CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - 1 -

2 ÍNDICE CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Tema 1: Itroduccó a la estadístca Itroducc ó a la estadístca descrptva Nocoes báscas o Nocoes teórcas o Ejemplos práctcos Dstrbucoes udmesoales o Nocoes teórcas o Ejemplos práctcos Dstrbucoes bdmesoales o Nocoes teórcas o Ejemplos práctcos - 2 -

3 CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 1.1. Itroduccó a la estadístca descrptva Tradcoalmete la aplcacó del térmo estadístca se ha utlzado e tres ámbtos: a) Estadístca como eumeracó de datos. b) Estadístca como descrpcó, es decr, a través de u aálss de cojutos coheretes de datos para su posteror comparacó y aálss. (ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA) c) Estadístca matemátca o fereca, uda a la teoría de de probabldades. Se ecarga de extraer coclusoes a partr de ua muestra al total de la poblacó co u pequeño marge de error. (ESTADÍSTICA INDUCTIVA) Por tato se podría defr la estadístca como la ceca que permte estudar las regulardades o patroes e u cojuto de datos para tomar decsoes racoales. Todo aálss estadístco requere segur ua sere de etapas: 1) Defcó del problema de estudo y objetvos del msmo. 2) Seleccó de la formacó ecesara para realzar el estudo. 3) Recogda de la formacó que va a depeder del presupuesto co el que cotemos y de la caldad de los datos exg da. 4) Ordeacó y clasfcacó de la formacó e tablas y gráfcos. 5) Resume de los datos medate meddas de poscó, dspersó, asmetría y cocetr acó. 6) Aálss estadístco formal obteedo hpótess y cotrastádolas. 7) Iterpretacó de resultados y extraccó de coclusoes. 8) Extrapolacó y predccó

4 1.2. Nocoes báscas de estadístca descrptva La estadístca descrptva es la ceca que aalza seres de datos (por ejemplo, edad de ua poblacó, peso de los trabajadores de u determado cetro de trabajo, temperatura e los meses de verao, etc) y trata de extraer coclusoes sobre el comportameto de estos elemetos o var ables. Las varables que se observa y aalza puede ser de dos tpos: a) Varables cualtatvas o atrbutos: o se puede medr umércamete, represeta característcas o atrbutos de las varables (por ejemplo: acoaldad, sexo, relgó). b) Varables cuattatvas: tee valor umérco (edad, altura, preco de u producto, gresos auales). Por su parte, las varables cuattatvas se puede clasfcar atededo a los valores que puede tomar e dscretas y cotuas: Dscretas: sólo puede tomar valores eteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: úmero de hermaos (puede ser 1, 2, 3...,etc, pero, por ejemplo, uca podr á ser 3,45). Cotuas: puede tomar cualquer valor real detro de u tervalo. Por ejemplo, la velocdad de u vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Cualtatvas Tpo de varables Dscretas Cuattatvas (recogdas e valor o e tervalo) Cotúas - 4 -

5 Segú sea de u tpo u otro la varable podrá medrse de dstta maera, o lo que es lo msmo e la termología estadístca, tedrá dsttas escalas de medda. Cualtatvas Escala omal: Idetfca la perteeca de u elemeto sujeto u objeto a u grupo u otro, a veles geeralmete mutuamete excluyetes. Permte la dstcó etre elemetos pero o su ordeacó. Escala ordal: Idetfca a cada elemeto e ua poscó de escala respecto a los otros. Tpo de varables Cuattatvas Escala por tervalo: Idetfca la poscó ordal de cada elemeto y permte además medr las dstacas etre uos y otros utlzado ua escala de medda subjetva. Escala de proporcó: Permte medr las dstacas etre elemetos utlzado ua escala de objetva y, por lo tato, posblta la utlzacó de razoes o ratos comparatvos. La formacó que se recoge de ua o varas varables se preseta e tablas que represeta la dstrbucó de dchas varables y també se puede clasfcar e: a) Dstrbucoes udmesoales: sólo recoge formacó sobre ua característca (por ejemplo: edad de los al umos/as de ua clase). b) Dstrbucoes bdmesoales: recoge formacó sobre dos característcas de cada elemeto de la poblacó smultáeamete (por ejemplo: edad y al tura de los alumos/as de ua clase). c) Dstrbucoes multdmesoales: recoge formacó sobre tres o más característcas de cada elemeto (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumos/as de ua clase)

6 1.3. Dstrbucoes udmesoales Después de ua prmera aproxmacó a los coceptos estadístcos más mportates y báscos, el aalsta de formacó estará preparado para abordar ua de las fases más mportates que todo aálss estadístco requere. Es decr, ua vez que hemos defdo los objetvos que queremos cubrr co el aálss y obtedo la formacó relevate, debemos presetarla e tablas y gráfcos para coocer mejor el problema que estamos aalzado. Las prmeras herrametas para coocer y por tato descrbr el problema que estamos aalzado os las proporcoa la estadístca descrptva a través de las sguetes maeras de clasfcar la formacó: Tabulacó de la formacó Cosste e presetar la formacó orgazada e tablas Valores de la varable s agrupar x f N F X 1 1 N 1 /N N 1 F 1 = f 1 X 2 2 N 2 /N N 2 = F 2 = f 1 + f 2 X /N N = N F = 1 = N f = 1 x Valor de la varable Frecueca absoluta: Número de veces que aparece u determado valor de x f Frecueca relatva: Número de veces que aparece u determado valor de x respecto al total N Frecueca absoluta acumulada: Suma de la frecueca absoluta correspodete más todas l as aterores - 6 -

7 F Frecueca relatva acumulada: Suma de la frecueca relatva correspodete más todas l as aterores N Tamaño de la muestra Dstrbucó Represeta los valores de la varable y la frecueca co que aparece dchos valores (x, ) Recorrdo Dfereca etre el máxmo y el mímo valor de la varable Se utlza este tpo de dstrbucó cuado el úmero de valores dferetes que toma la varable o es grade, geeralmete meos de 15 ó 20 valor es (por ejemplo úmero de hjos). Datos de la varable agrupados Cuado el úmero de valores dferetes que puede tomar la varable es demasado grade para que resulte fácl presetar la formacó de maera reducda se utlza los tervalos (por ejemplo estatura de u grupo de alumos). E el caso e que tegamos varables agrupadas e tervalos, troducmos el cocepto de marca de clase que es el puto medo del tervalo. E el caso de varables agrupadas e tervalos las frecuecas hace refereca al tervalo y uca a valores cocretos de dcho tervalo. Puede haber tervalos de la msma o dstta ampltud (c ). La dstrbucó e este caso vee dada por el extremo feror (L -1 ), el extremo superor (L ) y la frecueca (L -1 - L, )

8 Ejemplo 1: Supogamos que queremos hacer u estudo e ua clase de uverstaros. Etre otras cosas, se les preguta lo sguete. Preguta 1: Edad del ecuestado Preguta 2: Igresos aual es famlares A la hora de tabular la formacó la prmera preguta, al referrse a ua clase de uverstaros dode aproxmadamete cas todos los alumos tee la msma edad, se hace más teresate recoger la formacó s agrupar, es decr, la tabulacó quedará de la sguete maera: -Cuadro 1- Edad Frecueca absoluta Frecueca relatva Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva acumulada x f N F , , , , , , , , , , , N 100 A la hora de tabular la seguda preguta, y como cada famla puede teer uos gresos dsttos, s represetásemos los datos s agrupar os podríamos ecotrar co ua tabla co u dato por dvduo, por lo que es más recomedable presetar la formacó de la varable agrupada e tervalos. De tal maera que la tabla resultate quedará de la sguete maera: - 8 -

9 Igresos Frecueca absoluta -Cuadro 2- Frecueca relatva Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva acumulada x f N F Meos de ,05 5 0,05 [ ) 10 0, ,15 [ ) 10 0, ,25 [ ) 30 0, ,55 [ ) 30 0, ,85 Más de , N Represetacoes gráfcas de la formacó Las represetacoes gráfcas de los datos ofrece ua dea más tutva y más fácl de terpretar de u cojuto de datos sometdos a vestgacó. Por ello las represetacoes gráfcas se coverte e u medo muy efcaz para el aálss ya que las regulardades se recuerda co más facldad cuado se obser va gráfcamete. Represetacoes gráfcas para datos s agrupar Dagrama de barras: represeta frecuecas s acumular. Estos gráfcos so váldos para datos cuattatvos (de tpo dscreto) y cualtatvos. E el eje y se puede represetar tato las frecuecas absolutas como relatvas - 9 -

10 -Gráfco 1- Dagrama de barras -Frecueca absoluta de la edad de los alumos Dagrama de escalera: represeta frecuecas acumuladas de u cojuto de datos. Este gráfco puede represetar tato las frecuecas absolutas como relatvas. -Gráfco 2- Dagrama de escalera -Frecueca absoluta acumulada de la edad de los alumos

11 Represetacoes gráfcas para datos agrupados Hstograma: represeta frecuecas s acumular. Este gráfco es váldo para datos cuattatvos de tpo cotuo o dscreto s tee u gra úmero de datos. El hstograma está formado por rectágulos de área gual o proporcoal a la frecueca observada. Área = base * al tura = c * altura altura = desdad de fr ecueca = /c Es decr la altura del rectágulo vedrá dada por y será proporcoal a dcho valor (també se llama fucó de desdad). Por tato e el caso de ter valos guales, la altura os está dado ua dea de cual es el tervalo más frecuete (aquel cuya barra del hstograma sea más alta). E el caso de costrur el hstograma utlzado f la suma total del área del hstograma será gual a 1. A cotuacó vamos a ver uos ejemplos de hstogramas e los dos casos cometados aterormete, es decr, co tervalos guales y co tervalos dsttos

12 Itervalos guales: -Gráfco 3- Hstograma sere de tervalos guales Frecueca Salaro cal Itervalos dsttos -Gráfco 4- Hstograma sere de tervalos dsttos

13 Polígoo de frecuecas acumuladas: represeta frecuecas acumuladas. Su costruccó se realza levatado sobre las marcas de clase, localzadas e el eje de abscsas, putos de altura gual a la frecueca observada. La uó de estos putos da lugar a ua líea polgoal deomada polígoo de frecuecas. Igresos -Gráfco 5- Polígoo de frecuecas acumuladas Frecueca absoluta Marca de clase Frecueca relatva Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva acumulada x f N F Meos de ,05 5 0,05 [ ) , ,15 [ ) , ,25 [ ) , ,55 [ ) , ,85 Más de , N Meos de [ [ ) [ ) [ ) ) Más de Tato los hstogramas como los polígoos de frecueca se puede realzar co frecuecas absolutas o relatvas

14 Gráfcos de sectores Estos gráfcos se basa e u círculo o be e u semcírculo y cosste e dvdr el círculo o semcírculo e sectores cuyas áreas sea proporcoales a cada uo de los térmos de la sere. Geeralmete se utlza para represetar seres de atrbutos o seres cuattatvas presetadas e pocos tervalos. -Gráfco 6- Gráfco de sectores X % 25% 55% Dagramas Gat Estos dagramas os permte coocer la evolucó de ua varable e estudo desde ua stuacó cal hasta el mometo actual. Es u gráfco de mucha utldad para aalzar crecmetos, tedecas, e deftva, la evolucó de la sere e el tempo

15 -Gráfco 7- Dagrama de Gat T X

16 Meddas resume de las dstrbucoes de frecuecas El sguete paso que debe dar el aalsta de la formacó es resumr la formacó que tee dspoble ua vez que la ha orgazado y represetado medate la tabulacó y los gráfcos. Para resumr la formacó dspoe de las sguetes meddas que so dsttas fucoes de la varable: - Meddas de poscó - Meddas de dspersó - Meddas de asmetría - Meddas de aputam eto o curtoss - Meddas de cocetr acó a) Meddas de poscó Meddas de poscó cetral Estas meddas pretede caracterzar la dstrbucó de la varable/s que estamos aalzado por los valores del cetro. Es decr, so valores represetatvos de todos los valores que toma la varable. Meda artmétca: Represeta el cetro de gravedad de ua dstrbucó y se defe como la suma poderada de los valores de la varable por sus frecuec as relatvas y lo deotaremos por y se calcula medate la expresó: x = = 1 x * f = = 1 x * N

17 dóde x represeta el valor de la varable e dstrbucoes o agrupadas o la marca de clase e dstrbucoes agrupadas. Es decr, e este últmo caso, se hace el supuesto que la frecueca del tervalo está agrupada e la marca de clase. El coveete de la meda artmétca es que es muy sesble a los valores extremos de ua d strbucó. Meda artmétca smple y poderada Hay veces dode hay que obteer ua meda artmétca de varables cuyos valores observados tee dstta mportaca y por tato se debe poderar de dstta maera para obteer la meda. E el caso de que la poderacó sea dstta estaremos hablado de ua meda poderada y los valores por los cuales se podera los dsttos valores se llama pesos o poderac oes (w ) x = 1 = = 1 x w w Medaa La medaa es el valor cetral de la varable, es decr, supuesta la muestra ordeada e orde crecete o decrecete, el valor que dvde e dos partes la muestra. Para calcular la medaa debemos teer e cueta s la varable es dscreta o cotua

18 Cálculo de la medaa e el caso dscreto: Tedremos e cueta el tamaño de la muestra. S N es Impar, hay u térmo cetral, el térmo X N que será el valor de la medaa S N es Par, hay dos térmos cetrales, medaa será la meda de esos dos valores X, la X N N Cálculo de la medaa e el caso de datos e tervalo: Para determar el valor de la medaa e el caso de teer represetada los valores de la varable e tervalos hay que par tr de ua hpótes s: la varable evolucoa de maera cotúa y uforme detro del propo tervalo. E este caso el cálculo de la medaa costa de dos fases, la determacó del tervalo que cotee la medaa y el cálculo de su valor. 1º Para determar el tervalo e el que se ecuetra la medaa se acumula las frecuecas y el prmer tervalo cuya frecueca N acumulada (N ) sea mayor o gual a es el tervalo que cotee la 2 medaa. S llamamos L y L +1 a los límtes del tervalo que cotee la medaa, a la frecueca ordara de dcho tervalo, N a la frecueca acumulada, N -1 la frecueca acumulada hasta el tervalo ateror y c la ampltud del tervalo etoces la fórmula es la sguete: N N 1 Me = L c

19 Para calcular la medaa o es precso que todos los tervalos esté defdos. Del úco tervalo que ecestamos coocer la ampltud es del tervalo modal. Moda La moda es el valor de la varable que tega mayor frecueca absoluta, la que más se repte, es la úca medda de cetralzacó que tee setdo estudar e ua varable cualtatva, pues o precsa la realzacó de gú cálculo. Por su propa defcó, la moda o es úca, pues puede haber dos o más valores de la varable que tega la msma frecueca sedo esta máxma. E cuyo caso tedremos ua dstrbucó bmodal o polmodal segú el caso. Cuado los datos está agrupados e tervalos se puede tomar la marca de clase o realzar ua aproxmacó medate la sguete fórmula: Moda = L * c dode : L = límte feror de la clase modal c = ampltud del tervalo La moda se puede utlzar para datos cualtatvos pero o tee porqué stuarse e la zoa cetral del gráfco

20 Meddas de poscó o cetral Estas meddas dvde a la poblacó e partes guales y srve para clasfcar a u dvduo detro de ua determada muestra o poblacó (msmo cocepto que la medaa) Cuartles Meddas de localzacó que dvde a la poblacó e cuatro partes guales (Q1, Q2 y Q3). Q1: Valor de la dstrbucó que deja el 75% de los valores por ecma Q2: Valor de la varable que deja el 50% de los valores de la varable por ecma (cocde co la med aa) Q3: Valor de la varable que deja el 25% de los valores de la varable por ecma N N 1 Q t = L c Decles Meddas de localzacó que dvde a la poblacó e dez partes guales dk = Decl k-smo es aquel valor de la varable que deja a su zquerda el k 10 % de la dstrbucó. N N 1 D t = L c

21 Percetles Meddas de localzacó que dvde a la poblacó e ce partes guales. El prmer percetl supera al uo por ceto de los valores y es superado por el oveta y ueve por ceto restate. Pk = Percetl k-ésmo es aquel valor que deja a su zquerda el K*1% de la dstrbucó N N 1 P t = L c

22 Reflexoes sobre las meddas de poscó cetral a) La meda, la medaa y la moda cocde e toda dstrbucó smétrca o ormal b) La meda artmétca es la medda de poscó que más se utlza pues ormalmete es la que mejor represeta los datos, al terver todos ellos e su deter macó. Por otra parte permte la aplcacó del cálculo de probabldades. Ahora be, tee el coveete de que e el caso de que exsta ua gra dfereca etre los valores extremos perda gra parte de su utldad al estar afectada por ellos. Por ello e este caso es más coveete el uso de la medaa. c) U promedo puede actuar como medda de tedeca cetral solamete s exste ua catdad cosderable de cocetracó e la dstrbucó de frecuecas, es decr, que la varacó o es demasado grade. d) U promedo srve como ua medda útl de localzacó para comparar dos o más dstrbucoes de frecuecas solamete s las que se compara tee aproxmadamete la msma forma

23 b) Meddas de dspersó Hasta el mometo hemos estudado los valores cetrales de la dstrbucó, pero també es mportate coocer s los valores e geeral está cerca o alejados de estos valores cetrales, para ver s estos valores so o o so represetatvos. Es por esto por lo que surge la ecesdad de estudar meddas de dspersó. Los mometos so valores específcos de la dstrbucó y va ítmamete lgados a las meddas de dspersó y se halla co la sguete fórmula: Mometo de orde r M r = = 1 ( x o ) Mometos respecto al orge (a 1, a 2...) Cuado O t = 0 Mometos respecto a la meda (m 1, m 2 ) Cuado O t = x t r N El mometo de orde r es el promedo de las desvacoes de los valores de ua varable, co respecto al orge o a la meda, elevadas a la poteca r. Relacó etre mometos: m 0 = a 0 a 1 = meda m 1 =

24 Meddas de dspersó absolutas Rago o recorr do Es la dfereca etre el mayor valor de ua varable y el meor. Depede mucho de los val ores extremos y esto puede dar ua mpresó falsa de la dspersó, por lo que se suele utlzar el rago tercuartílco que es la dfereca etre el tercer y prmer cuartel (Q 3 Q 1 ) E valor absoluto Estas meddas tee las msmas udades de meddas que la varable a la que hace refereca (X ) = 1! X promedo / N Co estas meddas de dspersó, sólo se puede comparar, e prcpo dstrbucoes co las msmas udades de med da

25 Cuadrátcas Las udades de med da so las de la varable elevada al cuadrado Varaza ( 2, s 2 ): es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto a la meda = 1 2 ( X promedo) / N Al gual que la meda, e el caso de que los datos esté agrupados e clases, se tomará la marca de clase como x. El problema de estas meddas es que para comparar varables sí tee dferetes udades de medda o se puede comparar. La solucó por tato es elmar las udades de medda y por tato ecesto meddas que o esté af ectadas por las udades. Para solucoar este coveete se hace lo sguete: Desvacó típca = = s = + = 1 2 ( X promedo ) / N Ambas meddas, tato la varaza como la desvacó típca sempre so postvas. La desvacó típca es la mejor medda de dspersó y la más empleada. Cuado las dstrbucoes de frecuecas se aproxma a ua dstrbucó smétrca o ormal etoces se verfca ua propedad muy mportate que cos ste, e que aproxmadamete:

26 El 68% de los valores de la varable está compreddos etre x ± σ El 95% de los valores de la varable está compreddos etre x ± 2σ El 99% de los valores de la varable está compreddos etre x ± 3σ Meddas de dspersó relatvas Estas meddas o tee udades de med da Recorrdo relatvo R r Número de veces que el recorrdo cotee a la meda Re Rr = x Recorrdo semtercuartílco R R δ c3 c1 = c Coefcete de apertur a Ap Ap = x x 1 Coefcete de varacó de Pearso A veces teresa comparar la varabldad o dspersó de ua poblacó desde dos putos de vsta dferetes e cluso comparar la varabldad de dos poblacoes o muestras dsttas. Cuado o podemos utlzar la desvacó típca (porque las dstrbucoes so muy dferetes o porque las varables preseta dsttas udades de medda) se utlza el

27 coefcete de varacó ya que se obtee meddas homogéeas y por tato comparables. Aquélla que mayor CV tega os dca ua mayor dspersó e la dstrbucó S CV = x c) Meddas de asmetría Asmetría Estas meddas trata de ver como se dstrbuye la varable e toro a u eje de smetría. Este eje de smetría se fja e ua recta que pase por la meda artmétca de la dstrbucó. La asmetría també se utlza para comparar dstrbucoes por que se pretede que estas meddas carezca de udades. La medda que da el grado de asmetría de ua dstrbucó de datos es el sesgo. Exste varas fórmulas para hallar el sesgo. Coefcete de asmetría: cuatía de las desvacoes por ecma de la meda y la cuatía de las desvacoes por debajo. Coefcete de asmetría de Fsher: mometo de orde 3 respecto a la meda dvddo por la desvacó típca elevada al cubo. Este coefcete se calcula para dstrbucoes acampaadas y e for ma de u. 3 ( x x) = 1 N m3 g 1 = = 3 3 S S

28 g 1 > 0 g 1 = 0 g 1 < 0 Asmétrca postva (Asmétrca por la zquerda) Smétrca Asmétrca egatva (Asmétrca por la derecha) Coefcete de asmetría de Pearso: Este coefcete se calcula para dstrbucoes e forma de campaa. Ap = x Mo S Ap > 0 Asmétrca por la derecha ( Mo > x) Ap = 0 Smétrca Ap < 0 Asmétrca por la zquerda ( Mo < x) Coefcete de asmetría de Bowley c Ab = 3 + c1 2 c 3 c 1 Me Ab > 0 Ab = 0 Ab < 0 Asmétrca por la derecha Smétrca Asmétrca por la zquerda

29 d) Meddas de aputameto o curtoss Co el coefcete de Curtoss se pretede observar como se dstrbuye los valores cetrales de uestra varable. Para ello se compara la dstrbucó que se esté aalzado co la dstrbucó ormal. Estas meddas os va a dcar s la dstrbucó tee ua forma de campaa más o meos aputada que la dstrbucó ormal. g = s m g 2 > 0 g 2 = 0 g 2 < 0 Leptocúrtca (perfl estrado) Mesocúrtca (perfl termedo) Pletcúrtca (perfl achatado) El aputameto tee como udad de medda la curtoss. Para medr la curtoss (K) puede utlzarse los cuartles y per cetles: k = Q P 90 P 10 dode: K= coefcete de curtoss percetílco Q3 Q Q= rago semtercuartílco ( 1 ) 2 P 90 = Percetl 90 P 10 = Percetl

30 e) Meddas de cocetracó Estas meddas tee por faldad medr la uformdad del reparto de la frecueca total de ua varable. Por ejemplo, s u grupo de trabajadores, percbera el msmo salaro, la uformdad de la varable sería absoluta; por el cotraro, e u caso hpotétco, s la masa total de los salaros fuera percbda por u solo trabajador, etoces la falta de uformdad sería totale este caso dremos que la cocetracó es máxma. Lógcamete, cuado se tede a la uformdad absoluta, la meda artmétca es perfectamete represetatva de la dstrbucó de frecuecas, cotraramete a lo que sucede cuado la cocetracó es máxma. Las medas más habtuales para la medcó de la cocetracó de ua dstrbucó de frecueca so: Curva de Lorez: Medda gráfca La curva de Lorez es ua represetacó gráfca que se obtee de colocar e los ejes de abscsas y coordeadas los porcetajes acumulados del úmero de observacoes y del total del valor de la varable aalzada. Por ser détcos tato la escala como el campo de varacó de cada uo de los ejes, la curva de Lorez ecaja perfectamete e u cuadrado. Se represeta també la dagoal que arraca desde el orge, que se toma como puto de r efereca de la curva. S la varable aalzada fuese totalmete uforme, la curva de lorez cocdría co el dbujo de la dagoal dbujada. E el caso opuesto, la curva de Lorez estaría formada por los lados feror y derecho del cuadrado

31 Ídce de G La curva de Lorez es lustratva de la cocetracó de ua dstrbucó. S embargo, es coveete dspoer de u dcador que os permta valor umércamete dcha cocetracó y, al msmo tempo, faclte la comparacó etre dos dstrbucoes. Este es el Ídce de G o ídce de cocetracó. El ídce de G se defe como el cocete etre el área rayada etre la curva de Lorez y la dagoal prcpal y el área compredda etre uo de los dos trágulos obtedos por la dagoal prcpal. El Ídce de G, por tato, varía etre 0 y 1, aproxmádose a 1 cuado la cocetracó tede a ser máxma, y a 0 e caso co traro. Numércamete, el ídce de G sólo se puede calcular a través de u sstema de cálculo de áreas

32 1.4. Dstrbucoes bdmesoales La mayoría de los feómeos que se estuda e cualquer dscpla está determados por la observacó de dsttas varables relatvas a dcho feómeo. Es decr, s queremos estudar las característcas de u producto y compararlo co los de la competeca ormalmete se recogerá formacó sobre dsttos atrbutos del producto como por ejemplo tamaño, color, preco, udades veddas, etc. Es decr, todas estas característcas so varables referetes a uestro producto y por tato tedremos dstrbucoes que o será udmesoales. E cocreto vamos a aalzar las dstrbucoes bdmesoales que cosste e el estudo de dos característcas a la vez e ua muestra. Los dos caracteres observados o tee por qué ser de la msma clase, así os podemos ecotr ar co las sguetes stuacoes: Tpos varables ( X, Y ) Ejemplo Varables cualtatvas Categórca / Categórca Sexo y clase socal Varables cuattatvas Cualtatva y cuattatva Dscreta / Dscreta Cotua / Cotua Dscreta / Cotua Categórca / Dscreta Categórca / Cotua Número de hermaos y úmero de hjos. Peso y altura Pulsacoes y temperatura cuerpo Sexo y úmero de cgarrllos Sexo e gresos Otro factor a teer e cueta es que el úmero de modaldades dsttas que adopta el carácter X o tee por qué ser el msmo que el que adopta el carácter Y: X = { x 1, x 2, x 3,..., x j } ; Y = { y 1, y 2, y 3,..., y k }

33 a) Tabulacó cruzada E el caso de dstrbucoes bdmesoales a la hora de orgazar los datos y observar la relacó etre dos varables se utlza las tablas de doble etrada. Estas tablas tee la sguete estructura: y Y 1 Y 2. Y j. Y k. x X j 1k 1. X j 2k 2.. X j.. X h h1 h2 hk h..j j. k N j : Frecueca cojuta Número de veces que aparece el valor X co Y j.:. j: N: (x y j j ): (x. ): (y j j. ): Frecueca margal de la varable X Frecueca margal de la varable y Suma del total de las observacoes Dstrbucó cojuta Dstrbucó margal de X Dstrbucó margal de y E este tpo de represetacó també podemos represetar las frecuecas relatvas. Basta co dvdr las frecuecas cojutas etre el úmero total de observacoes: f j = j N

34 La suma de las frecuecas absolutas es gual al úmero de pares observados (N): h k = 1 j= 1 j = N La suma de l as frecuecas relatvas es gual a la udad: h k = 1 j = 1 f j = h k = 1 j= 1 j = 1 N Ua tabla de doble etrada també se puede expresar como ua tabla smple o margal, de forma que sempre es posble pasar de ua a otra segú covega. Dstrbucoes Margales S e ua tabla de doble etrada utlzamos solamete los valores correspodetes a X, s que para ada tervega los valores de la varable y, esta dstrbucó se deoma dstrbucó margal de la varable X. Aálogamete cuado tomamos los valores de la varable y s teer e cueta los valores de la varable x estamos ate l a dstrbucó margal de y. De las frecuecas absolutas margales se obtee las frecuecas relatvas margales. Y de gual forma podemos obteer las medas, varazas y desvacoes típcas margales. Frecuecas absolutas margales. = N ;. j = N j Frecuecas relatvas margales. f. = ; N. j f. j = N

35 Medas margales N x x h = = 1. ; N y y k j j = = 1. Varazas margales N x x s h x = = ) ( ; N y y s k j j j y = = ) ( Desvacoes típcas margales N x x s h x = = ) ( ; N y y s k j j j y = = ) ( Dstrbucoes codcoadas E ocasoes podemos ecestar codcoar los valores de la varable Y a u determado valor de X o vceversa. Estas dstrbucoes así obtedas se deoma: dstrbucó de la varable Y codcoada a X=x o dstrbucó de la varable X codcoada a Y=y j { } } { hj j j j j y Y x,,.., / ( 2 1 = = { } } { k j j x X y,,.., / ( 2 1 = = ) / ( j y Y x = = j j y Y x. ) / ( =. ) / ( ) / ( j j x X y x X y = = =

36 Depededo del tpo de varables co el que estemos costruyedo la tabla hablamos de tabl as de cotgec a o tablas de correlacó: Cualtatvas (al meos 1) TABLAS DE CONTINGENCIA Tpo de varables Cuattatvas TABLAS DE CORRELACIÓN b) Represetacó gráfca DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN El dagrama de dspersó es la represetacó sobre uos ejes cartesaos de los dsttos valores de la varable (X, Y). E el eje de abscsas represetamos los valores de X y e el de ordeadas los valores de Y, de tal forma que cada par vee represetado por u puto del plao XY. E el caso de que las dos varables esté agrupadas e tervalos el dagrama se costruye medate casllas que tee detro tatos putos como el valor de la frecueca absoluta correspodete a los tervalos X e Y. S las varables que compoe el par so ua dscreta y otra cotua se utlza las marcas de clase, s edo u caso s mlar al prmero Los dagramas de d spersó també se cooce como ube de putos

37 v DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS Como e u dagrama de dspersó o puede quedar reflejado las veces que se repte u par o u tervalo, hemos de recurrr a ua represetacó e tres dmesoes de (X, Y). Dos so para la varable bdmesoal y ua dmesó para expresar las frecuec as. La fgura adjuta represeta los datos del ejemplo 1. La varable X toma los valores 10, 15,... y la varable Y los valores 0, 1,2,...; e el eje Z está represetadas las fr ecuecas absolutas del par (X, Y)

38 c) Meddas de resume y asocacó A cotuacó vamos a estudar las meddas de resume para el caso de dstrbucoes bdmesoales co varables cuattatvas. Cuado hay pocos datos o está muy agr upados (tablas de 2 o 3 columas) Aparece u parámetro uevo que es la covaraza que es la meda artmétca de las desvacoes de cada ua de las varables respecto a sus medas respectvas. Es decr, represeta la varacó cojuta de las dos varables que se esté aalzado y puede teer cualquer sgo. Vee represetada por la sguete expresó: S xy = m 11 = k = 1 j= 1 ( x x)( y j j y) N Sí S xy es mayor que 0 las dos varables se mueve e el msmo setdo ( x y) Sí S xy es meor que 0 las dos varables se mueve e dstto setdo ( x D y) Cuado hay muchos datos (tablas de doble etrada) Puede pasar que se quera medr la relacó que exste etre dos cojutos de datos, es decr la depedeca o depedeca estadístca etre dos varables de ua dstrbucó bdmesoal. Por ejemplo, s se aalza la estatura y el peso de los alumos de ua clase es muy posble que exsta relacó etre ambas varables: metras más alto sea el alumo, mayor será su peso. Etoces vamos a obteer la correlacó o depedeca etre dos varables. Segú sea los dagramas de dspersó podemos establecer los sguetes casos:

39 o Idepedeca fucoal o correlacó ula: cuado o exste gua relacó etre las varables. (r = 0) o Depedeca fucoal o correlacó fucoal: cuado exste ua fucó tal que todos los valores de la varable la satsface (a cada valor de x le correspode uo solo de y o a la versa) (r = ± 1) o Depedeca aleatora o correlacó leal: cuado los putos del dagrama se ajusta a ua líea recta o a ua curva, puede ser postva o drecta, o egatva o versa (-1<r<0 ó 0<r<1) Para establecer estas relacoes teemos las sguetes meddas 1. Coefcete de correlacó leal: es ua forma de cuatfcar más precsa el tpo de correlacó que hay etre las dos varables. 2. Regresó: cosste e ajustar lo más posble la ube de putos de u dagrama de dspersó a ua curva. Cuado esta es ua recta obteemos la recta de regresó leal, cuado es ua parábola, regresó parabólca, cuado es ua expoecal, r egresó expoec al, etc. (lógcamete r debe ser dstto de 0 e todos los casos). 1. Coefcete de correlacó leal El coefcete de correlacó leal mde el grado de tesdad de esta posble relacó etre las varables. Este coefcete se aplca cuado la relacó que puede exstr etre las varables es leal (es decr, s represetáramos e u gráfco los pares de valores de las dos varables la ube de putos se aproxmaría a ua recta)

40 No obstate, puede que exsta ua relacó que o sea leal, so expoecal, parabólca, etc. E estos casos, el coefcete de correlacó leal medría mal la tesdad de la relacó las varables, por lo que covedría utlzar otro tpo de coefcete más apropado. Para ver, por tato, s se puede utlzar el coefcete de correlacó leal, lo mejor es represetar los pares de valores e u gráfco y ver que forma descrbe. El coefcete de correlacó leal se calcula aplcado la sguete fórmula: Es decr: Numerador: se deoma covaraza. Se suma el resultado obte do de todos los pares de valores y este resultado se dvde por el tamaño de la muestra. Deomador: es la raíz cuadrada del producto de las varazas de "x" y de "y". Los valores que puede tomar el coefcete de correlacó "r" so: -1 < r < 1 S "r" > 0, la correlacó leal es postva (s sube el valor de ua varable sube el de la otra). La correlacó es tato más fuerte cuato más se apr oxme a 1. Por ejemplo: altura y peso: los alumos más altos suele pesar más

41 S "r" < 0, la correlacó leal es egatva (s sube el valor de ua varable dsmuye el de la otra). La correlacó egatva es tato más fuerte cuato más se aproxme a -1. Por ejemplo: peso y velocdad: los alumos más gordos suele correr meos. S "r" = 0, o exste correlacó leal etre las varables. Auque podría exstr otro tpo de correlacó (parabólca, expoecal, etc.) De todos modos, auque el valor de "r" fuera próxmo a 1 o -1, tampoco esto querría decr oblgatoramete que ex ste ua relacó de causa-efecto etre las dos varables, ya que este resultado podría haberse debdo al puro azar. 2. Regresó leal S represetamos e u gráfco los pares de valores de ua dstrbucó bdmesoal: la varable "x" e el eje horzotal o eje de abcsa, y la varable "y" e el eje vertcal, o eje de ordeada. Vemos que la ube de putos sgue ua tedeca leal: El coefcete de correlacó leal os permte determar s, efectvamete, exste relacó etre las dos varables. Ua vez que se cocluye que sí exste relacó, la regresó os permte defr la recta que mejor se ajusta a esta ube de putos

42 Ua recta vee defda por la sguete fórmula: y = a + bx Dode "y" sería la varable depedete, es decr, aquella que vee defda a partr de la otra varable "x" (varable depedete). Para defr la recta hay que determar los valores de los parámetr os "a" y "b": El parámetro "a" es el valor que toma la varable depedete "y", cuado la varable depedete "x" vale 0, y es el puto dode la recta cruza el eje vertcal. El parámetro "b" determa la pedete de la recta, su grado de clacó. La regresó leal os permte calcular el valor de estos dos parámetros, defedo la recta que mejor se ajusta a esta ube de putos. El parámetro "b" vee determado por la sguete fórmula: Es la covaraza de las dos varables, dvdda por la varaza de la varable "x". El parámetro "a" vee determado por: a = y m - ( b * x m ) Es la meda de la varable "y", meos la meda de la varable "x" multplcada por el parámetro "b" que hemos cal culado

43 Ejerccos: 1. El curso MEB de ESCP-EAP obtee las sguetes putuacoes e u test de habldad metal Se pde: a) Formar ua dstrbucó de frecuecas co 14 tervalos b) Hacer la represetacó gráfca del polígoo de frecuecas c) Hacer la represetacó gráfca del hstograma d) Hacer la represetacó gráfca de las frecuecas acumuladas relatvas 2. Las putuacoes obtedas por u grupo de alumos de Prmara e u test de habldad scomotora, ha dado las putuacoes sguetes: x x x N f F , % 1% , % 8% , % 18% , % 39% , % 61% , % 72% , % 82% , % 88% , % 93% , % 96% , % 98% , % 99% , % 99% , % 99% 4-7 5,5 1 5, % 100% N ,5 100%

44 Se pde: a) Hallar la meda b) Hallar la medaa c) Hallar Q 1 y Q 3 d) Hallar los percetles 18 y 84 e) Hallar la moda 3. El prmer curso de soc ología ha obte do ua ota meda al fal del curso de 5,7 de u total de 110 alumos. El segudo curso ua ota meda de 6,6 de u total de 60 alumos y el curso tercero ua ota meda de 5,1 de u total de 48 alumos. Cuál es la ota meda de los tres cursos? 4. Dada la tabl a sguete: Se pde: a) El recorrdo de los datos b) Agrupar los datos e 8 tervalos c) Calcular la ampltud de los tervalos d) La desvacó meda e) La desvacó típca f) Los cuatro mo metos g) La asmetría h) La curtoss

45 5. Dada la sguete dstrbucó calcular todos los coefcetes de asmetría y explcar el sgfcado de su valor : Putuacoes

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