al utilizado por los estadisticos que describen los hechos econ6micos a traves de

9 , 8 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PENAS, J. EL METODO ESTADfSTCO EN LA NTERPRETAC6N DE LOS HECHOS... 9 ;: ',!:. sus tablas, tasas de mortalidad y natalidad, mirneros indices, etc. La uni6n de ambas tendencias se produce a comienzos del siglo xx,consolidandose a 0 largo del mismo por 0que conocemos como la nferencia Estadistica aplicada a la economia, cuyo estudio requiere un conocimiento previo del cuerpo fundamental del Calculo de Probabilidades ya que nos proporcionara los instrumentos matematicos necesarios para que, siguiendo la l6gica inductiva, las concusiones de una muestra las generalicemos a la poblaci6n a la que pertenece..4. La inferencia estadistica como metodo de estudio de los hechos econ6micos ~ :!:~: La nferencia Estadfstica tambien se empez6 a desarrollar a 0 largo del ~ siglo XV resolviendo problemas de estimaci6n y contraste en el mundo de.. ~, la astronomia. Combina la observaci6n de datos (Descriptiva) con la estimaci6n de determinados parametres de los modelos te6ricos del Calculo de!:~ Probabilidades. Dentro del desarrollo de la nferencia hay que considerar tres ~,. : corrientes metodo6gicas que surgen de las distintas interpretaciones del concepto de probabilidad. En primer lugar hay que considerar la «nferencia u ' Clasicax que arranca con Laplace-Gauss con su problematica de las observa ~ ~ ciones astron6micas y culmina con la estimaci6n y contrastaci6n de hip6tesis ":,' ':' r de la Escuela nglesa en el campo de las ciencias naturales --estudios fundaj'l mentalmente bio6gicos- formada por Karl Pearson ( ), William S. ~ ",: Gosset (Student) ( ), Ronald A. Fisher ( ) y Jerzy Neyman il',: ~ (894-98). Esta corriente clasica de la nferencia se apoya en el concepto l~~ frecuencialista de la probabilidad obtenido de la informaci6n descriptiva mues ' tral cuando el experimento aleatorio de la investigaci6n se realiza en las ~ mismas condiciones un nnmero elevado de veces. Una segunda corriente es la denominada nferencia Bayesiana. Sus bases iniciales las formu6 el matematico ingles reverendo Thomas Bayes (702 i, 76). La esencia del enfoque bayesiano esta en su famoso teorema que com 'ii bina todo tipo de informacion a priori sobre los distintbs estados de la natu 'il raleza con la informaci6n muestral en sentido clasico para obtener 0 inferir el ',' i ~l, i modelo de distribucion a posteriori. A Bayes e siguen los modernos autores,:,i de la probabilidad subjetiva como son los estadfsticos.frank Ramsey, Bruno de Finetti y Leonard Savage cuyos enfoques son de gran utilidad en el mundo econ6mico-empresarial. La tercera corriente, de enorme aplicaci6n en el campo econ6mico-empre-, sarial, es 0que se conoce como Teoria de la Decisi6n. Su formulaci6n se debe al estadfstico A. Wald ( ) que aprovecha la inferencia bayesiana combinada con la noci6n de probabilidad subjetiva aportando el concepto de funcion de perdida en el que se apoya el decisor para cuantificar sus expectativas y racionalizar el tratamiento de la incertidumbre econ6mica. En 92 rving Fisher ( ), economista americano conocido por su dedicaci6n a la elaboraci6n de mimeros indices, inicia un movimiento para incorporar los metodos inferenciales conocidos en el mundo de las Ciencias Naturales al mundo de la economia. En 930 funda con Charles F. Roos y Ragnar Frisch la Sociedad de Econometria con el objetivo de que los economistas aceptasen que el cuerpo vigente de conocimientos estadfsticos provenientes de los campos de la Fisica, Astronomia y Ciencias Naturales, podia ser aplicado a los datos econ6micos. A 0 largo de las siguientes decadas se ha ido implantado paulatinamente el enfoque probabilistico en el estudio de los hechos econ6micos 0que permite confrontar los modelos te6ricos con los datos estadfsticos 0 estudiar el modelo que mejor se ajusta a los datos empfricos disponibles. No cabe duda que la aparici6n y difusi6n de los potentes ordenadores personales ha revolucionado la aplicaci6n y difusi6n de los metodos estadisticos aplicados a la economia. Existen multitud de aplicaciones de facil manejo que permiten dar un tratamiento descriptivo a uri conjunto de datos econ6 micos en un tiempo record. En una segunda fase pueden ejecutarse tratamientos multivariantes mas complejos: regresi6n y correlaci6n, analisis factoriales, analisis de conglomerados y analisis discriminantes.

10 i : ;'! " i:, L '' i" ",, ' ii': ; ~ ::.!; '. -:.. i!! ' t i ' " :!! i ) " (: )' :.:, ;:]. l":' p!.!!,!,i i '!! l l, a d,,, 'ii '". ; nl: i 'j!, l j 2.. j l Capitulo 2 Distribuciones de frecuenclos unidimensionales ntroduccion En este capitulo iniciamos 0 que hemos deriominado la Estadfstica Descriptiva 0 Deductiva que se ocupa de recopilar, organizar y analizar datos numericos, El estudio 0 iniciamos con la presentaci6n de una serie de con ceptos previos fundamentales que se emplearan constantemente en el desarro llo de esta disciplina: poblaci6n, muestra, atributos, escalas de medici6n y variables estadfsticas. En segundo lugar se aborda la explicaci6n de las distintas tareas que componen las tres grandes etapas de toda investigaci6n estadfstica: definici6n de objetivos, recogida de los datos y estimaci6n y descripci6ti de los parametros poblacionales. j El tercer aspecto que se estudia, centrandonos en la tarea descriptiva de la etapa denominada analisis descriptivo primario, es la elaboraci6n de 0 que se denomina distribuci6n de frecuencias unidimensionales, tanto en su aspecto numerico como grafico, En cuarta posici6n se anallzan de forma global las distribuciones de frecuencias a traves de sus medidas de posici6n: medias, mediana, moda y cuantiles. Otras medidas que se introducen, en quinto lugar, en el estudio de las distribuciones son los denominados momentos potenciales con relaci6nal origen y a la media aritmetica. En sexta posici6n se abordan las medidas de dispersi6n: recorrido, intervalos intercuartflicos, varianza, desviaci6n tfpica, coeficiente de apertura, recorrido relativo, recorrido semi-intercuartflico y coeficiente de variaci6n. Le siguen la exposici6n de 0 que se conoce como «medidas de forma»: asimetrfa y curtosis. Dos distribuciones que tengan la misma media aritmetica y la misma varianza pueden diferir en la forma de sus

11 22 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PENAS,. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 23 Aunque los atributos no son susceptibles de ser medidos numericamente, sus modalidades pueden relacionarse con 0 que se denominan escalas nominales y ordinales. Las observaciones de las distintas modalidades decimos que estan en una escala nominal cuando los mimeros que e asignamos s60 se emplean para diferenciar las distintas categorfas, Si al ejemplo de los colores del semaforo e asignamos los digitos, 2 y 3, s60 cabe la interpretaci6n de que el #- 2 #- 3 sin que se pueda afirmar que uno es superior a otro y sin que se puedan ordenar. La escala nominal es la forma de medici6n mas debit y se utiliza s6lo para clasificar las distintas modalidades de un atributo. No permiten ninguna relaci6n de orden ni operaciones aritmeticas de suma, resta, multiplicaci6n y divisi6n. La medici6n de las caracterfsticas cualitativas 0 atributos tambien admite en ciertos casos 0 que se conoce como escalas ordinales. Se podra emplear la escala ordinal cuando las distintas modalidades admiten una determinada graduaci6n u ordenaci6n. En estudios de mercado j y de opini6n se emplean con mucha frecuencia las escalas ordinales. La imagen de un determinado politico podra calificarse de: muy mala, mala, regular,! buena y muy buena. Si se e asignan los dlgitos, 2, 3, 4 y 5 no quiere decir que la imagen buena sea el doble que la mala, sino que esta en un orden superior. Este tipo de mediciones con escalas ordinales es superior al nominal ya que adem as de clasificar las distintas modalidades permiten ordenarlas, perc tampoco admite, como en las nominales, las operaciones aritmeticas de suma, rest a, multiplicaci6n y divisi6n. Variables. Son las caracterfsticas poblacionales susceptibles de tomar valores numericos a los que se les pueda aplicar 0 que se conocen como escalas de intervalos y de razon 0 proporcion, Las primeras son aquellas que permiten una unidad de medida con 0 que podemos cuantificar numericamente la distancia existente entre dos observaciones cualesquiera. El orden de esta escala es superior a las nominales y ordinales ya que ademas de clasificar y ordenar las mediciones permite diferenciar con exactitud unas situaciones de otras. En el mundo econ6mico-empresarial tenemos multitud de caracterfsticas en las que pueden aplicarse escalas de intervalos: salarios de una empresa, cualquier tipo de presupuesto, gastos, ventas, etc. Las escalas de proporci6n 0 razon, ademas de las cualidades de las de intervalo, se caracterizan por incorporar un punto de origen no arbitrario (un cero verdadero) como puede ocurrir, con los pesos y las edades de las personas, litros de gasolina en un dep6sito, etc. En conclusi6n podemos decir que las escalas de intervalo admiten unidades de medida y un origen (cero) arbitrarios y las de raz6n ademas de la unidad de medida tienen asignado un punto de origen no arbitrario ya que es un verdadero cero 0 cero absoluto. En estas escalas sf se permiten las operaciones aritmeticas de la suma, resta, multiplicaci6n y divisi6n. Las variables estadfsticas pueden clasificarse de distintas maneras. Tenieni iii:',' representaciones graficas, con 0 que se llega a un estudio mas profundo con la utilizaci6n de las medidas de forma. Por ultimo se abordan las medidas de concentracion 0 de desigualdad: ndice de Gini y Curva de Lorentz. Estas medidas se conciben para medir la equidad en la distribuci6n de ciertas caracterfsticas de contenido econ6mico: rentas personales 0 familiares, salarios, beneficios, etc Conceptos fundamentales Vamos a exponer de forma sencilla una serie de definiciones que constantemente las estaremos empleando en estadfstica, Poblaci6n. Se entiende por poblaci6n, universo 0 colectivo cualquier conjunto de personas, objetos, animales, plantas, instituciones 0 entes en general que son portadores de una serie de caracterfsticas que nos interesa estudiar. Ejemplos de poblaciones: Las personas que trabajan en la Administraci6n Central. Las lavadoras automaticas que se han producido en nuestro pais durante 994. Los pinos existentes en la Comunidad de Madrid a 3 de diciembre de 994. Los autobuses de la E.M.T. a 30 de junio de 995. Las poblaciones estan compuestas de elementos 0 individuos por 0 que deben de estar definidas con absoluta precisi6n de forma que siempre se pueda discernir si un elemento pertenece 0 no pertenece a la misma. Se clasifican en finitas 0 infinitas segnn que el mimero de elementos que la componen sea de una clase u otra. En el mundo econ6mico y social estaremos casi siempre ante poblaciones finitas: habitantes de una regi6n, empresas de un sector, demandantes potenciales 0 reales de un producto, etc. Muestra. Llamamos muestra a todo subconjunto representative de la poblaci6n de forma que las conclusiones sacadas en aquella se generalizan a esta, Las poblaciones se pueden estudiar bien realizando una investigaci6n exhaustiva de todos sus elementos y entonces diremos que estamos realizando un censo, 0 bien, investigando una parte 0 subconjunto de las mismas y entonces diremos que estamos realizando un estudio muestra.. # Atributo. Es toda caraeterfstica poblacional no susceptible de ser medida numericamente, La observaci6n de un atnbuto da lugar a distintas modalidades. Son ejemplos de atributos: El sexo de una poblaci6n humana cuyas modalidades son: varon y mujer. Los colores de un semaforo cuyas modalidades son: rojo, verde y amarillo. La profesidn de un conjunto de personas activas.

12 , 24 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PENAS,. DSTRmUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 25 :i do en cuenta el nnmero de caracterfsticas que estudiamos en los elementos de i una poblaci6n las variables pueden ser unidimensionales, 'bidimensionales 0 pluridimensionales. Por ejemplo, si en el colectivo 0 poblaci6n formado por las empresas del sector qufrnico estudiamos solo su volumen de producci6n estaremos ante una variable unidimensional. Si estudiamos al mismo tiempo la producci6n y el numero de trabajadores de cada empresa sera bidimensional (se observan dos caracterfsticas 0 variables cuantitativas en los elementos poblacionales). Las variables tambien pueden ser discretas 0 continuas segun tomen un mimero finito 0 infinito numerable, 0 bien infinito no numerable de valores en un determinado intervalo de su campo de variaci6n Tareas a desarrollar en las grandes etapas de la investigacion estadistica En el primer capitulo hemos considerado, de forma muy generica, las tres ' grandes etapas que pueden considerarse en toda operaci6n 'estadfstica: definici6n de objetivos, recogida de datos y estimaci6n y descripci6n de resultados finales. En el presente apartado vamos a comentar brevemente las distintas tareas contenidas en las grandes fases tal y como estan relacionadas en el :j grafico 2.. ' En la definicion de objetivosla primera tarea es identificar las caracterfsticas iii: cualitativas 0 cuantitativas que se desean estudiar. Debe existir una necesidad '",, ':" ' de realizar la investigaci6n estadfstica explicitando que datos son los relevantes para la toma de decisiones. El gobierno de un pais puede tener necesidad de investigar a traves de una muestra representativa las siguientes caracterfsticas:, - Altas y bajas de empleados en distintos sectores econ6micos por tipologfa de contratos (fijos, eventuales, por obra, de.formacion, a tiempo completo, a tiempo parcial, etc.). - Evoluci6n mensual de las ventas del comercio minotista.' - Evoluci6n del transporte de mercancfas por carretera. Una empresa puede tener la necesidad de conocer: - El mercado actual de un determinado producto a traves de su volumen de ventas (caracterfstica cuantitativa).. - La motivaci6n fundamental por la que se compra un artfculo de una determinada marca (caracterfstica cualitativa) que se consume en los hogares. El exito de toda investigaci6n estadfstica se basa en la correcta selecci6n de las caracterfsticas que se van a analizar de forma que se alcancen los objetivos que nos hemos propuesto. j, j ii CD Etapa: Definicion de objetivos Tareas: dentificaci6n de caracterfsticas cualitativas 0 cuantitativas que se desean estudiar. Definici6n de la poblaci6n portadora de las caracterfsticas a investigar. dentificar el marco 0 listado de unidades poblacionales especificando sus soportes (magnetico, papel, documentos, etc.) y su j accesibilidad.' Decidir si la investigaci6n va a ser censal 0 muestral determinando tamafio de la muestra y presupuesto necesario. i Especificar el ambito del estudio y la forma de recoger los datos:. \ entrevistas personales, por correo, por telefono 0 mixtas. l l l : Etapa: Recogida de los datos estadfsticos Tareas: Disefio del cuestionario. Diseiio muestral de acuerdo con el marco disponible. Disefio del material auxiliar de la encuesta. Recogida de los datos. Tratamiento de los datos. Etapa: Estimacion y descripcion de los parametres poblacionales especificados en los objetivos Tareas: Analisis descriptivo primario. Estimaci6n de errores muestrales y no muestrales. Analisis especiales multivariantes. GRAFeo 2.. Etapas y tareas de toda investigaci6n estadistica.

13 .!.:! ill i :: 26 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PENAS,. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 27 La segunda tarea consiste en delimitar con absoluta precisi6n, sin ningun tipo de ambiguedad, la poblaci6n en la que podemos estudiar las caracterfsticas que nos interesan. En el caso de las altas y las bajas en el empleo senin las empresas que conforman los distintos sectores, en el segundo ejemplo sera todo el conjunto de establecimientos minoristas (tiendas tradicionales, autoservicios, supermercados, hipermercados y grandes almacenes), en el tercer caso el censo de camiones y furgonetas de distintos tonelajes, en el cuarto caso las empresas que fabriquen el producto en cuesti6n y en el quinto ejemplo los compradores del producto. La tercera tarea de la primera etapa es determinar el marco que contiene a los elementos de la poblaci6n de nuestro estudio. En los ejemplos anteriores, y siguiendo el mismo orden establecido los marcos suelen sec las bases de datos existentes en soportes magneticos en el Ministerio del Trabajo (altas y bajas de la Seguridad Social); los censos de establecimientos minoristas elaborados por organismos piiblicos 0 empresas privadas; los ficheros del Ministerio de Transportes que contengan las licencias de transporte de mercancfas vigentes; anuarios de fabricantes por productos y los censos de poblaci6n elaborados peri6dicamente por el NE. Los marcos deben estar actualizados y depurados de unidades extrafias ya que de ellos se seleccionan de forma aleatoria las unidades muestrales cuando la investigaci6n estadfstica no es exhaustiva. En la cuarta tarea se decidira si la investigaci6n estadfstica va a ser exhaustiva o,no dependiendo del tamano de la poblaci6n, las disponibilidades econ6micas, el plaza disponible, etc. Normalmente se acudira a investigaciones muestrales (no exhaustivas) con 0 que se estableceran los tamafios muestrales de acuerdo con los niveles de confianza que se deseen y los errores muestrales que estemos dispuestos a admitir. Estas tiltimas cuestiones que se refieren a la fiabilidad de la investigaci6n estan relacionadas con los costes de la misma ya que a mayor nivel de precisi6n se requerira una mayor muestra y por tanto, un mayor presupuesto. Tambien tendremos que establecer elambito de la investigaci6n: nivel municipal, comarcal, regional, nacional, etc., asf como la forma mas adecuada de recoger la informaci6n: entrevistas personales, por correo, por telefono 0 mixtas. La primera tarea de la segunda etapa (recogida de los datos estadfsticos) es el diseiio del cuestionario. Para su elaboraci6n se parte de todos los antecedentes que nos proporciona la primera etapa: caractensticas que mediremos, unidades que van a facilitar los datos: empresas, personas, organismos, etc., y forma de recoger los datos: por correo, con agentes entrevistadores 0 por telefono. Toda esta serie de antecedentes nos van determinando el formato del cuestionario y la naturaleza de sus contenidos. Elaborar un cuestionario que no tenga fallos es una tarea especializada que debe de desarrollar un grupo de expertos en las materias correspondientes. Aquf nos vamos a limitar a dar unas directrices para su buena confecci6n: Claridad en el lenguaje utilizado. El nivel cultural de los estrevistados es heterogeneo en la mayorfa de los casos (se exceptuan las encuestas realizadas a colectivos del mismo nivel cultural: medicos, abogados, ingenieros, economistas, etc.) por 0 que hay que emplear un lenguaje sencillo y directo evitando terminos tecnicos que solo son comprensibles para los especialistas. Precision en las preguntas. Deben de ser concretas y cortas con objeto de obtener respuestas precisas. Un ejemplo de pregunta no concreta es lno piensa Yd. que fuma mucho? El termino mucbo es subjetivo y tiene distinto valor para distintas personas. La pregunta concreta serfa lcuan~ tos cigarrillos fuma Vd. diariamente? No se debe influir en la respuesta, Deben evitarse juicios de valor a la hora de efectuar las preguntas que condicionan las respuestas. No serfa correcto hacer preguntas del tipo lno piensa Yd. que nuestra empresa da un servicio posventa de gran eficacia? La pregunta correcta serfa: lqu6 opina Yd. de nuestro servicio posventa? Deben evitarse las preguntas indiscretas que molestan al entrevistado. Hay que tener en cuenta que determinadas preguntas pueden molestar al entrevistado con 0 que podemos conseguir que se niegue a contestar a la totalidad del cuestionario, 0 bien, que nos den respuestas falseadas. Esta demostrado que no deben de pedirse directamente los ingresos de una persona ni la edad. Es mucho mas eficaz pedirles que se situen dentro de una escala previamente establecida. La pregunta zcuales son sus ingresos anuales?, debe de sustituirse por: ndique, por favor, dentro de que tramo de la siguiente escala se encuentran sus ingresos anuales: ~. menos de dos millones, entre dos y cuatro 0 mas de cuatro. j Hay que cuidar el orden de las preguntas. Las preguntas mas sencillas deben de ir al comienzo del cuestionario y las mas complejas 0 delicadas j al final. Con ello se consigue un mayor grado de respuesta y colaboraci6n por parte del entrevistado ya que una vez que se ha avanzado en la cumplimentaci6n es mas dificil que se niegue a seguir contestando aunque las preguntas sean mas comprometidas. i Las anteriores recomendaciones generales no agotan toda la normativa l existente de como deben confeccionarse las preguntas de un cuestionario. Se j ponen a titulo de ejemplo para dejar constancia de que es una tarea compleja que requiere verdaderos especialistas. l J Las preguntas de un cuestionario pueden casificarse desde multiples aspectos. Si atendemos, por ejemplo, a la libertad de elecci6n de respuesta las preguntas pueden ser: Abiertas: son aquellas cuya respuesta es totalmente libre para el entrevistado. Por ejemplo, a los cabezas de familia podna preguntarseles zque

14 " r ',j i! 28 CASAS-sANCHEZ, J. M. YSANTOS-PENAS, J. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 29, usos les darla Vd. a los ordenadores personales en su hogar? Senale todos maciones para cada ~ estrato 0 subpoblacion en los que hemos dividido la los que e parezean.interesantes, En esta cuesti6n nos encontraremos una 'j poblaci6n objeto de estudio. La estratificaci6n consiste en dividir la poblaci6n gama variada de respuestas: hacer un inventario de 'las existencias de en grupos que sean homogeaeos internamente respecto a la caracterfstica que productos alimenticios, hacer un presupuesto por partidas de gastos con estemos estudiando y que existan grandes diferencias entre unos y otros estraun seguimiento semanal, hacer un listado de productos que se van ago tos. Si, por ejemplo, se desea investigar la renta de los hogares de la Comutando para responerlos cuando vamos a la compra, confeccionar un, nidad de Madrid se pueden agrupar en tres estratos 0 grupos: renta baja, archivo con telefonos y direcciones de nuestras amistades y proveedores, '' media yalta. E total de la muestra que se emplee puede distribuirse de forma etc. En este caso el entrevistador anota literalmente las respuestas em proporcional a la poblaci6n de cada estrato 0 emplear otros criterios que pleando las mismas palabras del entrevistado. j pueden estudiarse en los manuales de Muestreo de Poblaciones Finitas. Cerradas: son aquellas cuyas posibles respuestas estan listadas. E entre j vistado escoge una 0 varias respuestas de las que se e presentan. Si,j c) Muestreo por conglomerados: Los conglomerados son agrupaciones de queremos cerrar la pregunta de los usos que se dan a los ordenadores ] elementos de la poblaci6n de naturaleza heterogenea dentro de ellos respecto personales en el hogar serfa: ;,Que usos dana Yd. a un PC en su hogar a la caracterfstica que estemos estudiando. En el ejemplo de los hogares un de todos los siguientes?: D Para escribir cartas, D Hacer un invetario de j conglomerado debe tener unidades de renta baja, media yalta de forma que si se efectua un muestreo dentro del mismo se obtenga informaci6n de los productos no perecederos, D Llevar la contabilidad del hogar, D Como! distintos niveles que pueden alcanzar los ingresos de las unidades familiares. pasatiempo con videojuegos, J Se distinguen varios tipos de muestreo por conglomerados: de distintos tama Otros aspectos que permiten clasificar las preguntas son: por el numero de 'j nos, de tamafios iguales, sin submuestreo, con submuestreo, etc. respuestas que permiten: dieotemicas (dos respuestas) 0 de respuesta multiple; i 'j por la forma de realizarse: directas 0 indirectas, etc. Un ejemplo de pregunta d) Muestreo sistematico: Es una forma muy sencilla de selecci6n de la dicot6mica y directa seria: ~Es Yd. fumador?: D Si, D No. i Como recomendaci6n final en la elaboraci6n de un buen cuestionario hay muestra dada en una poblaci6n numerada dell hasta N. E procedimiento consiste en las fases siguientes: se divide el tamafio de la poblaci6n N por el que hacer constar la absoluta necesidad de someterlo a una prueba piloto 0 de la muestra n; empleando una tabla de nnmeros aleatorios se elige uno que pretest con objeto de aseguramos su buen funcionamiento antes de proceder este comprendido dentro del cociente dado por el resultado anterior (si a su edici6n. N = 00 y n = 5, N n = 20, se elige de forma aleatoria un mimero entre y La segunda tarea que se relaciona en el grafico 2., dentro de la segunda r 20) y por ultimo se obtienen los (n - ) elementos muestrales restantes sumanetapa, viene referida al diseno muestral en el supuesto de que la investigaci6n t do al que se ha elegido de forma aleatoria el resultado del cociente (si en el estadistica no tenga caracter de exhaustiva. E disefio de muestras probabilisticas, que son las que deben emplearse en toda toma de datos, requieren = 52, el cuarto = 72 y el quinto elemento muestral serfa ejemplo el aleatorio ha sido 2, el segundo seria = 32, el tercero serfa ~ el dominio de la Teoria del Muestreo en Poblaciones Finitas que es una materia = 92). Este procedimiento sedenomina sistematico ya que 0 nnico compleja a la que se dedican cursos completos para obtener un nivel de que tiene aleatorio es el arranque. E inconveniente de este disefio, igual que conocimientos adecuados. Los tipos de muestreo que se estudian son: J ij a) Muestreo aleatorio simple (m.a.s.): Es la forma de muestreo mas sencilia. Los elementos de la poblaci6n objeto de estudio se numeran del hasta N y se seleccionan n de forma aleatoria (empleando tablas de mimeros alea : tori os) que constituyen una muestra aleatoria sin reemplazamiento (un lnisnio j mimero aleatorio solo aparece una vez) representativa de todo el conjunto. E j disefio tambien puede efectuarse conreemplazamiento (m.a.s.r.). J en el muestreo aleatorio simple, es que para utilizarlo es absolutamente necesario tener numerados del al N todos 0 elementos de la poblaclo», Esta numeraci6n tiene que estar hecha alazar para evitar posibles sesgos sistema ticos a la hora de medir la caracterfstica de interes en nuestro estudio. e) Muestreo polietdpico 0 complejo: Es el que se aplica en la practica cuando se hacen estudios sociales. Los tipos de muestreo que hemos visto anteriormente no suelen aplicarse en estado puro cuando deseamos medir caracterfsticas de unidades de consumo (familias) 0 de producci6n (empresas) b) Muestreo estratificado: Es un disefio que se emplea mucho en la prac por razones de carencias de marco (inexistencia de soportes que contengan ~ tica ya que permite mejorar la fiabilidad de las estimaciones respecto al m.a.s, numerados todos los elementos de la poblaci6n) 0 por razones de coste (el para un mismo tamafio n de la muestra. Tambien nos permite obtener esti il metodo de selecci6n conlleva tal dispersi6n en la localizaci6n de las unidades

15 30 CASAS-sANCHEZ, J. M. Y SANTOS-PENAS, J. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 3 de la poblaci6n que hacen inviable el estudio desde el punto de vista econ6 mico). Por estas tazones en la practica hay que acudir al muestreo polietapico o complejo. Veamos esta problematica con un ejemplo. Supongamos que el Ministerio de Cultura desea entrevistar a la poblaci6n espanola mayor de 8 anos para conocer con que periodicidad se visitan los museos. Se considera que a nivel nacional una muestra de personas es suficiente. Para seleccionarlas por un procedimiento puro de m.a.s, podrfa acudir a la Direcci6n General de la Policfa y solicitar que de forma aleatoria, utilizando los nnmeros del D.N.., se seleccionaran las personas con su nombre completo, direcci6n y demas datos personales. Estas personas estarfan muy dispersas por todo el territorio: zonas rurales, pueblos pequenos, median os, capitales de provincia, etc. Habrfa que entrevistar a una persona en un pueblo, a otra en una pedania, a dos en una capital de provincia y asf sucesivamente se tendrfa un perfodo largo y dificultoso en recogida de informaci6n con costes de desplazamientos y dietas de los entrevistadores elevadfsimos. Tambien es probable que ni el Ministerio del nterior ni el nstituto Nacional de Estadfstica puedan por Ley utilizar esa informaci6n para facilitar la muestra al Ministerio de Cultura. Luego en este diseiio de m.a.s. existen dos graves impedimentos: elevado coste y no disponibilidad de ficheros de poblaci6n para seleccionar aleatoriamente la muestra. La nnica soluci6n viable suele ser acudir a un muestreo polietapico ejecutando el siguiente diseiio muestral complejo: en primer lugar se estratifican (muestreo estratificado) los micleos de poblaci6n por cruce de Comunidades Aut6nomas y tamano de habitat; en segundo lugar (primera etapa de seecci6n) se eligen municipios con probabilidad proporcional a su tamafio (muestreo por conglomerados). En esta etapa los municipios grandes de las capitales de provincia suelen estar autorrepresentados eligiendose de forma aleatoria s60 los medianos y pequefios, Los municipios grandes elegidos en la primera etapa se vuelven a estratificar (muestreo estratificado) en distritos de naturaleza homogenea respecto a caracterfsticas socio-econ6micas. Se eligen en una segunda etapa de selecci6n una serie de estos distritos 0 manzanas de naturaleza equivalente a las secciones censales disenados por el NE (muestreo por conglomerados). En estas manzanas, elegidas en la segunda etapa hay que hacer un listado de todas las viviendas que contienen y sobre e mismo elegir mediante m.a.s, las viviendas que correspondan. Una vez seleccionadas las viviendas, y tambien por un procedimiento de m.a.s. se selecciona las personas mayores de 8 alios a entrevistar. Estos conglomerados nltimos (manzanas de viviendas) que se han elegido suelen ser bastante homogeneos en cuanto a las caracterfsticas socio-econ6micas de las personas con 0 que se aconseja realizar en cada uno un maximo de 0 entrevistas. En el esquema descrito anteriormente se observa que el muestreo que se r~.'... -,;~ '..~ \ -.J '.~,,~,i i ~ aplica realmente en los estudios socio-econ6micos es una mezcla de los distinros tipos de muestreo que se estudian con 0 que los diseiios reales son complejos y su puesta en practica requiere el concurso de verdaderos especialistas en la materia. f) Muestreos no probabiltsticos: Los muestreos que se han comentado de forma abreviada anteriormente son todos probabilisticos. Todos tienen en comiin que los elementos de la poblaci6n que entran a formar parte de la muestra se han obtenido por procedimientos de azar y todos tienen, a priori, antes de ser seleccionados, una determinada probabilidad de ser elegidos. Cuando en e proceso de seecci6n existan unidades poblacionales que no tengan probabilidad conocida y utilizada en laselecci6n para entrar a formar parte de la muestra, el muestreo no es probabilistico. Se pueden poner multitud de ejemplos de muestreos no probabilisticos: un investigador de un lab oratorio toma una muestra de conejillos introduciendo su brazo en una jaula con 0 que s60 eligira los que esten a su alcance; el sociologo de una empresa toma una muestra de empleados para saber su edad cogiendo, segtin su criterio personal, s60las 50 primeras fichas de un montante de 500; a un entrevistador se le ordena que en una manzana de casas escoja al azar, segtin su criterio, a 20 personas para entrevistarlas con la nnica condici6n de que el 50 % sean hombres y el 50 % mujeres. Este ultimo ejemplo es 0 que se conoce por muestreo por cuotas que se emplea normalmente en los sondeos de opini6n y estudios de mercado ya que no exige la elaboraci6n de listados previos de los elementos que se van a seeccionar. No es probabilistico al no seleccionar unidades de acuerdo con probabilidades conocidas y preasignadas por el investigador. La principal ventaja de utilizar un muestreo no probabilistico por cuotas es que abarata mucho la recogida de informaci6n. Tiene el grave inconveniente, como todos los no probabilisticos, que carecen del rigor cientffico necesario para estimar los posibles errores muestrales que se comenten al estimar caracterfsticas poblacionales a traves de subconjuntos muestrales ni se pueden establecer intervalos de confianza para las estimaciones. La tercera tarea que se resalta en la segunda etapa del grafico 2. es elaborar el material auxiliar que sea necesario para que la recogida de informaci6n tenga los menores errores posibles ajenos al muestreo propiamente dicho: hojas de control del trabajo de campo que contienen listados de direcciones donde hay que hacer las entrevistas, partes de incidencias que puedan darse en el marco de la investigaci6n, material de inspecci6n, carnet de entrevistador, cartas de presentaci6n, instrucciones generales para cumplimentar los cuestionarios, etc. Como cuarta tarea de la segunda etapa aparece la recogida de los datos propiamente dicha. Es la tarea esencial ya que la calidad de los datos depende

16 32 CASAS-sANCHEZ, J. M. Y SANTOS-PENAS, J. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 33, de su correcto desarrollo mediante el adecuado manejo de sus multiples factores: entrenamiento del personal que interviene y modalidad empleada en la recogida de los datos (entrevistas personales, por telefono, por correo, etc.). El personal que interviene suele dividirse en: entrevistadores, jefes de grupo, inspectores, codificadores, depuradores, grabadores, etc., que estan supervisados por una Direcci6n de trabajos de campo. En las entrevistas personales los agentes entrevistadores van provistos de los respectivos cuestionarios editados en pape. Otra variante que se utiliza actualmente son las entrevistas personales asistidas por ordenadores portatiles, La entrevista se desarrolla segun la secuencia que indica el ordenador en su programa de ejecuci6n que tambien incorpora controles de inconsistencias, con 0 que se obtiene la informaci6n de manera instantanea completamente depurada y coherente enviandose por disquette 0 por m6dem a la central de procesamiento. Si se emplea este moderno procedimiento los entrevistadores tienen que estar entrenados en el manejo de estos costosos equipos, que requieren una inversi6n inicial considerable, que se ve compensada con el ahorro de grabaci6n y validaci6n necesarias en los cuestionarios tradicionales editados en pape. En la modalidad de entrevistas telefonicas asistidas por ordenador se emplea el mismo procedimiento metodo6gico indicado anteriormente con la enorme ventaja que los agentes entrevistadores no tienen que desplazarse con la consiguiente reducci6n de costes y tiempo invertido. La Ultima tarea de la segunda etapa del proceso de investigaci6n estadistica es el adecuado tratamiento de los datos. En el caso de las entrevistas personales 0 telef6nicas asistidas por ordenadores el tratamiento de la informaci6n (grabaci6n y depuraci6n de inconsistencias) se realiza de forma automatica, Tras acceder al entrevistado el entrevistador conecta su ordenador y va ejecutando el programa de la entrevista de forma que automaticamente va detectando las inconsistencias que han sido programadas previamente. Si la encuesta se ejecuta por un procedimiento clasico (cuestionario editado en papel y agente entrevistador sin ordenador personal), el tratamiento de la informaci6n sigue el proceso siguiente: se agrupan los cuestionarios cumpimentados en la sede central del trabajo estadistico, se codifican las preguntas que 0 exijan, se grab an de forma masiva, los ficheros se someten a un programa de validacion que saca los istados de inconsistencias, se corrigen y, por ultimo, se almacenan los ficheros completamente depurados istos para someterlos al programa de tabulaci6n.. La tercera y Ultima etapa denominada esttmacien y descripcion de parametros poblacionales se compone de tres tareas fundamentales: analisis descriptivo primario, estlmaeion de errores y analisis especiales multivariantes. Una vez que los datos estan depurados de todo tipo de inconsistencia se deben someter a un analisis descriptivo empleando los metodos de Estadistica Descriptiva que se estudian en el presente capitulo y el siguiente. Para cada,', ~ } ~ 5 una de las variables que se han medido conviene obtener su distribucion de frecuencias, su representacien graflca, sus medidas de posicion, de dispersion, de forma, etc. _ Despues de obtener estas primeras descripciones y medidas, cuando el estudio no es exhaustivo, hay que plantearse el grado de fiabilidad de las estimaciones a traves del calculo de los errores de muestreo a posteriori. A priori, en la primera etapa cuando se definen los objetivos de la investigaci6n, se ha debido de definir el tamafio de la muestra que asegura unos errores maximos de muestreo para un determinado nivel de fiabilidad. Estas definiciones previas hay que contrastarlas con los calculos de errores muestrales para los distintos ambitos del estudio y las distintas variables observadas una vez que tenemos las primeras estimaciones. Tambien hay que tener presente los errores ajenos al muestreo que hay que tratar de minimizarlos ya que los sesgos que introducen en las estimaciones pueden llegar a invalidarlas: cuestionarios mal disenados, grabaci6n de datos deficiente (siempre hay que verificar con una doble grabaci6n), validaciones inadecuadas y mala actuacion de los agentes entrevistadores. Por ultimo, una vez que se han hecho los estudios descriptivos y de fiabilidad correspondientes es cuando se pueden plantear los analisis especiales multivariantes de los datos: modelos de reduccion de la dimension (analisis factoriales, de componentes principales y correlaciones can6nicas); modelos causales (regresiones de todo tipo y analisis de la varianza); modelos de agrupaciones y clasificaciones (analisis de grupos y discriminante) y modelos dinamicos 0 de series temporales (estocasticos y no estocasticos); etc. En estos analisis especiales es donde se puede plantear la modelizaci6n estadistica en su maximo nivel: postulado del modelo, contraste de las hipotesis iniciales del modelo, estimacion de los parametres del modelo, validaclen y resultados finales Construccion nurnenco y grafica de las distribuciones de frecuencias unidimensionales Una vez que se han precisado los distintos conceptos basicos que se emplean en la elaboraci6n de datos estadfsticos, pasamos a analizar el proceso de elaboraci6n de 0 que se llama en la Estadfstica Descriptiva distribuciones de frecuencias unidimensionales. Son unidimensionales porque s6lo observamos una caracteristica (sus valores pueden representarse en el espacio de una dimensi6n) en los elementos de una poblaci6n (investigacion censal) 0 de una muestra (encuesta muestral). Existen dos tipos fundamentales de distribuciones de frecuencia: las de valores de la variable 0 datos no agrupados y las de datos agrupados en intervalos de clases,

17 34 CASAS-sANCHEZ, J. M. Y SANTOS-PENAS, J. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 35 ; r. i! ': " n '' Distribuciones de frecuencias unidimensionales con los datos' no agrupados Designemos con X la caracterfstica (puede ser una variable 0 un atributo) que deseamos observar en los elementos de una poblaci6n 0 de una muestra. Realicemos el siguiente proceso: se observan los distintos valores 0 modalidades de la caracteristica; si es una variable que admite ordenaci6n se ordena de menor a mayor y como puede haber valores que se repitan se agrupan todos elios. Si e valor 0 dato Xi se repite n i veces a este se le denomina frecuencia absoluta de dicho valor. A proceso que hemos descrito se le denomina tabulacion de datos y cuando se culmina se obtiene un conjunto formado por valores ordenados de menor a mayor (caso de variables que admitan este proceso) que tienen asociados el nnmero de veces que han aparecido (n,) que llamamos distribucion de frecuencias unidimensional de datos 0 valores no agrupados. Pueden darse dos tipos de distribuciones de frecuencias de datos no agrupados: las que no tienen valores repetidos 0 de frecuencias unitarias y las que tienen valores repetidos y por tanto, alguna 0 algunas de sus frecuencias no son unitarias. Definicion 2.. Distribuci6n de frecuencias unitarias. Llamamos distribucion de frecuencias unidimensional unitaria de la caracteristica X al conjunto de los r datos distintos y ordenados de menor a mayor (Xl' Xz,..., Xi', x r ) de forma que ninguno esta repetido. Este tipo de distribuciones surgen cuando la variable X toma pocos valores y ninguno se repite, con 0 que las frecuencias absolutas n i son todas unitarias, ponderando en el analisis de la misma forma todos los valores Xi. Se presentan en tablas que tienen la siguiente forma: TABLA 2.. Distribuciones de frecuencias unitarias. Valores de la variable, Xl, ~z ii' Xi il: i X, i Xi Puede observarse en la tabla 2. que no se expresan las frecuencias absolutas ya que son todas unitarias. ~, ~... ' '" : : ':f ~i "~ i,l :~.~ f,~i ' ) ~ -'>~ :i 4 i i,} Ejemplo 2. Supongamos que las rentas anuales de cinco familias, expresadas en miles de euros son: 200, 50,300,250 Y75. Con esta informaci6n construir la tabla de la distribuci6n de frecuencias. Soluci6n: La tabulaci6n es inmediata y simple ya que basta con ordenar la variable de menor a mayor: T A,BLA 2.2. Distribucion de frecuencias de la renta de las familias. Xi Definicion 2.2. Distribuci6n de frecuencias unidimensional con los datos no agrupados. Llamamos distribucion de frecuencias unidimensional de la caracterfstica X al conjunto de los r datos distintos, ordenados de menor a mayor, acompafiados de sus respectivas frecuencias absolutas: Xl' xz,..., Xi', X r n l, n z,..., n i,..., n, Este tipo de distribuciones se elaboran cuando la caracterfstica X toma pocos valores pero se repiten un gran numero de vecescon 0que las frecuencias ya no son unitarias. Cada valor Xi esta ponderado por el mimero deveces que ha aparecido, representado por su respectiva frecuencia absoluta n i. Los datos estadisticos se presentan en la Tabla 2.3:

18 36 CASAS-sANCHEZ, J. M. y SANTOS-PENAS, J. DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES 37 TABLA 2.3. Distribuciones de frecuencias unidimensional con los datos no agrupados. Valores de la variable Xi Frecuencias abselutas n, Vamos acontinuaci6n a establecer nuevos conceptos que aparecen en las distribuciones de frecuencias. Xl X 2 n l n 2 Definicion 2.3. Total de datos 0 frecuencia total. Ejemplo 2.2 Xi X, n, n j Llamamos total de datos 0 frecuencia total, y la denotaremos por N ala suma de todas las frecuencias absolutas n i 0 sea: r N= L i= n i En una comunidad de vecinos se ha preguntado a las 20 familias que la componen, el numero de personas que trabajan en cada una. Las respuestas han sido recogidas en el siguiente cuadro: o 2 A partir de esta informaci6n construir la tabla de la distribuci6n de frecuencias. Solucion: Existen pocos valores de la variable 0 caracteristica numero de personas que trabajan en la familia que la representamos por el sfmbolo matematico X. Estos posibles valores x, son: 0,,2, 3 y 4 que se repiten un cierto mimero de veces luego nos conviene calcular las frecuencias absolutas n i. Existen 4 familias en las que trabajan cero personas; trabaja persona en 0 familias; 2 en 4 familias y por Ultimo, trabajan 3 y 4 personas en una sola familia respectivamente. La Tabla 2.4 nos da la distribuci6n de frecuencias de esta situaci6n. TABLA 2.4. Distribucion de frecuencias unidimensional con los datos no agrupados del numero de personas que trabajan en 20 familias. Xi». o j~ : ;j : i :~ :' En el ejemplo 2., al ser las frecuencias unitarias la columna de las n, ni aparece con 0 que el total de datos sera el numero de valores de la variable: N=5. En el ejemplo N= L n i = 20 i= Definicion 2.4. Frecuencia relativa de un determinado valor de la variable Xi' Llamamos frecuencia relativa del valor de la variable Xi al cociente entre la frecuencia absoluta de dicho valor y el numero total de datos N: n i /;=N De la definici6n anterior se deduce que la suma de las frecuencias relativas, a ser taotos por uno, debe ser la unidad:, r n l' L /;= L ~=- L ni=- N= i= i= N N i= N Las frecueocias relativas se pueden expresar tambien en taotos por cien con la simple multiplicaci6n 00. /; con 0 que expresamos el porcentaje de veces que aparece el valor Xi en el conjunto de todos los datos. En este supuesto la suma en vez de la unidad sera 00.!.l

19 ".l,: 38 CASAS-sANCHEZ, J. M. YSANTOS-PEJ.\AS, J. Definicion 2.5. Frecuencia absoluta acumulada ascendente., Llamamos frecuencia absoluta acumulada ascendente N de un determinado valor de la variable ordenado (de menor a mayor) Xi al numero de datos que son menores 0 iguales a 6: Nr = i n j j=l Luego la Ni contabiliza el numero de observaciones que existen hasta llegar al valor Xi bajo el supuesto, que es con el que venimos trabajando, de que los valores estan ordenados de menor a mayor, 0 sea: Xl < X z <... < x, Segun la definici6n 2.5 podemos escribir que: Nl = n l N = Nl + nz Ni = Ni-l + n i, ' j,j Nt = N- Ni j,. l', DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES De estas expresiones se deduce que: N~ = N - NJ = N - N = 0 Nr + Nt = N Las frecuencias relativas acumuladas tanto ascendentes como descendentes se definen de forma analoga s60 que se suman las, en vez de las n/ j 'J, Verificandose que: Fr = i, j=l Ft = r j=i+l Fl = F=Fl+lz fj 39 NJ=N Definicion 2.6. Frecuencia absoluta acumulada descendente. Llamamos frecuencia absoluta acumulada descendente Nt de un determinado valor ordenado Xi al nnmero de datos que son mayores que 6: Nt = r j=i+l Por tanto la Nt contabiliza los datos que quedan a partir de Xi para llegar al total de observaciones N. Con la definici6n 2.6 se establece 0 siguiente:». :j j j ] Fi = Fr-l +; FJ = Por otro lado las descendentes se van obteniendo de la forma siguiente: Fi = - Fl F~ = - F F+ = - FT F~ = - FJ = - = 0 i - ~!i', r. Ni = N - Nl N~ = N - N De las expresiones anteriores tambien se deduce que: Fr + Ft =

20 40 CASAS-sANCHEZ,. M. y SANTOS-PENAS,. Todos estos conceptos dan lugar a la siguiente tabla generica que nos representa las diferentes distribuciones de frecuencia en su sentido mas amplio: r,.~ ~ İ. ~i DSTRBUCONES DE FRECUENCAS UNDMENSONALES quinto. Las acumuladas, tanto ascendentes como descendentes si varian por propia definici6n: TABLA 2.5. Distribuciones de frecuencias con datos no agrupados. TABLA 2.6. Distribuciones de frecuencias del ejemplo 2.. NT. N!. FT. F. l h Nl.. n. x j n, N! Ft x, j n, h=...!. F! N i - 50 /5 4 /5 4/5 n 75 / /5 3/5 Xl n = N Nt Nl Ft Fl 200 / /5 2/5,~i n2 Nl Ft Fl X2 n2 2= N m n Ejemplo 2.4 x, n j J;=...!. N NT Nt FṬ F+. n, x, n, f,.=n N;=N N; = 0 F; = F; = 0 N TABLA 2.7. Distribuciones de frecuencias absolutas, relativas. absolutas acumuladas as. cendentes, absolutas acumuladas descendentes, relativas acumuladas ascen dentes y relativas acumuladas descendentes. De esta tabla generica pueden obtenerse las tablas parciales que se deseen con s60 relacionar los valores de la variable Xi con cualquiera de las frecuen ~i~ ~: cias: tabla de frecuencias absolutas (columnas Xi y n j ) ; tabla de frecuencias! relativas (columnas Xi y fj; tabla de frecuencias absolutas acumuladas ascendente (columnas Xi y NJ) Yas! sucesivamente. ~ Ejemplo /5 4 4/5 /5 300 / N=5 Con los datos del ejemplo 2.2 obtener las tablas de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas ascendentes, absolutas acumuladas descendentes, relativas acumuladas ascendentes y relativas acumuladas descendentes. Soluci6n: Haciendo operaciones y teniendo en cuenta las definiciones dadas tenemos: q Xi n, h Nl M. F F~.. c [:. ~ 0 4 4/ /20 6/20 0 0/ /20 6/ / /20 2/20 :~ Con los datos del ejemplo 2. obtener las distintas tablas de frecuencias ~ N=20,@ absolutas, relativas, absolutas acumuladas ascendentes, absolutas acumuladas! descendentes, relativas acumuladas ascendentes y relativas acumuladas descen c' t Asf, por ejemplo, para X 3 = 2 se han obtenido: dentes. n 3 4 f3 = N = 20 Soluci6n:, r~ 3 Partiendo de los datos de la tabla 2.2 se van construyendo las distintas columnas. La primera de las frecuencias absolutas son todas la unidad ya que j=l 3 4 /20 / /20 N = n j = n + nz + n 3 = = 8 no se repite ningnn valor. Las frecuencias relativas /; son todas iguales a un N~ = N - N = 20-8 = 2 /20 0 4