2) (1p) Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, halla la derivada de f(x)= x sen x en x=0.

Transcripción

1 5 de diciembre de ) (4p) Teoría: a) Define derivada de una función en un punto. b) Halla la derivada de y=a u, donde a es una constante positiva distinta de 1 y u es una función de. c) Enuncia la condición necesaria de etremo relativo. d) Define punto de infleión. 2) (1p) Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, halla la derivada de f()= sen en =0. 3) (1p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=cos(+y) en el punto (π/2,0). 4) (1p) Un empresario tiene que fabricar recipientes abiertos por arriba, de base cuadrada y con una capacidad de 4000 litros. Calcula las dimensiones que debe tener el recipiente para que el coste del material empleado sea el mínimo posible. 5) (1p) Calcula a, b y c si se sabe que la derivada de la función f()= 3 +a 2 +b+c en el punto (1,1) es cero, pero que en ese punto la función f no tiene un etremo. 6) (2p) Estudia y representa la gráfica de la función: 1 f()= No es seguro que ésta fuera la gráfica que se puso este curso. -1-

2 Ejercicio 2: Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, halla la derivada de f()= sen en =0. (1 PUNTO) f'(0)= lím 0 f()-f(0) -0 = lím 0 sen -0 = 1 lím 0 = lím 0 = 0 1 Ya que, en =0, sen ~. -2-

3 Ejercicio 3: Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=cos(+y) en el punto (π/2,0). (1 PUNTO) 1º) Para hallar la pendiente, derivamos la función: 1 y'=-sen(+y) (+y)'=-sen(+y) (1+y') 2º) Calculamos la pendiente en el punto de tangencia: y' = 2 -sen(π/2) (1+y')=-1-y' 2y'=-1 y'=-1/2 Resumiendo: y y' π/2 0-1/2 3º) Por tanto, la ecuación eplícita de la recta tangente es: 1 y-0=- 2 π - 2 y= π 4 1 Por el método de derivación implícita. 2 Ya que =π/2 e y=0. -3-

4 Ejercicio 4: Un empresario tiene que fabricar recipientes abiertos por arriba, de base cuadrada y con una capacidad de 4000 litros. Calcula las dimensiones que debe tener el recipiente para que el coste del material empleado sea el mínimo posible. (1 PUNTO) Sean e y, respectivamente, la longitud del lado de la base y la altura del recipiente: y El área total del recipiente es mínima: A = 2 +4y Tenemos que epresar el área en función de una sola variable: V= = 2 y 4000 y = 2 A = = = Como la condición necesaria de etremo relativo es que la derivada valga cero, derivamos, igualamos a cero y resolvemos la ecuación: 3 A'= = = = =8000 =20 Como 1 D = 2 > 0, para aplicar el criterio de la derivada segunda podemos sustituir 2 A" por N', donde N = : N'= 6 2 N'(20)= > 0 A es mínima para = 20 Por último, 3 si =20 dm, entonces y=4000/400=10 dm. 1 Designamos por D al denominador de la derivada y por N al numerador. 2 Ya que los signos de N' y A" coinciden en = litro es 1 dm

5 Ejercicio 5: Calcula a, b y c si se sabe que la derivada de la función f()= 3 +a 2 +b+c en el punto (1,1) es cero, pero que en ese punto la función f no tiene un etremo. (1 PUNTO) Si f"(1) 0, entonces, como f'(1)=0 y Dom(f')=R, por el criterio de la derivada segunda la función f tendría un etremo en =1. Pero no lo tiene. Por tanto f"(1)=0. Podemos recoger la información en la siguiente tabla: y y' y" Como f()= 3 +a 2 +b+c, entonces f'()=3 2 +2a+b y f"()=6+2a. Como el punto (1,0) pertenece a las gráficas de las funciones f" y f', y el punto (1,1) pertenece a la gráfica de la función f, tenemos lo siguiente: f"(1)=0 6+2a=0 2a=-6 a=-3 f'(1)=0 3+2a+b= b=0 b=3 f(1)=1 1+a+b+c= c=0 c=0 1 Ya que a=-3. 2 Ya que a=-3 y b=3. -5-

6 Ejercicio 6: Estudia y representa la gráfica de la función: f()= 2-4 1º) Dominio: (-,-2) (-2,2) (2,+ ). (2 PUNTOS) 2º) Paridad: como el dominio es simétrico respecto del origen de coordenadas, calculamos f(-): - f(-)= 2-4 = = -f() La función es impar. 3º) Periodicidad: la función no es periódica. 4º) Cortes con los ejes: a) Con OX: y=0 =0. b) Con OY: =0 y=0. 5º) Signo de la función: º) Asíntotas y ramas parabólicas: a) Las rectas =-2 y =2 son asíntotas verticales: lím -2 <-2 lím -2 >-2 f()= lím -2 <-2 f()= lím -2 >-2 (-2)(+2) = = =- (-2)(+2) = = =+ lím f()= lím (-2)(+2) = = =- 2 <2 2 <2 lím f()= lím (-2)(+2) = = =+ 2 >2 2 >2 b) La recta y=0 es asíntota horizontal en - y en + : lím f()= lím ± ± 2-4 =2 lím 2 = lím 1 = 0 ± ± Como la asíntota horizontal coincide con el eje de abscisas, la posición relativa con respecto a la gráfica de la función ya se conoce por el estudio del signo de la función. 1 Hemos señalado los puntos =-2 y =2 para recordarnos que no pertenecen al dominio de la función. 2 Ya que a 0 +a 1 +a a n n ~ a n n en + y en -. También puede hacerse sacando factor común en numerador y denominador la respectiva máima potencia de, simplificando a continuación. O por L'Hôpital. -6-

7 7º) Continuidad. Discontinuidades: a) La función es continua en su dominio por ser derivable en él: f()= 2-4 f'()= ( 2-4) 2 = ( 2-4) 2 = ( 2-4) 2 = -( 2 +4) (+2) 2 (-2) 2 b) La función presenta en =-2 y en =2 discontinuidades de salto infinito (el estudio ya se ha hecho en el apartado anterior). 8º) Signo de la derivada primera: º) Signo de la derivada segunda: 2 - f'()= 2-4 ( 2-4) 2 f"()= -2( 2-4) 2 +( 2 +4)2( 2-4)2 ( 2-4) 4 = -2( = 2-4)+4( 2 +4) -2 ( 2-4) 3 = ( 2-4) 3 = ( 2-4) 3 = 2( 2 +12) (+2) 3 (-2) 3 - P.I º) Tabla de valores: y Clasificación 0 0 Corte con los ejes y punto de infleión Gráfica: O Aplicamos aquí el criterio de la derivada primera y el criterio de la variación del signo de la derivada primera. 2 Aplicamos aquí el criterio de la derivada segunda y el criterio de la variación del signo de la derivada segunda. -7-