Cálculo y Estadística

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1 Cálculo y Esadísca PROBABILIDAD, VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES ª Prueba de Evaluacón Connua 0--5 Tes en Moodle correspondene a la pare de Probabldad, Varables Aleaoras y Dsrbucones ( Punos).- Una empresa emplea res bufees de abogados para raar sus casos legales. La probabldad de que un caso se deba remr al bufee A es 0.3; de que se rema al bufee B es 0.5 y de que se rema al bufee C es 0.. La probabldad de que un caso remdo al bufee A sea ganado en los rbunales es 0.6; para el bufee B esa probabldad es 0.8 y para el bufee C es 07. a) Calcular la probabldad de que la empresa gane un caso. b) Sabendo que un caso se ha ganado, hallar la probabldad de que lo haya llevado el bufee A ( punos).- Un deermnado componene elecrónco ene una vda úl (empo hasa roura), T en años, que se dsrbuye según la funcón de densdad f() e para odo >0. Se pde: a) Obener la funcón de dsrbucón. b) Calcular la probabldad de que el componene elecrónco falle anes de res años. c) Cuál será la vda úl del 95% de esos componenes elecróncos? d) Esperanza maemáca de la dsrbucón. ( punos) 3.- Cera compañía de alquler de auomóvles compra neumácos en loes de 00 para aprovechar los descuenos por compras al mayor. Por experencas anerores, la compañía sabe que el % de los neumácos nuevos así adqurdos salen defecuosos y se deben reemplazar durane la ª semana de uso. Encuenre la probabldad de que en un envío de 00 neumácos: a) Haya solamene uno defecuoso. b) No más de 3 defecuosos c) Al menos 5 defecuosos. ( punos).- En un parque eólco la dsanca enre aerogeneradores suados lnealmene sgue el modelo de una dsrbucón N(50, 0.) meros. Se pde: a) Calcular la probabldad de que dos aerogeneradores vecnos a ) Tengan una separacón menor que 9. a ) Tengan una separacón comprendda enre 9.5 y 9.9. a 3 ) Tengan una separacón mayor que 9.9. b) Cuarles de la dsrbucón. ( punos) U. D. de Maemácas de la ETSITGC

2 Cálculo y Esadísca EXAMEN FINAL (Prmera Pare) 0--5 Tes en Moodle correspondene a oda la asgnaura. ( Punos).- Una empresa emplea res bufees de abogados para raar sus casos legales. La probabldad de que un caso se deba remr al bufee A es 0.3; de que se rema al bufee B es 0.5 y de que se rema al bufee C es 0.. La probabldad de que un caso remdo al bufee A sea ganado en los rbunales es 0.6; para el bufee B esa probabldad es 0.8 y para el bufee C es 07. a) Calcular la probabldad de que la empresa gane un caso. b) Sabendo que un caso se ha ganado, hallar la probabldad de que lo haya llevado el bufee A (0,5 punos).- Un deermnado componene elecrónco ene una vda úl (empo hasa roura), T en años, que se dsrbuye según la funcón de densdad f() e para odo >0. Se pde: a) Obener la funcón de dsrbucón. b) Calcular la probabldad de que el componene elecrónco falle anes de res años. c) Cuál será la vda úl del 95% de esos componenes elecróncos? d) Esperanza maemáca de la dsrbucón. (0,5 punos) 3.- Cera compañía de alquler de auomóvles compra neumácos en loes de 00 para aprovechar los descuenos por compras al mayor. Por experencas anerores, la compañía sabe que el % de los neumácos nuevos así adqurdos salen defecuosos y se deben reemplazar durane la ª semana de uso. Encuenre la probabldad de que en un envío de 00 neumácos: a) Haya solamene uno defecuoso. b) No más de 3 defecuosos c) Al menos 5 defecuosos. (0,5 punos).- En un parque eólco la dsanca enre aerogeneradores suados lnealmene sgue el modelo de una dsrbucón N(50, 0.) meros. Se pde: a) Calcular la probabldad de que dos aerogeneradores vecnos a ) Tengan una separacón menor que 9. a ) Tengan una separacón comprendda enre 9.5 y 9.9. a 3 ) Tengan una separacón mayor que 9.9. b) Cuarles de la dsrbucón. (0,5 punos) U. D. de Maemácas de la ETSITGC

3 Cálculo y Esadísca EXAMEN FINAL (Segunda Pare) Dada la funcón f(x) x ln(x ), se pde: a) Hallar el domno de la funcón f(x) b) Hallar una aproxmacón de f(0.5) usando el polnomo de Mac Laurn de grado 5. c) Acoar el error comedo en el aparado aneror. d) Observando el polnomo de Mac Laurn de f(x), podemos afrmar que en x = 0 la funcón ene un puno de nflexón? ( puno) 6.-Se consdera la curva de ecuacón: x() cosh y() g h. Esudar: a) Smerías de la curva. b) Asínoas. c) Punos crícos, punos de angenca horzonal y vercal, punos sngulares. d) Crecmeno y decrecmeno de la curva por ramas. e) Punos de cores con los ejes coordenados. f) Dbujo aproxmado de la curva. ( puno) 7.- a) Calcular el área encerrada por f(x), x = - y el eje Y. 3 x x ( ) x() b) Hallar la longud del lazo de la esrofode y() c) La curva r(α) = cos(α) gra alrededor del eje polar. Calcular la superfce engendrada x y d) La elpse de ecuacón gra alrededor del eje de abscsas. Calcular el volumen del 9 cuerpo de revolucón que se obene. ( punos) 8.- En la abla se muesra los coefcenes de nelgenca (C.I) de 50 jóvenes esudanes de ESO. a) S una madre afrma que exacamene la mad de los jóvenes del colego enen un C.I. superor al de su hjo. Qué coefcene de nelgenca ene su hjo? U. D. de Maemácas de la ETSITGC

4 Cálculo y Esadísca b) Supongamos que se queren hacer esudos sobre el proceso de aprendzaje de los jóvenes con mayor C.I., pero que el pscólogo solo puede aender al 5% de los jóvenes del colego. Qué C.I. deberá ener un joven como mínmo para ser consderado denro de ese grupo de elegdos? c) Calcular la meda y la desvacón esándar. d) Represene el dagrama de caja de la muesra (Boxplo). ( puno) 9.- Los sguenes daos represenan los resulados, noas, de una deermnada asgnaura (Y) y el número de horas de esudo semanales (X) de 6 alumnos. x 96 y 6 x 9 y Clase n [70-78) [78-86) 7 [86-9) 6 [9-0) 86 [0-0) 55 [0-8) 8 [8-6) [6-3) x 657 y 56 Se pde: a) Esmar el modelo de regresón smple que relacona los resulados obendos con el número de horas dedcadas al esudo. b) Calcule una medda de la bondad del ajuse e nerpree el resulado. c) S un alumno ha esudado 8 horas, qué noa espera obener en el examen? d) Cuál es el número de horas mínmo que un alumno debe esudar para superar la asgnaura? Consderad que el 5 es el aprobado. ( puno) U. D. de Maemácas de la ETSITGC

5 Cálculo y Esadísca ENUNCIADOS Y SOLUCIONES.- Una empresa emplea res bufees de abogados para raar sus casos legales. La probabldad de que un caso se deba remr al bufee A es 0.3; de que se rema al bufee B es 0.5 y de que se rema al bufee C es 0.. La probabldad de que un caso remdo al bufee A sea ganado en los rbunales es 0.6; para el bufee B esa probabldad es 0.8 y para el bufee C es 07. a) Calcular la probabldad de que la empresa gane un caso. b) Sabendo que un caso se ha ganado, hallar la probabldad de que lo ganase el bufee A Solucón: a) Defnamos el suceso ganar un caso" por G. Enonces, ulzando el eorema de la probabldad oal enemos la probabldad pedda: G G G PG PAP PBP PCP 0, = 0.7 A B C b) En ese caso, debemos hacer uso del eorema de Bayes: G P A P A P A G A P 0.5 G P G P G Un deermnado componene elecrónco ene una vda úl (empo hasa roura), T en años, que se dsrbuye según la funcón de densdad f() e para odo >0. Se pde: a) Obener la funcón de dsrbucón. b) Calcular la probabldad de que el componene elecrónco falle anes de res años. c) Cuál será la vda úl del 95% de esos componenes elecróncos? d) Esperanza maemáca de la dsrbucón Solucón: a) x F(x) P(X x) f ()d, en nuesro caso, s x>0 enemos x x F(x) P(X x) e d e 0, resula, x F(x) e s x 0 0 s x 0 3 x 3/ b) P(X 3) e dx e c) La vda úl pedda, es la solucón de la ecuacón F()=0.95 x F() P(X ) e dx 0.95 ln(0) U. D. de Maemácas de la ETSITGC

6 Cálculo y Esadísca d) 0 x x e dx 3.- Cera compañía de alquler de auomóvles compra neumácos en loes de 00 para aprovechar los descuenos por compras al mayor. Por experencas anerores, la compañía sabe que el % de los neumácos nuevos así adqurdos salen defecuosos y se deben reemplazar durane la ª semana de uso. Encuenre la probabldad de que en un envío de 00 neumácos: a) Haya solamene uno defecuoso. b) No más de 3 defecuosos c) Al menos 5 defecuosos. Solucón: Sea X la v. a. el envío conene defecuosos. En cada envío exsen dos posbles sucesos hay algún defecuoso y no hay defecuosos. Que exsan defecuosos o no es ndependene en cada envío, por ano, se puede asumr que X sgue una dsrbucón bnomal de parámeros n = 00, p = 0.0 (puede aproxmarse por una dsrbucón de Posson de parámero n p = ) a) P(X ) = b) Hay no más de 3 s hay 3 ó menos de 3, por ano, P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X =3) = F(3) = c) Hay al menos 5 defecuosos, s hay 5 o más de cnco. P(X 5) = P(X < 5) = F() = En un parque eólco la dsanca enre aerogeneradores suados lnealmene sgue el modelo de una dsrbucón N(50, 0.) meros. Se pde: a) Calcular la probabldad de que dos aerogeneradores vecnos: a ) Tengan una separacón menor que 9. a ) Tengan una separacón comprendda enre 9.5 y 9.9. a 3 ) Tengan una separacón mayor que 9.9. b) Cuarles de la dsrbucón. Solucón: S desgnamos con X a la varable aleaora dsanca enre dos aerogeneradores vecnos, se ene: a ) P(X < 9) = F(9) a ) P(9.5 < X <9.9) = F(9.9) F(9.5) a 3 ) P(X>9.9 ) = -P(9.9 < X) = F(9.9) b) Prmer cuarl=q F(Q )=P(Q <X)=0.5, luego Q = Segundo cuarl es la medana que concde con la meda 50 Tercer cuarl=q 3 F(Q 3 )=P(Q 3 <X)=0.75, luego Q 3 = U. D. de Maemácas de la ETSITGC

7 Cálculo y Esadísca 5.- Dada la funcón f(x) x ln(x ), se pde: a) Hallar el domno de la funcón f(x) b) Hallar una aproxmacón de f(0.5) usando el polnomo de Mac Laurn de grado 5. c) Acoar el error comedo en el aparado aneror. d) Observando el polnomo de Mac Laurn de f(x), podemos afrmar que en x = 0 la funcón ene un puno de nflexón? c) Solucón: a) Domf(x) es el conjuno de valores de x para los cuales exse valor real de f(x) s x + > 0 x > -. Domf = [-, ]. b) f(0) = f (0) = f (0) = 0; f (0) = 6; f IV (0) = -; f V (0) = T[f(x),a 5 0] x x x x x x 3!! 5! 3 f T 5[f (x), x,a 0] ) f (c) 6) E x R 5(x) max f (c) 6 6 6! 6! f 6) (c) c 6c 5 c 6 con En la gráfca se observa que el máxmo valor de f 6) (c) con se alcanza para c = 0 f 6) (c) 80, por ano, 6) f (c) Ex R (x) max 0, ! 6! 0c solo podemos asegurar el valor exaco de las dos prmeras cfras decmales. 0c d) f '(0) f "(0) 0 y f "'(0) 0, por ano, exse un puno de nflexón. 6.-Se consdera la curva de ecuacón: x() cosh y() g h. Esudar: a) Smerías de la curva. b) Asínoas. c) Punos crícos, punos de angenca horzonal y vercal, punos sngulares. d) Crecmeno y decrecmeno de la curva por ramas. e) Punos de cores con los ejes coordenados. f) Dbujo aproxmado de la curva. Solucón: Domno: R U. D. de Maemácas de la ETSITGC

8 Cálculo y Esadísca a) Smerías x x() cosh( ) cosh() y gh( ) (gh()) y Luego: es smérca respeco el eje OX Qué nervalo se debe omar para el esudo de la curva? El nervalo será:[0, ),ya que para y ( ), las x concden. b) Asínoas Buscaremos las asínoas consderando los límes de las funcones cuando 0;. lím x() lím 0 0 cosh P(,0) lím y() lím g h No hay asínoa lím x() lím 0 cosh lím y() lím g h Hay asínoa vercal en x=0 Punos crícos, sngulares y de angenca horzonal y vercal c) Punos crícos e e x'() 0 x() e cosh y() g h e e y'() 0 e P(,0) es el únco puno críco que resula ser sngular Rama x() y() x () y () y x = y ()/x () 0< >x>0 0< y U. D. de Maemácas de la ETSITGC

9 Cálculo y Esadísca Esudo del puno sngular F x ''(0), y ''(0) (,0) Para =0: F x '''(0), y '''(0) (0, ) ; reroceso de ª espece y de angene horzonal. no son proporconales, puno de d) Crecmeno y decrecmeno Decrecene para >0 e) Punos de core P(,0) con el eje de abscsas f) Dbujo 7.- a) Calcular el área encerrada por f(x), x = - y el eje Y. 3 x x ( ) x() b) Hallar la longud del lazo de la esrofode y() c) La curva r(α) = cos(α) gra alrededor del eje polar. Calcular la superfce engendrada x y d) La elpse de ecuacón gra alrededor del eje de abscsas. Calcular el volumen del 9 cuerpo de revolucón que se obene. Solucón: a) U. D. de Maemácas de la ETSITGC

10 Cálculo y Esadísca Área= 0 x dx dx x x ln arg x x x 5 x x 5 ln arg ln arg 5 ( ) ln 3 ln ln ln 3 u b) L x' () y' ()d 0 ( - ) - #3:, + + Buscamos el puno de cruce o puno doble, en ese caso el (0,0): 0 ( - ) #: SOLVE,, Real + #5: = - = = 0 - #6: SOLVE,, Real + #7: = - = #8: d ( - ) -, d + + U. D. de Maemácas de la ETSITGC

11 Cálculo y Esadísca + - #9: -, - ( + ) ( + ) + - #0: d ( + ) ( + ) - ( ) #: d u + 0 c) #: r = COS(α) #3: SOLVE(0 = COS(α), α, Real) 3 π π π #: α = α = - α = #5: SOLVE( = COS(α), α, Real) #6: α = - π α = π α = 0 S rsen r r' d d #7: COS(α) dα #8: - SIN(α) π/ #9: π COS(α) SIN(α) ((- SIN(α)) + COS(α) ) dα 0 #0: πu L U. D. de Maemácas de la ETSITGC

12 Cálculo y Esadísca d) x y #: + = 9 Core con OX: x 0 #: + = 9 x #3: = 9 x #: SOLVE =, x, Real 9 #5: x = -3 x = 3 Volumen de revolucón: b a V f x dx 3 x #7: π - dx 9-3 #8: 6 π u En la abla se muesra los coefcenes de nelgenca (C.I) de 50 jóvenes esudanes de ESO. Clase [70-78) [78-86) [86-9) [9-0) [0-0) [0-8) [8-6) [6-3) n a) S una madre afrma que exacamene la mad de los jóvenes del colego enen un C.I. superor al de su hjo. Qué coefcene de nelgenca ene su hjo? b) Supongamos que se queren hacer esudos sobre el proceso de aprendzaje de los jóvenes U. D. de Maemácas de la ETSITGC

13 Cálculo y Esadísca con mayor C.I., pero que el pscólogo solo puede aender al 5% de los jóvenes del colego. Qué C.I. deberá ener un joven como mínmo para ser consderado denro de ese grupo de elegdos? c) Calcular la meda y la desvacón esándar. d) Represene el dagrama de caja de la muesra. e) Solucón: a) En ese aparado debemos calcular la medana. n M b) El C.I. del 5% de los esudanes con mayor C.I. corresponde al percenl n.5 P c) d) n Clase x n N n x x X , , , , , , , ,08 Sumas ,9 = X 00,06, = 0.6 U. D. de Maemácas de la ETSITGC

14 Cálculo y Esadísca 9.- Los sguenes daos represenan los resulados, noas, de una deermnada asgnaura (Y) y el número de horas de esudo semanales (X) de 6 alumnos. x 96 y 6 x 9 y x 657 y 56 Se pde: a) Esmar el modelo de regresón smple que relacona los resulados obendos con el número de horas dedcadas al esudo. b) Calcule una medda de la bondad del ajuse e nerpree el resulado. c) S un alumno ha esudado 8 horas, qué noa espera obener en el examen? d) Cuál es el número de horas mínmo que un alumno debe esudar para superar la asgnaura? Consderad que el 5 es el aprobado. Solucón: a) 6 6 x y 96 6 X 6;Y n 6 n 6 6 x 657 x X -6 5, 065 n 6 6 y 56 y Y 6,875 n 6 6 xyn 9 XY 6 6,75 n 6 xy La ecuacón de la reca de Y sobre X es: xy 6,75 yy xx y x6 5,065 x y x 3 b) r xy xy x y 6,75 5, 065 6,875 0, por ano, la relacón lneal es dreca y buena U. D. de Maemácas de la ETSITGC

15 Cálculo y Esadísca c) S x=8 horas, enonces y 8 6,6 3 d) Reca de regresón de X sobre Y: xx xy yy y e y=5 6,75 x-6 5 x 6, horas 6,875 U. D. de Maemácas de la ETSITGC

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