PROBLEMAS DE FUNDAMENTOS DE FÍSICA II

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1 PROBLEMAS DE FUNDAMENTOS DE FÍSICA II Grupo 511. CURSO 2016/2017. Vectores. Vectores y Campo Eléctrico V.1.-Dados los vectores A = 3u x + 4 u y 5 u z; y B = u x + u y + 2 u z. Encontrar módulo, dirección y sentido de la resultante, su diferencia y el ángulo entre A y B. V.2.-Expresar V 1.(V 2 V 3 ) en forma de determinante. A partir de este resultado derivar sus propiedades de simetría; es decir V 1.(V 2 V 3 ) = V 3.(V 1 V 2 ) = V 2.(V 3 V 1 ) Demostrar que el resultado del triple producto es igual al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. V.3.-Dos cargas iguales de 3.0µC están en el eje y, una está en el origen y la otra en y = 6m. Una tercera carga de 2.0µC está en el eje x en x = 8m. Hallar la fuerza que actúa sobre esta tercera carga. V.4.-Una carga de 4.0µC está en el origen. Cuál es el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico en el eje x en x = 6m y en x = 10m. Hacer una gráfica de la función E x (x) para todos los valores de x. V.5.-Cuando se coloca una carga de prueba q 0 = 2.0nC en el origen, experimenta una fuerza de N en la dirección positiva del eje y. Cuál es el campo eléctrico en el origen?. Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de 4.0nC situada en el origen?. Si esta fuerza fuera debida a una carga situada sobre el eje y en y = 3cm, cuál sería el valor de dicha carga? V.6.-Dos cargas iguales y opuestas de magnitud q están sobre el eje X. La negativa está en el origen y la positiva en x = 2a Cuál es el campo E debido a estas cargas en puntos sobre el eje X? (Calcular su módulo, dirección y sentido). Hacer una representación gráfica de E(x). Si x >>a, cuál es el valor de E?. Cómo difiere el resultado del que se obtendría para una carga puntual de igual magnitud colocada en el origen? 1

2 Interacción eléctrica. Campo eléctrico. 1.-Calcular (a) la fuerza eléctrica de repulsión entre dos protones colocados a una distancia entre sí de 1cm, (b) la fuerza gravitatoria de atracción entre los dos protones anteriores, (c) comparar la fuerza eléctrica y gravitatoria. 2.-Se lanza un electrón con una velocidad inicial de m/s (ver figura) en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas tiene una intensidad de 20000N/C y está dirigido hacia arriba. a) Qué distancia perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa S 2 cm v0 4 cm 12 cm por el extremo de las placas?. b) Qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas?. c) A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente S? 3.-Una gota de aceite cargada cae en el aire 4mm en 16s, a velocidad constante, en ausencia de campo eléctrico. La densidad del aceite es 800Kg/m 3, la del aire es 1.3Kg/m 3 y el coeficiente de viscosidad del aire Ns/m 2. Cuando la gota de aceite se encuentra en un campo eléctrico constante de N/C, se observan varios tiempos diferentes en que la gota asciende la distancia de 4mm. Los tiempos medidos fueron 40.65; 25.46; 18.53; y 5.87s. Calcular la carga del electrón a partir de estos datos. 4.-Se establece una diferencia de potencial de 1600V entre dos placas paralelas separadas 4cm. Un electrón se libera en la placa negativa en el mismo instante en que un protón se libera de la placa positiva. a) A qué distancia de la placa positiva se 2

3 cruzan?. b) Comparar sus velocidades cuando inciden sobre las placas opuestas. c) Comparar sus energías al incidir sobre las placas. 5.-En los vértices de un cuadrado de lado m se colocan cuatro protones. Otro protón está inicialmente sobre la perpendicular al cuadrado por su centro, a una distancia de m del mismo. Calcular a) la velocidad inicial mínima que este último protón necesita para llegar al centro del cuadrado, b) sus aceleraciones, inicial y final. c) Hacer un gráfico de la energía potencial del protón en función de su distancia al centro del cuadrado. Describir su movimiento en el caso de que la energía inicial sea menor o mayor que la encontrada en a). 6.-Una pequeña esfera de 0.2g cuelga por medio de una cuerda entre dos placas paralelas separadas 5cm. La carga sobre la esfera es de C Cuál es la diferencia de potencial entre las placas si el hilo forma un ángulo de 10 0 con la vertical? 7.-En un átomo de hidrógeno en su estado de menor energía (también llamado estado fundamental) el electrón se mueve alrededor del protón en lo que se puede considerar una órbita circular de radio m. Calcular (a) la energía potencial, (b) la energía cinética, (c) la energía total, (d) la frecuencia del movimiento. (A modo de comparación, la frecuencia de radiación emitida por el átomo de hidrógeno es del orden de Hz). 8.-Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y negativas ±q sobre una recta. La separación entre las cargas adyacentes es la misma e igual a r. Demostrar que la energía potencial de una carga es (-q 2 /2πε 0 r)ln2. r q Hallar el potencial y el campo eléctrico en puntos situados sobre el eje de un disco de radio R que sostiene una carga σ por unidad de área. 10.-Calcular el campo eléctrico, sobre el eje, debido a un anillo uniformemente cargado. Mostrar que su módulo tiene un máximo para Z = ±R / Obtener las expresiones para el campo y el potencial eléctricos producidos por un plano con una distribución uniforme de carga σ por unidad de área, suponiendo que el plano está formado por una serie de filamentos de longitud infinita y de ancho dx. 3

4 12.-Demostrar que la energía potencial eléctrica interna de un sistema de cargas puede escribirse en cualquiera de las formas: ( a) ( b) E E p p = = Todos los pares 1 2 Todas las cargas qiq j 4πε r q V j 0 ij j donde V j es el potencial producido en q j por las otras cargas (c) Usando el resultado hallado en (b), probar que la energía eléctrica de una distribución continua de cargas de 1 densidad ρ es E p = ρvdv (d) Usar esta expresión para demostrar que la energía de 2 v un conductor esférico con una carga Q distribuida uniformemente sobre su volumen es 3 2 Q /(4πε 0R) (e) Aplicar el último resultado al caso de un núcleo de número 5 atómico Z. 13.-Una esfera de radio R l tiene una cavidad central de radio R 2. Una carga q está uniformemente distribuida en su volumen. (a) Hallar el campo eléctrico y el potencial en puntos fuera de la esfera, en el interior de la esfera y en la cavidad central. (b) Hacer los gráficos del campo y del potencial eléctrico en función de la distancia al centro. 14.-Una esfera conductora de radio R l tiene una cavidad central de radio R 2. En el centro de la cavidad hay una carga q. (a) Encontrar la carga sobre las superficies interna y externa del conductor, (b) Calcular el campo y el potencial eléctricos en puntos fuera de la esfera, en el interior de la esfera y en la cavidad. (c) Hacer los gráficos del campo y del potencial en función de la distancia al centro. (Sugerencia: Recordar que el campo en el interior de un conductor es nulo.) 15.-El electrón en un átomo de hidrógeno se puede suponer "disperso" en todo el volumen atómico con una densidad ρ = Ce 2r/a 0, donde a 0 = m. (a)hallar la constante C de modo que la carga total sea e. (b) Determinar la carga total dentro de una esfera de radio a 0 que corresponde al radio de la órbita del electrón. (c) Obtener el campo eléctrico en función de r. (d) A qué distancia el campo eléctrico difiere de e/4πε 0 r 2 en 1%? (Sugerencia: Para la parte (a), dividir el espacio en capas esféricas, cada una de volumen 4πr 2 dr) 4

5 16.-Considerar la superficie cúbica cerrada de lado a que se muestra en la figura. Esta superficie está colocada en una región donde hay un campo eléctrico paralelo al eje X. Hallar el flujo eléctrico a través de la superficie y la carga total en su interior si el campo eléctrico es (a) uniforme, (b)varía según E = Cx. 17.-El cono imaginario de la figura tiene un ángulo θ entre la generatriz y la base de radio R. Este cono está libre de carga y en él existe un campo eléctrico uniforme E (las líneas del campo son verticales y paralelas al eje del cono). Cuál es la relación entre el número de líneas de campo por unidad de área que penetran por la base con respecto de las que entran por la superficie cónica? Utilizar el teorema de Gauss para dar la respuesta. 18.-Dos esferas conductoras de radios 0.10cm y 0.15cm tienen cargas de 10 7 C y C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga de cada esfera. 19.-Una esfera metálica de radio 1m tiene una carga eléctrica neta de 10 9 C. Se conecta mediante un alambre conductor a una esfera de radio 0.30cm inicialmente descargada (muy lejos de la esfera mayor) de modo que ambas tienen el mismo potencial. (a) Cuál será la carga de equilibrio en cada esfera después de hacer la conexión? (b) Cuál es la energía del sistema después de unir las esferas? Si hay alguna pérdida, explicar dónde se encuentra esa energía perdida. (c) Mostrar que la carga se distribuye en las esferas de radios R 1 y R 2 unidas eléctricamente de modo que σ 1 /σ 2 = R 2 /R l donde σ es la densidad superficial de carga eléctrica. (d) Demostrar, entonces, que el valor del campo eléctrico en la superficie de cada esfera es tal que E 1,superficie / E 2, superficie = R 2 /R 1 Para resolver este problema, ignorar el efecto del alambre. 5

6 20.-Se coloca una carga q a una distancia a de un plano conductor infinito mantenido a potencial cero. Se puede demostrar que el campo eléctrico resultante en un punto situado frente al plano es el mismo que el que se obtiene al reemplazar el plano por una carga eléctrica negativa q situado a una distancia a (ver figura). Esta segunda carga se llama imagen de la primera. (a) Demostrar que el potencial del plano es cero y que el campo es perpendicular al plano. (b) Probar que la densidad de carga sobre el plano es qa/2πr 3. (c) Verificar que la carga total sobre el plano es igual a q. 21.-La figura muestra una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica ε r colocada entre las armaduras de un condensador de placas paralelas cuya área de placa es A y cuya separación es d. Se aplica una diferencia de potencial (ddp) V 0 cuando no hay dieléctricos. Entonces se desconecta la batería y se introduce la placa de dieléctrico. Supóngase que A = 100cm 2 ; ε r = 7.0 ; V 0 = 100V; b = 0.5cm y d = 1cm. a) Calcular la capacidad C 0 antes de introducir el dieléctrico. b) Calcular la carga libre. c) Calcular la intensidad del campo eléctrico en el hueco. d) Calcular la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico y la ddp entre las placas. e) Calcular la capacidad al colocar el dieléctrico. f) Calcular D y P en el dieléctrico y en el hueco. d b 6

7 22.-Se desea construir un condensador intercalando una hoja de papel de cm de espesor entre hojas de estaño. El papel tiene una constante dieléctrica relativa de 2.8 y conducirá la electricidad si está en un campo eléctrico de intensidad Vm 1 o mayor (esto es, la tensión de ruptura del papel es 50MVm 1 ). a) Determinar el área de placa que se necesita para que un condensador de este tipo tenga una capacidad de 0.3 µf. b) Cuál es el potencial máximo que se puede aplicar si el campo eléctrico en el papel no debe exceder la mitad de la tensión de ruptura? 23.-Un trozo de dieléctrico se introduce parcialmente entre dos placas de un condensador de placas paralelas, como se muestra en la figura. Calcular en función de x. a) La capacidad del sistema. b) La energía del sistema. c) La fuerza sobre el trozo. a 0 x X Suponer que el potencial aplicado al condensador es constante. (Sugerencia: Se puede considerar el sistema como dos condensadores en paralelo). 24.-Cuando el campo eléctrico del aire logra un valor aproximado de Vm 1, el aire se convierte en conductor y la carga comienza a escaparse del objeto cargado que produce el campo eléctrico. Cuál es la carga máxima que puede recibir una esfera metálica de radio 1.0cm en el aire? Si esta carga máxima fuera positiva. Cuántos electrones deberían quitársele para cargarla? Si la esfera fuese de cobre. Cuántos electrones contendría? Cada átomo de cobre posee 29 electrones, el peso molecular del cobre es 63.5 y su densidad es kgm 3. Qué fracción de los electrones se quitaría a la esfera de cobre? 7