Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Examen final, enero de 2014
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- Juan Luis Muñoz Suárez
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1 Cálculo I (Grado e Igeiería Iformática 03-4 Exame fial, eero de 04 PUNTUACIÓN DEL EXAMEN: P. P. P. 3 P. 4 P. 5 P. 6 TOTAL Iicial del primer apellido: NOMBRE: APELLIDOS: D.N.I. O PASAPORTE: FIRMA: Notas y cometarios: Todos los problemas so de desarrollo y putúa igual. Se pide seleccioar 5 de los 6 problemas y elegir uo a descartar, marcado ua cruz (X e la tabla de putuació arriba e el sitio adecuado. Si o se marca iguo como descartado, los profesores de la asigatura elegirá el problema que o se corregirá. Alguas derivadas útiles: Alguas series de Taylor útiles: (tg x = + tg x = cos x, (arc tg x = + x. x = + x + x + x , x <, e x = + x + x! + x3 3! +..., x R, cos x = x! + x4 x3..., x R, se x = x 4! 3! + x5 5!..., x R. Teorema de Bolzao: Sea f(x ua fució cotiua e [a, b]. Si f(a y f(b tiee distito sigo, etoces existe c (a, b tal que f(c = 0. Teorema del valor medio: Sea f(x ua fució cotiua e [a, b] y derivable e (a, b. Etoces existe c (a, b tal que f (c = (f(b f(a/(b a. (El caso especial cuado f(a = f(b y f (c = 0 es el teorema de Rolle.
2 . Calcule el valor del ĺımite Explique el procedimieto utilizado. 7x x 5 cos x. Solució: Los ĺımites del umerador y del deomiador cuado x 0 so 0 (i.e, el ĺımite es de la forma 0/0, por lo que podemos aplicar la regla de L Hopital: 7x x 5 cos x = 4x 5x 4 cos x se x Este uevo ĺımite vuelve a ser ua vez más de la forma 0/0, co lo que volvemos a aplicar L Hopital para obteer 4x 5x 4 cos x se x = 4 0x 3 se x + cos x E este último ĺımite, el umerador y el deomiador so fucioes cotiuas (al ser fucioes elemetales, y sus ĺımites cuado x 0 so respectivamete 4 y, por lo que 7x x 5 cos x = 4 = 7
3 . Cosideremos la fució ( πx f(x = cos π x. (a Demuestre que la ecuació f(x = 0 tiee ua úica solució e el itervalo abierto (0,. Solució: Lo primero es observar que la fució f(x es cotiua y difereciable e todo el itervalo [0, ] por ser composició de fucioes elemetales; además f(0 = y f( = π tiee sigos diferetes. Por el teorema de Bolzao, f tiee al meos u cero e el itervalo (0,. Nos queda sólo demostrar que o puede teer más de u cero. Para ello observamos que f (x = π ( πx se π x 4 ; como las x que estamos cosiderado está e el itervalo (0,, ambos sumados e f (x va a ser egativos, por lo que f (x 0 e todo x (0,. Ahora cocluimos el problema usado el teorema de Rolle: si f tuviera dos o más ceros e el itervalo (0,, debería haber al meos u puto e (0, etre esos ceros tal que f (x = 0; como esto último o se cumple, f o puede teer más de u cero. (b Determie el poliomio de Taylor de orde 3 de la fució f cetrado e x = 0. Solució: Hay varias formas de hacer este problema. La más rápida es usar la fórmula para el poliomio de Taylor de cos x (dada e la itroducció al exame remplazado la x por πx, y recordar que el poliomio de Taylor de grado 3 de π x cetrado e 0 coicide co π x. Esto os daría p 3,0 (x = ( πx π x = π x π x = π x 4. La otra posibilidad es hallar f(0, f (0,..., f (0 y sustituir e la fórmula del poliomio de Taylor. Esto resulta e ( πx f(x = cos π x, y e f (x = π se ( πx f (x = π ( πx 4 cos f (x = π3 ( πx se π x 4,, π 4, f(0 =, f (0 = 0, f (0 = π, f (0 = 0. Co lo que al sustituir e la fórmula del poliomio de Taylor os queda el poliomio p 3,0 (x aterior.
4 3 x dx 3. Calcule razoadamete la itegral I = x 4 +. Solució: Hacemos el cambio de variable u = x, co lo que du = x dx y x 4 + = u + : la itegral queda etoces como 9 du I = (u + (observe que hemos cambiado los ĺımites de la itegral de acuerdo co el cambio de variable. E esta itegral recoocemos la derivada de la arco tagete, así que I = 9 du u + = [arc tg u]9 = (arc tg 9 arc tg = (arc tg 9 π/4.
5 4. Defiamos la fució F mediate la fórmula F (x = x 0 e t dt, x R. (a Calcule razoadamete su derivada, F (x. Luego determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los putos de máximo y míimo de la fució F. Solució: La fució f es composició de las fucioes G(x = F (x = G(g(x. Por la regla de la cadea, x 0 e t dt y de g(x = x, i.e, F (x = G (g(x g (x = e (x x = xe x4 dode hemos usado que por el teorema fudametal del cálculo, G (x = e x. Para calcular itervalos de crecimieto y decrecimieto, buscamos los itervalos dode F (x sea positiva y egativa. F (x tiee u úico cero, ya que e x4 es siempre positivo, y F (x sólo se aulará dode lo haga x; además F (x tiee el sigo de x; por ello, F es decreciete e (, 0 y creciete e (0,. Esto implica que F tiee u úico míimo e x = 0, que además debe ser u míimo global. (b Determie los itervalos de covexidad y cocavidad de F y los putos de iflexió. Solució: Empezamos calculado la seguda derivada de F : F (x = e x4 + x( 4x 3 e x4 = ( 4x 4 e x4 F se aula sólo cuado 4x 4 = 0, lo que ocurre e los putos x = ±/. Por ello examiamos el sigo de F e los itervalos (, /, ( /, / y (/, evaluado F e u puto de cada uo: F ( = 3e < 0, F (0 =, F ( = 3e Por lo tato F es cócava e (, / y (/, y covexa e ( /, /. Los putos x = / y / correspode a putos d iflexió, ya que se cambia de cócavo a covexo o viceversa.
6 5. Decida si la serie su respuesta. = ( + diverge, coverge codicioalmete o coverge absolutamete. Razoe Solució: La serie es de térmios alterados, ya que aparece u ( y /( + es siempre positivo. Primero estudiamos la covergecia de la serie si el sigo, i.e, de la serie = +. Observamos que + + > + = =. Puesto que = + por el Teorema de comparació obteemos que la serie = diverge, y al meos sabemos que la serie origial o puede coverger absolutamete. = + Itetamos ver si se aplica el criterio de Leibiz: + = 0; la sucesió a = + es decreciete, ya que la desigualdad + + ( + + se obtiee de (( + + ( + ( + que se puede demostrar multiplicado. Por ello, el criterio de Leibiz se aplica y la serie dada coverge; como o lo hace absolutamete, la covergecia es codicioal.
7 6. Sea {a } la sucesió defiida de forma recurrete como a + = a 4a +, a = 4. (a Demuestre, utilizado iducció si es ecesario, que a para todo, a a +, Solució: Para la primera desigualdad, observamos que a 4a + = (a + 4 4; como la raiz cuadrada es ua fució creciete, a + = a 4a + 4 =. Esto da la desigualdad para todos los a co ; el caso a es imediato porque a = 4. Usamos ua vez más la fórmula para a + : a + = a 4a + a 4 + = a = a = a Hemos usado que la raíz cuadrada es creciete, y que a es positivo ya que a como se vio e el primer apartado. (b Utilice lo aterior para demostrar que a existe. Luego calcule el ĺımite. Solució: El ĺımite existe porque los a forma ua sucesió decreciete y acotada iferiormete como se ha visto e el primer apartado del problema. Llamamos L = a y tomamos ĺımites e la igualdad Resolviedo lo aterior, se tiee que L =. a + = a 4a +, L = L 4L +.
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