EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

Transcripción

1 GEOMETRÍA 1- Dados el punto P(1,-1,0) y la recta : a) Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D=0) que contiene al punto P y a la recta s. b) Determine el ángulo que forman el plano : 1 0 y la recta s. Aragón 014 Opción A Junio - Considere las rectas: 4 1 : 1 1 a) Determine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de a. b) Si a =, determine el ángulo que forman las rectas r y s. Aragón 014 Opción B Junio 3- a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta Sea paralela al plano: : 3 : 6 0 b) Determina la distancia del punto P=(,1,1) a la recta cuando m=. Aragón 014 Opción A Septiembre 4- a) Estudie la posición relativa de los planos: : 0 3 : 1 b) Determine la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el punto P=(1,0,1). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. Aragón 014 Opción B Septiembre 1

2 5- a) Pueden existir vectores y tales que y 3 y 8? Justifique la respuesta. b) Determine todos los posibles vectores ", 0, $% que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la recta Aragón 013 Opción A Junio 6- Dadas las rectas: a) Determine su posición relativa. 0 : 0 : 3 1 : 1 b) Calcule la distancia del punto P=(,3,1) a la recta s. Aragón 013 Opción B Junio 7- a) Estudie la posición relativa de los planos: : 3 1 & : 1 1 b) Encuentre la recta que pasa por el punto P=(0,1,1) y es perpendicular al plano π. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. Aragón 013 Opción A Septiembre 8- Dadas las rectas: : 1 ' : 0 1 1, ()* ' + 0 a) Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diferentes valores de k. b) Existen valores de k para los que las rectas son perpendiculares? Aragón 013 Opción B Septiembre 13

3 9- a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica : ",, % ",1,3%,",1,0% y es perpendicular al plano de ecuación x+z=. b) Probar que los vectores {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} forman una base de -. y dar las coordenadas del vector (1,-,0) en la base anterior. Aragón 01 Opción A Junio 10- Sea el haz de planos de ecuación Con parámetro real λ. "1 % 0 a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1). b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(3,-,1) es c) Hallar los planos del haz que cumplen, que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor 1 1. Aragón 01 Opción B Junio 11- Dado el punto P=(1,0,6) y la recta: 1 : 6 a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por P y corta a la recta. b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r anterior y a la recta Aragón 01 Opción A Septiembre & 0 : a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta : 1 Y que contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(3,5,0). 3 4 b) Calcule el ángulo que forman las rectas siguientes: 1 : 4 & :

4 Aragón 01 Opción B Septiembre 13- a) Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones: Y que pasa por el punto A(1,1,). 1, 3 1 b) Calcular el ángulo que forman los vectores u=(,1,1) y v=(-1,1,1). Obtener su producto vectorial. Aragón 011 Opción A Junio 14- a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-,4), B(0,3,) y es paralelo a la recta : b) En caso de que sea posible, escribir el vector v=(1,,4) como combinación lineal de los vectores a=(1,0,1), b=(1,1,0), c=(0,1,1). Aragón 011 Opción B Junio 15- a) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto A(-1,1,1) y es perpendicular al vector v=(1,-,-1). b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r que se obtiene como intersección de los planos c) Estudiar si son linealmente independientes los vectores v 1 (,1,0), v (0,-,0), v 3 (0,1,1). Aragón 011 Opción A Septiembre 1, 16- Hallar el punto D de la recta, 1 que esté a la misma distancia de los puntos C=(1,-1,) y B=(1,1,). Razonar si la recta r es perpendicular o no al plano 0. Aragón 011 Opción B Septiembre 17- Dadas las rectas: a) Justificar si son o no perpendiculares b) Calcular la distancia del punto P(16,0,0) a la recta r. Aragón 010 Opción A Junio 15

5 18- a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (3,-,) y es perpendicular al plano 0. b) Estudiar si los vectores "1, 1, 1%, $ "0,1,1%, ( "0,0,1% son linealmente independientes. Aragón 010 Opción B Junio 19- a) Calcular el plano determinado por los puntos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). b) Determinar el ángulo que forman los planos c) Obtener el producto vectorial de ",0,1% $ "1, 1,3%. Aragón 010 Opción A Septiembre 0- Estudiar la posición relativa de la recta 4:6 9 y el plano determinado por. 0 los puntos A(1,3,), B(,0,1) y C(1,4,3). Son perpendiculares? Hallar la distancia del punto P(4/5,13/5,6/5) a la recta r. Aragón 010 Opción B Septiembre 1- Sean los vectores "1, 1,3%, ",,1%, < "3,,5%; calcular: a) " <% b) = " <% c) La ecuación del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y es perpendicular al vector. d) El ángulo que forman y. Aragón 009 Opción A Junio - a) Estudiar la posición relativa de los planos b) Considerar la recta 3 1. Analizar si el punto P(6,,) se halla o no 3 5 sobre la recta paralela a la anterior que pasa por el origen. Aragón 009 Opción B Junio 3- a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,0,1); B(4,1,0) y es paralelo a 3 0 la recta 5. b) Estudiar si los vectores "1, 1,1%; "1,0,0% < ",,1%, son linealmente independientes. Aragón 009 Opción A Septiembre 16

6 4- a) Hallar el punto simétrico de A(,0,1) respecto del plano. b) Obtener las ecuaciones de la recta 3 1 forma continua. en forma paramétrica y en Aragón 009 Opción B Septiembre 5- Considerar la recta 456 8:? 9:. 0 5? 7 a) Estudiar la posición relativa de r y π. y el plano b) Calcular la ecuación implícita de un plano π 1 que es perpendicular a π y contiene a r. Aragón 008 Opción A Junio 6- a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano 3. Obtener el punto de corte de la recta con el plano π. b) Hallar el punto de la recta 3 cuya distancia al punto P(1,0,) sea 5. 1 Aragón 008 Opción B Junio 3 7- Se consideran la recta r y los planos 1, a) Determinar la posición relativa de los dos planos. b) Calcular la distancia de r a 0. Aragón 008 Opción A Septiembre 8- a) Obtener los valores de α y β para los cuales el vector de componentes (α,β,0) tiene módulo y es perpendicular a la recta 1. 1 b) Estudiar si los vectores "3,1,%, $ "0,1,1%, ( "0,1, 1% son linealmente independientes. c) Calcular el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son $ ( respectivamente. Aragón 008 Opción B Septiembre 9- Escribir las ecuaciones implícitas de una recta con la dirección del vector (1,-1,0) y que pasa por P, siendo P el simétrico de P=(0,-,0) respecto al plano : 3 5. Aragón 007 Opción A Junio 17

7 30- a) Las componentes de, < en una cierta base de V 3 son: ",0, 1%, "3,1,%, < "4,,7% Hallar, en esa misma base las componentes del vector 6 <.. b) Determinar la posición relativa de las siguientes rectas: : : Aragón 007 Opción B Junio 31- Dadas las rectas a) Comprobar que se cortan. b) Hallar el ángulo que forman. Aragón 007 Opción A Septiembre Se consideran la recta 7 y el punto P=(1,,3). 4 a) Calcular la ecuación del plano π que es perpendicular a la recta r y contiene el punto P. b) Estudiar para qué valores de k los vectores son linealmente independientes. Aragón 007 Opción B 1/%, "0, ', 0%, "0,0,'%B 33- Calcular la distancia entre las rectas r y s, donde ' : 1 ' 3 ' 1 ' : 1 3' 4 ' Aragón 006 Opción A Junio 18

8 34- a) Estudiar si son linealmente independientes los vectores "3,1,%, $ "0,1,1%, ( "1,1,1% Expresar el vector "0,0,1% como combinación lineal de, $ (. b) Son el plano : y la recta : ortogonales? Justificar la respuesta. Aragón 006 Opción B Junio 35- Para qué valores del parámetro m la recta 1 665C9 es paralela al plano. x+y+z=9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m=. Aragón 006 Opción A Septiembre 36- a) Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores b) Dados los planos: Determinar el ángulo que forman. ",0,9%, "3, 1,%, < "5, 1,4% 6 : : Aragón 006 Opción B Septiembre 19