a) f (x) = 1+Mg (x) <1 2-1<1+mg (x)<1-2<mg (x)<0 <M<0 como como para que f sea Lipschitziana de [0,1] [0,1] con constante de

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1 Hoja d Problmas Álgbra VII 55. Supongamos qu la función g stá dfinida y s drivabl n [0,]. Supongamos qu g(0)<0<g(), 0<a g (x) b dond a y b son constants. Probar qu xist una constant M tal qu la solución d la cuación g(x)0 s pud contrar aplicando l algoritmo d itración a la función f(x)x+mg(x), para qué valors d M la sucsión dfinida por x n+ f(x n ) convrg cuadráticamnt a la solución a d g(x)0? a) f (x) +Mg (x) < -<+mg (x)< -<Mg (x)<0 <M<0 como g ( x ) a g( x) b < M < 0 b x 0 f(0)mg(0)>0 f()mg()<0 f (x)+mg (x) 0 M g ( x) como M a g ( x) b b M < 0 b Lipschitz M para qu f sa Lipschitziana d [0,] [0,] con constant d b) Db cumplir qu: con f(α)α; f (x)0 f (x)+mg (x) 0 M g ( x) 56. Mostrar qu la función F(x)x- -x satisfac las condicions d convrgncia global dl método d Nwton n l intrvalo [0,]. Rsulv la cuación F(x)0 comnzando n x i) F(a) F(b)<0 F(0) F(0) F()<0 F() /8

2 F(0) F() (-) ii) F (x) 0 x [a,b] F (x) 0 x [0,] F (x)+ -x + x como >0 y F (x) 0 x [0,] x >0 + x >0 x [0,] iii) F (x) x [a,b] ó F (x) 0 x [a,b] F (x) -x x como x >0 x R F (x)<0 x [0,] iv) Si c s l xtrmo dl intrvalo [a,b] dond F (x) s mnor ntoncs F ( c) F ( c) F (x)+/ dond F (x) s mnor s para x con F () +/. Entoncs c F () 0 F () Si b a F(x)x- -x F (x)+ -x x F( x0 ) 0 5 x x F ( x ) + x x La x [0,] / F(x)0 s x Calcular π con nuv cifras dcimals xactas. Utilizarmos F(x)x -π n [,3]. Vrmos qu cumpl las condicions dl Torma global d Nwton. i) F()-π<0, F(3)9-π>0 F() F(3)<0 ii) F (x)x F (x) 0 x [,3] /8

3 iii) F (x) 0 x [,3] iv) c F () π F () Sa x 0 x x x x x π Hay qu calcular l rror: n L q π x n -α x0 x < 0 f(x) ( x + ) f (x)< [ 5,] L x x 0 x 783 n8 habrá qu afinar dcimals xactas π f (x) Lf () x 58. Dtrminar l único cro positivo dl polinomio p(x)x 3 +x -x- por l método d Nwton. Cogmos F(x) x 3 +x -x- n [ 5, 5]. i) F( 5)- 375<0 F( 5)5 875>0 F( 5) F( 5)<0 ii) F (x)3x -x- F (x) 0 x [ 5, 5] F ( 5) 75 y s crcint. iii) F (x)6x- >0 x [ 5, 5] 3/8

4 F ( 5) F ( 5) < Sa x 0 x x x x x Su raíz positiva s x Supongamos qu y stá dfinido por la fórmula y z + z + z +... dond z (0,+ ). a) Busca un método itrativo para calcular y dtrminando para qu valors la itración convrg. b) Calcular y. a) f(x) z + x x 0 0 x f(0) x f(x )... z z + z x n f(x n- ) z + z + z +... lim n f n (x) f (x) f (0) z z + x dcrcint f (x)<f (0)< z f:[0,+ ) [0,+ ) L z z + x x z+x x < < z z > 4 4/8

5 x -x-z ± + 4 4z x z + y + b) z y z + x yx -z z z< 4 f:[a,+ ) [a,+ ) f (x)<f (a)< f (a) a + z < a + z z < a 4 4 y x 0 [a,+ ) x n z + z x0 y porqu l punto fijo s único. 60. Probar qu la cuación x-tg - (x) tin solución a. Encontrar un ijtrvalo [a,b] qu contnga a a tal qu para cualquir x 0 [a,b], la itración x m+ +tg - (x m ) m 0 tinda hacia x. Calcular las primras itradas y vr la rapidz d convrgncia. x+arctg(x) ) Tin solución? Sa f(x)+arctg(x)-x, cojamos [,3]: f() f(3) como f s continua n [,3] y s tin qu f() f(3)<0, aplicando l torma d Bolzano c [,3] tal qu f(c)0 f(c)+arctgc-c 0 c + arctg c 5/8

6 ) Para l intrvalo [,3] tnmos qu si f(x n )+tg - (x n ) s cumpl qu f:[,3] [,3] y [,3] contin c / f(c)c y admás f (x) y s cumpl qu: + x f (x) < x [,3] f s lipschitziana (contractura) x 0 [,3] x m+ +tg - (x m ) + x m 0 tind hacia c. 6. Probar qu l grupo simétrico S m pud obtnrs a partir dl ciclo d m lmntos y d una transposición. Solución: Sa l ciclo C 3... m m y considrmos la transposición m T ; l ciclo invrso C - qu oprado con C nos da la idntidad s: C m. Vamos a considrar las sustitucions obtnidas mdiant l... m producto C -h. T C h sindo h un xponnt qu pud tomar valors ntr 0 y m-. Así por jmplo para h0, rsulta la misma T, ya qu C 0 idntidad. Para h tndrmos: m m Es una transposición invariants xcpto sos dos m m m m m m Vamos a gnralizarlo para una potncia cualquira. ya qu todos los lmntos prmancn C h 3... m m h + m h +... m m + h + h 3 + h... m... h h C -h 3... h h + h + h h + m h + m h m 3... m m h 6/8

7 El producto C -h T C h mantin invariants todos los lmntos xcpto l m- h+ y l m-h+. En fcto: m-h+ m-h+ m-h+ m-h+ Es dcir, hacindo h obtnmos la transposición: m m m Hacindo h 3 tndrmos m Es dcir, tndrsmos l conjunto d transposicions: (,); (,m); (m,m-);...(5,4); (4,3); (3,) m 3. Para l valor hm- rsulta. m 3 Rcordmos qu sgún un torma toda sustitución d un grupo simétrico S m pud scribirs como producto d transposicions. Por otra part, una transposición cualquira (a,b) pud xprsars mdiant un producto d transposicions dl conjunto antrior: Supongamos a>b (a,b) (a,a-) (a-,a-)(a-,a-3)...(b+,b+), (b+,b) (b+,b+)...(a-,a-) (a-,a) En fcto: a a- a-... b+ b+ b+ b a- a a-... a- a- a b+ b+3 b+ b+ b+ b+ b b+ b+... a- a- a Rsumindo una sustitución cualquira pud xprsars como producto d transposicions y éstas, a su vz, vinn dadas como productos d trasnposicions dl conjunto antrior. 7/8

8 6. En l conjunto P d los númros ntros pars s dfinn dos opracions: una d llas s la adición ordinaria y la otra hac corrspondr a dos lmntos x, y, l lmnto producto xy/. Dmostrar qu P tin structura d anillo. Solución: Vamos qu l conjunto P con la adición ordinaria s un subgrupo dl grupo aditivo d los ntros. Bastará comprobar qu si x P, y P ntoncs: x*y - P. En fcto: Si x P x K x*y - k+(-h) (k-h), lugo x*y - P. y P y h Por consiguint P rspcto a la primra opración tin structura d grupo, qu admás s abliano ya qu la adición ordinaria s conmutativa. La sgunda opración dfinida n P s crrada; basta obsrvar qu si x, y también x y xy/ s múltiplo d dos. S vrifica la propidad asociativa: x (y z) x (yz/) (x y) z (xy/ z) y z x xyz 4 xy z xyz 4 Es fácil vr qu s cumplo la propidad distributiva a drcha izquirda, pusto qu: x (y*z) x (y+z) x ( y + z) (x y)*(x z) xy/+xz/ x ( y + z) Análogamnt s comprobaría a la drcha: (y*z) x (y x)*(z x) 8/8

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