ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

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1 ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL MATEMÁTICAS I º Bachllerato CC Alfoso Gozález IES Ferado de Mea Dpto. de Matemátcas

2 I) ITRODUCCIÓ. DEFIICIOES La Estadístca es la rama de las Matemátcas que utlza cojutos de datos umércos para obteer ferecas basadas e el cálculo de probabldades. Es ua ceca relatvamete recete, pues sus orígees se remota al sglo XVIII. Pero su mplatacó hoy e día es muy acusada: Se dseña ecuestas para recoplar formacó preva al día de eleccoes y así predecr el resultado de las msmas. Se seleccoa al azar cosumdores para obteer formacó co el f de predecr la prefereca co respecto a certos productos y/o servcos. Los ecoomstas cosdera varos ídces de la stuacó ecoómca durate certo perodo y utlza la formacó para predecr la stuacó ecoómca futura. Su utldad es evdete també para los asesores faceros que ha de evaluar las oportudades de versó a través de las bolsas de valores. Los portales de apuestas deportvas ole recurre a la Estadístca para, de acuerdo co todos los datos hasta la fecha, determar el vel de cofaza de cada ua de los posbles resultados. La Estadístca se dvde e dos grades ramas: La Estadístca Descrptva se dedca a recolectar, ordear, aalzar y represetar u cojuto de datos, co el f de descrbr apropadamete las característcas de éstos. Utlza para ello las llamadas «meddas de cetralzacó», que veremos e el apartado IV. Esta es la que estudaremos este curso. La Estadístca Iductva o Iferecal tee como objeto obteer coocmetos sobre u colectvo, utlzado para ello las observacoes de ua muestra, para sí poder ferr resultados. E este proceso se utlza el cálculo de probabldades. Todo esto lo veremos el próxmo curso. Para todo lo ateror, la Estadístca trabaja co ua sere de aspectos, cualdades o propedades de los dvduos de la poblacó, llamados caracteres; los valores que recorre u determado carácter se llama varables estadístcas. Puede ser de varos tpos: varables cuattatvas: so medbles, es decr, se descrbe medate úmeros dscretas: sólo toma valores putuales (p. ej. úmero de hjos, talla de ropa, etc.) cotuas: puede tomar cualquer valor etre dos cualesquera (p. ej. estatura, peso, edad, etc.) cualtatvas: o so medbles, por lo que se descrbe medate modaldades (p. ej. color del pelo, sexo, estado cvl, etc.). També se llama atrbutos. Poblacó es el cojuto de elemetos que se vestga, muestra es ua parte represetatva de la poblacó, e dvduo es cada uo de los elemetos que forma la poblacó. Ejemplo : Ua poblacó puede ser los 90 dvduos de los tres grupos de º de Bachllerato de u cetro. Para estudarla co mayor comoddad, podemos tomar ua muestra formada por los 5 prmeros Es decr, pretede tomar como geerales propedades que sólo se ha verfcado para casos partculares. Las pregutas típcas que se hace la Estadístca Iferecal so: Cómo se elge la muestra? Qué grado de cofaza tee el resultado obtedo? Por el cotraro, la Estadístca Descrptva o teta extraer coclusoes para u grupo mayor.

3 de la lsta de cada grupo. Ejemplos de varables que podemos aalzar so su vel de glés (varable cualtatva), úmero de hermaos (cuattatva dscreta) y edad (cuattatva cotua). Ejerccos fal tema: y II) FRECUECIAS y TABLAS Ejemplo : E u sttuto hay ua clase de º de Bachllerato cuyos 0 alumos preseta las sguetes edades: La varable que vamos a estudar e esta dstrbucó es la edad (varable cuattatva), que llamaremos x. Para ello, vamos a costrur la sguete tabla : Edad (años) f F h H ,65 0, ,5 0, ,5 0, ,05 Σ=0 Σ= La ª columa recoge la frecueca absoluta, f, que es el úmero de veces que aparece cada valor de la varable. La 3ª columa refleja la frecueca absoluta acumulada, F, que se obtee sumado la frecueca absoluta de cada fla co las aterores (es decr, F =f + f + + f ). Por ejemplo, el dato 6 de la ª fla sgfca que hay 6 alumos que tee 7 años o meos. Más adelate veremos (apdo. IV.) que srve para calcular la medaa. E la 4ª columa teemos la frecueca relatva, h, que es la frecueca absoluta dvdda por el º de datos, : h f = () Obvamete, la suma de las frecuecas absolutas es, y la de las relatvas es : f = h = () Esto últmo es muy útl a la hora de detectar posbles errores e los datos de ua tabla. Las h puede verse como u tato por uo. Por ejemplo, el dato 0,5 de la 3ª fla os dce que el 5% de la clase tee 8 años. Falmete, la últma columa recoge la frecueca relatva acumulada, H, que se obtee sumado la frecueca relatva de cada fla co las aterores. Por ejemplo, el dato 0,95 de la 3ª fla sgfca que el 95% de los alumos tee 8 años o meos. La dea de utlzar ua tabla es que así u gra úmero de datos se puede vsualzar más cómodamete. Por tato, cuado la dstrbucó esté formada por pocos datos, o tee setdo hacer ua tabla, so que basta co presetarlos ordeados.

4 Ejemplo 3: E la msma clase del ejemplo ateror los 0 alumos preseta las sguetes estaturas (e cm): ótese que hemos dcado los valores mímo y máxmo subrayados. La varable que vamos a estudar ahora es la estatura (varable cuattatva). Para cofeccoar la tabla utlzaremos tervalos de ampltud 0 llamados tervalos de clase, comezado por 55: Estatura (cm) f F h H [55-65) 6 6 0,30 0,30 [65-75) 0 6 0,50 0,80 [75-85) 3 9 0,5 0,95 [85-95] 0 0,05 Σ=0 Σ= Advértase que e cada tervalo de clase se cluye el extremo feror pero o el superor, salvo e el últmo. El puto medo de cada tervalo se llama marca de clase, y lo deotaremos por x. Cuádo utlzar u tpo de tabla u otro?: º) Tablas co los valores de la varable dvdualzados (como e el ejemplo ): cuado, ya sea pocos o muchos datos, la varable toma pocos valores dferetes (es decr, los valores se repte mucho). º) Tablas co los valores de la varable agrupados e tervalos de clases (como e el ejemplo 3): cuado el úmero de datos y de valores dferetes que toma la varable so grades. Co ello perderemos algo de formacó pero gaaremos e clardad E este últmo caso, cuátos tervalos de clase utlzar? Exste u crtero oretatvo segú el cual el º de clases debe ser aproxmadamete gual a la del úmero de datos: º clases = (3) E el ejemplo ateror sería 0 4,47, es decr, 4 tervalos vedría be. A cotuacó, se determa la ampltud de los tervalos teedo e cueta los valores mímo (57 cm) y máxmo (94 cm) de la dstrbucó: 94cm 57cm 37cm = 9,5cm / t ervalo (4) 4t ervalos 4t ervalos de modo que 0 cm por tervalo es lo apropado. A la hora de decdr dóde comeza el prmer tervalo se recomeda que, falmete, los extremos de los tervalos o cocda co guo de los datos. ótese que e la práctca el elegr u tpo de tabla u otro puede ser relatvo: qué se etede por pocos datos? Veremos que ua msma dstrbucó se puede estudar co dos tablas o ecesaramete guales, y las dos puede ser perfectamete váldas. També, tégase e cueta que e certos casos los tervalos o tee por qué ser ecesaramete de gual ampltud (véase el ejemplo 4) Ejerccos fal tema: 3 y 4

5 III) REPRESETACIOES GRÁFICAS III.) Dagrama de barras/hstograma Matemátcas I ESTADÍSITICA UIDIMESIOAL Cosderemos la dstrbucó del ejemplo. E uos ejes cartesaos stuamos e el eje horzotal las edades y e el vertcal la frecueca absoluta f. Levatamos, a cotuacó, barras cuya altura es la frecueca. Obtedremos así u dagrama de barras 3 : f Edad (años) f DIAGRAMA DE BARRAS DE FRECUECIAS ABSOLUTAS Σ=0 S hacemos lo propo co el ejemplo 3 pero, esta vez, dado a las barras el acho de los tervalos, obtedremos u hstograma: f Edad Estatura (cm) f [55-65) 6 [65-75) 0 [75-85) 3 [85-95] HISTOGRAMA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS Σ= Estatura (cm) Cuál es la dfereca etre el dagrama de barras y el hstograma? El dagrama de barras vsualza las frecuecas como alturas, y se utlza para varables dscretas (y també para cualtatvas) E el hstograma el área de cada rectágulo represeta la frecueca correspodete, y se utlza para datos agrupados e tervalos. 3 Obvamete, la dea de represetar gráfcamete los datos de la dstrbucó es poder vsualzar mejor ésta. Por tato, s se trata de pocos datos, o tee setdo tabularlos hacer ua gráfca: basta co presetarlos ordeados.

6 E el hstograma ateror, y puesto que los tervalos teía la msma ampltud, los rectágulos tee la altura correspodete a la f. Ahora be, s so de dstta ampltud, etoces habrá que ajustar la altura a de cada rectágulo medate la sguete fórmula: f área = f = ampltud a a = ampltud (5) Veámoslo e el sguete ejemplo: Ejemplo 4: Las calfcacoes de ua evaluacó de los 0 alumos de º Bachllerato A so: Cofeccoar la correspodete tabla agrupado los datos e tervalos de suspesos (0 a 5), aprobados (5 a 7), otables (7 a 9) y sobresaletes (9 a 0). Costrur el hstograma de frecuecas absolutas. Calfcacó f F a f /ampltud h H [0-5) /5=0,4 0,0 0,0 [5-7) 5 7 5/=,5 0,5 0,35 [7-9) 8 /=5,5 0,55 0,90 [9-0] 0 /= 0,0 Σ=0 Σ= Advértase que e la 4ª columa se ha tedo que ajustar la altura a de cada rectágulo, de acuerdo co la fórmula (5), de forma que su área sea gual a su f. De esta forma, el hstograma quedaría de la sguete forma: a HISTOGRAMA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS III.) Polígoo de frecuecas Calfcacoes Uedo los extremos superores de las barras de u dagrama de barras, o los putos medos del lado superor de cada rectágulo de u hstograma 4, obteemos el llamado polígoo de frecuecas. Veámoslo para los ejemplos aterores: 4 E el caso del polígoo de frecuecas acumuladas e datos agrupados e tervalos, y como veremos e el apartado IV, para poder obteer gráfcamete la medaa o se ue los putos medos, so los extremos derechos

7 f DIAGRAMA de BARRAS y POLÍGOO de FRECUECIAS ABSOLUTAS f HISTOGRAMA y POLÍGOO de FRECUECIAS ABSOLUTAS a HISTOGRAMA y POLÍGOO de FRECUECIAS ABSOLUTAS Edad Estatura (cm) Calfcacoes Observacoes: º) E los ejemplos aterores lo que se represetaba era la frecueca absoluta. Pero, evdetemete, també exste dagramas de barras o hstogramas de frecuecas relatvas, de frecuecas acumuladas, polígoos de frecuecas absolutas o relatvas acumuladas, etc. Por ejemplo, e el caso del ejemplo : F Edad DIAGRAMA de BARRAS y POLÍGOO de FRECUECIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS º) E el caso de datos agrupados e tervalos, más adelate explcaremos cómo obteer el polígoo de frecuecas (absolutas o relatvas) acumuladas, el cual se utlza para hallar gráfcamete la medaa. 3º) Obvamete, s la varable es cualtatva, o tee setdo los gráfcos acumulatvos. III.3) Gráfco de sectores S dvdmos u círculo e sectores crculares de área 5 proporcoal a cada frecueca absoluta f, obtedremos u gráfco de sectores. Vamos a obteer, medate regla de tres, la fórmula que os dque cuátos grados α correspode a cada sector: 5 Lógcamete, s el área del sector crcular es proporcoal a f, també lo será su ampltud.

8 f α 360º f α = = α f 360º h 360º (6) Vamos a aplcarla al caso cocreto del ejemplo 4: Calfcacó f h α h 360º [9-0] 0% [0-5) 0% [0-5) 0,0 36º [5-7) 5 0,5 90º [7-9) 0,55 98º [9-0] 0,0 36º Σ=0 Σ= Σ=360º [7-9) 55% [5-7) 5% ótese que, s la tabla está be cofeccoada, obvamete todos los α sumará 360º. Además, se suele dcar el % que correspode a cada sector. Por últmo, covee dcar que, e el caso de varables cualtatvas, exste otros tpos alteratvos de represetacoes gráfcas (s be, las dos prmeras obedece más a fes de tpo publctaro que a cosderacoes de tpo matemátco ): pctograma: e lugar de ua barra se utlza ua fgura alusva de altura o tamaño proporcoal a la frecueca. P. ej. para dcar la produccó de automóvles de dsttos países. Tee el coveete de ser poco precso. cartograma: es u mapa coloreado e dsttos toos y colores co ua leyeda al marge que dca su sgfcado. dagramas de columas apladas: p. ej. la msma columa se dvde e porcetaje de hombres y mujeres. prámde de poblacó: es u tpo de gráfco muy coocdo pues se utlza mucho e Cecas Socales para cuestoes demográfcas. CUADRO-RESUME: varable cuattatva: dscreta: dagrama de barras polígoo de frecuecas dagrama de sectores cotua: hstograma polígoo de frecuecas dagrama de sectores cualtatva: dagrama de barras ( uca frecuecas acumuladas!) polígoo de frecuecas dagrama de sectores pctogramas, cartogramas, prámdes de poblacó Ejerccos fal tema: 5 y 6

9 IV) MEDIDAS de TEDECIA CETRAL (meda, medaa, moda) IV.) Meda artmétca Matemátcas I ESTADÍSITICA UIDIMESIOAL Se defe como la suma de todos los valores x dvdda por el úmero de valores,. Se desga como : _ x = x _ x f x Σ=0 Σ=3390 Esta es la típca fórmula que se utlza, por ejemplo, para calcular la ota meda de ua sere de exámees. Ahora be, e geeral, cada valor x se repetrá co ua frecueca f. E ese caso, la fórmula sería: Observacoes: _ x = º) E el caso de valores agrupados e tervalos, x dca la marca de clase, es decr, el puto termedo de cada tervalo. º) Obvamete, o exste la meda s los datos so cualtatvos. tampoco s los datos está agrupados y algua clase está aberta (p. ej. s e ua ecuesta el últmo grupo fuera mayores de 60 años ) 3º) La meda es el cetro de gravedad de la dstrbucó; es decr, s las barras tuvera peso represetaría el puto dode habría que sosteer la base del dagrama para que o se vecera. Vamos a ver cómo se calcula la meda e los ejemplos y 3: Edad (x ) f f x Σ=0 Σ=33 Estatura (cm) x f f x [55-65) [65-75) [75-85) [85-95] (7) (8) _ x f x 33 0 = = = 6,6 años _ x f x = = = 69,5 cm Obsérvese que es fudametal o olvdarse de dcar las udades. IV.) Medaa Es u valor tal que la mtad de los valores so meores o guales que él, y la otra mtad mayores o guales. Se represeta como Me. Para calcularla, cabe dstgur tres posbles stuacoes: º) Dstrbucoes co pocos valores, es decr, seres estadístcas: Se ordea crecetemete dchos valores, y la medaa será el valor cetral (s el úmero de datos es par, se toma la semsuma de los dos cetrales).

10 Ejemplo 5: Los sueldos mesuales (e ) de 7 trabajadores de ua empresa so los sguetes: S calculamos la meda (06,43 ) observamos que o es muy represetatva de los datos de esta dstrbucó, ya que éstos se ecuetra muy dspersos. Obtegamos la medaa: El valor obtedo, 85, sí es represetatvo de la mayoría de los datos. º) Varable dscreta (como e el ejemplo ): costrumos la tabla de frecuecas absolutas acumuladas, F, calculamos / y buscamos los valores de F que verfque: F < < F (9) La medaa será etoces el valor x de la varable correspodete a F, es decr, el prmer valor de la varable cuya F excede a /. OTA: S cocde F = F <, se toma x x Me = + (0) Ejemplo : M e Edad (años) f F Σ=0 0 = Me=6 años 3º) Varable agrupada e tervalos (como e el ejemplo 3): como e el caso ateror, costrumos la tabla de frecuecas absolutas acumuladas, F, calculamos / y buscamos los valores de F que verfque: F < F < El tervalo medao es decr, e el que está la medaa será etoces aquel correspodete a F. OTA: S cocde F = F <, se toma, como ates, x x Me = + Ejemplo 3: Estatura (cm) f F Itervalo medao [55-65) 6 6 [65-75) 0 6 [75-85) 3 9 [85-95] 0 Σ=0 0 =

11 Ahora be, Cómo saber el valor exacto de la medaa? El método más secllo es el gráfco, que cosste e dbujar el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas e papel mlmetrado. Para ello, supodremos que la frecueca se dstrbuye de maera uforme a lo largo de cada tervalo (algo lógco), de modo que asgaremos los sucesvos valores de cada frecueca acumulada al extremo superor del tervalo correspodete (e egrta e la tabla feror): F Estatura (cm) x F 55 0 [55-65) 65 6 [65-75) 75 6 [75-85) = [85-95] 95 0 Me=69 cm Estatura (cm) Segudamete, trazamos ua líea horzotal a la altura de /=0, la cual corta al polígoo de frecuecas e el puto de abscsa 69 cm, que es precsamete la medaa. Ello se puede obteer també aalítcamete 6, recordado la terpolacó leal vsta e el tema : 6 (75,6) Obteemos, e prmer lugar, la recta que pasa por los putos (65,6) y (75,6): 0 6 (65,6) y = mx + (65,6) 6 = 65m + 6 = 65m + (75,6) 6 = 75m + 6 = 75m + 0 = 0m m = = M e Por tato, el tramo de polígoo de frecuecas correspodete al tervalo medao tee la ecuacó y=x-59. Falmete, susttuyedo y=0 se obtee x=69 cm OTA: Exste ua fórmula geeral para calcular la medaa e estos casos, cuya obtecó, procededo como acabamos de explcar, se escapa de las pretesoes de este curso: 6 Y exste otra tercera forma, aplcado semejaza de trágulos e la fgura.

12 clases f F [L - -L ) f F - Itervalo medao -F - M = L + c 0 6 e - f = = = 69cm () 0 c L L Observacoes: º) Curosamete, la medaa depede del orde de los datos y o de su valor. º) La medaa se puede calcular, evdetemete, e dstrbucoes de tpo cuattatvo, pero també e las de tpo cualtatvo cuyas modaldades se puede ordear. 3º) Además de la medaa, exste otros parámetros de poscó, como por ejemplo los cuartles 7, percetles 8, etc. cuyo cálculo es smlar al de la medaa. IV.3) Moda «Es el valor de la varable que tee mayor frecueca». Se represeta como Mo. Represeta el valor domate de la dstrbucó; por ejemplo, e uas eleccoes la moda sería el partdo más votado. Ejemplo : Edad (años) f M o Ejemplo 3: Estatura (cm) f [55-65) 6 Itervalo modal [65-75) 0 [75-85) 3 [85-95] Observacoes: º) La Mo exste sempre 9, e cualquer tpo de dstrbucoes (cualtatvas o cuattatvas). º) Vemos que e las que preseta los datos agrupados e tervalos se habla de tervalo modal o clase modal. Para este caso exste ua fórmula que sobrepasa las pretesoes del presete 7 El prmer cuartl, Q, deja el 5% de la poblacó por debajo de él; por lo tato, el Q cocde co la medaa. Y el Q 3 dejará el 75 % de los dvduos por debajo de su valor. 8 El percetl p k es el que deja al k% de los dvduos por debajo de él. Por ejemplo, Q =p 5, M e=p 50, Q 3=p Salvo el usual caso e el que todas las f sea guales

13 curso, del estlo de la vsta para la medaa, para hallar e qué puto cocreto del tervalo modal se halla la moda. 3º) E ua dstrbucó sólo hay ua meda y ua medaa, pero puede haber más de ua moda. Y o tee por qué stuarse e la zoa cetral. Ejerccos fal tema: 7 a 0 V) MEDIDAS de DISPERSIÓ (recorrdo, varaza, desvacó típca) Tee por objeto dar ua dea de la mayor o meor cocetracó de los valores de ua dstrbucó alrededor de los valores cetrales. V.) Recorrdo «Es la dfereca etre el mayor y el meor valor de ua dstrbucó». Ejemplo 6: Las otas de los exámees de Matemátcas de dos alumos a lo largo del curso so: Carlos: Aa: Puede comprobarse que ambos tee la msma meda, 7. Pero Aa tee sus otas mucho más dspersas que Carlos: Recorrdo otas Carlos=9-7= Recorrdo otas Aa=0-=8 V.) Varaza y desvacó típca Ates de defr la varaza, covee cosderar e ua sere de datos su desvacó respecto a la meda, que sería la dfereca etre cada dato y la meda, e valor absoluto (para que sempre sea >0): d = x x () La varaza, V, se defe como «la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto a la meda»: Observacoes: V = ( x) f x º) o es ecesaro el valor absoluto e las desvacoes x x, puesto que éstas está al cuadrado (es decr, so sempre postvas). º) Puede comprobarse 0 que la fórmula (3) es equvalete a la sguete: (3) V f x = x (4) y esta es precsamete, por su comoddad, la más utlzada e la práctca. 0 Medate demostracó o es muy complcada o, más recomedable, comprobado co ejemplos cocretos que ambas fórmulas coduce al msmo resultado.

14 3º) Las udades de la varaza so al cuadrado, p.ej. cm, años,, etc. 4º) La varaza sempre es postva. Como la varaza, por estar expresada e udades cuadradas, o se puede comparar co la meda, se utlza la desvacó típca, s, que se defe como la raíz cuadrada de la varaza: f x s = x (5) Observacoes: º) La s tee las msmas udades que la varable x. º) La varaza y la desvacó típca o tee setdo e dstrbucoes e las que o se puede calcular la meda artmétca. 3º) Es bastate habtual ombrar la varaza como s. 4º) La s os dce cómo de alejados de la meda, es decr, cómo de dspersos se ecuetra los datos : Cuato más agrupados esté los datos e toro a la meda, meor será s. De hecho, para poder comparar varas dstrbucoes y ver cuál está más dspersa respecto a la meda se utlza el llamado coefcete de varacó o dspersó: que habtualmete se expresa e %. s C.V. = (6) x Ejemplo 6: Las otas de los exámees de Matemátcas de dos alumos a lo largo del curso so: Carlos: Aa: Puede comprobarse que ambos tee la msma meda, x = 7. E u caso ta secllo como este, es decr, e ua smple sere estadístca, la fórmula de la varaza se smplfca: x VCarlos = x = 7 = 49 = 49 = 50,6 49 =, s =,6,6 Carlos x VAa = x = 7 = 49 = 49 = = s = 8,83 Aa Vemos que scarlos < saa, lo cual cofrma lo que ya sabíamos E el últmo tema (Dstrbucó ormal) se explcará gráfcamete el sgfcado de s e relacó co x.

15 Ejemplo : Edad (x ) f f x f x Σ=0 Σ=33 Σ=558 _ x f x 33 0 = = = 6,6 años f x 558 V = x = 6,6 = 76, 4 75,56 = 0,84 años 0 s = 0,84 0,9años Ejemplo 3: Estatura (cm) x f f x f x [55-65) [65-75) [75-85) [85-95] Σ=0 Σ=3390 Σ= _ x f x = = = f x V = x = 69,5 = ,5 = 64,75 cm 0 s = 64,75 8,05cm 69,5 cm V.3) Obtecó de los parámetros estadístcos co la calculadora Vamos a explcarlo para ua Caso fx-8 MS, uo de los modelos más exteddos etre los estudates. Para cualquer otro modelo se suele proceder de forma bastate aáloga. Utlzaremos los datos del ejemplo 3: º) Poemos la calculadora e modo SD (estadístco): MODE º) Borramos, por precaucó, los datos prevos de la memora: 3º) Itroducmos los datos: SHIFT CLR = 60 x 6 DT 70 x 0 DT 80 x 3 DT 90 x DT x f OTA: Podemos utlzar y para ver los datos ya troducdos. Icluso podemos modfcar alguo y luego pulsar =, o borrar pulsado SHIFT CL 4º) SHIFT S-SUM Σx = SHIFT S-VAR x =69,5 SHIFT S-SUM Σf x =3 390 SHIFT S-SUM 3 =0 SHIFT S-VAR s=8, Ejerccos fal tema: y ss. Puede descargarse el maual e

16 Reseña hstórca: El térmo Estadístca provee del alemá Statstk, troducdo por el ecoomsta alemá Gottfred Achewall (79-77) e 749, para referrse al aálss de datos del estado. E efecto, e su orge la estadístca fue utlzada por los estados para recoger gra úmero de datos sobre la poblacó, almetos, bees ecoómcos, etc. De hecho, esto ya fue llevado a cabo e certa medda e las atguas cvlzacoes, que ya elaboraba cesos poblacoales: Egpto, Cha, Roma, etc. Pero hasta el sglo XIX el térmo estadístca o adquere el sgfcado de recolectar y clasfcar datos. Este cocepto fue troducdo por el mltar brtáco Sr Joh Sclar ( ). Desde etoces la Estadístca ha do de la mao de la teoría de probabldades, sobre todo co la cotrbucó de los brtácos Fracs Galto (8-9) y Karl Pearso ( ), fudadores de la modera Estadístca Matemátca.

17 5 EJERCICIOS de ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL Coceptos. Defcoes:. De los sguetes caracteres de ua poblacó, dcar razoadamete los que so cualtatvos y los que so cuattatvos: a) Sexo b) acoaldad c) Edad d) úmero de hermaos e) Color del pelo f) ota de Matemátcas g) Estatura h) úmero de calzado. De las sguetes varables, dcar razoadamete las que so dscretas y las que so cotuas: a) úmero de vecos de u edfco b) úmero de horas que u determado dvduo ve la televsó c) ota de Matemátcas e u exame d) ota de Matemátcas e el boletí de otas e) Cotedo e cm 3 de ua lata de coservas Pasos a segur a la hora de abordar u ejercco de Estadístca: º) Cuál es la varable, x? º) Qué tpo de varable es: cuattatva (dscreta o cotua) o cualtatva? 3º) Agrupar los datos e fucó del tpo de varable y empezar a costrur la tabla estadístca, adjutado, de mometo, dos columas: x y f. 4º) E fucó de lo que os pde ( x, s, hstograma, etc.) añadr las columas ecesaras: F, H, Σf x, Σf x, etc. Frecuecas y tablas: 3. El úmero de hermaos de 40 alumos es: a) De qué tpo de varable se trata? Costrur ua tabla estadístca e la que fgure todas las frecuecas. b) Cuátos alumos tee 5 o más hermaos? Cuátos 3 o meos? 4. Se aplca u test de telgeca para averguar el cocete telectual de 40 alumos de º de Bachllerato, obteédose los sguetes resultados:

18 Matemátcas I ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL a) Razoar qué tpo de varable es. Costrur ua tabla estadístca e la que fgure todas las frecuecas. b) Cuátos alumos tee u CI por debajo de 00? c) S se cosdera superdotados a los que tee CI>30, hay alguo e clase? d) Qué porcetaje de alumos tee de CI 0 o más? Represetacoes gráfcas: 5. Costrur el dagrama de barras y polígoo de frecuecas absolutas, y el dagrama de sectores, de la dstrbucó del ejercco Costrur el hstograma y polígoo de frecuecas relatvas, y el dagrama de sectores, de la dstrbucó del ejercco 4. Parámetros de cetralzacó: 7. E la fgura adjuta aparece los resultados de la últma jorada de la Lga de fútbol Se pde: a) Formar co los goles/partdo ua tabla estadístca apropada para respoder a los apartados sguetes. b) Dbujar el dagrama de barras, polígoo y dagrama de sectores, todos ellos de frecuecas absolutas c) Calcular la meda de goles/partdo, moda y medaa. 8. El úmero de horas de sol regstradas e u determado mes e 50 estacoes meteorológcas es: a) Razoar de qué clase de varable se trata. Cofeccoar ua tabla estadístca de cara a los sguetes apartados. b) Dbujar el hstograma de frecuecas relatvas y el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas c) Calcular la meda de horas de sol, la moda y la medaa. 9. E la tabla fgura los datos de las pulsacoes de u equpo de atletsmo después de ua carrera: Pulsacoes º de atletas a) Qué tpo de varable es? Costrur ua tabla apropada para lo que se pde a cotuacó. b) Hallar la meda. (Sol: 88, pulsacoes)

19 Matemátcas I ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL c) Hallar la medaa Qué sgfca el valor obtedo? (Sol: 89,5 pulsacoes) d) Hallar la moda. e) Costrur el hstograma y el polígoo de frecuecas absolutas. 0. A u cojuto de cco otas cuya meda es 7,3 se le añade las calfcacoes sguetes: 4,47 y 9, 5 Cuál es la ueva meda? Parámetros de dspersó:. Los datos que sgue correspode a las meddas del tórax, e cm, de ce hombres adultos. Costrur la tabla estadístca ecesara para respoder a las sguetes cuestoes: Medda del tórax (cm) º de hombres a) Hallar la meda. b) Calcular la medaa. Qué sgfcado tee el valor obtedo? [80,85) 4 [85,90) 0 [90,95) 4 [95,00) 3 [00,05) [05,0] 8 c) Hallar la moda. d) Obteer la desvacó típca. e) Dbujar el hstograma y el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas.. E u cetro mltar se ha tomado ua muestra de 6 jóvees, obteédose las sguetes estaturas (e cm): 60 7, , ,5 a) Costrur ua tabla estadístca apropada. b) Obteer el hstograma y el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas. c) Calcular la meda, moda, medaa y desvacó típca. (Sol: x 76,5 cm; M e=75 cm; s 9,9 cm) 3. Se ha meddo los pesos y las alturas de 6 persoas, obteédose los datos sguetes: Peso (kg) Altura (cm) a) Qué meddas está más dspersas, los pesos o las alturas? Utlzar el coefcete de varacó. (Sol: Las alturas, puesto que CV a=5%>cv p=4%) b) Comprobar lo ateror gráfcamete. 4. La tabla sguete os da las putuacoes obtedas por u grupo de 0 alumos e u test: Putuacoes º alumos Al msmo grupo de alumos se le hace otra prueba y las putuacoes obtedas so: a) Qué datos se halla más dspersos? Utlzar el coefcete de varacó.

20 Matemátcas I ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL (Sol: Las putuacoes, ya que CV 54,7%>CV 34,6%) b) Comprobar lo ateror gráfcamete. 5. Las calfcacoes de los 5 alumos de º de Bach. A so: metras que las de los 0 alumos de º Bach. B so: Calcular e qué grupo las otas está más dspersas. (Sol: E el B, puesto que CV a 8,6%<CV p 38,9%)