1º BACH TANGENCIAS CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ

Transcripción

1 1º BACH TANGENCIAS CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ

2 TANGENCIAS Propiedades: Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros (fig.1) Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente (fig.2) El centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos está en la mediatriz del segmento (fig.3) El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman (fig.4) 1. RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS A) Rectas tangentes a una circunferencia y que pasan por un punto P exterior. P O B) Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 2

3 C) Rectas comunes interiores tangentes a dos circunferencias. 2. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS. A) Circunferencia tangente a una recta r que pase por el punto de tangencia T y por un punto P exterior. P r T B) Circunferencia de radio R dado tangente a una recta r y que pasa por un punto P exterior. R = 2 cm. P r ANA BALLESTER JIMÉNEZ 3

4 C) Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan, conocido el radio R de las soluciones. R = 2 cm. r s D) Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, dado el punto de tangencia T en una de ellas. r s T ANA BALLESTER JIMÉNEZ 4

5 E) Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos. r t s 3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS. A) Circunferencias tangentes a otra, dado el unto de tangencia T y el radio R de las soluciones. R = 3 cm. O T B) Circunferencia tangente a otra dado el punto de tangencia T y que pasa por un punto P exterior. O T P ANA BALLESTER JIMÉNEZ 5

6 C) Circunferencia tangente a otra que pasa por un punto P exterior, dado el radio R de la solución. R = 2 cm. (2 soluciones). O P D) Circunferencias tangentes a otras dos dadas, conocido el radio: De modo que las circunferencias dadas queden exteriores. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 6

7 De modo que las circunferencias dadas queden interiores. De modo que las circunferencias dadas queden una exterior y otra interior. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 7

8 4. PROBLEMAS DE TANGENCIAS (APOLONIO). A) P.P.P. A B C B) P.P.r. A B r ANA BALLESTER JIMÉNEZ 8

9 C) P.r.r r A s D) P.P.C. A B ANA BALLESTER JIMÉNEZ 9

10 5. ENLACES A) Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo los puntos de tangencia. T1 r s T2 B) Enlace de dos rectas cualesquiera por medio de dos arcos, conociendo el radio de uno de ellos y los puntos de tangencia. R = 2 cm s T1 r T2 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 10

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14 CURVAS TÉCNICAS 1. ÓVALOS. El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos; tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. La aplicación práctica más importante en dibujo técnico está en el trazado de perspectivas, pues suelen sustituirse de forma aproximada, las elipses por los óvalos. A) Construcción de un óvalo conociendo el eje mayor: MN = 5 5 cm. B) Construcción de un óvalo conociendo el eje menor: ST = 3 5 cm. C) Construcción de un óvalo conociendo sus dos ejes: AB = 4 5 cm y CD= 2 5 cm. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 14

15 2. ÓVOIDES. El ovoide es una curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia: uno es una semicircunferencia y dos son simétricos. El ovoide tiene un eje, llamado a veces eje mayor, y un diámetro, también llamado eje menor. El ovoide es simétrico respecto a su eje. A) Construcción de un ovoide conociendo su eje: MN = 5 cm. B) Construcción de un ovoide conociendo su diámetro: ST = 4 cm. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 15

16 3. ESPIRALES. A) Construcción de una voluta de varios centros conociendo el paso. P = 2 cm (4 centros) La voluta es una curva formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí, cuyos centros son los vértices de un polígono. B) Construcción de la evolvente del círculo conociendo el radio. R = 1 cm. La evolvente del círculo es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a la circunferencia que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar. C) Espiral de Arquímedes R = 8 cm. ( construir en un folio aparte ) La espiral es una línea curva que da vueltas alrededor de un punto alejándose de él gradualmente. Se denomina paso a la distancia radial que existe entre dos vueltas o espiras consecutivas. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 16

17 .4. HÉLICES. La hélice es la curva que genera un punto que se mueve sobre una superficie de revolución de tal forma que, con movimiento uniforme, el punto recorre la generatriz en el mismo tiempo que da una vuelta de 360º. Tiene aplicación tanto en mecánica como en construcción. Se denomina paso a la distancia comprendida entre dos puntos de la curva que ocupan una misma generatriz. Se denomina espira a cada una de las vueltas completas que da el punto en la superficie sobre la que se desplaza. A) Construcción de una hélice cilíndrica conociendo el diámetro y el paso. D = 8 cm y p = 8 cm. B) Construcción de una hélice cónica conociendo el diámetro y el paso. D = 8 cm y p = 8 cm. ( los dos apartados se realizarán en un folio cada uno ) EJERCICIOS: 1- Dibujar en una lámina y pasar a tinta 0 8, el elemento ornamental que se representa: 2- Dibujar en una lámina y pasar a tinta 0 8, la rampa para una escalera de caracol: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 17

18 CURVAS CÓNICAS Se llaman curvas cónicas a las curvas que se obtienen de la intersección de una superficie cónica por un plano. Supongamos un cono de revolución de dos ramas; según sea la posición de un plano secante respecto del eje del cono, en relación con el ángulo del vértice, se obtienen las siguientes curvas: Circunferencia (fig. 1): Cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica, y no pasa por el vértice, la sección es una circunferencia ( = 90º). Elipse (fig. 2): Si el plano secante forma con el eje de la superficie cónica un ángulo mayor que el semiángulo en el vértice del cono, el plano corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, entonces la sección es una curva cerrada que se denomina elipse ( < ). Parábola (fig. 3): Si el plano secante forma con el eje del cono el mismo ángulo que el semiángulo en el vértice o, lo que es los mismo, es paralelo a una generatriz, la curva que resulta es abierta y con un punto en el infinito, llamada parábola ( = ). Hipérbola (fig.4): Cuando el plano secante forma con el eje del cono un ángulo menor que el semiángulo en el vértice, entonces el plano corta a las dos ramas del cono y la sección es una curva abierta de dos ramas que se llama hipérbola ( > ). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 18

19 1. ELIPSE. Propiedades: Es una curva cerrada, plana y simétrica respecto de dos ejes perpendiculares. Es un lugar geométrico cuya propiedad común de todos sus puntos es que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos, es una constante igual al eje mayor. Los focos se encuentran en el eje mayor y vienen dados por los puntos de corte de una circunferencia con centro en el extremo del eje menor y con diámetro igual al eje mayor ( R = semieje mayor). Construcción de la elipse conociendo los ejes: AB = 7 cm y CD = 4 cm A) Método por puntos: B) Método por afinidad: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 19

20 2. HIPÉRBOLA. Propiedades: Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en su punto medio O, centro de la curva. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario o virtual, ya que no tiene puntos comunes con la curva. Es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O. Los focos se encuentran siempre en el eje real, y se hallan con la construcción de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los semiejes real e imaginario. Con radio igual a la hipotenusa de dicho triángulo centro en O se hallan los focos. Construcción de la hipérbola conociendo los ejes: AB = 3 cm y CD = 4 cm. Método por puntos: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 20

21 3. PARÁBOLA. Propiedades: Es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija d llamada directriz. Tiene un eje perpendicular a la directriz, y un vértice V y un foco F situados en dicho eje. El vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidesta de la directriz y del foco. La parábola es simétrica respecto del eje. Construcción de la hipérbola conociendo la distancia entre el foco y la directriz: Fd = 2 cm EJERCICIO: Dibujar en una lámina y pasar a tinta 0 8, la figura representada: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 21