3 - VARIABLES ALEATORIAS

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1 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell - VARIABLES ALEATORIAS.- Generaldades En muchas stuacones epermentales se quere asgnar un número real a cada uno de los elementos del espaco muestral. Al descrbr el espaco muestral de un epermento un resultado ndvdual no tene que ser necesaramente un número, por ejemplo, al trar una moneda y tomar como espaco muestral S { s}, o al trar un dado dos veces tomamos como espaco muestral a S,,,4,5,6,,,4,5,6, aquí S es un conjunto de pares ordenados. { } { } Defncón: Sea ε un epermento aleatoro y S un espaco muestral asocado a él. Una varable aleatora es una funcón que asgna a cada elemento de S un número real. Notacón: se anota a una varable aleatora con letras mayúsculas, Y, Z, W, Entonce s es una varable aleatora de S en R Con dagramas de Venn : S R tal que s Desde ahora en lugar de escrbr varable aleatora, escrbremos v.a. Ejemplos: - Se tra una moneda tres veces Sea la v.a. : número de caras obtendas luego de los tres tros S tomamos como espaco muestral S c ; s; c; c; s ; c ; s ; s entonces c s { } s c c s s c La magen de esta funcón es el conjunto {,,, } Dada una v.a. a su magen se la anota R y se la denomna rango o recorrdo de 6

2 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell En el ejemplo anteror R {,,, } - Se tra un dado tantas veces como sean necesaras hasta que sale el número por prmera vez. odemos smbolzar el espaco muestral de la sguente manera {,,,, K} S, por ejemplo smbolza el resultado que en los dos prmeros tros no saló el número y en el tercer tro saló el. Sea Y la v.a.: Y: número de tros necesaros hasta que sale el por prmera vez Entonces R {,,,4,K } Y, es decr el rango de Y es el conjunto de los números naturales. - En el nteror de un círculo de rado r y centro el orgen de coordenada se elge un punto al azar. Tomamos como espaco muestral a S {, y, + y r }. Aquí S es nfnto no numerable Defnmos la v.a. Z: dstanca del punto elegdo al orgen z; z r Entonces { } R Z Las varables aleatoras se clasfcan según su rango. Sea es una v.a. con rango R. S R es un conjunto fnto o nfnto numerable entonces se dce que es una v.a. dscreta. S R es un conjunto nfnto no numerable entonces es una v.a. contnua. El rango R es consderado un nuevo espaco muestral, y sus subconjuntos son eventos. or ejemplo: En el ejemplo, los eventos untaros o elementales son { }; { }; { } ; { }, pero los anotamos { }; { }; { } ; { } Otros eventos son, por ejemplo: { }, es decr, saló a lo sumo una cara. Notar que podemos escrbr { } { } { }, o sea escrbmos al evento como unón de eventos elementales { > }, es decr, saleron una o más caras. Tenemos que { > } R { } En el ejemplo, { Y 4} sería el evento al menos 4 tros son necesaros para que salga por prmera vez el numero { 4 Y 6} sería el evento se necestan entre 4 y 6 tros para que salga el por prmera vez 4 Y 6 Y 4 Y 5 Y 6 Notar que { } { } { } { } En el ejemplo, r Z r sería el evento el punto elegdo se encuentra a una dstanca del centro mayor que r, pero menor que r ocu- B ocurre en rre en S. Se dce que A y B son eventos equvalentes. De la msma forma los eventos A { c } y B { } son equvalentes A { s ; c ; c } y B { } son equvalentes En general Volvendo al ejemplo, notar que { } sendo A S y R R s y solo s el evento A { s } B, A y B son equvalentes s A { s S; s B} 7

3 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell S es una v.a. de S en R, y R es el rango de, para calcular la probabldad de un evento B de se busca el evento A en S equvalente a B y entonces B A or ejemplo, En el ejemplo, B A { s } s la moneda es normal. 4 B { s ; s ; s ; c }. 5 s la moneda es normal Tambén podríamos haber planteado B En el ejemplo, s B r Z r, entonces B es equvalente a A, y ; r + y r, por lo tanto R B A area de area de A S π r π r π r 9 Observacón: en este ejemplo s area de B Z r, entonces A B A area de S π r. - Varables aleatoras dscretas Sea una v.a. dscreta. Anotamos su rango como R {,, K, n } de n elemento y anotamos {,,KK } R s el rango es un conjunto fnto s el rango es un conjunto nfnto numerable. A cada se le asgna un número p. Estos números deben satsfacer las condcones sguentes a para todo p b p La funcón p que antes se defnó, se llama funcón de probabldad o de frecuenca de la v.a.. El conjunto de pares, p,,... es la dstrbucón de probabldad de. or ejemplo -Se tra una moneda normal tres vece sea la v.a. : número de caras obtendas R,,, Entonces { } ara hallar la dstrbucón de probabldad de supongamos que la probabldad de salr cara es ½ entonces { } s

4 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell { s ; s ; } c { s ; c ; } c { c } Se puede presentar la dstrbucón de probabldad de en una tabla de la sguente forma p / / / / Un gráfco de la dstrbucón de probabldad de sería -Se tra un dado normal. Sea : número que queda en la cara superor Entonces R {,,,4,5,6 } La funcón de dstrbucón de es p /6 /6 /6 /6 /6 /6 Observacón: Sea una v.a. dscreta con rango fnto R {,,, } + es el consecutvo de. S, donde cada es un número entero y K n para cada entonces se dce que tene dstrbucón unforme dscreta. n, en este caso es unforme dscreta en el ntervalo natu- or ejemplo podría ser R {,,,..., n, n} ral [, n]. La v.a. del ejemplo anteror es unforme dscreta en el ntervalo natural [,6] uncón de dstrbucón acumulada Sea una v.a. con rango.d.a de como R. Se defne la funcón de dstrbucón acumulada de abrevamos 9

5 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell En el caso de ser una v.a. dscreta p Volvendo al ejemplo anteror, la.d.a. de es > > s s 7 s s s s s s s s La gráfca de la.d.a. de es Observacón: la.d.a. de es una funcón escalonada, los puntos de salto concden con los puntos del rango de, y la magntud del salto en es gual a En general s es una v.a. dscreta cualquera, su.d.a. será una funcón escalonada. Además s n,...,, son los valores del rango de ordenados de menor a mayor entonces n,..., Es decr, se puede obtener la funcón de dstrbucón de a partr de su.d.a. ara números cualesquera a y b - S b a entonces a b b a - S b a entonces a b b a - S b a entonces b a es decr es una funcón crecente

6 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell Además se cumple que lm lm lm lm. Esperanza de una varable aleatora dscreta R. La esperanza, valor medo o valor esperado de, lo ano- Sea una v.a. dscreta con rango tamos E, y se defne como E R La sumatora se hace sobre todos los posbles valores de Otra notacón usual es µ o µ Ejemplos: - Sea la v.a. : número que queda en la cara de arrba al trar un dado normal R,,,4,5,6 Entonces { } E Se tra una moneda normal tres vece sea la v.a. : número de caras obtendas Entonces R {,,, } Calculamos la esperanza de E Observacones: - La esperanza de una v.a. no tene que concdr necesaramente con algún valor del rango de la varable - En el ejemplo donde el rango es fnto y equprobable, la esperanza de concde con el promedo de los valores del rango de - Se puede nterpretar a la esperanza de una v.a. como un promedo pesado o ponderado de los valores del rango de la varable, donde el peso de cada es la probabldad 4- Otra nterpretacón que se puede hacer de la esperanza es la sguente: consderemos el ejemplo, supongamos que tramos el dado muchas vece N vece y entonces obtenemos una secuenca de N valores,,..., N donde cada es un número natural del al 6. Supongamos además que hacemos un promedo de esos N valore y s llamamos n al número de veces que sale el número tenemos que

7 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell N n + n n6 6 N N n n n N N N E Es decr s promedamos los N valores meddos de, ese promedo tende a E cuando pues n cuando N es grande. N N, Esperanza de una funcón A veces mporta hallar la esperanza de una funcón de y no de msma. Veamos un ejemplo. Un nstructor de escrtura técnca ha solctado que certo reporte sea entregado a la semana sguente, agregando la restrccón de que cualquer reporte que sobrepase las cuatro págnas será rechazado. Sea : número de págnas del reporte de certo estudante selecconado al azar Supongamos que tenga la sguente dstrbucón de probabldad 4 p Suponga que el nstructor tarda mnutos calfcando un trabajo que consste en págnas. Claramente es otra varable aleatora. Cuál será su esperanza?, es decr a qué es gual E? ara calcular la esperanza de una v.a. se necesta conocer su funcón de dstrbucón de probabldad, por lo tanto habría que hallar prevamente la dstrbucón de probabldad de la v.a. Y. Está claro que s el rango de es R {,,,4 } entonces el rango de Y será R Y {,,, 4}. Además Y. Y.9 Y.5 Y or lo tanto E Y Y + Y + Y + 4 Y O sea E Y Lo vsto en este ejemplo se puede generalzar en el sguente Teorema: S es una v.a. dscreta con rango R y dstrbucón de probabldad p, entonces la esperanza de cualquer funcón h es gual a E h h p Ejemplo: Un negoco de computadoras ha comprado tres computadoras de certo tpo a $5 cada una y las ven-

8 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell derá a $ cada una. El fabrcante ha aceptado volver a comprar en $ cualquer computadora que no se haya venddo en un tempo especfcado. Sea : número de computadoras venddas, y supongamos que la dstrbucón de probabldad de es p....4 S consderamos la v.a. Y: utldad obtenda, entonces Y es una funcón de, es decr Y h Específcamente Y La utldad esperada, es decr la E Y será E Y $7 Notar que aplcando propedades de la notacón Σ se puede plantear E Y 9 9 y calculando la esperanza de, se llega al msmo resultado E 9 ropedades de la esperanza Y a + b con a y b nú- En el ejemplo anteror tenemos que Y es una funcón lneal de, es decr meros reales. En este caso vale entonces la sguente propedad E a + b ae + b La demostracón sgue los msmos pasos que en el ejemplo anteror E a a + b a + b ae + b + b Ejemplo: En el ejemplo anteror donde Y 9 Drectamente calculamos E Y E 9 Y E En consecuenca E Y E E

9 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell Observacones: - ara cualquer constante a, E a ae - ara cualquer constante b, E + b E + b Varanza de una varable aleatora La esperanza de una v.a. mde dónde está centrada la dstrbucón de probabldad. ero supongamos el sguente ejemplo Sean e Y dos varables aleatoras con dstrbucones dadas por - p.5.5 y - py.5.5 Es fácl verfcar que E E Y, pero los valores que toma la v.a. Y están más alejados de su esperanza que los valores de. Se busca una medda que refleje este hecho, se defne entonces la varanza de una v.a. Sea una v.a. dscreta con rango E µ, Entonces la varanza de, que anotamos V La desvacón estándar de es σ V R, funcón de dstrbucón de probabldad p y esperanza, o σ σ es [ µ ] µ V E p R Y Observacones: - La varanza de una v.a. nunca es negatva - La cantdad h µ es el cuadrado de la desvacón de desde su meda, y la varanza de es la esperanza de la desvacón al cuadrado. S la mayor parte de la dstrbucón de probabldad está cerca de µ, entonces σ será relatvamente pequeña. S hay valores de la varable alejados de µ que tengan alta probabldad, entonces σ será grande. - σ está epresado en las undades de medda de al cuadrado, mentras que σ está epresada en las msmas undades de medda que. Ejemplo: En el caso de las varables aleatoras e Y nombradas anterormente, V y σ 4

10 arte Varables aleatoras rof. María B. ntarell V Y y σ Otra forma de escrbr la varanza de una v.a., que faclta los cálculos es V µ p µ + µ p p µ p + µ R R R µ µ µ µ E µ E + E + E or lo tanto V E µ Y R R p ropedades de la varanza Las propedades de la varanza de una v.a. son consecuenca de las propedades de la esperanza de una v.a. S es una v.a. dscreta con rango R y dstrbucón de probabldad p, entonces la varanza de cualquer funcón h es gual a S h es una funcón lneal, entonces Observacones: - V a a V - V + b V h E h V h p R V a + b a V y σ a + b V a + b aσ Ejemplo: En un ejemplo anteror donde : número de computadoras venddas y Y: utldad obtenda, la VY sería V Y V Necestamos calcular V V E µ Sabemos ya que µ E Calculamos E En consecuenca V Y V µ E 5 5

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