APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 1. Halla las rectas tangente y normal a las siguientes funciones en los puntos que se indican:

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1 Matemáticas Aplicaciones de las derivadas APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Halla las rectas tangente y normal a las siguientes funciones en los puntos que se indican: 5 a) f, c) f lntg, en en 8 b) f, en d) y sen 5, en Sol: a) y 7, y ; b) y, y ; c) y, y ; d) y, y Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia y00 en el punto de abscisa y ordenada negativa y Sol: y, y Calcula las tangentes a la curva y que forman un ángulo de 5º con la parte positiva del eje de abscisas Sol: y, y, y Halla los coeficientes a,b,c de la función y a bc, sabiendo que dos puntos de su gráfica son (, ) y (, ) y que la tangente a esa función en es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes Sol: a, b5, c 5 Estudia la monotonía y la curvatura de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f en los puntos, 0,, b) f en los puntos, 0,, c) fcos sen en los puntos 0,,, d) fsen cos en los puntos 0,,,

2 Matemáticas Aplicaciones de las derivadas Sol: a) : creciente, cóncava; 0 : no creciente ni decreciente, cóncava; : decre- : crecien- : decreciente, cóncava; : ciente, no convea ni cóncava; : no creciente ni decreciente, convea b) te, cóncava; 0 : no creciente ni decreciente, cóncava; decreciente, convea c) 0 : decreciente, cóncava; : decreciente, no convea ni cóncava; : no creciente ni decreciente, convea; : creciente, convea d) 0 : crecien- te, no convea ni cóncava; : no creciente ni decreciente, cóncava; : decreciente, no convea ni cóncava; : no creciente ni decreciente, convea 6 Estudia la monotonía y la curvatura de las siguientes funciones: a) f e e d) y b) f e e e) y c) fcotg Sol: a) Decreciente en, 0U 0, ; convea en 0, y cóncava en, 0 b) Creciente en, 0 y decreciente en 0, ; convea en, 0U 0, c) Decreciente en n, ( n); convea en n, n y cóncava en n, n, ( n) d) Creciente en 0, y decreciente en, 0;convea en e) Creciente en ; convea en 0, y cóncava en, 0 7 Halla los etremos relativos (indicando cuáles son máimos y cuáles mínimos) y los puntos de infleión de las funciones siguientes: a) f 6 b) y 0, fsen cos 0, c) f cos sen en d) en e) y 6 08 Sol: a) Máimo relativo en, mínimo relativo en, punto de infleión en 0

3 Matemáticas Aplicaciones de las derivadas 7 b) Máimo relativo en 0 c) Máimos relativos en 0 y, mínimo relativo en 5 5, puntos de infleión en y d) Máimos relativos en y, 7 mínimos relativos en 0, y, puntos de infleión en, y 5 e) Mínimo relativo en, puntos de infleión en y 8 Halla los coeficientes a,b,c y d de la función y a b cd sabiendo que sus etremos locales son (0, ) y (, 0) Sol: a, b, c 0, d 9 La función y a b cd tiene dos etremos locales en los puntos (, 0) y (, ) Halla a,b,c y d Sol: a, b, c 9, d5 0 La función y m np pasa por el punto (0, 5), tiene un máimo relativo en y un mínimo relativo en Halla m,n y p Sol: m, n9, p5 La función y m np pasa por el punto (, 0), tiene un mínimo en y un punto de infleión en Calcula m,n y p Sol: m, n5, p 5 Calcula la longitud que deben tener los lados de un triángulo isósceles de cm de perímetro para que el área del triángulo sea máima Sol: todos los lados 8 cm Calcula la longitud que deben tener los lados de un terreno rectangular de 00 m de área si queremos que el perímetro de su contorno sea el mínimo posible Sol: todos los lados 0 m Calcula la longitud que deben tener los lados de un terreno rectangular de 00 m de área si queremos que su diagonal sea mínima Sol: todos los lados 0 m 5 Calcula la longitud que deben tener los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio m para que el área de dicho rectángulo sea máima Sol: todos los lados m

4 Matemáticas Aplicaciones de las derivadas 6 Calcula la longitud que deben tener los lados de un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de m de altura y m de base (ver figura) para que su área sea máima b h m Sol: b m, h m m 7 Halla el radio de la base y la altura del cono de generatriz m y de volumen máimo Sol: radio 6 m, altura m 8 De entre todos los conos de volumen igual a 8 m, calcula el radio de la base y la altura de aquél cuya generatriz es mínima Sol: radio m, altura m 9 Un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos, engendrando un cono Sabiendo que la suma de sus catetos es 5 m, halla las dimensiones del triángulo que genera el cono de volumen máimo Sol: cateto alrededor del cual gira m, el otro cateto m, hipotenusa 5 m 0 Un triángulo isósceles de perímetro igual a m gira alrededor de la altura de su lado desigual, engendrando un cono Cuánto deben medir la base y la altura del triángulo para que el volumen del cono sea máimo? 6 5 Sol: base m, altura 5 0 m Un alambre de m de longitud se divide en dos trozos Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un círculo Calcula la longitud que ha de tener cada trozo para que la suma de las áreas sea mínima Sol: para el cuadrado m, para el círculo m Un alambre de m de longitud se divide en dos trozos Con cada trozo se construye un triángulo equilátero Qué longitud ha de tener cada trozo para que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima?

5 Matemáticas Aplicaciones de las derivadas 5 Sol: ambos m Calcula las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es 8 m, si se pretende emplear la menor cantidad posible de hojalata en su fabricación Considera los siguientes casos: a) El bote tiene dos tapas b) El bote sólo tiene tapa inferior Sol: a) radio m, altura m b) radio m, altura m Calcula el radio de la base del cilindro de volumen máimo inscrito en un cono cuyo radio de la base es cm y cuya altura es cm Calcula también dicho volumen 6 Sol: radio cm, volumen cm 5 Calcula el radio de la base del cilindro de volumen máimo inscrito en una esfera de cm de radio Calcula también dicho volumen Sol: radio 6 cm, volumen cm 6 Con una cartulina rectangular de 0 cm de largo y cm de ancho se quiere construir una caja, doblando y pegando las caras, para lo cual hay que cortar en los cuatro vértices de la cartulina cuatro cuadraditos de cartón (ver figura) Cuál debe ser la longitud del lado de esos cuadraditos para que la capacidad de la caja sea máima? Sol: 6 9 cm 7 Determina en qué punto de la función mayor con el semieje positivo OX Sol:, y la tangente a la misma forma un ángulo

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