EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

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1 EJERCICIOS DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí Índice 4. Integrción en un vrible 4.. Cálculo de primitivs Teorem fundmentl del cálculo Aplicciones

2 4 Integrción en un vrible 4. Integrción en un vrible 4.. Cálculo de primitivs. Problem Clcul ls siguientes primitivs: tg 2 (2), 2. ( + 3) 3, 5. ( + ) 2 sen 2 cos 5 tg 3, 8. cos 4,. cos 2, 4. tg 3 sec 4, 3. 2 ( ) 3, 6. sen cos sen + cos, 9. sen 2, 2. cos 6, , 2 + 2, e sen π, sen 4, sen 2 cos 2, , 7. +, 8. rc tg 3, , 2. +, e sen cos 3, 23. sen 5, e, cos 3 sen 2, 25. tg 2, 26. tg 3, , sen + 3 cos sen + 3 cos sen cos + 2 sen, 29. sen + 2 cos, , , 35. cos 2, ( 2 ) 3/2, 4. cos(log ), ( 2 + ) 5/2, 36. ( + ) 3 + 2, 39. e, 42. tg 2 (3) sec 3 (3), e 4 e 2 + e + 2, , ( 2, + ) 5/ ( ),

3 4 Integrción en un vrible , 44. sec 6, 47. (2 + ) +, 5. 2 log, sen + cos, ( + 2 ) 3, , 5. sen 3 cos 2, 54. 2, e 4e, e cos 2, cos 4, tg 4, 56. sen(log ), 59. e 2, 62. ( 2) 2 2, m log, 68. cos 2 (log ), 7. sec 3, , 6. e 4 e 2 + 2e + 2, , 66. sen, + 2, , ( ) 2 ( ), cos 3 sen 4, sen 3, (log ) 3, 72. (log ) 2. Indicciones: quí IPP signific integrción por prtes y CV cmbio de vrible.. IPP con dv = tg 2 (2). 2. CV t = tg. 3. CV t =. 4. CV t = ( + ) Frcciones simples. 6. CV = sec t. 7. CV t = cos. 8. L derivd del denomindor csi está en el numerdor. 9. IPP dos veces con dv = e.. CV t = tg., 2, 3, 4 y 5. Us ls fórmuls del ángulo doble. 6. CV t = CV t = ( )/( + ). 8. CV = t 3 y luego IPP con dv = t 2 dt. 9. CV t = CV t = CV t = e CV t = sen y luego IPP dos veces con dv = e t dt. 23. CV t = cos. 24. CV t = sen. 25. tg 2 = sec CV t = tg. 27. CV t = y 29. CV t = tg(/2). 3. CV t = sen(3). 3. Frcciones simples. 32. IPP dos veces con dv =. 33. CV t = e. 34. CV t = + / CV = tg t. 36. Complet cudrdos.

4 4 Integrción en un vrible Es inmedit. 38. CV + 2 = t CV t = ( 2 + ) /2. 4. CV = sen t. 4. CV t = e. 42. Frcciones simples CV t = 44. Multiplic y divide por cos. 45. CV t =. 46. CV t = tg. 47. CV t = CV t = e. 49. CV t 2 = CV t 3 =. 5. IPP dos veces con dv = e. 52. IPP con dv = CV t = cos. 54. Us ls fórmuls del ángulo doble. 55. CV t = tg. 56. CV t = sen. 57. Multiplic y divide por + sen. 58. CV t = log. 59. CV t = sen. 6. CV t 2 = CV t 2 = e CV t = e. 63. Frcciones simples. 64. CV t 2 = CV = 3 sen t. 66. Complet cudrdos. 67. IPP con dv = CV t = sen. 69. CV t 2 = CV t = log y ls fórmuls del ángulo doble. 7. IPP con dv =. 72. IPP con dv =. Problem 4..2 Hll un función continu f tl que f() = y f () = 4 2 (4 + 2 ) 2 < e >. Problem 4..3 Clcul b medinte sums superiores e inferiores socids prticiones regulres del intervlo [, b]. Problem 4..4 i) Demuestr que si g es un función impr e integrble en [, ], entonces, Aplic este resultdo pr clculr g =. 6 sen[sen{( 8) 3 }]. ii) Demuestr que si h es un función pr e integrble en [, ], entonces, h = 2 h.

5 4 Integrción en un vrible 4 Problem 4..5 Demuestr e interpret ls siguientes firmciones: i) ii) iii) iv) b b f() = f() = b+c +c b f( c), f( + b ), [f() f( )] =, b b f() f(), Problem 4..6 v) b + b =. Clcul los siguientes límites sociándolos lgun integrl definid: [ n i) lím n n n ] n n n 2 + n 2, ii) [ lím n n + + n n + n ], iii) iv) lím n lím n n e 2 + n e n e 2n, n [ ] n n n 2 (n ) 2 Problem 4..7 Clcul el límite n lím ( + k n n )/n. k= Problem 4..8 Clcul F () = f(t) dt con [, ], pr ls siguientes funciones: i) f() = { < ; ii) f() = e ; iii) f() = /2 ; iv) f() = { 2 < 2 ; v) f() = { + < ; vi) f() = < < + 2 2; vii) f() = má{sen(π/2), cos(π/2)}.

6 4 Integrción en un vrible 5 Problem 4..9 Clcul ls integrles definids siguientes, cmbindo los límites de integrción si se reliz lgún cmbio de vrible: i) log 2 e, ii) Teorem fundmentl del cálculo. Problem 4.2. Se F () = f(t) dt con f integrble. i) Demuestr que si f M entonces F () F (y) M y, de donde se deduce l continuidd de F. ii) Es F necesrimente derivble? Bjo qué condiciones se puede segurr que es derivble? Problem Deriv ls siguientes funciones: i) F () = 3 2 e t t dt, ii) F () = 3 3 dt + sen 2 t, iii) F () = sen3 tdt dt e 3 + sen 6 t + t 2, iv) F () = 2 v) F () = 2 f(t)dt, con f continu en IR, ( ( y ) ) vi) F () = sen sen sen 3 tdt dy. 2 tg t dt ds log s Problem sbiendo que Clcul el máimo y el mínimo en [, ) de l función: f() = ( e t2 e 2t) dt. π lím f() =. 2 Problem i) Demuestr que l ecución e t2 dt = tiene un únic solución en IR y que se encuentr en el intervlo (, ). ii) Hll y clsific los etremos reltivos en (, ) de l función G() = 2 sen t e sen t dt.

7 4 Integrción en un vrible 6 Problem Clcul l rect tngente l curv y = π/2 2 tg(t 2 ) dt en = 4 π/4. Problem Problem Clcul los siguientes límites: e t2 dt cos sen t 3 dt i) lím 3, ii) lím 4. Clcul los límites lterles en el origen de l función f() = 2 tg( t) dt 2 3. Problem Se consider l función f() = i) Utilizndo el desrrollo de l función seno, escribe el desrrollo de Tylor de f lrededor del origen. 2 f() ii) Clcul lím cos. iii) Estudi l convergenci de l serie f(/n). n= Problem vle. Si l integrl / sen t t dt. dt 2 no depende de, di sin clculr l integrl cuánto + t2 Problem 4.2. Se considern ls funciones f() = e 2 2, g() = 3 + i) Escribe el desrrollo de Tylor de g lrededor del origen. f(t) dt. ii) Determin si g tiene en el origen un máimo, un mínimo o un punto de infleión. Problem 4.2. L ecución g() (e t2 + e t2 ) dt 3 3 rc tg =, define un función g derivble y uno uno en IR. Clcul: i) g(), g () y (g ) (); ii) lím g () g() Aplicciones. Problem 4.3. Clcul el áre delimitd por ls curvs siguientes: i) y = 2, y = ( 2) 2, y = (2 )/6; ii) 2 + y 2 =, 2 + y 2 = 2;

8 4 Integrción en un vrible 7 iii) y = +, y = 2, y =, y = ; + iv) bucle de l curv y 2 = ( )( b) 2, con < b. Problem Hll el áre cotd comprendid entre l gráfic de f() = (2 ) ( 2 + ) 3/2 y el eje horizontl. Problem polres: Clcul el áre delimitd por ls siguientes curvs dds en coordends i) espirl de Arquímedes: r = θ, θ 2π y el segmento { 2π, y = }; ii) un pétlo de l ros de tres pétlos: r = cos 3θ, iii) l mitd de l lemnisct: r = cos 2θ, Problem π/6 θ π/6; π/4 θ π/4. i) Clcul el áre entre l gráfic de l función f() = y su síntot. ii) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f() = síntot pr + y el eje verticl. iii) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f() = sus síntots., su + e ( + ) 2 y iv) Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones f () = 4 ( + 4) y f 2 () = pr 4. Problem Se A el conjunto limitdo por ls curvs y = 2 e y =. Clcul el áre de A y el volumen de revolución obtenido l girr A lrededor del eje horizontl. Problem del eje X: Clcul los volúmenes generdos l girr los siguientes conjuntos lrededor i) y + sen, 2π; ii) 2 + (y 2) 2 2 iii) R y 2 4R 2 (l figur es un toro); (un nillo esférico); iv) superficie encerrd por ls curvs y = sen e y =, con [, π]. Problem i) Clcul los volúmenes generdos l girr l elipse y2 lrededor de los dos ejes. b2 ii) Clcul el volumen del sólido de bse l elipse nterior cuys secciones perpendiculres l eje OX son triángulos isósceles de ltur 2. Problem 4.3.8

9 4 Integrción en un vrible 8 i) Clcul el áre de l elipse y2 b 2. ii) Clcul el volumen del elipsoide y2 b 2 + z2 c 2. iii) Comprueb el resultdo del problem nterior (prtdo i)) como un cso prticulr. Indicción: observ que l cortr el elipsoide por plnos prlelos los coordendos se obtienen elipses. Problem Clcul l longitud de los siguientes trmos de curv: i) ctenri: y = e /2 + e /2, 2; ii) cicloide: (t) = (t sen t), y(t) = ( cos t), t 2π; iii) hipocicloide o stroide: 2/3 + y 2/3 = 4; ( + iv) trctriz: y = log 2 2 ) 2 2, /2. v) crdioide: r = + cos θ, θ 2π;

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