9 Proporcionalidad geométrica

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1 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l unidd reordndo y diferenindo los oneptos ásios de ls pliiones lineles (ret, segmento y polígono), que son el pso previo l estudio de l proporionlidd de segmentos y l pliión de los riterios de semejnz de figurs, en prtiulr de los triángulos. Se proponen prolems senillos de segmentos igules y proporionles que se originn prtir de rets prlels, pr ontinur resolviendo prolems de semejnz de figurs. Será más onveniente inidir en los riterios de semejnz de triángulos que enunir diretmente el teorem de Tles y sus pliiones. Destmos l importni de ser interpretr un esl en un mp o en un plno, suryndo l relión entre l distni que medimos en entímetros o milímetros y estleiendo l distni rel. RESUMEN DE L UNIDD Un ret está formd por infinitos puntos; no tiene ni prinipio ni finl. Por dos puntos siempre ps un ret. Un semirret es un ret que tiene prinipio pero no finl. Un segmento está delimitdo por dos puntos. Un polígono es un figur formd por un líne poligonl errd. Está ompuesto por vrios elementos: digonles, ángulos, ldos y vérties. L sum de los ángulos de un polígono de n ldos es: 180 (n 2). El oiente entre l medid de dos segmentos es su rzón. Dos segmentos son proporionles si tienen l mism rzón. Vris rets prlels ortds por rets sentes formn segmentos proporionles entre sí. Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ángulos igules, los tres ldos proporionles, o si tienen dos ldos proporionles y el ángulo que formn igul. Medinte l esl numéri y gráfi podemos lulr distnis de plnos y mps. L medid que lulmos en el mp (m) equivle un distni rel (km). OJETIVOS ONTENIDOS PROEDIMIENTOS 1. lulr l rzón de dos segmentos. 2. plir los riterios de semejnz de segmentos y triángulos. Ret, semirret y segmento. El polígono y sus elementos. Sum de los ángulos de un polígono. Rzón de dos segmentos. Segmentos proporionles. Segmentos igules y proporionles de rets prlels. División de un segmento en prtes igules. Semejnz de triángulos. Trzdo de rets, semirrets y segmentos. Identifiión de polígonos y sus elementos. Tringulión de polígonos. álulo de l rzón de dos segmentos. onstruión de segmentos proporionles. Identifiión de segmentos proporionles en rets prlels. Expresión gráfi de l división de un segmento en prtes igules. pliión de los riterios de semejnz de triángulos. Resoluión de prolems. DPTIÓN URRIULR 3. Leer e interpretr esls en plnos y mps. onepto de esl. Esl numéri y esl gráfi. Interpretión del signifido de l esl. álulo de distnis. Resoluión de prolems. MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 343

2 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 344 LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. G Por un punto psn infinits rets. Un semirret es un ret que tiene prinipio pero no finl. Ret r Un punto ulquier form dos semirrets sore d líne o direión. Un segmento es l porión o prte de un ret delimitd por dos puntos. Semirret s Los puntos M y N formn el segmento MN. Ret t M N 1 Indi dejo de d figur su nomre: ret, semirret o segmento. ) G ) G ) d) 2 Diuj dos puntos ulesquier, P y T, y trz un ret m que pse por ellos. 3 Diuj un punto, trz vris rets que psen por él y nómrls on letrs diferentes (r, s, t...). 4 onsider un punto y trz dos semirrets, m y n, que tengn su origen en él. 5 Diuj utro segmentos,, MN, PT y XY, de medids 3, 6, 8 y 10 m, respetivmente. ) ) PT ) MN d) XY 344 MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

3 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 345 POLÍGONOS Vrios segmentos unidos entre sí formn un líne poligonl. Un líne poligonl errd es un polígono. Un polígono es un figur pln delimitd por un líne poligonl errd. Líne poligonl iert Polígono (líne poligonl errd) Los ángulos son ls regiones que formn los ldos l ortrse. Se esrien sí: Ê. Los ldos son los segmentos que limitn el polígono. L sum de ls longitudes de los ldos se llm perímetro. Elementos de un polígono D E Los vérties son los puntos donde se ortn los ldos. Se nomrn on un letr myúsul. Ls digonles son los segmentos que unen dos vérties no onseutivos. 6 on segmentos de medids 1, 2, 3 y 4 m, respetivmente, diuj un líne poligonl iert y un polígono. ) Líne poligonl ) Polígono 7 Piens en utro ojetos on form de polígono y diújlos. ) Pizrr ) 8 ) d) Señl y nomr los vérties y ldos de los polígonos, y diuj los ángulos y ls digonles. DPTIÓN URRIULR MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 345

4 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 346 SUM DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO Semos que l sum de los ángulos de un triángulo es 180. Por eso, pr hllr l sum de los ángulos de un polígono deemos proeder su tringulión, medinte el trzdo de digonles desde uno de los vérties del polígono. L sum de los ángulos de un polígono se lul sumndo 180 tnts vees omo triángulos teng el polígono. T 1 T 1 T 2 T 1 T 2 T 3 T 2 T 3 T 4 T 1 T 1 = 180 T 1 + T 2 = = T 1 + T 2 + T 3 = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 = = 360 = = 540 = = 720 Polígono de 3 ldos: 180 (3 2) = = 180 Polígono de 4 ldos: 180 (4 2) = = 360 Polígono de 5 ldos: 180 (5 2) = = 540 Polígono de 6 ldos: 180 (6 2) = = 720 Polígono de 7 ldos: 180 (7 2) = = 00 Polígono de n ldos: 180 (n 2) Reliz l tringulión de estos polígonos, olorélos y señl los triángulos que se formn. ) udrdo ) Retángulo ) Hexágono 10 lul el vlor de d uno de los ángulos de un pentágono regulr. 11 Hll el vlor del ángulo que flt en d so. ) )? ? MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

5 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 347 RZÓN DE DOS SEGMENTOS L rzón de dos segmentos es el número que result de dividir sus longitudes. EJEMPLO Sen los segmentos y, de longitudes 3 m y 5 m. Hll su rzón. L rzón de y es:. = 3 5 = 06, 12 Diuj dos segmentos, m y n, de longitudes 3 m y 4 m, respetivmente. Hll su rzón. 13 L rzón de dos segmentos, y, es 0,5. Si mide 2 m, lul el vlor de. Diuj los segmentos. 2 = 05, = 05, 14 L rzón de dos segmentos, m y n, es 0,75. Si n mide 4 m, lul el vlor de m. Diuj los segmentos. m n = 075, 15 SEGMENTOS PROPORIONLES Si l rzón de dos segmentos, y, es l mism que l de otros dos segmentos, y d, se die que los segmentos son proporionles, se esrie: = y se umple que d =. d Los segmentos y miden 3 m y 4 m, y los segmentos miden y d, 6 m y 8 m. Diújlos y omprue que son proporionles. DPTIÓN URRIULR 16 Dos segmentos, y, miden 4 m y 5 m y son proporionles otros dos segmentos y d. Si el segmento mide 8 m, lul el vlor del segmento d. MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 347

6 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 348 PLIR OJETIVO 2 LOS RITERIOS DE SEMEJNZ DE SEGMENTOS Y TRIÁNGULOS NOMRE: URSO: EH: SEGMENTOS IGULES DE RETS PRLELS Diujmos utro rets prlels que estén l mism distni entre sí:,, y d. Ls ortmos por dos rets sentes, r y s, que formn segmentos en mos ldos. Los segmentos que se originn en l ret r son igules entre sí y los segmentos que se originn en l ret s tmién lo son. EJEMPLO r s G H Segmentos de l ret r: = = D Segmentos de l ret s: G = GH = HI d D I 1 íjte en el siguiente diujo. r s ) Nomr los segmentos que se originn l trzr l ret s. ) Verifi que = = D. ) omprue lo mismo pr los segmentos de l ret s. d D 2 Sore ls rets, f y g, trz utro rets prlels que estén un distni de 1,5 m entre sí. ) Nomr los segmentos que se originn l ortr ls prlels en f y g. ) omprue que los segmentos que se formn en d ret son igules. f g SEGMENTOS PROPORIONLES DE RETS PRLELS Diujmos vris rets prlels:, y. Ls ortmos por dos rets sentes, r y s, que formn segmentos en mos ldos. Los segmentos que originn ls rets r y s son proporionles entre sí. EJEMPLO r H G s es omo G es GH: G = GH 348 MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

7 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 34 3 íjte en el diujo y hll el vlor del segmento GH. r G s = 2 m G = 2,5 m = 4 m GH =? H 4 Nomr los segmentos on letrs myúsuls y ls rets on minúsuls, y lul el vlor del segmento x. x 2,7 m 1,3 m 1,8 m 5 lul el vlor del segmento que flt. Nomr los segmentos y ls rets. 2,5 m x 2 m 3,6 m DIVIDIR UN SEGMENTO EN PRTES IGULES Seguimos estos psos. 1.º Trzmos un semirret (s) on origen en y señlmos en ell tntos segmentos (1-5) igules y onseutivos (de l medid que mejor nos prez) omo prtes sen. 2.º Unimos el último segmento (5) on el extremo. 3.º Trzmos prlels este y quedn señlds ls prtes igules en. EJEMPLO Divide el segmento en 5 prtes igules. DPTIÓN URRIULR Semirret s MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 34

8 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin Divide el segmento MN en 7 prtes igules. M N 7 Divide un segmento de 6 m en oho prtes igules. SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejntes si se umple ulquier de ests ondiiones. 1. Tener los tres ldos proporionles. 2. Tener los tres ángulos igules. 3. Tener dos ldos proporionles y el ángulo que formn igul. EJEMPLO Primer riterio Dos triángulos son semejntes si tienen sus ldos proporionles. Segundo riterio Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules. Terer riterio Dos triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y los ldos que lo formn son proporionles. ' ' ' ' ' ' ' ' = = Â = Â'; = ' ' ' ' Ĉ = 180 Â = Ĉ' ' Â = Â'; ' ' = ' ' ' ' ' 350 MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

9 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin L medid de los ldos de los siguientes triángulos es: ) Nomr los ldos de d triángulo. 8 m 10 m 4 m 5 m ) omprue que son semejntes. ) Qué riterio hs plido? 3 m 6 m En un triángulo onoemos los siguientes dtos. Ldo G = 4 m Ldo G = 6 m Ĝ = 60 Y en otro triángulo onoemos: Ldo DE = 8 m Ldo E = 12 m Ê = 60 ) omprue si son semejntes. ) Indi el riterio plido. ) Reliz un diujo representtivo. 10 Dos triángulos retángulos tienen un ángulo gudo omún que mide 40. ) Son semejntes? Por qué? ) Reliz un diujo representtivo Los ldos de un triángulo miden 3 m, 5 m y m. Indi ls medids de un triángulo semejnte l primero. Rzon tu respuest y reliz un diujo representtivo. El ángulo de un triángulo mide 75, y los ldos que lo formn, = 4 y D = 6 m. uál de ls siguientes opiones orresponderí un triángulo semejnte l ddo? Rzon tu respuest y reliz un diujo representtivo. ) Ángulo = 65 ; ldos MH = 8 m y HN = 10 m. ) Ángulo = 75 ; ldos MH = 8 m y HN = 10 m. ) Ángulo = 75 ; ldos MH = 8 m y HN = 12 m. d) Ángulo = 0 ; ldos MH = 8 m y HN = 12 m. DPTIÓN URRIULR MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 351

10 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin 352 LEER OJETIVO 3 E INTERPRETR ESLS EN PLNOS Y MPS NOMRE: URSO: EH: ESL DE UN PLNO O MP Ls distnis y tmños de los plnos y mps están reduidos, de mner que se pueden oservr fáilmente. Los vlores son proporionles l distni o tmño rel. Medinte l esl relionmos l distni o el tmño que hy en un plno o mp on l distni o tmño reles. Esl = Distni o tmño sore el plno o mp Distni o tmño en l relidd EJEMPLO Esl numéri 1:300 1 m del diujo, plno o mp equivle 300 m de l relidd (300 m = 3 m). Esl gráfi m G G G G G 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m Según est esl: 5 m del diujo, plno o mp equivlen 10 m de l relidd. 1 m del diujo, plno o mp equivle 2 m de l relidd. 1 omplet l siguiente tl. ESL DISTNI EN EL MP O PLNO DISTNI REL (m) DISTNI REL (m) 1:100 1: : : : Expres, medinte un esl numéri y un esl gráfi. ) 1 m en el plno equivle 2 km en l relidd. Esl numéri Esl gráfi ) 1 m en el plno equivle 25 km en l relidd. Esl numéri Esl gráfi 352 MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

11 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin Según ls siguientes esls, omplet ls equivlenis. ) m ESL GRÁI RELIDD (m) G G G G G G G 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 5 m 10 m ) m ESL GRÁI RELIDD (km) G G G G G 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 3 m 5 m 12 m 4 Un mp de rreters está elordo esl 1: ) Qué signifi esto? ) Un distni de 4 m en el mp, uántos metros y kilómetros son en l relidd? 5 El plno de un s está diujdo esl 1:100. Si un hitión en el plno mide 3 4 m, uánto medirá en l relidd? Si en el plno 1 m Si en el plno 3 m mide 100 m reles medirá x m reles 6 onsider l distni en líne ret entre ls siguientes iuddes en un plno. Hll l distni rel en km entre: ) Sevill-ádiz ) Sevill-Málg ) ádiz-málg km G G 1 m 1 m Sevill DPTIÓN URRIULR 2,5 m 4 m ádiz 3,5 m Málg MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 353

12 82485 _ qxd 12//07 15:37 Págin L plnt j del instituto viene representd por el siguiente plno. Sl de profesores Seretrí Delegión de lumnos seos feterí onserjerí Direión lul ls medids reles de d dependeni, siendo que l esl es 1 : 400. DEPENDENI MEDIDS EN PLNO (m) MEDIDS RELES (m) Seretrí Sl de profesores onserjerí Direión feterí Delegión de lumnos seos 8 Hll l distni que reorre Luis pr ir l instituto, si el plno está heho esl 1 : Instituto Luis 354 MTEMÁTIS 2. ESO MTERIL OTOOPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L.

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