Tema 7: Vectores. Ejercicio 1. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Si las coordenadas de dos vectores, son u ( 2,3), v (5, 2)

Transcripción

1 Tem 7: Vectores. Ejercicio. Si ls coordends de dos vectores, son u,), v 5, ) compror gráficmente que ls de u v son 7,) y ls de 5 u son 0, 5). Ls coordends de u v respecto de l se B x, y ) son, ). Ls coordends de v son 5, -). Figur. Mirndo el diujo, se ve clro que ls coordends de u v son: 5, ) 7,) Análogmente, se verí que ls coordends de 5u son: 5,5 ) 0,5) - Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur.

2 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figur. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio. Ls coordends de u v,, w respecto de un ciert se son u 0, ), v,0), w, ). Clcul y pr que se verifique: w u v. Expresmos l iguldd sustituyendo los vectores por sus coordends:,) 0, ),0) 0, ),0), ) Igulndo ls primers coordends entre sí, y ls segunds entre sí: w u v

3 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores. - Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 4. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio. Respecto un se ortonorml tenemos: u, ), v 5,4) clculr: ) u v ) u y v c) u, v) d ) Cuánto tiene que vler x pr que w x,) se ortogonl u? ) u v, ) 5,4) 5 ) 4 0 ) u, ) 4 9 ; v u v c) cos u, v) 0,0866 u, v 94º 58 u v 4 d) Si w u w u 0 x,), ) 0 x 0 x Por tnto, w,. Otro vector ortogonl u, ) es,). Oserv que hemos permutdo ls coordends y hemos cmido el signo de un de ells.

4 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS - Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 5. Figur 6. Figur 7. Figur 8. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: 4

5 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores. Ejercicio 4. Clcul m y n pr que se verifique: x m n siendo, ), 5, ), x, 4). En l iguldd x m n sustituymos los vectores por sus coordends y operemos:, 4) m, ) n5, ) ;, 4) m, m) 5n, n) ;, 4) m 5n, m n) m 5n 4 m n 4 Resolviendo el sistem nterior, llegmos que m, n. 7 7 Oservción: 4 m, n), serín ls coordends del vector x respecto de l se formd por y Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 9. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio 5. El triángulo ABC es equilátero y su ldo mide 6 cm. M, N y P son los puntos medios de los ldos. Clcul los siguientes productos: ) AB AP ) AB AN c) OA OC d) MA MB e) BN BC f ) CM MA 5

6 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS ) AB 6, AP y formn un ángulo de 60º. AB AP 6 cos 60º 8 9 ) Por el teorem de Pitágors, AN º Figur 0. B AB AN 6 7 cos 0º 6 7 M N c ) OA OC AN, porque O es el ricentro. 80º 0º 0º ; OA OC cos0º 6 A 60 º P O 0º C d ) MA MB. Tienen l mism dirección y sentido contrrio. 80º ; MA MB cos80º 9 e) BN ; BC 6. Tienen l mism dirección y sentido. 0º ; BN BC 6 cos0º 8 f) CM ; MA. Son perpendiculres, 90º. CM MA cos 90º 0 - Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur. 6

7 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores. Figur. Figur. Figur 4. Figur 5. Figur 6. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio 6. Ddo el vector v 6,), clcul ls coordends de los siguientes vectores: ) u, unitrios y de l mism dirección que v. ) w, ortogonles v y del mismo módulo. c) z u nitrios y ortogonles v. ) Multiplicndo ls coordends de v por un número otenemos vectores prlelos v. Pr que sen unitrios, multiplicmos por v. 7

8 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS v u 6,) 0, 0 0 Hy otr solución con vectores de sentido opuesto v : u 6, ) 0, 0 0 ) Se otienen permutndo ls coordends de v y cmindo el signo de un de ells: w, 6) w,6). y Tmién se pueden hllr expresndo nlíticmente ls condiciones: w v 0 w v x, y) 6,) x y x y 40 x y 40 Resolviendo el sistem otenemos: w, 6) y w,6) c) Teniendo en cuent ) y ), w w w z y z. w z, 6), Y z,6), Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 7. 8

9 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores. Figur 8. Figur 9. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio 7. Consider los vectores u, n) y v, ). Clcul n pr que: ) u, y v formen un ángulo de 90º. ) u, y v tengn el mismo módulo. ) Pr que cos u, v ) cos 90º 0, dee cumplirse: u v cos u, v ) 0 u v 0 ; u v, n), ) n 0 n u v ) Clculmos el módulo de v y lo igulmos l módulo de u : v ) n n n 9

10 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS - Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 0. Figur. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio 8. Sen los vectores: 4,) y,7) hll dos vectores cuy sum se el vector y tles que uno t eng l mism dirección que y el otro se perpendiculr. Trzmos desde el extremo de un perpendiculr l rect que tiene l vector son u y v. 6 Como u k y u proyección de sore, quedrí: 0 4k) k) 6 0 0k k 6. Los vectores que uscmos Figur. v u 0

11 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores k 676 k k vemos en l figur que k > 0) 00 0 Así: k ,), Como u v, entonces: v u,7),, Ah or lo resolveremos con Wiris: Figur. Figur 4.

12 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figur 5. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: Ejercicio 9. De los vectores y conocemos 5, y el segundo ángulo que formn, º. 60 Clcul. y Semos que ) ). Clculmos ) ) 9 5 cos 60º 5 9 Del mismo modo, ) ) ) ) cos 60º 5 Ahor lo resolveremos con Wiris: Figur 6. -

13 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 7. Vectores. Enlce con el ejercicio resuelto en l We: