Es la velocidad de convergencia estable? Una aplicación a la convergencia en renta entre países de Europa del Este

Transcripción

1 Es la velocdad de convergenca esable? Una aplcacón a la convergenca en rena enre países de Europa del Ese Auores María Isabel González Marínez Unversdad de Murca Deparameno de Méodos Cuanavos para la Economía Faculad de Economía Empresa Campus de Espnardo, s/n, 3000, Espnardo, Murca Teléono: , Fax: E-mal: marbel@um.es Juan Crsóbal Campo Mñarro Unversdad de Murca Deparameno de Fundamenos del Análss Económco Faculad de Economía Empresa Campus de Espnardo, s/n, 3000, Espnardo, Murca Teléono: , Fax: E-mal: juancrs@um.es

2 . Inroduccón El modelo de crecmeno neoclásco (Solow, 956 Swan, 956) predce que la rena per cápa de las economías converge haca la rena per cápa de su esado esaconaro, que la velocdad de convergenca dsmnue a lo largo de la ranscón haca el esado esaconaro. Sn embargo, hasa la echa, los esudos empírcos sobre convergenca undamenados en el modelo de Solow-Swan se han cenrado en conrasar la hpóess de convergenca suponendo una velocdad de convergenca consane, e gual a la del esado esaconaro. La razón es que basan sus conrases en la esmacón de la ecuacón obenda a parr de la -lnealzacón alrededor del esado esaconaro, de la ecuacón de ranscón dervada del modelo neoclásco. Desde la perspecva de ese modelo, el análss aplcado en ales esudos para conrasar convergenca sería adecuado, sólo s las economías esán mu próxmas a su esado esaconaro. En cambo, s las economías se encuenran alejadas del esado esaconaro el análss no es correco, porque no consdera la dnámca de la velocdad de convergenca a lo largo de la ranscón haca el esado esaconaro. En ese rabajo proponemos aplcamos un enoque novedoso para conrasar la hpóess de convergenca dervada del modelo neoclásco. Ulzando un enoque de seres emporales, proponemos un conrase de convergenca que, a derenca de los esudos anerores, perme que el coecene que represena la velocdad de convergenca evolucone según lo posulado en el modelo neoclásco. En prmer lugar, mosramos que el comporameno que predce ese modelo puede ser modelzado medane un modelo de correccón del error no lneal, donde la velocdad de ajuse haca el equlbro de largo plazo depende de la dsanca enre la rena per cápa de una economía la de su esado esaconaro. En segundo lugar, mosramos la convenenca de aplcar conrases de raíz unara que consderan un ajuse no lneal al equlbro de largo plazo para conrasar convergenca. Esos conrases enen en cuena que la velocdad de convergenca dsmue a lo largo de la ranscón haca el esado esaconaro, al como posula el modelo neoclásco. Por úlmo, aplcamos el conrase de raíz unara no lneal propueso en Kapeanos e. al. (2003) para esmar dcho modelo, conrasar convergenca en rena enre algunos de los países de Europa del Ese. Merece la pena señalar que, a nuesro enender, ese rabajo es el únco en señalar la convenenca de aplcar conrases de raíz unara no lneal para examnar convergenca en rena en el marco del modelo neoclásco. Además, es el prmero en aplcar el conrase de raíz unara no lneal propueso

3 en Kapeanos e. al. (2003) para conrasar convergenca enre las seres de rena de derenes países. El rabajo se organza del sguene modo. En el aparado 2 mosramos que la hpóess de convergenca en el modelo neoclásco vene represenada medane un modelo de correccón del error no lneal, que el conrase de convergenca relevane es un conrase de raíz unara no lneal. En el aparado 3 descrbmos la meodoía economérca aplcada en ese rabajo. En el aparado 4 presenamos los daos los resulados de la aplcacón empírca. Por úlmo, en el aparado 5, resummos las prncpales conclusones. 2. Conrases de convergenca en el marco del modelo de crecmeno neoclásco El modelo de crecmeno neoclásco ene mplcacones ueres sobre la convergenca en rena per cápa enre dsnas economías, por lo que la convergenca se ha asocado radconalmene con el cumplmeno de las hpóess de ese modelo. Bajo ales hpóess se derva que el esado esaconaro para cada economía es únco, esable (Apéndce A.). Es decr, la rena per cápa de cada economía converge haca el nvel de su propo esado esaconaro. Una vez alcanzado el esado esaconaro, s ése es el msmo para odas, enonces las derencas en rena per cápa enre las economías desaparecen. En ales crcunsancas, el modelo neoclásco predce convergenca enre nveles de rena per cápa. Pero, qué pasa s las economías no han alcanzado el esado esaconaro?, qué pasa s esán por debajo del esado esaconaro, como suele ocurrr en la realdad? El modelo neoclásco orece aspecos neresanes sobre la ranscón haca el esado esaconaro. Predce que durane la ranscón la asa de crecmeno de las economías esá drecamene relaconada con la dsanca que las separa del esado esaconaro. Cuano más por debajo esé una economía de su esado esaconaro maor será su asa de crecmeno. A medda que se aproxma al esado esaconaro la asa de crecmeno de la rena per cápa dsmnue hasa alcanzar la asa de crecmeno del esado esaconaro, que concde con la del progreso écnco (Apéndce A.). Eso ene mporanes mplcacones sobre la velocdad de convergenca haca el esado esaconaro. S denmos ésa como el cambo en la asa de crecmeno cuando el capal aumena en un %. Podemos demosrar que la velocdad de convergenca no es consane a lo largo de la Tales hpóess se reeren a las propedades de la uncón de produccón neoclásca.

4 ranscón, sno que crece con la asa de crecmeno del capal (Apéndce A.2). Eso mplca que la velocdad de convergenca será maor para las economías que esán más por debajo de su esado esaconaro. A meda que una economía se aproxme a su esado esaconaro, la velocdad de convergenca rá dsmnuendo. En el líme, cuando la economía ende a su esado esaconaro, la velocdad de convergenca ende a la del esado esaconaro, que es consane. Hasa la echa, la maoría de los esudos sobre convergenca basan sus conrases en la ecuacón obenda a parr de la -lnealzacón alrededor del esado esaconaro, de la ecuacón de ranscón dervada del modelo neoclásco (Apéndce A.3), [ ] ε β ( ) ( ) g ( e ) ( ) ( ) [] donde es la rena per cápa de la economía, es la asa de crecmeno del progreso écnco, esaconaro ε es un proceso esocásco de meda nula. es la rena per cápa en el esado esaconaro, g β es la velocdad de convergenca en el esado La ecuacón [] muesra que la asa de crecmeno de la rena per cápa alrededor del esado esaconaro se puede modelzar medane un modelo de correccón del error lneal. Como, bajo los supuesos del modelo neoclásco, β > 0, la ecuacón [] mplca que la rena per cápa converge al nvel del esado esaconaro, o de largo plazo. La velocdad de ajuse al equlbro de largo plazo β vene dada por el coecene de ajuse, ( ) e. Basándose en la ecuacón [], los esudos empírcos sobre convergenca con daos de sere emporal proponen las sguenes ecuacones para conrasar s las seres de rena de dos economías,, j, convergen haca el equlbro de largo plazo como predce el modelo neoclásco (Apéndce A.4), p j, λ j, j, η [2] l p j, α λ j, j, η [3] l

5 donde p es el número de reardos necesaros para que β η sea un rudo blanco, λ ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) j,, j, cápa de la economía, e j, j, j,, j, e,, es la rena per j es la rena per cápa de la economía j. La ecuacón [2] es la ecuacón de Dce Fuller Aumenada sn consane sn endenca. Esa es la ecuacón relevane s suponemos que las economías j enen un msmo esado esaconaro. La ecuacón [3] nclue un érmno consane que recoge la posbldad de que las economías puedan ener esados esaconaros derenes 2. En ambos casos el conrase de convergenca es el conrase de raíz unara lneal de Dce Fuller (979, 98). Ese conrase consdera bajo la hpóess nula ausenca de convergenca, λ 0, bajo la alernava convergenca, λ < 0. S se rechaza la hpóess nula mplca que ambas economías convergen haca su propo esado esaconaro a una velocdad consane dada por β. Además, en el caso de la ecuacón [2], donde el esado esaconaro es el msmo para las dos economías, un rechazo de la hpóess nula mplca ambén que las seres de rena de ambas economías convergen enre sí. Las ecuacones [2] [3] dervan de una aproxmacón lneal alrededor del esado esaconaro. Por esa razón, consderan la velocdad de convergenca, β, el coecene de reversón a la meda, λ, consanes. En esas crcunsancas se pueden aplcar conrases de raíz unara lneales para conrasar convergenca. El problema de esa meodoía es que se basa en el supueso de economías alrededor del esado esaconaro, por lo que sólo es correca s las economías esán realmene próxmas a su esado esaconaro. Sn embargo, en la prácca no podemos conocer s eso es así, ha razones mporanes para pensar que las economías se pueden enconrar sucenemene alejadas de su esado esaconaro. S las economías no han alcanzado el esado esaconaro, sno que se encuenran en la dnámca de ranscón haca el msmo, según el modelo neoclásco, la velocdad de convergenca no es consane n concde con la del esado esaconaro, por lo que la ecuacón [] no represena la dnámca de la rena per cápa para esas economías. Esa ecuacón debería ser modcada para ener en cuena que durane la ranscón haca el esado esaconaro, la velocdad de convergenca dsmnue a medda que las economías se acercan al msmo. La ecuacón [4] recoge ese hecho, 2 Esa ecuacón sólo es correca para el conrase de convergenca s suponemos que la derenca enre las economías radca úncamene en la asa de ahorro (Apéndce A.4).

6 β ( ) g ( e )[ ( ) ( )] ε [4] donde β es la velocdad de convergenca. Esa velocdad de convergenca no es consane sno que, bajo los supuesos del modelo de Solow-Swan, depende de la desvacón del equlbro de largo plazo en el período aneror, ( ( ) ( )), 0 β > [5] Las ecuacones [4] [5] muesran que un modelo de correccón del error no lneal, puede represenar la dnámca de la asa de crecmeno de la rena per cápa, posulada en el modelo de crecmeno neoclásco. Bajo los supuesos de ese modelo β > 0, la ecuacón [4] mplca que la rena per cápa converge a la rena de largo plazo. La velocdad de ajuse al equlbro de largo plazo vene dada por el coecene de ajuse, ( e ) β. A derenca de la ecuacón [] ése no es consane, sno que depende de la velocdad de convergenca, que será maor cuano maor sea la dsanca al esado esaconaro. A parr de la ecuacón [4], podemos dervar la sguene ecuacón para conrasar s las seres de rena de dos economías,, j, con el msmo esado esaconaro convergen haca su equlbro de largo plazo como predce el modelo neoclásco, p j, λ j, j, η [6] l donde p es el número de reardos necesaros para que η sea un rudo blanco, λ es el coecene de reversón a la meda. A derenca de las ecuacones [2] [3] ese coecene no es consane, sno que varía con la velocdad de convergenca de las economías. Ésa depende de lo alejadas del esado esaconaro que se encuenre cada economía. Cuano más alejadas esén, maor será la velocdad de convergenca, β, de cada una de ellas maor será el coecene de reversón a la meda, λ. A medda que ambas economías se acerquen al esado esaconaro, dmnurán. En el líme, cuando ambas esén mu próxmas al esado esaconaro β λ β, enderá a β, λ enderá a λ. En la prácca no conocemos a qué dsanca del esado esaconaro se

7 encuenra cada economía. Para modelzar λ poder esmar la ecuacón [6] suponemos que el derencal de rena enre ambas economías es un buen ndcador de la dsanca al esado esaconaro. Ese es un supueso mu razonable a que cuando las economías esán mu alejadas de su esado esaconaro, como aún no se ha alcanzado la convergenca en rena enre ellas, el derencal de rena enre ambas es elevado, λ es elevado. A medda que las economías se aproxman al esado esaconaro, como ése es el msmo para ambas, el derencal de rena enre ellas se reduce, λ dsmnue. En el esado esaconaro, las seres de rena de ambas economías convergen enre sí, por lo que el derencal enre ellas será mu pequeño, λ alcanza su valor mínmo que es λ. ( ( ) ( )) ( ), 0 λ,,, > [7] j j S, al como manene el modelo de Solow-Swan, la velocdad de convergenca no es consane, sno que depende de la dsanca al esado esaconaro la ecuacón [6] es la relevane para llevar a cabo el conrase de convergenca. En ese caso el conrase de convergenca es un conrase de raíz unara no lneal. Dada la especcacón de la ecuacón [6], la dnámca de λ recogda en [7], el conrase de raíz unara no lneal propueso en Kapeanos e. al. (2003) resula adecuado para conrasar convergenca en el marco del modelo neoclásco. Un rechazo de la hpóess nula arroja evdenca avorable al modelo de crecmeno neoclásco, mplcando que las seres de rena de ambos países convergen haca su esado esaconaro a una velocdad que depende drecamene de la dsanca al msmo. Como el esado esaconaro es el msmo, ese resulado ambén sgnca que los nveles de rena per cápa de ambos países convergen enre sí a una velocdad crecene con la dsanca que los separa a ambos. 3. Conrase de raíz unara no lneal Kapeanos e al. (2003) propone un procedmeno para conrasar la hpóess nula de no esaconaredad conra la alernava de que el proceso es no lneal pero globalmene esaconaro. En concreo, consdera bajo la alernava un proceso auoregresvo de ranscón suave donde la ranscón vene gobernada por una uncón exponencal (modelo ESTAR):

8 p 2 [ exp( θ )] ρ ε, T γ j j,..., [8] j donde ε d(0, σ ) 2, γ es un parámero desconocdo. es un proceso esocásco de meda cero 3. Kapeanos e al. (2003) consderan la uncón de ranscón exponencal, donde suponen θ 0. Esa uncón se caracerza por esar smércamene dsrbuda alrededor del cero, esar lmada enre cero uno, [ exp( 0) ] 0, lm [ exp( x) ] x ± θ es el parámero de ranscón del modelo. S θ es posvo, eecvamene conrola la velocdad de reversón al equlbro. S θ es gual a cero no habría reversón al equlbro porque el proceso endría una raíz unara. La ecuacón [8] ene sendo económco a que predce que la velocdad de reversón al equlbro varía nversamene con el amaño de la dsanca que la separa del msmo. Eso concuerda con el modelo de crecmeno neoclásco que posula que cuano más alejada esá la rena de un país de su esado esaconaro, más uere es la endenca a acercarse al msmo. En el conexo de ese modelo mplca que debemos ener γ < 0 para que el proceso sea globalmene esaconaro. Bajo esa condcón, el proceso endría una dnámca esable cuando 2 es grande, sn 2 embargo, para valores de pequeños endría una escasa reversón a la meda. En la mad del régmen el proceso ene una raíz raíz unara. El conrase de raíz unara lneal de Dce Fuller (979, 98) puede ener escasa poenca conra ales alernavas esaconaras no lneales, por lo que en ese escenaro es más convenene aplcar el conrase de Kapeanos e al. (2003) dseñado para ener poenca conra ales procesos ESTAR. El conrase de Kapeanos e al. (2003) se cenra drecamene sobre el parámero θ, que es cero bajo la hpóess nula posvo bajo la alernava. Bajo la hpóess nula ( θ 0 ) es un proceso lneal con raíz unara. Bajo la alernava ( θ > 0 ), es un proceso no lneal pero globalmene esaconaro, a que 2 < γ < 0 (Kapeanos e al., 2003). El problema es que no es posble conrasar drecamene la hpóess nula, a que γ no esá dencado bajo la nula (Daves, 987). Para soluconar ese problema Kapeanos e al. (2003) proponen reparamerzar la ecuacón [8] basándose en la aproxmacón de Talor de prmer orden, dervar un conrase basado en el 3 S la sere de nerés ene meda dsna de cero /o endenca lneal, la sere relevane para el análss es la resulane de resar dcha meda o endenca a la sere orgnal (Kapeanos e al., 2003).

9 esadísco. La aproxmacón de Talor de prmer orden al modelo ESTAR bajo la hpóess nula es: p 3 ρ j j η [9] j δ donde p es el número de reardos necesaros para que η sea un rudo blanco. Kapeanos e al. (2003) sugeren el sguene esadísco para conrasar la nula δ 0 conra la alernava δ < 0 : δ NL [0] σ ( δ ) donde δ es el esmador de MCO de δ, σ ( δ ) es la desvacón ípca de δ. A derenca de los conrases de lnealdad conra no lnealdad para procesos esaconaros, el esadísco NL no se dsrbue asnócamene como una normal. Kapeanos e al. (2003) dervan la dsrbucón asnóca del NL bajo la hpóess nula, calculan medane smulacones los valores crícos asnócos del esadísco para res posbles pos de procesos: con meda nula (caso ), con meda dsna de cero (caso 2), con endenca lneal (caso 3). El cuadro muesra los valores crícos. En la prácca p se desconoce debe deermnarse a pror. Nosoros ulzamos el procedmeno aplcado en Perron (989) para deermnar el valor de p. Comenzando con un valor máxmo de p (p max ), escogemos el prmer valor de p para el que el esadísco de ρ p sea maor que,6 en valor absoluo, el esadísco de ρ l para l>p sea menor que,6 4. Cuadro. Valores crícos asnócos para el esadísco NL (Kapeanos e. al., 2003) % 5% 0% Caso Caso 2 Caso

10 4. Análss de convergenca enre los países de Europa del Ese En ese rabajo aplcamos el conrase de raíz unara no lneal de Kapeanos, e. al. (2003) para conrasar convergenca en rena enre cuaro de los países de Europa del Ese: Bulgara, Hungría, Polona Rumana 5. Para odos esos países dsponemos de seres anuales de rena per cápa en pardad de poder de compra (PPP) desde el año Las seres de Hungría Polona se exenden hasa el año 2004, las de Bulgara Rumana hasa el año El gráco muesra las seres de rena per cápa en PPP (en armos) para esos países. Exsen derencas mporanes enre odos ellos. Hungría es el país de maor rena per cápa seguda de Polona Bulgara. La rena per cápa de Rumana es consderablemene más baja que la de los oros países. Dado que el objevo de ese rabajo es examnar convergenca en rena, los daos relevanes para el análss corresponden a los derencales de rena percápa (en armos) enre cada par de países 8. El gráco 2 muesra la evolucón de esos derencales. Se puede observar que los derencales con Rumana son consderablemene más elevados que enre el reso de países. 3 Gráco. Rena per cápa 2.5 Gráco 2. Derencales de rena per cápa Bulgara Hungra Polona Rumana Hungra-Bulgara Hungra-Polona Hungra-Rumana Polona-Bulgara Polona-Rumana Bulgara-Rumana 4 Ng Perron (995) demuesran para modelos lneales unvaranes que ese méodo presena venajas mporanes en érmnos de amaño respeco a los procedmenos basados en creros de normacón. En nuesro caso, bajo la nula de lnealdad las propedades del méodo de Perron (89) se manenen. 5 Nuesro deseo es exender ese esudo al reso de países de Europa del Ese, pero, por el momeno, no dsponemos de daos sucenes de esos países. 6 Son seres de rena per cápa en dólares de 2002 expresadas en EKS PPP. 7 Las seres de daos provenen de Gronngen Growh and Developmen Cenre and he Conerence Board, Toal Econom Daabase, Enero 2005, hp:// 8 Véanse las ecuacones [2], [3] [5] del aparado 2.

11 Para el análss de convergenca en rena enre esos cuaro países las seres relevanes son los derencales de rena per cápa enre cada par de países 9. Como comenamos en el aparado 2, el análss de convergenca enre dos economías se basa en aplcar conrases de raíz unara sobre la sere del derencal de rena per cápa (en armos) enre ellas. S se rechaza la hpóess nula las renas de esas dos economías esán convergendo. En ese rabajo aplcamos el conrase de raíz unara lneal de Dce Fuller (979, 98) el conrase de raíz unara no lneal de Kapeanos, e. al. (2003), a los derencales de rena per cápa enre cada par de países. Ambos son conrases de convergenca, pero, según lo explcado en el aparado 2, realzan supuesos mu derenes sobre la velocdad de convergenca haca el equlbro de largo plazo, por lo que los resulados de nuesro esudo deben ser nerpreados del sguene modo. S nngún conrase rechaza la hpóess nula no habría evdenca de convergenca. S al menos un conrase rechaza habría evdenca de convergenca. Ahora ben, las mplcacones sobre la velocdad de convergenca dependen de qué conrase rechaza. S es el conrase de raíz unara lneal el que rechaza podemos armar que la velocdad de convergenca durane el proceso de convergenca es consane. En cambo, s es el conrase de raíz unara no lneal el que rechaza habría evdenca de la velocdad de convergenca no es consane, sno que depende de la dsanca al esado esaconaro, como arma el modelo neoclásco. El cuadro 2 muesra derencas mporanes enre los resulados del conrase de Dce Fuller Aumenado con sn consane, µ respecvamene, el conrase de Kapeanos, e. al. (2003), 0 NL. Ése úlmo, rechaza la hpóess nula para los derencales enre Bulgara, Polona Hungría, ndcando que esos países convergen haca su esado esaconaro a una velocdad que depende de la dsanca al msmo. Como para la aplcacón de ese conrase se supone que esado esaconaro es el msmo, los resulados ambén mplcan que podemos hablar de convergenca enre las renas de Bulgara, Polona Hungra. Por el conraro, los resulados de los conrases de Dce Fuller (979, 98) no muesran evdenca de convergenca, a que no rechazan en nngún caso la hpóess nula. Esos resulados ponen de maneso dos cosas. Prmera, que ha convergenca enre Bulgara, Hungría Polona, pero que la velocdad de convergenca haca el equlbro de largo plazo no es 9 Para que N economías converjan enre sí se requere que haa convergenca enre cada par de economías. 0 Dado que las seres de los derencales de rena enen meda dsna de cero, para aplcar el conrase de Kapeanos, e. al. (2003) ue precso rabajar con las seres resulanes de resar la meda a la sere orgnal.

12 consane, por lo que es mporane aplcar conrases no lneales que engan en cuena esa hecho. Segunda, que las conclusones de los conrases de raíz unara lneales no lneales pueden ser mu derenes. Esas derencas se deben a la baja poenca de los conrases de raíz unara lneales conra alernavas no lneales (Kapeanos, e. al., 2003). S, al como predce el modelo neoclásco, la velocdad de convergenca no es consane, la reversón haca el equlbro de largo plazo no es consane, por lo que el conrase de de raíz unara lneal de Dce Fuller (979, 98) no es váldo puede llevar a conclusones erróneas. Cuadro 2. Conrases de raíz unara sobre los derencales de rena µ NL Hungra Polona (0) (2) -2.9 (2) Hungra Bulgara (0) -2.3 (0) (0) Hungra Rumana () -.39 () -.05 () Polona Bulgara -.06 (2) -.95 (2) (2) Polona Rumana 0.43 (5) -.07 () -.83 (5) Bulgara - Rumana.2 (4) (2) -.67 (0) () denoa que se rechaza la hpóess nula al 0% (5%) Los valores crícos de los esadíscos µ son los calculados en Macnnon (99), los de NL son los calculados en Kapeanos e. al. (2003) para el caso 2. Enre paréness se muesra el número de reardos, p, ncludos en la ecuacón del conrase para que las perurbacones del modelo uesen rudo blanco. Deermnamos p ulzando el procedmeno de Perron (989), con p max Conclusones En ese rabajo mosramos que los conrases de raíz unara lneales, que radconalmene se han empleado para el análss de convergenca, no son correcos. Esos conrases no enen en cuena una de las mplcacones del modelo de crecmeno neoclásco: la velocdad de convergenca dsmnue a medda que la rena se aproxma a la del esado esaconaro. En esas crcunsancas, su aplcacón no perme conrasar la hpóess de convergenca dervada del modelo neoclásco. Además, pueden llevar a conclusones erróneas sobre la hpóess de convergenca s la velocdad de convergenca no es consane durane la ranscón haca el esado esaconaro. Nosoros mosramos la convenenca de aplcar conrases de raíz unara no lneales para conrasar convergenca en el marco del modelo neoclásco. Esos conrases permen conrasar la hpóess de convergenca Según el modelo neoclásco ese conrase sólo sería váldo para economías alrededor de su esado esaconaro, donde la velocdad de convergenca se puede suponer consane.

13 enendo en cuena que la velocdad de convergenca no es consane, sno que depende drecamene de la dsanca al esado esaconaro, al como se derva del modelo neoclásco. Por úlmo, realzamos una aplcacón empírca donde conrasamos convergenca en rena enre cuaro países de Europa del Ese. Aplcamos conrases de raíz unara lneal (Dce Fuller) no lneales (Kapeanos, e. al., 2003). Los resulados de ése úlmo ndcan convergenca enre res de los cuaro países, menras que el conrase de Dce Fuller no encuenra evdenca de convergenca en nngún caso. Esa derenca de resulados ndca que la velocdad de convergenca enre esos países no es consane, pone de maneso las decencas de los conrases de raíz unara lneales para conrasar convergenca cuando la velocdad de convergenca depende de la dsanca al esado esaconaro. Apéndce A A.. la ecuacón undamenal del modelo de crecmeno neoclásco Consderemos la sguene uncón de produccón neoclásca 2 : Y ( K L A ) F, [.A] donde Y es la produccón, K el acor capal, L el acor rabajo A el progreso ecnológco. Para que exsa un esado esaconaro la ecnoía debe esar mulplcando al acor rabajo en la uncón de produccón. A ese produco, L L A, se le suele llamar undades de ecenca del rabajo (Sala--Marn, 2000). La produccón medda en érmnos de undades de ecenca del rabajo es ( K, L A ) Y F K, (,) ( ) [2.A] F F L A L A L A 2 Las uncones de produccón neocláscas son aquellas que sasacen las sguenes propedades: rendmenos consanes a escala, producvdad margnal del capal del rabajo es posva, pero decrecene, sasace las condcones de Inada. Ésas exgen que la producvdad margnal del capal (rabajo) se aproxme a cero cuando capal (rabajo) ende a nno, que enda a nno cuando el capal (rabajo) se aproxma a cero.

14 K donde es el capal por undad de rabajo ecene. L A S consderamos una economía cerrada, el produco nal de la economía se dsrbue enre consumo e nversón. Y C I [3.A] Se supone que la asa de ahorro es consane en el empo e gual a s. En una economía cerrada el ahorro la nversón concden, por lo que el consumo la nversón de esa economía venen dados por las ecuacones: Y C s [4.A] I sy [5.A] La nversón oal de una economía es gual al aumeno neo del soc de capal, más la dk deprecacón del capal exsene. S denoamos la nversón nea por K&, la deprecacón d por D, enemos: I K& D [6.A] La deprecacón en cada momeno del empo será gual a la asa de deprecacón por el capal exsene en ese momeno. S suponemos una asa de deprecacón consane e gual a δ, podemos escrbr: I K & δk [7.A] Susuendo érmnos en la ecuacón [3.A], reagrupando ( K L A ) δk K& sy δk sf, [8.A]

15 La ecuacón [8.A] muesra cuál es el aumeno del soc de capal en cada nsane. En érmnos de undades de ecenca, el aumeno del soc de capal en cada nsane vene dado por la sguene ecuacón, d d & K d L A d K& L A K A L& K L A& [9.A] 2 ( L A ) L A L A K& L& A& S suponemos que L crece a una asa exógena consane que denoamos n, que A crece ambén a una asa exógena consane que denomnamos g, la ecuacón [9.A] se puede escrbr del sguene modo, K& & n g L A [0.A] De la ecuacón [8.A] podemos dervar cuál es el prmer érmno de esa ecuacón 3 K& L A sf ( K, L A ) L A K ( ) δ s δ A L [.A] Susuendo ese érmno en la ecuacón [0.A], ( ) ( n g δ ) & s [2.A] Esa es la ecuacón undamenal del modelo de Solow-Swan. Descrbe la evolucón del soc de capal por undad ecene a lo largo del empo. La ecuacón [2.A] ndca que el soc de capal por undad ecene aumena a medda que aumena la asa de ahorro. Por el conraro, dsmnue cuando aumenan el número de undades ecenes o la asa de deprecacón. Como la uncón de produccón es neoclásca, ( ) es crecene cóncava. Además, la pendene de ( ) ende a nno cuando se aproxma a cero, ende a cero cuando se acerca a nno. La uncón s ( ), llamada curva de ahorro, es proporconal a la uncón de produccón,

16 por lo que ambén es crecene, cóncava, vercal en el orgen asnócamene horzonal. Dado que la asa de ahorro es un número menor que uno, la uncón s ( ) es neror a ( ). La pendene de la uncón ( n g δ, denomnada en sendo amplo curva de deprecacón, es ) consane a que es una línea reca. En el gráco.a se represenan odas esas uncones. Gráco.A ( ) ( n g δ ) s ( ) El gráco.a muesra que las uncones s ( n g δ ), se cruzan en el orgen (s 0 ambas uncones son guales a cero). A parr de ese puno la pendene de la curva de ahorro va decrecendo a medda que aumena, menras que la pendene de la curva de deprecacón es consane. Eso mplca que exsrá un valor de capal, 0, donde las curvas de ahorro de deprecacón necesaramene vuelvan a cruzarse. Pasado ese puno, dado que la pendene de s ( ) ) sgue decrecendo que ( n g δ es una línea reca, las dos curvas no vuelven a cruzarse más. Es decr, s gnoramos el orgen, las curvas de ahorro deprecacón deben cruzarse una vez solamene una. El puno donde las curvas se cruzan se llama esado esaconaro. S la economía se encuenra en ese puno la curva de deprecacón es gual a la de ahorro, la ecuacón [2.A] ndca que el soc de capal por undad ecene no varía, ( & 0 ). Es decr, s la economía se encuenra en se quedará en ese puno para sempre. Al soc de capal con esa propedad se le llama soc de capal de esado esaconaro. El gráco.a srve ambén para ver que el esado esaconaro es esable, dado que, engamos el capal que engamos, la dnámca del modelo nos hace gravar haca el esado esaconaro. Eso es así porque a la zquerda de la curva de ahorro es superor a la curva de deprecacón. En esa 3 Se aplca el supueso de que la uncón de produccón presena rendmenos consanes a escala.

17 regón la ecuacón undamenal de Solow-Swan dce que & > 0 por lo que el capal aumena. Lo conraro ocurre a la derecha de, donde la curva de ahorro es neror a la de deprecacón & < 0. Resumendo, el modelo neoclásco mplca que el esado esaconaro exse, es únco es esable. La dvsón de la ecuacón undamenal de Solow-Swan por el soc de capal por undad ecene, da la asa de crecmeno del capal, ( ) & γ s g δ ( n ) [3.A] Esa ecuacón explca que la asa nsanánea de crecmeno del capal en érmnos eecvos será gual a la derenca enre el ahorro por undad de capal eecva la asa de deprecacón, enendda ésa en un sendo amplo. Obsérvese que ahora la curva de ahorro, s, es una uncón decrecene en. Tende a nno cuando ende a cero, ende a cero cuando ende a nno 4. La curva de deprecacón es ndependene de se represena por una línea horzonal. El gráco 2.A represena ambas uncones. Gráco 2.A γ n g δ s ( ) El gráco 2.A muesra que la asa de crecmeno es posva para valores de nerores a, negava para valores de superores a. Además la asa de crecmeno es ano maor cuando más por debajo esá la economía del esado esaconaro. Dsmnue al r aproxmándose la economía al esado esaconaro. Cuando se alcanza el esado esaconaro el crecmeno se deene

18 la economía permanece en él para sempre. En ese puno la asa de crecmeno de es cero, & γ 0. S el soc de capal por undad ecene es consane, el PIB por undad ecene, Y, ambén será consane ( & 0 LA ), por lo que su asa de crecmeno ambén será gual a cero, & γ 0. S las varables en érmnos de undades de ecenca son consanes en el largo plazo, las varables en érmnos per cápa crecerán a largo plazo al msmo rmo que el progreso ecnológco. Eso es así porque dado que ( γ γ g) ( γ γ g) 5, que en el esado esaconaro γ γ 0, enonces la asa de crecmeno de las varables en érmnos per cápa vendrá explcada úncamene por el progreso ecnológco, γ γ g. El modelo de crecmeno neoclásco posula que a largo plazo la únca uene de crecmeno de una economía es el progreso ecnológco, que supone exógeno consane. Ese es precsamene el gran problema del modelo neoclásco, al suponer que el progreso ecnológco es exógeno en el sendo de que no surge de la nversón en ID de las empresas, n del esuerzo nvesgador de nade, enonces ese modelo de crecmeno no es capaz de explcar de dónde surge la uene del crecmeno de largo plazo. A.2. Transcón haca el esado esaconaro El modelo neoclásco mplca que en el esado esaconaro las economías crecen al msmo rmo que el progreso ecnológco. Pero, qué pasa s las economías no esán en el esado esaconaro? 4 ( ) F(,) s s sf, 5 Dervacón de la asa de crecmeno del capal percápa: A A d d d A d d d γ γ γ γ g Del msmo modo obenemos para la rena per cápa: γ A γ γ A γ g

19 Ese modelo orece aspecos neresanes sobre la ranscón haca el esado esaconaro. Para descubrrlos comenzamos calculando la velocdad de convergenca, enendda como el cambo en la asa de crecmeno cuando el capal aumena en un %. γ β [4.A] Para calcular esa dervada es precso expresar la asa de crecmeno como uncón de, dado que ahora la enemos como uncón de. Susuendo en la ecuacón [3.A], γ δ g n se [5.A] De la expresón [5.A] podemos dervar la velocdad de convergenca. K PMg s e s e e e s e s e s s se e s γ β [6.A] donde K PMg 6, el cocene K PMg, al que denomnamos α, es la parcpacón del capal en el produco, que suponemos consane, 6 K L A L A K L A K L A K Y PMg

20 PMg K K L PMg A K K α [7.A] ( ) Y Y PMg K L A La velocdad de convergenca es: ( ) ( α ) γ ( n g δ ) ( )( α ) ( γ ( n g δ ))( α ) β s [8.A] La expresón [7.A] muesra que la velocdad de convergenca no es consane sno que crece con la asa de crecmeno del capal. Como ésa es decrecene con el nvel de capal, la velocdad de convergenca decrecerá a medda que aumene el nvel de capal. Eso es, para nveles mu bajos de capal la velocdad de convergenca será mu elevada, a medda que el capal se vaa ncremenando la velocdad de convergenca rá dsmnuendo. Eso mplca que la velocdad de convergenca para economías por debajo del esado esaconaro será maor que en el esado esaconaro. A meda que la economía se aproxme a su valor de esado esaconaro, la velocdad de convergenca rá dsmnuendo. Por el conraro, cuando el capal se encuenre por encma de su nvel del esado esaconaro la velocdad de convergenca será más pequeña que en el esado esaconaro, aumenará a medda que el capal se aproxme al esado esaconaro. La velocdad de convergenca no llega a ser nunca negava. En el líme, cuando el capal ende a nno la velocdad de convergenca ende a cero. En el esado esaconaro, donde γ 0, la velocdad de convergenca es: ( α )( n δ ) β g [9.A] A.3. Dnámca de la rena alrededor del esado esaconaro Para esudar la dnámca alrededor del esado esaconaro reparamerzamos la ecuacón [2.A] medane un desarrollo de Talor de prmer orden alrededor del esado esaconaro,

21 [ ] g n g n g n s δ δ δ & & & [20.A] Como hemos vso anes, α, la ecuacón se puede expresar del sguene modo, [ ] g n g n g n β δ α δ α δ & [2.A] Esa ecuacón muesra la dnámca del capal alrededor del esado esaconaro. Del msmo modo, en érmnos de rena 7, β & [22.A] S dvdmos la ecuacón [22.A] por la rena eecva, obenemos la dnámca de la asa de crecmeno de la rena alrededor del esado esaconaro, β β & [23.A] S esamos cerca del esado esaconaro, como es nuesro caso, 7 Dado que, podemos expresar d d d d & & Enonces, Despejando en la expresón aneror Susuendo, [ ] β β &

22 [24.A] Susuendo en la ecuacón [23.A], β β β β β & [25.A] la resolucón de esa ecuacón da, 0 0 e β [26.A] La ecuacón aneror muesra cuál es la dnámca de la rena en érmnos eecvos alrededor del esado esaconaro. Tenendo en cuena que la ecnoía crece a una asa g, g e A A 0, podemos expresar la ecuacón [26.A] en érmnos de rena per cápa 0 0 e g β [27.A] Esa ecuacón muesra la dnámca de la rena per cápa alrededor del esado esaconaro. La ecuacón [27.A] es una ecuacón en empo connuo. Consderemos ahora una versón de la ecuacón aplcada a períodos dscreos de empo, aumenada para nclur una perurbacón aleaora (Barro Sala--Marn, 992): [ ] e g ε β [28.A] Esa ecuacón nos muesra la evolucón de la rena per cápa en empo dscreo alrededor del esado esaconaro. La asa de crecmeno en empo dscreo depende de la dsanca que separa a la economía de su esado esaconaro

23 > Bajo los supuesos del modelo neoclásco β 0, lo que mplca convergenca haca el esado esaconaro. Eso es así porque s > 0 β β enonces ( ) e es sempre un número posvo, por lo que la asa de crecmeno será posva s la rena de la economía esá por debajo de la del esado esaconaro, negava s la rena de la economía es superor a la del esado esaconaro. En cuano a la magnud de la asa de crecmeno depende de la dsanca al esado esaconaro, [ ( ) ( )] β S llamamos λ ( ), a maor dsanca maor magnud. e, la ecuacón [28.A] se puede expresar como, ( ) g λ[ ( ) ( )] ε [29.A] La ecuacón [29.A] muesra que, bajo los supuesos del modelo neoclásco, la asa de crecmeno de la rena per cápa alrededor del esado esaconaro se puede modelzar medane un modelo de correccón del error lneal, donde λ es la velocdad de ajuse al equlbro de largo plazo. A.4. Conrase de la hpóess de convergenca para economías próxmas al esado esaconaro Para deermnar s el modelo neoclásco se cumple para una deermnada economía ésa converge realmene haca su esado esaconaro, basaría con esmar la ecuacón [29.A] conrasar la hpóess nula de no convergenca, λ 0 conra la alernava de convergenca, λ < 0. El problema es que esa ecuacón no se puede esmar porque la rena del esado esaconaro normalmene no se conoce. A pesar de ello, s consderamos dos economías próxmas a su esado esaconaro es posble ormular un conrase de convergenca, s ambas economías son déncas o deren úncamene en la asa de ahorro. A.4.. Economías con el msmo esado esaconaro Consderemos dos economías,, j, déncas, por lo que el esado esaconaro es el msmo para ambas. En ese caso, bajo los supuesos del modelo neoclásco, la ecuacón [38.A] se vercaría para las dos economías, (, ) λ[ (, ) ( )] ε, [30.A]

24 ( j, ) λ[ ( j, ) ( )] ε j, [3.A] donde es la rena per cápa de la economía, e j es la rena per cápa de la economía j. Resando ambas ecuacones, (, ) ( j, ) λ[ (, ) ( j, )] ξ [32.A] donde ξ, es un proceso esocásco de meda nula. S denmos la varable: ε, ε j, ( ) ( ), enonces ( ) j,, j, ecuacón [32.A] se puede escrbr como,, j, j, j, j,, la j, λ j, ξ [33.A] Esa es una ecuacón de Dce Fuller sn consane sn endenca, el conrase relevane para deermnar s λ < 0 es un conrase de raíz unara de Dce Fuller (979). Ese conrase consdera bajo la hpóess nula ausenca de convergenca, λ 0, bajo la alernava convergenca, λ < 0. S se rechaza la hpóess nula de raíz unara, mplca que se verca el modelo neoclásco que ambas economías convergen haca su propo esado esaconaro. Además, dado que el esado esaconaro es el msmo, la hpóess de convergenca mplca ambén que las seres de rena de ambas economías esán convergendo enre sí. De ese modo el conrase del modelo neoclásco de crecmeno se convere ambén en un conrase de convergenca en rena enre dos economías. S las perurbacones de la ecuacón [33.A] presenan auocorrelacón seral, podemos exender dcha ecuacón del sguene modo (Sad Dce, 984), p j λ j, l j,, η [34.A] donde p es el número de reardos necesaros para que η sea un rudo blanco. Esa es la ecuacón de Dce Fuller Aumenada para ener en cuena la posble correlacón seral. Al gual que en la

25 ecuacón [42.A] el conrase relevane para deermnar convergenca es un conrase de raíz unara lneal. A.4.. Economías con derene esado esaconaro Consderemos ahora dos economías que no enen el msmo esado esaconaro, pero que deren enre sí úncamene en la asa de ahorro. En ese caso aún es posble llevar a cabo el conrase de convergenca porque λ es la msma para las dos economías 8. Las ecuacones relevanes para cada economía son: (, ) λ[ (, ) (, )] ε, [35.A] ( j, ) λ[ ( j, ) ( j, )] ε j, [36.A] donde es la rena per cápa de la economía en el esado esaconaro e j. Resando ambas ecuacones, j la de la economía (, ) ( j, ) λ[ (, ) ( j, )] λ[ (, ) ( j, )] ξ [37.A] donde ξ ε, es un proceso esocásco de meda nula. Dado que en el esado esaconaro, ε j, odas las economías crecen a una msma asa g, el derencal de rena del esado esaconaro enre ambas economías es consane en el empo, ( ) ( ) [37.A] se puede expresar del sguene modo,, j,, por lo que la ecuacón j, α λ j, ξ [38.A] donde α λ, j, (, ) ( j, ). Esa es la ecuacón de Dce Fuller con consane. Como comenamos anerormene, el conrase de convergenca es el conrase de raíz unara de Dce Fuller (979). S se rechaza la hpóess nula se verca el modelo de 8 Dado que la velocdad de convergenca en el esado esaconaro no depende de la asa de ahorro, ésa es la msma para las dos economías.

26 crecmeno neoclásco, lo que sgnca que ambas economías convergen haca su propo esado esaconaro. Ahora ben, el esado esaconaro de las economías no es el msmo, por lo que no habrá convergenca enre los nveles de rena de ambas. A largo plazo el derencal de rena enre ambas convergerá al derencal de rena del esado esaconaro,. S ξ presena auocorrelacón seral la ecuacón relevane para el conrase de raíz unara es la de Dce Fuller Aumenada, p j α λ j, l j,, η [39.A] donde p es el número de reardos necesaros para que η sea un rudo blanco. Bblograía Barro, R. J. Sala--Marn (992): Convergence, Journal o Polcal Econom, 00, 2, págs Daves, R.B. (987): Hpohess esng when a nusance parameer s presen under he alernave, Bomera, 74, págs Dce, D.A. Fuller, W. (979): Dsrbuon o he esmaors or auoregressve me seres wh a un roo, Journal o he Amercan Sascal Assocaon,, 74, págs Dce, D.A. Fuller, W. (98): Lelhood rao sascs or auoregressve me seres wh a un roo, Economerca, 49, págs Kapeanos, G., Shn, Y. Snell, A. (2003): Tesng or a un roo n he nonlnear STAR ramewor, Journal o Economercs, 2, págs MacKnnon, J.G. (99): Crcal values or conegraon ess en Long-run economc relaonshps: readngs n conegraon, R.F. Engle C.W.J. Granger edores, Oxord Unvers Press. Ng, S. Perron, P. (995): Un roo ess n ARMA models wh daa-dependen mehods or he selecon o he runcaon lag, Journal o he Amercan Sascal Assocaon, 90, págs Perron, P. (989): The grea crash, he ol prce shoc, and he un roo hpohess, Economerca, 57, págs

27 Sala--Marn, X. (2000): Apunes de crecmeno económco, Anon Bosch, edor, S.A., Barcelona. Sad, S.E. Dce, D.A. (984): Tesng or un roos n auoregressve movng average models o unnown order. Bomera, 7, págs Solow, R.M. (956): A conrbuon o he heor o economc growh, Quarerl Journal o Economcs, 70, págs Swan, T. (956): Economc growh and capal accumulaon, Economc Record, 32, págs