el blog de mate de aida CSII: sistemas de ecuaciones lineales

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1 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág DEFINICIONES L plr ecució desig e teátics l iguldd que estlece u relció etre vriles descoocids llds por ello icógits) U ecució liel co icógits es u iguldd del tipo: + ++ = co lgú i so úeros reles coocidos ls " i" se les deoi coeficietes de ls icógits "" tério idepediete de l ecució Si es ulo l ecució se ll liel hoogée Se ll rí o solució de u ecució liel de icógits tod -tupl ) de úeros reles que stisfg l ecució es decir que l sustituir por por por l ecució se trsfore e u idetidd U siste de "" ecucioes lieles co "" icógits es u cojuto de "" igulddes de l for: dode ij i i j ) so eleetos coocidos de R deoidos coeficietes térios idepedietes respectivete U solució de u siste de "" ecucioes lieles co "" icógits es u cojuto de úeros s s s ) tles que l sustituirlos e lugr de respectivete d lugr "" idetiddes Si los térios idepedietes so todos ulos: i= co i el siste se ll hoogéeo Dos sistes de ecucioes lieles so equivletes si tiee ls iss solucioes Criterios de equivleci: Se trt de ver cuáles so ls trsforcioes que podeos efectur e u siste ddo de er que otegos otro siste equivlete ás secillo l itercir dos ecucioes culesquier de u siste result u siste equivlete l ddo l ultiplicr tod u ecució de u siste por u úero distito de cero result u siste equivlete l ddo Si se su u iso úero o u epresió lgeric los dos ieros de u ecució o vrí su cojuto de solucioes Si e u siste de ecucioes lieles se despej u icógit se sustitue e ls deás ecucioes el siste fordo por l ecució resuelt ls deás oteids por l sustitució es equivlete l propuesto 5 Si e u siste de ecucioes lieles se suprie ó se ñde u ecució que se coició liel de ls deás se otiee u siste equivlete l ddo Resolver u siste es oteer ls solucioes del siste Recordreos los étodos eleetles de resolució de sistes: - El étodo de sustitució cosiste e despejr de u ecució u icógit sustituir su epresió e ls otrs ecucioes

2 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág - E el étodo por igulció se despej u is icógit e tods ls ecucioes se igul l epresió oteid e u de ls ecucioes co ls epresioes de l is icógit) hllds e ls otrs ecucioes - El étodo de reducció cosiste e igulr los coeficietes de u is icógit cosiderdo ls ecucioes del siste dos dos U coició liel de cd pr de ecucioes perite eliir dich icógit CLSIFICCIÓN DE LOS SISTEMS Los sistes de ecucioes lieles segú ls solucioes que pose se clsific de l siguiete er: - U siste se dice que es coptile si tiee l eos u solució Si es solució es úic se dice coptile deterido Si ls solucioes so ifiits se dice que el siste es coptile ideterido - Si u siste o tiee solució se dice que es icoptile E resue NO lgú SISTEM todos COMPTIBLE tiee HOMOGÉNEO idepediete INCOMPTIB LE o tério los HOMOGÉNEO térios idepedietes COMPTIBLE l trivil tiee l DETERMIND O l solució es úic solució INDETERMIN DO tiee solucioes tiee eos solució DETERMIND O l solució trivil solució INDETERMIN DO tiee solucioes Discutir u siste es verigur si es icoptile o coptile deterido o deterido EL MÉTODO DE GUSS U siste de ecucioes se dice que tiee for esclod cudo cd u de ls ecucioes tiee u icógit eos que l terior Co secills trsforcioes podeos psr u siste otro de for esclod equivlete Después e cd pso clculos u icógit cuo vlor se sustitue e l ecució terior Este procediieto se ll étodo de Guss pr l resolució de sistes de ecucioes lieles

3 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág Ejeplo: 9 Vos eliir de l ª ª ecucioes l Pr eliir l de l ª ecució ultiplicos l ª ecució por - ---=-) se l suos l ª Pr eliir l de l ª ecució le restos l ª El siste equivlete resultte será: Eliios hor de l ª ecució l Le restos l ª ecució queddo e defiitiv el siguiete siste: 5 Siste esclodo de solució úic: Despejdo e l ª ecució = sustituedo este vlor e l ª ecució qued: --6=- Despejdo e est ecució =- sustituedo os vlores e l ª ecució result: -+= de dode = Discusió de u siste de ecucioes por el étodo de Guss Se u siste de ecucioes lieles co icógits Si después de reducirlo for esclod o trigulr: ) Se otiee lgu ecució de l for =c co c el siste es icoptile ) Si o es sí el siste es coptile E este cso si llos r l úero de ecucioes o triviles que o se =) que tiee el siste e su for esclod: - Si r= h solució úic es siste coptile deterido) - Si r< preset ifiits solucioes cd u de ells depede de -r práetros es siste coptile e ideterido) Ejeplo: Trsforádolo e u siste esclodo qued: 5 El siste es coptile pero ideterido co ifiits solucioes que depede de -= práetro

4 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág Qued sí: L solució es R FORM MTRICIL DE UN SISTEM Se el siste de ecucioes lieles co icógits: E ese siste se puede cosiderr ls trices: Mtri de los coeficietes X Mtri de ls icógits; B Mtri de los térios idepedietes Recorddo l ultiplicció de trices el siste se puede epresr e su for tricil coo X=B: Se ll M l tri plid e u colu co los térios idepedietes:

5 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág5 Método de Guss plicció l for tricil de u siste) Ls trsforcioes que o lter ls solucioes del siste so: - cir de orde ls fils - ultiplicr u fil por u úero distito de cero - supriir u fil que se coició liel de ls resttes - sustituir u fil por u coició liel de ell de ls resttes co el coeficiete de l fil sustituid distito de cero TEOREM DE ROUCHÉ-FROBENIUS "L codició ecesri suficiete pr que u siste de ecucioes lieles co icógits: teg solució es que el rgo de l tri de los coeficietes se igul l rgo de l tri plid deás si los dos rgos so igules e igules l úero de icógits el siste es coptile deterido ietrs que si el rgo es eor l úero de icógits el siste es coptile ideterido" De otr er: Si r) < rm) el siste o tiee solució INCOMPTIBLE) Si r) = rm) = el siste tiee solució úic COMPTIBLE DETERMINDO) Si r) = rm) < el siste tiee ifiits solucioes depedietes de -r práetros COMPTIBLE INDETERMINDO) Deostrreos sólo l prier prte: l poer el siste e l for: se ve que si el siste tiee solució eiste uos úeros: s s s que l ultiplicrlos por ls colus de l tri su su d l colu de los térios idepedietes Ést es por tto coició liel de ls teriores por eso o se uet el rgo de l plirl co est colu: r)=rm)

6 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág6 El rgueto recíproco es siilr EJERCICIOS PROPUESTOS - Discute segú los vlores del práetro resuelve cudo se posile los sistes de ecucioes siguietes: ) 9 ) Solució: ) = ; ;;) ) = -t t); ) RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE L MTRIZ INVERS Este étodo cosiste e escriir el siste e for tricil: X=B despejr l tri X siepre que eist : B X Ejeplo: Coo el siste puede epresrse e l for: ultiplicdo por l tri ivers de l tri de los coeficietes tedreos: L solució del siste es: 5 REGL DE CRMER U siste liel se ll de Crer si el úero de ecucioes de icógits es el iso ); si el deterite de l tri de coeficietes o es cero l tri de los coeficietes es de rgo ) U siste de Crer es por defiició coptile deterido Se el siste de Crer:

7 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág revidete se escrie X=B Coo por hipótesis es regulr eiste su tri ivers - Multiplicdo l iquierd por - - X)= - B Por l propiedd socitiv de l ultiplicció de trices: - ) X= - B Por l defiició de tri ivers: I X= - B Por l propiedd de tri uidd: X= - B Est iguldd proporcio u étodo de resolució de sistes coptiles deteridos co igul úero de ecucioes que de icógits Bst clculr l ivers de l tri de los coeficietes ultiplicrl por l tri de los térios idepedietes De est for se otiee l regl de Crer pr resolució de sistes lieles Mtricilete l solució se epres sí: Luego: Es decir cd icógit es el cociete de dos deterites El deoidor es siepre el deterite de l tri del siste el uerdor es el deterite de l tri oteid l

8 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág sustituir e l tri del siste l colu correspodiete l icógit por l colu de los térios idepedietes Ejeplo: El siste: 6 9 es u siste de Crer que el deterite de l tri del siste es distito de cero 5 det por tto l solució es: ; ; EJERCICIOS - Resuelve por Crer los siguietes sistes de ecucioes: ) ) Solució: ) =- = = ) = = =- 5- Discute segú los vlores del práetro resuelve e los csos e que se posile los sistes: ) ) c) d) e) f) ) g) ) h) ) ) i)

9 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág9 j) ) ) ) ) l) ) ) ) ) Solució: E) SI t) t SCI SCD F) SI t) t SCI SCD G) t) t SCI SI H) ) SCD SI I) SI SI SCD o J) SI SCD K) SI SI SCD L) SI tt) t SCI t) tt SCI SCD

10 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág SISTEMS HOMOGÉNEOS Llos sistes hoogéeos l cso prticulr de los sistes de ecucioes lieles e los que todos los térios idepedietes so ulos So siepre coptiles es decir siepre tiee solució ddo que l últi colu l que os sirve pr costruir l tri plid tiee todos los térios ulos Por eso el rgo de l tri plid siepre coicide co el rgo de l tri de los coeficietes codició de coptiilidd por el teore de Rouché) Y tié por eso u de sus solucioes es l lld solució trivil e l que tods ls icógits vle cero EJERCICIOS - Discute los siguietes sistes segú los vlores del práetro resuelve cudo se posile: ) Solució: 5 5) 6 I S ) Solució: ) I S c) Solució: ) 5 ) I S d) ) Solució: ) I S R t t t S C I e) Solució: I S o

11 el log de te de id CSII: sistes de ecucioes lieles pág f) ) Solució: S C D S C I t t) t R S I g) 5 Solució: : 5 t t : icoptile 5 5 : h) Solució: : ) : t t5t) EJERCICIOS PROPUESTOS 9- Hll tres úeros siedo que el priero es igul dos veces el segudo ás l itd del tercero que l su del segudo del tercero es igul l priero ás que si se rest el segudo de l su del priero co el tercero el resultdo es 5 Solució: - - L edd de u dre es e l ctulidd el triple que l de su hijo L su de ls eddes de pdre dre e hijo es ños detro de 5 ños l su de ls eddes de l dre del hijo será 5 ños ás que l del pdre Cuátos ños tiee el pdre l dre el hijo e l ctulidd? Solució: pdre ños dre ños hijo ños - U grupo de persos se reúe pr ir de ecursió jutádose u totl de etre hores ujeres iños Cotdo hores ujeres jutos su úero result ser el triple del úero de iños deás si huier cudido u ujer ás su úero igulrí l de hores verigu cuátos hores ujeres iños h ido de ecursió Solució: hores ujeres 5 iños - Si u úero de dos cifrs se le su se otiee el úero co ls cifrs itercids Siedo que l su de ls cifrs del úero es 6 ecuetr dicho úero Solució: = 6 - Discute e térios de resuelve cudo se posile el siste: - + = + + = 5 Solució: si - SCD ; si =- SI