Problemas Tema 8 Solución a problemas sobre Determinantes - Hoja 08 - Todos resueltos

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1 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin /9 Problems Tem 8 Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos Hoj 8. Problem. Se M un mtriz cudrd que cumple M = y ( M=8. Cuál es el orden de l mtriz cudrd? Justific tu respuest. b Clcul el determinnte de l siguiente mtriz cudrd de orden C=( ( M=( n M Donde n es l dimensión de l mtriz cudrd M. Según el enuncido del problem: ( M =8 y M = Por lo tnto: ( n M=8 ( n ( =8 ( n = 8 n=3 3 b C=( Vmos desrrollr el determinnte de C por los djuntos de un líne. Pr ello, vmos dejr l fil 4 con un único término distinto de cero C=( C ' 3 =C 3 C C=( 4 3 8

2 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin /9 Desrrollndo por l fil 4: C= A 4 + A 4 + A 43 + A 44 = A 4 =( 6 α 4 =α 4 El determinnte de C se reduce l cálculo de un menor de orden 3. α 4 = 3 8 =+3+3 (+4 =35 =33

3 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 3/9 Hoj 8. Problem. Se A=( b c b c y sbemos que A=. Clcul los siguientes determinntes, explicndo decudmente los psos que sigues pr clculrlos: b c b c (+ (b+ (c+ b b c b c Aplicmos trnsformciones lineles de fils y columns hst obtener el determinnte de l mtriz A y sí poder plicr el vlor de A=. b c b c Intercmbimos F con F 3 con el consiguiente cmbio de signo b c Intercmbimos b c F con F 3 lo cul gener un nuevo cmbio de signo b c Scmos fctor común 5 de l b c 5 primer fil b c b c F ' = F +F, F ' 3 =F 3 +F 5 b c = b c

4 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 4/9 b Desrrollmos los cudrdos de l primer fil: (+ (b+ (c+ = b c b c b c b c =A= ++ b +b+ c + c+ b c b c F ' =F F F 3

5 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 5/9 Hoj 8. Problem 3 3. Se A=(. Pr qué vlores de existe l invers de A? b Hllr el vlor de pr que se cumpl A = 4 A L mtriz A de orden n=3 posee invers si su determinnte es no nulo. Es decir: = ++ (++= Por lo tnto, si A Existe invers de A. b Clculmos l invers de A. A = [dj (A]t A =( =( E igulmos l invers 4 A.

6 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 6/9 ( 4 =( 4 4 Igulmos cd uno de los coeficientes de mbs mtrices pr obtener ls condiciones que debe cumplir. Coeficientes = 4 =± Coeficientes = = Coeficientes 3 = 4 = Coeficientes 33 = 4 =± Por lo tnto ls cutro condiciones se cumplen siempre que =.

7 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 7/9 Hoj 8. Problem 4 { x+ y+ z= 4. Se el sistem x+ y z= x y+ z=} Discute ls soluciones del siguiente sistem según los vlores del prámetro. b Resolverlo cundo se comptible determindo. Vmos definir l mtriz del sistem A y l mtriz mplid A/C, de tl form que si el rngo de mbs mtrices coincide el sistem será comptible. En cso contrrio, el sistem será incomptible y no tendrá solución. A=( El rngo máximo que puede tener A es 3 A/C=( El rngo máximo que puede tener A/C es 3 El rngo de A será 3 si el determinnte A es distinto de cero. Por lo tnto, clculmos su determinnte: A= = 3 + ( 3 +4 = 4 A 4 4 ± Nuestr discusión de csos es el siguiente: Si ± rngo( A=3 rngo(a/c =3. Como n=3 es el número de incógnits del sistem, y coincide con rngo(a=rngo( A/C, tendremos sistem comptible determindo (solución únic.

8 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 8/9 Si = A=( Buscmos un menor de orden no nulo Por 4 4 ejemplo α 33 = =4+=5 rngo(a=. Ahor debemos estudir el rngo de l mtriz mplid, y que l ñdir un column l mtriz A, puede ocurrir que el rngo de A/C se 3 y estemos nte un sistem incomptible (sin solución. En efecto, si en A/C=( tommos l submtriz formd por l 4 4 column, l column 3 y l column 4, su determinnte es no nulo. C C 3 C 4 = = 8 8 ( +8+8= 3 rngo(a/c =3 4 Al no coincidir con rngo(a= Sistem incomptible. Si = A=( Buscmos un menor de orden no nulo 4 4 Por ejemplo α 33 = = 4+= 3 rngo(a=. Ahor debemos estudir el rngo de l mtriz mplid. A/C=( Ls cutro submtrices de orden 3 contenids dentro 4 4 de l mtriz mplid A/C tienen determinnte nulo. Por lo que el rngo(a/c 3 rngo(a/c =. Otr form de verlo es drnos cunt de l proporcionlidd F 3 = F Al existir est combinción linel, el rngo de A/C no será 3 y que podremos obvir un fil. Es decir, tenemos rngo(a=rngo( A/C =<3( número incógnits Sistem comptible indetermindo (con un prámetro libre. b Debemos resolver el sistem en el cso S.C.D. L solución quedrá en función del prámetro. Vmos resolverlo plicndo l regl de Crmer.

9 Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin 9/9 { x + y+ z= x+ y z= x y + z=} A=( A= 4 Por ser S.C.D. l considerr ± A/C=( Aplicmos Crmer. A= = 3 + ( 3 +4 = 4 x= 4 y= 4 z= 4 = 3 4 ( + 4 = 4 + ( = 4 +4 ( 8 4 = ( +4+4 ( (+ = (+ ( (+ = (+ = = ( + ( + = = ( +(

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