PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE DERIVADAS
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- Rubén Rojas Peña
- hace 5 años
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1 PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE DERIVADAS ) Calcular las drivadas d: a) f( ) cos 0 cos sn f '( ) cos b) g( ) ln 7 Simplificamos ants d drivar, aplicando propidads d logaritmos 7 nprianos: g() ln 7 ln 7 g' ( ) 7 c) h ( ) Como h ( ) h '( ) ) Hall f (), g () y h (0) para las funcions dfinidas d la siguint forma (L dsigna logaritmo npriano): 6 f ( ) ; g( ) ( 9) ; h( ) L( ). Simplmnt, aplicando las rglas d drivación, s obtin: f '( ) f () 0 8 g '( ) ( 9) 6 ( 9) g () (6+9).000 h'( ) h (0) 0 0 ) Drivar y simplificar: a) f ( ) ( ). ( ) f '() ( )( ) ( 0 ) ( ) b) g ( ) ( ) ln. g '() ln + ln IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
2 c) h ( ). h '() ln d) ) f) i ( ) ( 6 ) ( ). i '() ( 6)( + ) + ( 6) ( + ) ( + ) (( 6) ( + ) + 6( 6)) ( + ) ( ) ( + ) (9 9 6) j( ) ( ). j '() + + ( + ) + + ( + + ) + ( + ) k( ) cos. k '() cos 6 sn cos 8 sn Nota: La prsión simplificada final simpr pud rsultar subjtiva, y db ntndrs como una prsión cómoda para oprar y para volvr a drivar si s prciso. Por jmplo, n l d y l f s podría trar factor común. ) Calcul las drivadas d las siguints funcions: a) f() ( ) 0( ) f '() ( ) b) g() ( + ) ln( + ) g '() ( + )ln( + ) + ( + ) (8 + )ln( + ( ) ) + c) h() + h'() ln ) Calcul las drivadas d las siguints funcions: a) f ( ) ( ). ( ) f '() ( )( ) ( )(0 ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
3 b) c) d) 0 0 (0 0 0 ) 0 0 g( ) ( ) ln. h ( ). i ( ) ( 6 ) ( ). g'() ln + h'() ln i'() ( 6)( + ) + ( 6)( + ) ( 6)( + ) + (6 6 )( + ) ( + ) [( 6)( + ) ] ( + ) ( ) ( + ) (9 9 6) 6) Calcular las drivadas d: sn cos ( cos ) sn ( sn ) a) y y ' cos ( cos ) cos cos sn ( cos ) b) y arctg( ) y ' ( ) c) d) ) y cos ( cos ) ( cos ) ( cos ) sn y ' (sn ) ( cos ) 9 sn cos cos ( ) y ln ln ( ) ln ln( ) ln( ) y ' y y ' + ( ) ( ) 7) Drivar y simplificar: y arctg ; y ; y ln 6 6 y arctg y ' ( ) 9 ( ) ; y cos y y ' ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) y ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) y ' IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
4 ( ) ( ) y cos y ' (cos ) ( sn ) 6 sn cos 8 sn cos 8 sn ( ) 8 sn 8 8) Drivar y simplificar: a) y tg y' tg + ( + tg ) (tg + tg + ) b) y ln ln ln( ) y' c) y cos y' cos ( sn ) 8 sn cos d) y arcsn y' ( ) 9) Drivar las siguints funcions, simplificando los rsultados: cos cos a) y y' ( sn ) 6 cos sn 6 b) y arctg y' ( ) c) ( ) ( ) y ln ln. Drivando: y ' ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) d) y tg y' tg cos tg cos ) y sn y' (sn cos ) 6 sn cos 6 sn 6 sn 6 0) Drivar las siguints funcions, simplificando los rsultados: sn a) y y ' sn + sn (cos ) sn ( + cos ) b) ( ) y ln Simplificando la prsión ants d drivar, aplicando propidads d logaritmos: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
5 y [ln( ) ln( )] [ln( ) ln( )] 8 y ' c) d) cos y Tomamos ln ants d drivar: ln y ln cos ln + ln cos ln + cos ln Drivando mimbro a mimbro: y ' cos 0 sn ln (cos ) sn ln y sn ln cos cos sn ln cos cos y ' (cos sn ln ) y sn y ' sn (cos ) 6 sn cos 6 sn 6 sn 6 ) Drivar las siguints funcions, simplificando los rsultados: a) b) y cos y ' cos ² + cos ² ( sn ) cos ² ( sn ) y ln ( ) Simplificando la prsión ants d drivar, aplicando propidads d logaritmos: y [ln( ) ln( ) ] [ln( ) ln( )] 8 y ' 8 c) y arctg d) y cos y ' ( ) y ' cos ( sn ) sn cos sn sn 0 ) Calcul las drivadas d las siguints funcions: f() ; g() ( + ) ln( + ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
6 ( ln ) ( ) ln ln f '() g'() ( + ) ln( + ) + ( + ) ( ) ( )ln( ) ) Drivar y simplificar: a) y (7 ) 6 y ' 6(7 ) ( ) ( ) (7 ) ( 6) (7 ) b) y 6( ) ( y ' ( ) ) 6 6 ( ) 6 ( ) c) y y ' d) y ( + ) + y ' + + ( + ) + + [ + ( + )] + ( + + ) + ( + ) ) Drivar y simplificar: a) y (7 ) y ' (7 ) ( ) 0( ) (7 ) b) y ( ) y ' ( ) ( ) 9 ( ) c) y sn y ' cos cos d) y + ln y ' + ln + + ln ln IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 7
7 ( ) ) Drivar: y ln ; y ( ) ( punto) ( ) y ln La simplificamos ants d procdr a drivar: y ln ( ) ln ln ( ) ln( ). D dond: ( ) ( ) 6 y ' ( )( ) ( )( ) ( )( ) Cualquira d las trs prsions rcuadradas valdría como final. y ( ) y ' ( ) [( ) ] (6 ) (6 ) 6) Drivar y simplificar: y cos ; y ln ; y arcsn ; a) y cos y ' cos ( sn ) 6 sn cos b) y ln ln( ) y ' ln( ) ln( ) c) yarcsn y ' ( ) ( ) d) y y ' 7) Drivar y simplificar: ( ) ( )( ) a) f() f '() ( ) ( ) b) g() ( )[( ) ( )] ( ) g() 8 6 g '() (9 ) 6 6 ( ) y 8 ( ) 6 9 IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 7 d 7
8 D otra forma: g() () ( ) g'() ( ) ( ) / () c) h() ² h'() ² + 0 ² ² ( + 0 ) d) j() ln ( ) ( ) ( ) j() ln ln [ln ( ) ln( )] [ln ( ) ln( )] 6 j'() 8) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: ( ) a) f() ( )( ) ( ) ( )[( ) 6( )] f '() ( ) ( ) ( )(6 8 6) ( ) 8( ) ( ) ( )(8 8) ( ) 8( ) ( ) 8( )( ) ( ) b) g() ( + ) g'() ( ) + ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) c) j() ln Simplificamos ants d drivar, aplicando propidads d logaritmos: j() ( ) ( ) ln ln [ln( ) ln( )] [ln( ) (ln( ) ln( ))] [ln( ) ln( ) ln( )] Y drivamos: j '() 0 d) h() h'() 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 8 d 7
9 0 9) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: a) y sn y' sn + cos (sn + cos ) b) y cos y' (cos )( sn ) 8 sn cos sn cos sn ( ) sn 8 c) arctg 6 y' (6 ) 6 ( ) d) y ln Simplificamos ants d drivar, aplicando propidads d logaritmos: j() ( ) ( ) ln ln [ln( ) ln( )] [ln( ) (ln( ) ln( ))] [ln( ) ln( ) ln( )] Y drivamos: j '() 0 ( ) 0) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: (,6 puntos) a) y cos y' (ln )cos sn (cos ln sn ) b) y cos y' 8 sn c) y d) y log ( ) y' ( ) y' 6 ( ) ln ) Drivar y simplificar las siguints funcions: a) y cos ( ) y ' cos ( ) ln sn ( ) [cos ( ) ln sn ( )] IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 9 d 7
10 b) y 6 ln ( ) y 6 ln ( ) 6 ln ( ) [ln 6 ln( ) ] [ln 6 + ln ln( )] [ln 6 + ln ln( )] y ' 0 8 c) y arctg d) y log ( + ) y ' ( ) y ' 8 ln0 6 ) Drivar y simplificar las siguints funcions: a) y y ' ( ) b) y tg ( + ) y ' ( ) cos ( ) c) y ( + ) y ' ( + ) + ( + ) ( + ) [( + ) + 6 ] ( + ) ( ) d) y ln ( ) ln ( ) ln ln( ) [ln + ln ln( )] [ln + ln ln( )] y ' 0 6 ) Calcul las drivadas d las siguints funcions: ( ) a) f() b) g() 7 ( ) ln( ) c) h() ( ) f() ( ) ( ) ( ) ( ) f '() ( ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 0 d 7
11 8( ) ( ) ( ( ) ( ) ) [ 8 ( ) ( ) [8( ( 0] ( ) ( 6 ( ) ) ( ) ) )] g() 7 ( ) g'() 7 7 ( ) + 7 ( ) ( 0) 7 ( ) [7( ) + ( 0)] 7 ( ) [7 + 0] 7 ( ) ( + ) ln( ) h() ln( ) ( ) ln( h'() ( ) ( )ln( ) ( ) ln( ( ) ( )( )ln( ( )( )ln( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( )( ) ) ) )ln( )ln( ) ) ) Calcul las drivadas d las siguints funcions: a) f() ln( ) b) g() c) h() ( + ) 6 + ln a) f() ln( ) f '() ln( ) + ln( ) b) g() (ln )( ) g'() ( ) c) h() ( + ) 6 + ln h'() 6( + ) (6 + ) + ) Drivar: g() ( + ) ln( + ) g '() ( + ) ln( + ) + ( + ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
12 ( + ) ln( + ) + ( ) 6) Drivar y simplificar: 7 a) y b) y ln( ) ( ) 6( ) ( )( a) y ' ( ) )6 ( )[6( ) ( ) ] 8 6 ( ) ( ) 8 ( ) b) y ' 7 7 ln ln( +) ln ln( ) 7) Drivar y simplificar: 7 a) y b) y ln( ) ( ) 0( ) ( )( a) y ' ( ) )6 ( )[0( ) ( ) ] ( ) ( ) 0 0 ( ) b) y ' 7 7 ln ln( +) ln ln( ) 8) Drivar y simplificar: a) f() b) g() ln( + ) ( ) a) f() ( ) ( ) (ln )( ) f '() ( ) [(ln )( ( ) ) 6 ] ( ) [( )ln 6 ] ( ) b) g() ln( + ) g'() ln( + ) + ln( + ) + IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
13 9) Drivar y simplificar: a) f() ln b) g() ( ) a) Simplificamos ants d drivar: f() ln ln ln ( + ). Ahora 6 6 drivamos: f '() (ln )( ) ( ) b) g() g'() ( ) ( ) ( )[(ln )( ( ) ) 0) Drivar y simplificar: a) f() b) g() ( 6) ln ( ) (ln )( ) a) f '() ( ) ] ( ) [( )ln 8 ] ( ) [( )ln ] ( ) ( )[ (ln )( ) ] ( ) b) g '() ( 6)( 6)ln ( 6) 6 ( 6) ( 6)ln ( 6) ( )ln 6 ) Drivar y simplificar: f() ln g() Simplificamos la primra función ants d drivarla: f() ln ln ln ( ) f '() g() 8 ( ) ( ) (ln )( ) g'() ( ) 6 [( 6)ln 6 ] ( ) ) Drivar y simplificar: a) f() ( ) ( ) ( )( f '() ( ) ) ( )[ ( ( ) ( )6 ) ] IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
14 6 ( ) 6 6 ( ) b) g() ( ) ² g'() 8 ² 6 ² ( ) ² (8 + 8) ² ( +6) c) h() h'() 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 d) j() log( + + ) j '() ln 0 ) Drivar y simplificar: a) y ( ) ( ) ( )( ( )) y ' ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) 6 8 ( ) ( ) b) g() ( 7 ) ² g'() ² 6 ² ( 7 ) ² ( 8 + ) ² ( ) c) h() + h'() ln() d) j() log( + ) j '() ln 0 ) Calcul y simplifiqu las drivadas d: f ( ) ( ) ln( ) g() h() log( ) f ( ) ( ) f '() ( + ) + ( ) ( + ) 9 ( + ) + 7 ( ) ( + ) ( + ) [ ( + ) + 7 ( )] IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
15 ( + ) ( ) ( + ) ( 7 + 0) ln( ) g() ln( ) ln( ) ln( ) g '() 6 6 ( ) 6 ln( ) ( ln( )) 6 ln( ) 6 ln( ) h() log( ) h '() ln(0) 6 ) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: a) f ( ). ( ) f '() ( ) ( ( ) ) b) g( ) ln. g '() ln( + ) + ( + ) ln( + ) + [ + ln( + )] h c). h'() ln + 6) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: f() ; g() ( + ) ln( + ) ( ln ) ( ) ln ln f '() g'() ( + ) ln( + ) + ( + ) ( ) ( )ln( ) 7) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: a) f() ( ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7
16 f '() ( )[( )( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) b) g() ( ) g'() ( )(ln )( ) ( )( ) ( )( )[(ln )( ) ] ( )[( )ln ] Hay otras posibilidads d simplificación, procdnts d sacar factor común, pro nos conformarmos con ésta. c) h() log ( ) h'() ln0 8) Drivar y simplificar: a) f() ( + ) 7 f '() 7 + ( + ) ( ) b) g() ln( + ) g'() ln ln( + ) + ln ln( ) c) h() ( ) h'() ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) 9) Calcul las siguints drivadas, simplificando los rsultados: a) g'(), sindo g(). g '() + ( + 6) g'() 0 8 b) f() ( ) f '() ( )[ ( ) ( )6 ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 6 ( ) 6 ( ) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 7
17 c) h() log( + + ) h'() ln0 0) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: a) f ( ). ( ) f '() ( ) ( ( ) b) g( ) ln. g '() ln( + ) + ( + ) ) ln( + ) + [ + ln( + )] h c). h'() ln + IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 7 d 7
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