El área del rectángulo será A = p q, donde p 0,2 es variable y q depende de p. ( ) ( ) ( )

Transcripción

1 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 Opción A Ejrcicio. Sa la parábola (Puntuación máima: puntos) y 4 4 y un punto ( p, q ) sobr lla con 0 p. Formamos un rctángulo d lados parallos a los js con vértics opustos ( 0,0 ) y ( p, q ). Calcula (, ) rctángulo sa máima. p q para qu l ára d s, El punto p q stá n la parábola y q p p [ ] El ára dl rctángulo srá A p q, dond p 0, s variabl y q dpnd d p. Entoncs tnmos qu 3 l ára dl rctángulo s una función d p A p p p p A p p p p Qurmos ncontrar l máimo d sta función ára, para llo drivamos igualamos a cro. p A ( p) 3p 8p 4 ; A ( p) 0 3p 8p 4 0 p 3 Comprobmos qu l ára máima s alcanza para p ; A ( p) 6p 8 A < Si p q y l punto 6,, 3 9 ( p q) Ejrcicio. (Puntuación máima: 3 puntos) Calcula los límits siguints: arctg sn arcsn a ) lim b )lim c ) lim [ ln tg] arctg 0 a)lim indtrminación, aplicamos la rgla d L Hôpital qu dnotarmos por 0 arcsn 0 [] Matmáticas II

2 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 arctg lim lim 0 0 arcsn 0 0 sn sn cos sn b) lim ; lim lim ( indtrminación ) Llamamos A lim, ntoncs sn sn ln ln A ln sn sn lim lim ln 0 lim ln lim cos sn sn ( cos sn ) sn cos sn 0 cos lim sn cos lim lim lim sn sn cos sn 0 sn cos sn cos lim lim lim sn cos 0 4 sn 4 cos 4 cos sn 8 cos 4 sn 0 0 lim 0 lim 0 8 cos 8 sn cos cos sn 0 6 ln A A sn 4 sn 4 cos ln c) lim [ ln tg ] ( indtrminación 0) lim [ ln tg ] lim lim cotg 0 sn lim 0 sn cos 0 lim sn Ejrcicio 3. (Puntuación máima: puntos) Sa f ( ) una función tal qu la gráfica d su drivada tin la forma siguint. Analiza las caractrísticas d la función f ( ). f a o b c d [] Matmáticas II

3 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 s una función continua y drivabl < >. < 0. f.. f s crcint n, a b, d d, pusto qu n stos intrvalos f > 0.. f s dcrcint n a, b pusto qu n st intrvalo f < 0.. En l punto a, f prsnta un máimo local, ya qu f a 0, f ngativa. crc para a y f dcrc para a También podmos vr qu f a pusto qu la rcta tangnt a f n a tin pndint > b. Tambi > 0. En l punto b, f prsnta un mínimo local, ya qu f b 0, f dcrc para < b y f crc para positiva. én podmos vr qu f b pusto qu la rcta tangnt a f n b tin pndint mbio d curvatura d a.. En l punto 0, f prsnta un punto d inflión ya qu f 0 0 pusto qu la rcta tangnt a f n 0 s horizontal tin pndint cro, con ca,.. En l punto c, f prsnta un punto d inflión ya qu f c 0 pusto qu la rcta tangnt a f n c s horizontal tin pndint cro con cambio d curvatura d a. En l punto d, f prsnta un punto d i 0 0, ants y dspués d s punto.. La curvatura d f s n los intrvalos 0, c d,, pusto qu nflión d silla ya qu f d y f d pusto qu la rcta tangnt a f n d s horizontal y l cambio d curvatura srá d a al sr f crcint f > 0 n sos intrvalos.. La curvatura d f s n los intrvalos,0 c, d, pusto qu f < 0 n sos intrvalos. Ejrcicio 4. (Puntuación máima: 3 puntos) Dada la función f a, sindo a un númro ral, studiar los siguints apartados n función d a: ( puntos) Hallar los trmos rlativos y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f ( ). ( punto) Estudiar para qué valor, o valors, d a la función f ( ) tin alguna asíntota horizontal. a f a f a ; f 0 a 0 0 a 0 ln a a ln ( ) lna lna ( ist para a > 0) ln a Si, f pud tnr un máimo o un mínimo local ; nos apoyamos n la sgunda drivada d f para dtrminarlo. f ln a ln a ln a ln a 0, 0 a f a > a > f prsnta un mínimo n [3] Matmáticas II

4 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 ln a ln a a a a a a ln a Por tanto si a > 0 f tin un mínimo raltivo n l punto, a y si a 0 f no tin trmos rlativos. ln a ln a ln a Si f a a a ln a a Vamos ahora l crciminto. f a > 0 > 0 > >. Si a 0 como > 0 R f s crcint n,. a 0 a ln a ln a Si a a a f s crcint n y s ln a dcrcint n,. > 0 > > ln >, Silim f k R la rcta y k s asíntota horizontal. Partindo d qu lim y lim 0 tnmos qu lim a lim a lim lim a lim a 0 Si a 0 f no tin asíntota horizontal lim a lim 0 a ( ) Si a 0 lim f lim lim 0 la rcta y 0 s asíntota horizontal cuando Opción B Ejrcicio. (Puntuación máima: puntos) La rcta d cuación y. Calcula a y b. 7 s tangnt a la gráfica d la función 3 3 La rcta y 7 y la curva f a b son tangnts n f a b 3 f a b n l punto l punto, 5 prtnc a la rcta y a la curva f 5 a b 5 a b 8 f pndint d la rcta tangnt n f 3 a b a b a 7 3 f 7 5 b 5 [4] Matmáticas II

5 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 Ejrcicio. (Puntuación máima: puntos) Dada la función f, s pid dtrminar sus asíntotas. 0 R lim ( ) Asíntotas horizontals: lim f k ; lim f no tin asíntota horizontal. Asíntotas vrticals: lim f ; lim a lim 0 indtrminación0 lim lim., lim ind aplicamos L Hôpital lim ; s una asíntota vrtical d f cuando 0. Asíntotas oblicuas: lim f lim m n f lim 0 lim lim m ( f ) ( ) f m lim n lim f m ( ) 0 lim lim lim lim lim lim n y s una asíntota oblicua d f. [5] Matmáticas II

6 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 Ejrcicio 3. (Puntuación máima: 3 puntos). S considra la función f sn Estudia la continuidad y drivabilidad d f ( ) n l intrvalo Encuntra los trmos rlativos d la función n s intrvalo. 0,. g sn s una función continua n todor por sr suma d funcions continuas f sn también srá una función continua nr pusto qu l valor absoluto d una función continua s una función continua Comprobmos, por la dfinición, qu f sn s continua n l intrvalo ( 0, ). 6 sn 0 sn sn si 0 < f 0 lim s n lim sn 5 f sn sn si < < 5 f 0 lim sn lim sn sn si < 5 Analicmos ahora la drivabilidad d f. La función s drivabl n todos los puntos salvo, quizás, n,. f lim f lim ( cos) 3 f f cos si 0 < < f lim f lim ( cos) 3 5 f cos si < < 5 5 f lim f lim ( cos) 3 5 cos si < < f f 5 f lim f lim ( cos) Entoncs, f no s drivabl n los puntos y dl intrvalo ( 0, ) [6] Matmáticas II

7 Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 Cuando la función f s drivabl, los trmos rlativos los obtnmos como solucions d la cuación f 4 0 n ( 0, ) n todos los casos tnmos: cos sn si 0 < < 5 f 4sn 4 < 0 n hay un máimo rlativo f 4sn si < < f 4sn 4 0 n hay un máimo rlativo. 5 < 4sn si < < 5 Como f sn dond sn 0 f tin un mínimo rlativo n y hay mínimos rlativos. Ejrcicio 4. (Puntuación máima: 3 puntos) ( puntos) Probar qu ist un único númro ral qu s solución d la cuación ( punto) Calcular dicha solución con una cifra dcimal acta. sn , Tnmos la cuación sn sn las solucions d sta cuación coincidn 3 4. R,, [ 0, ] ( 0) 4 > 0 ( ) 3 4 < 0, 0 ( 0, ) ,,, 0 < <. con los cros d la función f sn f s una función continua y drivabl n todo n particular f s continua n l intrvalo con f y f aplicando l torma d Bolzano tnmos qu tal qu f la cuación sn tin al mnos una solución con Vamos qu sa solución s única Para llo suponmos qu la cuación sn tin dos solucions 0 0 < [ 0 ] ( 0 ) ( 0 ), ( 0, ) sn 3 0 sn 3, lo cual distintas y, con. Entoncs, f s continua n,, f s drivabl n, y f 0 f, por l torma d Roll db istir c tal qu f c Pro f sn cos y para qu f sn cos s imposibl no ist c R; sto ntra n contradicción con lo qu nos garantizaba l torma d Roll l supusto d qu la cuación tnía dos solucions rals difrnts s falso y concluímos qu: sn tin una única solución ral. Vamos a calcular ahora dicha solución con una cifra dcimal acta, aplicando sucsivamnt l torma d Bolzano. Ya sabmos qu la solución stá n l intrvalo ( ) 0 ( 6,7 ) 0 0 ( ) 0,. f sn 3 4 > 0 f > 0 f 6 sn > 0 0 (, ); 0 (, ); 0 6, f ( ) 0 f sn < < f < 0 f 6 > 0 f ( 7 ) sn ( 7 ) 5 4 < 0 6 ( ) [7] Matmáticas II