GUÍA MATEMÁTICAS 3CHA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO NOMBRE: FECHA:

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1 FUNDACION CATALINA DE MARÍA LICEO SAGRADO CORAZÓN- COPIAPÓ 8 AÑOS, Con Madre Catalina, en misión compartida, hacemos vida el Amor y la Reparación GUÍA MATEMÁTICAS 3CHA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO NOMBRE: FECHA: Concepto de Ecuaciones de º grado: Es aquella ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es dos y por lo tanto su conjunto solución posee dos soluciones. Su forma general es: Ejemplo: 9x + x + 10 = 0 donde a = 9, b =, c = 10 x - 5x = 0 donde a = 1, b = 5, c = 0 x + 10 = 0 donde a =, b = 0, c = 10 Existen ecuaciones cuadráticas completas e incompletas: ax bx c 0; a 1; b 0; c 0 Ec. Completa General. x bx c 0; a 1; b 0; c 0 Ec. Completa Particular. ax c 0; b 0; c 0 Ec. Incompleta Pura. ax bx 0; b 0; c 0 Ec. Incompleta Binomial. ax 0; b c 0 Ec. Incompleta. Ejercicios:Aprendizaje esperado: Reconocer una ecuación cuadrática e identificar sus coeficientes. Clasificar las ecuaciones cuadráticas 1. Cuáles de las ecuaciones dadas son de º grado? 1 I) x x x x II) III) 5x x 7 a) Sólo I, II b) Sólo I, III c) Sólo II, III d) Sólo I e) I, II y III. El valor del coeficiente b en la ecuación 3x 10x 5 0 es: a) 3 b) 0 c) 10 d) 5 e) Cuáles de las ecuaciones dadas son incompletas? I) x 7x 0 II) 3 x x x 3 x x 4 III) 3 9 a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) I, II y III 4. Si la ecuación y 1 y y la escribimos de la forma ax bx c 0; Cuál es el valor del coeficiente c? a) 3 b) c) -5 d) - e) 1 5. En la ecuación xx 1 4 xx 1 4 x el coeficiente a vale: a) 0 b) -1 c) 1 d) e) -. En la ecuación xx 3 3x al expresarla como ax bx c 0; el valor del producto a b es: a) 1 b) 0 c) -1 d) e) -

2 7. En la ecuación x 3x 1 0, el valor de c a b es: a) 0 b) c) 8 d) 10 e) 1 Resolución de Ecuaciones cuadráticas El objetivo de resolver una ecuación cuadrática es determinar los valores numéricos para la variable x que hacen que la expresión ax que en la función cuadrática f x ax bx c bx c valga cero. Equivale a determinar los valores numéricos para la variable x tienen imagen cero. I. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando uno de los coeficientes b o c es cero: a) Incompleta de la forma ax c 0 Se despeja la incógnita y se obtiene su raíz cuadrada ax c 0 ax c Ejemplo: x 18 0 x 18 x c a x 18 x c a x 9 x 3 Por lo tanto su conjunto solución es S 3, 3 b) Incompleta de la forma ax bx 0 Se factoriza por la incógnita para obtener los factores que igualados a cero darán la solución: ax x bx 0 ax b 0 x 0 ax b 0 Ejemplo: 3x x x x x 0 3x 0 Luego x ' 0 x" b a Entonces x ' 0 x " 3 Su conjunto solución es S 0, 3 II. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas ax bx c 0 a) x bx c 0; a 1; b 0; c 0 Ecuación Completa Particular b) ax bx c 0; a 1; b 0; c 0 Ecuación Completa Genera El valor del radicando de b 4ac permite saber el número de soluciones sin necesidad de hallarlas. D b 4 ac se llama discriminante. si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -) D b 4 ac si D es cero, tiene una solución (solución doble) si D es negativo, no tiene soluciones

3 En el caso de la ecuación completa particular a veces es posible resolverla por factorización de un trinomio ordenado. Ejemplos: x 5x 0 x x 15 0 x x 3 0 x 5 x 3 0 x 0 x 3 0 x 5 0 x 3 0 Entonces x ' x " 3 Entonces x ' 5 x " 3 En el caso que el trinomio no sea factorizable, que x ' y x " no sean números enteros, entonces la ecuación cuadrática Completa Particular (y Completa General) se puede resolver a través de la fórmula: Con esta fórmula se obtienen sus dos soluciones que son: y y Ejemplo: 1. x 7x 0 a 1, b 7 y c, por lo tanto: x Entonces: x ' x " 1 Luego el conjunto solución es S 1,. 3x 7x 0 a 3, b 7 y c x Entonces x ' x " 3

4 Ecuaciones Literales Son ecuaciones que algunos o todos sus coeficientes son letras distintas a la incógnita y se resuelven de la misma manera que las anteriores. Ejemplo: x ax 3a 0 Donde a, b a y c 3a Ejercicios: 1. La ecuación x x 3 0 tiene como soluciones: a) -1 y 3 b) -3 y -1 c) -3 y 1 d) 3 y 1 e) 0 y 1. Las soluciones o raíces de la ecuación x 10x 1 0 son: a) -3 y -8 b) 7 y -7 c) -7 y -3 d) 3 y e) -3 y - 3. En la ecuación x x p 0 una de sus soluciones es -5, luego el valor de p es: a) 1 b) 8 c) -1 d) 15 e) La ecuación x ax a 0 tiene como solución: a) a y a b) a y a c) a y a d) 4 a y a e) Ninguna de las anteriores. Ejercicios : I. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando el método de Factorización 1) x x 8 0 ) x 1x 3 0 3) x 5x 3 0 4) x 7x 0 5) x x 5 0 ) x 10x 4 0 7) x x 4 0 8) x 4x x 7 (debes ordenarla) 9) 3x 9x 0 (debes dividir todo por 3) II. Resuelva utilizando la formula 1) x x 8 0 ) x 7x 3 0 3) x 5x 1 0 4) x x 0 5) x x 0 3

5 ) x 8x ) x 9x 1 0 8) 4x 1x 9 0 9) x 8x ) 4x 1x ) 3x x 1 0 III. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones: a) x 7x 3 0 b) x 1x 4 0 c) x x 13 0 d) x 14x 49 0 e) 3x 5x 0 f) x x 45 0 g) x x 0 h) 4x 1x 9 0 i) x 8x 5 0 j) x x 7 0 k) x 5 3x 0 l) 8 x 3x 0

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