UN MODELO NO LINEAL PARA LA PREDICCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL ÍNDICE IPSA CONSIDERANDO VOLATILIDADES EN CLUSTERING

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS ESCUELA DE ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN UN MODELO NO LINEAL PARA LA PREDICCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL ÍNDICE IPSA CONSIDERANDO VOLATILIDADES EN CLUSTERING Semnaro para opar al íulo de Ingenero Comercal Mencón Admnsracón Profesor guía: Dr. Anonno Pars Fernández Auor: Danel Ncolas Lanyon Roseco Dcembre de 7 Sanago de Cle

2 volaldades en cluserng Gracas al esfuerzo de ms padres al apoyo de m esposa y dedcada a m o, Gracas Señor.

3 volaldades en cluserng UN MODELO NO LINEAL PARA LA PREDICCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL ÍNDICE IPSA CONSIDERANDO VOLATILIDADES EN CLUSTERING Profesor guía: Dr. Anonno Pars Fernández Auor: Danel Ncolas Lanyon Roseco Resumen El esudo evalúa la capacdad de un modelo GARCH, opmzado por algormo genéco, para predecr la dreccón del cambo del preco de un índce fnancero, parcularmene el IPSA. La parculardad de esa ess es que ncorpora en el modelo evenos o epsodos de volaldad pasados y así verfcar la capacdad de esos modelos para modelar el comporameno del IPSA y meorar la capacdad de acerar a los cambos de varacón de sgno del índce. A modo de comparacón se evaluó ese modelo con modelos GARCH smples que no ncorporan esos epsodos de volaldad. El índce ulzado fue el IPSA y los daos se omaron desde una sere sórca de daos semanales, perodo que corresponde al de Enero de 995 y 8 de Dcembre del 7. Los resulados arroados mosraron que en general los modelos GARCH (p, q) no obenen un buen PPS arroando una meda del 53,93% denro de un nervalo al 95% de confanza en 53,3% y 54,73%. Sn embargo, al nclur los epsodos de volaldad como clusers y opmzar la funcón de máxma verosmlud mnmzando el error cuadráco medo ECM, se logran meores resulados y muesra que, s ben la opmzacón de una esrucura GARCH (p, q) no garanza un buen PPS, en la medda que el ause aumena, dsmnuyendo el ECM, se obene un meor PPS. Sn duda que los meores resulados ano 3

4 volaldades en cluserng en ECM como en PPS fueron canalzados por un meor ause de la esmacón que además permó acerar mas veces al sgno de la varacón. Es posble que al ncorporar al modelo la capacdad de los raders de reconocer epsodos que alguna vez se deron en el pasado para ausar sus predccones aya ncorporado mayor realsmo y por ende un meor ause. 4

5 volaldades en cluserng INDICE Inroduccón 6 Marco Teórco 8. Opmzacón de Esrucura con Algormo Genéco. Modelos de Volaldad Esocásca 3 Meodología Aspecos generales. 3. Especfcacón del Modelo 3.3 Desarrollo de Algormo Genéco 3.4 Implemenacón 4 Resulados y Análss. 8 5 Conclusones.. Bblografía.. Anexos.. 3 5

6 volaldades en cluserng - Inroduccón Cuando un agene dseña sus esraegas normalmene consdera nformacón pasada. Sn embargo, la nformacón que consdera puede ser no solo nformacón recene sno ambén evenos o epsodos anerores que, por su mpaco, deban ser consderados como anecedenes para escenaros smlares fuuros. La memora del nversonsa podría recordar esos epsodos especales que son smlares a escenaros en el presene y enonces la nformacón a ulzar se súa en exremos emporales leos del comporameno acual que presena el acvo. Ese esudo preende nvesgar, como póess de rabao, que los agenes consderan para la formulacón de sus esraegas la volaldad pasada recordada como epsodos de volaldad. Los modelos de volaldad GARCH (, ) consderan la varanza a sobre en un componene auorregresvos y un componene de meda móvl. Esmamos que a esa esrucura clásca pueden ncorporarse varables que esén asocadas a esos epsodos de volaldad de manera de no meorar la predccón de la varacón del sendo del preco del índce IPSA. El algormo se formula como la opmzacón de esrucura medane la écnca de bao algormo genéco, esmando por el méodo de máxma verosmlud y evaluando los modelos resulanes en su porcenae de predccón de sgno o PPS. Con el fn de enconrar una meora sgnfcava en PPS para los modelos enconrados y en especal para el modelo opmo de a cuerdo a ECM se esuda la sere sórca sobre el índce que se basa el esudo, el IPSA, perodo correspondene al de Enero de 995 al 8 de Dcembre del 7 omando daos semanales. Se selecconan perodos en los que se aprecan volaldades sobre el promedo y se les denomna clusers de volaldad para ser ngresados al modelo GARCH obenendo un modelo modfcado en el cual se evalúan los msmos oupu. Se deermnara enonces el poder del modelo GARCH (p, q) opmzado bao algormo genéco para obener un buen PPS y bao el modelo modfcado se espera 6

7 volaldades en cluserng enconrar un meor resulado sobre el msmo ndcador deando en segundo plano su mpaco denro del ECM. 7

8 volaldades en cluserng - Marco Teórco.- Opmzacón de Esrucura con Algormo Genéco El algormo genéco (AG) como proceso de opmzacón ene su orgen en la seleccón naural propuesa por Carles Darwn en 859 en su obra magna El orgen de las especes que ace de una espece un ene que ene la capacdad de adaparse al medo y sobrevvr por su meora consane y dversdad. Ese algormo smula la creacón de un ndvduo a nvel genéco que provene de oros dos ndvduos que en un proceso de crossover comparen e nercamban genes, dando como resulado una esrucura genéca dsna pero que guarda muco en común con sus orígenes. El proceso consse en omar una esrucura y asocar a cada varable ndependene un gen represenado por ceros o unos que excluyen o ncluyen respecvamene la varable a la esrucura. El resulado es una cadena de ceros y unos obendos de forma aleaora que deermna la esrucura a ulzar, esa es evaluada y se repe el proceso asa obener una base de esrucuras que llamamos poblacón ncal o progenores. La opmzacón ocurre cuando solo los meores se reproducen enre s y obenemos un ndvduo que probablemene sea bueno y meor que sus padres. El conuno de esos ndvduos se le denomna prmera generacón. El proceso culmna obenendo varías generacones que dan como resulado al meor ndvduo. Hasa el momeno el proceso cumple con opmzar la esrucura, sn embargo la dversdad ambén es una caracerísca mporane mas allá del po de cross-over que se aplque, esa es foralecda por la muacón aleaora de algunos genes para un porcenae pequeño de cada generacón. Los algormos genécos enen su prmera aplcacón con Jon Holland (975) de la Unversdad de Mcgan. Aplcacones sucesvas las podemos enconrar en dsnos campos como la ngenería ndusral por Goldberg (985), bología molecular por James D. Wason (987) y sobre crédos bancaros Davs (994). Una de las úlmas aplcacones en fnanzas elaboradas por Pars, Pars y Corneo (4), aplca algormo genéco a modelos mulvarables con crero de opmzacón PPS enconrando esrucuras con meores resulados. Las venaas de la ulzacón de algormo genéco radcan prncpalmene en su efcenca sobre la fuerza brua (FB), donde los cosos de empo y recursos son 8

9 volaldades en cluserng exremadamene elevados para enconrar la esrucura ópma, menras que AG es capaz de llegar a una solucón muy cercana al ópmo en FB con menores cosos. Según explca A. Pars en la acualdad AG ene su aracvo sobre FB pero en un fuuro muy cercano la ecnología nos permrá acer fuerza brua a bao coso, enonces AG empeza a perder su foraleza en efcenca..- Modelos de Volaldad Esocásca Cuando observamos el comporameno de la volaldad en el empo podemos observar que esa se agrupa en períodos de ala y baa volaldad dando orgen a lo que conocemos como Clusers de Volaldad por lo que se ace dfícl acepar que ano la varanza condconal como ncondconal se manenen esables. El modelo po ARCH (eerocedascdad condconal auorregresva) propueso por Engle (98) logra esmar de forma smulánea la varanza y meda condconal bao la sguene propuesa: R u q De esa forma el modelo apuna a explcar el segundo momeno, es decr, ulza rezagos del error al cuadrado. Enonces la volaldad condconal esa descra por y es rudo blanco que puede dsrbur N (, ) u ora dsrbucón conocda. El proceso de esmacón de u puede llevarse a cabo con un muesreo exramuesral reerado con al de obener una meda para ese valor. En cuano a los coefcenes de, esos deben cumplr ceras condcones que aseguren la no negavdad y valores fnos ano para la varanza condconal como para la varanza ncondconal, que son: q 9

10 volaldades en cluserng Además e a pesar de no presenar correlacón seral, s lo ace en sus segundos momenos por ano: Cov (, ) Enonces en la medda que el error se ncremena en, podemos observar que en + la varanza condconal aumena. Podemos decr que: La varanza condconal esará dada por: q La varanza ncondconal esará dada por: ( E ) q El modelo ARCH(q) revsado anerormene ncorpora q rezagos de. La esrucura que propone Bollerslev (986) ncorpora componenes auorregresvos de al ncorporar rezagos de forma: en la defncón de un modelo GARCH (p, q) de la sguene r q p

11 volaldades en cluserng Nóese que el modelo ARCH (q) es un dervado del modelo GARCH (q, p) que ncorpora cero rezagos de con p=. Podemos decr que: La varanza condconal esará dada por: q p Por ano varía en el empo al gual que en el caso aneror. La varanza ncondconal esará dada por: ( E ) q p En cuano a los coefcenes de, esos deben cumplr ceras condcones que aseguren la no negavdad y valores fnos ano para la varanza condconal como para la varanza ncondconal, que son: q p q p La gran ncógna de ese po de modelos es cuanos rezagos nclur. Para los modelos ARMA exsen écncas de seleccón como lo es Akake (973) que ulza un crero de seleccón. Pero mas allá de cuanos rezagos la preguna es cuales rezagos nclur en la esrucura. Como esos creros no son capaces de responder esa nerrogane enonces se recurre a una opmzacón de la esrucura a ravés de algormo genéco, proceso eravo explcado en el puno aneror. A dferenca de un esudo economérco

12 volaldades en cluserng que apuna a enconrar causaldad, la ulzacón de AG nos brnda la capacdad de ausarnos a lo que esa sucedendo en un momeno deermnado, es decr preende capurar la endenca en un nsane oorgándonos la capacdad de omar decsones de coro plazo. 3- Meodología 3.- Aspecos generales. La puesa en marca del esudo ene como foco prncpal opmzar una esrucura de modelo de volaldad a ravés de algormo genéco a fn de enconrar un modelo con el menor ECM posble, nvolucrando en el modelo la opcón de ulzar nformacón de algún cluser de ala volaldad cuando esa se presene, por ano el prmer obevo es evaluar la capacdad del modelo orgnal en PPS y luego ncorporar los clusers de volaldad para enconrar una meora en los resulados. Los daos a ulzar es una sere sórca del índce IPSA comprendda enre enero del y dcembre del 7 como daos daros del las prce. Las renabldades se obenen de la sguene manera ( P )/ P P, donde P es el las prce asocado al perodo y -. Se emplean 677 observacones. El esudo se realza en dos eapas, una de ellas es la evaluacón de resulados de una opmzacón por Algormo genéco sobre el modelo clásco expueso en el marco eórco, es decr ulzar un GARCH (p, q) y en la segunda eapa se ncorporan al modelo los clusers de volaldad sórcos para conrasar los resulados.

13 volaldades en cluserng 3.- Especfcacón del Modelo con Clusers de Volaldad Hsórcos El modelo propueso por esa ess es un modelo GARCH modfcado para ser capaz de nclur volaldades perenecenes a clusers de ala volaldad sórcos de la sere solo para aquellos valores de error que escapan a la meda nramuesral. r 3 3 D 3 m s C m Donde... D n n Sea C rezago promedo de m perenecene a un cluser de ala volaldad en un empo deermnado. Sea s parámeros a esmar sobre C. m Sea D varable dummy que acva C m solo cuando se presenan errores asocados a ala volaldad. Sea n n el promedo de los errores de base nramuesral de observacones n. 3

14 volaldades en cluserng 3.3- Desarrollo de Algormo Genéco Se asoca a cada varable explcava un valor de celda que puede omar valores o uno y pondera su valor para acvar o desacvar su parcpacón en la esrucura del modelo. Al conuno de celdas con valores o que complean el numero de varables propuesas en el modelo para una esrucura dada se le denomnará genopo. La longud de cada uno de ellos esa dada por el numero de rezagos a nclur que son; res rezagos de, res rezagos de y res clusers de volaldad mas una consane. Se crean enonces al menos genopos dsnos de manera aleaora que serán nuesra poblacón de orgen. La poblacón es evaluada y erarquzada por ECM para selecconar los meores genopos que enrarán en proceso de cross-over. El proceso de cross-over combna los genopos de al forma de obener al menos dos ndvduos con un cruce smple. El proceso de eleccón de genopos a cruzar ambén es aleaoro, ese proceso ocurre asa obener genopos nuevos que enran en proceso de muacón y luego de evaluacón para ser erarquzados y reper el cruce para obener más generacones. El proceso culmna asa obener la cuara generacón Evaluacón La evaluacón del modelo bao PPS medrá el resulado exramuesral de cada acero en el sgno de la renabldad como consecuenca de la predccón en volaldad con. Ese proceso aplcara una seleccón de daos con rollng que ncorpora nformacón omando los x daos anerores en una eracón e ncorporando la observacón sguene para esmar en una nueva eracón abandonando la nformacón del ulmo rezago ulzado en la predccón aneror, de al forma de manener x observacones como muesra para la esmacón por máxma verosmlud, sendo x gual a 477. Max,,, ln( f (,..., T ) T ln( ) T ln( ) T 4

15 volaldades en cluserng La evaluacón se zo para el modelo especfcado de forma general por: r q p Luego se llevo a cabo sobre el modelo propueso. r 3 3 D 3 m s C m Poserormene para cada modelo se evalúa su ECM para la seleccón y se observa el PPS de cada modelo para ver su capacdad de predccón de sgno Implemenacón modelo modfcado. Al gual que el modelo orgnal se calculan las renabldades de cada semana de la forma ( P )/ P P y luego deermnamos el error r (/ 477 r ) para un oal de 477 daos correspondenes al amaño de observacones nramuesrales. Con los valores de nramuesrales se lleva cabo un boosrapng donde se reordenan los daos en bloques de 4 de manera aleaora asa formar una nueva muesra pero esa vez del amaño de nuesro conuno exramuesral, es decr de daos. Ese proceso se repe veces y se obene el promedo de cada fla para obener el vecor para el conuno exramuesral. El boosrap se ace para cada esrucura evaluada por el algormo genéco. Al maxmzar la funcón de máxma verosmlud expresada anerormene se encuenran los parámeros de 477 5

16 volaldades en cluserng la funcón por lo que se obene r y se compara con el valor real obenéndose un error por esmacón que nos enrega al fnal del rollng un ECM y un PPS por cada modelo. Hasa aora el proceso es el msmo para cada modelo, la dferenca descansa en el análss de la sere para obener los clusers de volaldad sórcos, proceso que se dealla a connuacón. El análss de la sere de reornos del IPSA conssó en denfcar errores cuadrácos que esuvesen sobre el promedo del conuno nramuesral, el promedo se elaboro con 477 daos semanales correspondenes a 8.5 años bao la recomendacón que se ulce un perodo represenavo del cclo económco que se esa vvendo, asumendo que las volaldades enre cclos de expansón y cclos recesvos pueden ser dsnas. Cuando se enconraban cuaro daos segudos sobre el promedo nvolucraba que durane un mes se obuveron alas volaldades de manera perssene por lo que era posble calfcarlo como un cluser de volaldad, por ano perodos en que se enconraban más de cuaro daos sobre el promedo perenecían a un clusers de volaldad. A su vez s esos clusers se enconraban próxmos y separados úncamene por un valor que esaba denro del promedo, enonces los clusers eran fusonados nclusve el valor que los separaba. Esa medda se omo bao la nucón de la exsenca de socks denro de la volaldad que pudo aber ornado ese valor a un nvel no represenavo del perodo ambén era necesaro descarar valores que a pesar de esar sobre el promedo no eran perssenes en el empo, con eso se aísla aquellos aumenos de volaldad causados por manpulacón dreca de un solo agene sobre el IPSA, donde esos efecos son ransoros y de cora duracón. Cluser de Volaldad IPSA DURACIÓN e^ prom , , , ,3 Fg.. * Dealles del perodo se presena en anexos. El análss enconró varos perodos suscepbles de ser calfcados como clusers de ala volaldad de acuerdo al crero anerormene esablecdo por lo que solo se omaron 6

17 volaldades en cluserng en cuena los cuaro clusers de perodos mas prolongados de ala volaldad (ver Fg. ), de esos se omo el promedo de sus errores cuadrácos para ser ncludos denro de las varables para el calculo de. Enonces el modelo cuando evaluaba el perodo exramuesral podía nclur esos valores solo s el error cuadráco del perodo aneror esaba sobre el promedo. A ravés de una varable dummy fueron acvadas las varables para que el algormo genéco uvera la opcón de escoger enre ellas 7

18 volaldades en cluserng 4- Resulados y Análss 4.- Predccón de Sgno bao modelo GARCH (p, q). Los resulados enconrados para la evaluacón del modelo orgnal en cuano a su capacdad de predccón de sgno fueron los sguenes. MEDIA IC Desv PPS 53,93% 53,3% 54,73%,83978 * 95% de Confanza De los meores modelos obendos por algormo genéco se observo que la meda obenda no es un buen valor como porcenae de predccón de sgno, ncluso el modelo ópmo an solo obene un 59% de PPS. Era de esperarse ese resulado sabendo que la obencón de un ECM mínmo garanza un buen ause en magnud del valor esmado sn esar denro de sus obevos el acerar al sgno. Esa evaluacón aclara que la opmzacón de ese po de modelos para el índce IPSA no conlleva un buen nvel de predccón de sgno. Columna Columna Columna Columna -, S observamos el coefcene de correlacón enre PPS y ECM podemos ver que de exsr una relacón lneal esa sera negava sobre la muesra de modelos obendos por el algormo genéco además la abla sguene nos muesra el resulado de covaranza enre las varables. 8

19 volaldades en cluserng Columna Columna Columna 5,6565E- Columna -,684E-7,8643 Los resulados muesran que mas allá de no obener un buen nvel de predccón de sgno bao ese modelo, puede llegarse a un meor desempeño en la medda que obenemos un ECM cada vez mas bao. En la medda que el ause sea bueno aumenamos las probabldades de enconrar un meor PPS. 4.- Modelo GARCH (p, q) modfcado. Los resulados obendos de la evaluacón de los modelos opmzados por algormo genéco aplcados al índce IPSA fueron los sguenes. Opmo GARCH (P,Q) PPS ECM Desv ECM 54%,44, PPS 59%,4434, ECM _ OPT PPS _ OPT 3 3 Opmo GARCH (P,Q) Clusers de Volaldad PPS ECM Desv ECM 57%,39443, PPS 6%,495, ECM _ OPT PPS _ OPT D 3 C 3 D D C C D D C 3 C 3 D 4 C 4 9

20 volaldades en cluserng Los daos que se pueden observar son las esrucuras de modelo ópmas que el algormo genéco pudo enconrar, por cada abla se encuenra la esrucura con menor ECM y mayor PPS. Se puede observar que ano para el modelo con menor ECM y mayor PPS al nclur los clusers de volaldad meoran en su desempeño ano en PPS como en ECM.

21 volaldades en cluserng 5- Conclusones La nclusón de clusers de volaldad sórcos en el modelo logró enconrar meores resulados ano en PPS como en ECM al momeno de enconrar una esrucura ópma a ravés de algormo genéco. Eso puede ser explcado por la forma en que los agenes enfrenan los epsodos de ala volaldad donde la ncerdumbre sobre la endenca que omará el mercado, la duracón del perodo y la magnud de las renabldades esperadas se acen dfícl de esmar sn un precedene smlar por lo que buscan comporamenos parecdos a lo largo del empo con el fn de dar respuesas a sus ncógnas y poder omar decsones de radng. Se enconró que los modelos GARCH (p, q) ópmos en ECM no enregan un buen porcenae de predccón de sgno (PPS) en relacón al modelo que ncluye los clusers. Se esma que exse una relacón lneal enre el ECM y PPS negava en cuano a que en la medda que aumena el ause de la esmacón obenendo un menor ECM podemos enconrar meores PPS. Eso ofrece la oporundad de enconrar modelos que obengan un PPS que acoe cada vez más la pérdda cuando se da el porcenae de error posble (-PPS). Eso es conssene con la formulacón de modelos GARCH en que la magnud de error, enre la esmacón y el valor real, es un obevo denro de la funcón de opmzacón la que encuenra ECM mínmos que garanzan un buen ause. Se espera que esa nvesgacón pueda ser aplcada en oros índces a fn de confrmar más exensvamene esos resulados, parcularmene en lo que se refere al éxo del PPS. Se sabe que el porcenae de error de predccón de sgno PPS puede dsmnur e ncluso deerorar la renabldad esperada. Eso ene lugar pues el proceso de opmzacón no consdera la magnud del cambo del valor del preco sno solo su dreccón. Sn embargo, ese esudo abre la opcón de que muesra que un equlbro o conclacón podría ser posble en la medda que se pueda enrquecer el modelo al ncorporar clusers de volaldad sórcos suscepbles de ser observados por los agenes para la oma de decsones.

22 volaldades en cluserng Bblografía Bollerslev, T. año 986. Generalzed Auorregresve Condonal Heerocedascy, Journal of Economercs Davs, Lawrence año 994. Genec Algorms and Fnancal Applcaons, n: Deboeck De Arce, Rafael año998. Inroduccón a los Modelos Auorregresvos con Heerocedascdad Condconal Engle, año 98. Auorregresve Condonal Heerocedascy w Esmaes of e Varance of e U.K. Inflaon Engle, R. año. GARCH : Te Use of ARCH/GARCH Models n Appled Economercs, Journal of Economc Perspecves Holland, Jon H. año 975. Adapaon n Naural and Arfcal Sysems, Te Unversy of Mcgan Pars, A., Pars, F. y E. Corneo año 4. Algormos Genécos y Modelos Mulvarados Recursvos en la Predccón de Índces Bursáles de Amérca del Nore: IPC, TSE, NASDAQ Y DJI

23 Un modelo no lneal para la predccón de la varacón del índce IPSA consderando volaldades en cluserng Anexos IPSA Volaldad Volaldad ( d),4%,35%,3%,5%,% Sere,5%,%,5%,% IPSA Reorno Renabldad 4,% 3,%,%,%,% -,% Sere -,% -3,% -4,% -5,% -6,% 3

24 volaldades en cluserng Daos IPSA PX IPSA PX IPSA PX IPSA PX , , , , , , , , , , , , , , ,3 7--., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 --., , , , , , , , , , , ,6 --.3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5-6-.8, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , -8-.9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , -9-.4, , , , , , , , , , , , , , , ,3 9--., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , --.8, , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 4

25 volaldades en cluserng IPSA PX IPSA PX IPSA PX , , ,3 -- 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4-3-3., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 --5., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 5

26 volaldades en cluserng Exraco Clusers Errores IPSA Promedo,,3,34,99,53,35,,8,6,5,6,7,7,44,,8,44,4,4,49,43,58,68,48,7,7,45,7,78,8,4,53,47,3,3,3,48,45,,93,3,,7,9,7,6,,9,33,7,9,46,5,3,43,5,,7,,8,3,7,9,4,4,4,,,7,33,,9,7,35,8,45,9,43,8,,36,8,9,4,6,5,4,37,8,6,3,43,,,3,4,7,53,,36,5,36,4,,34,77,8,6,,8,4,5,,6,9,,9,8,,3,4,8,33,9,9,8,5,39,,8,46,5,36,6,,,6,3,8,7,6,5,4,,3,3,8,,,8,4,,,8,36,3,3,3,9,,7,45,4,7,5,6,36,8,7,8,7, 6

27 volaldades en cluserng Cross-Over Algormo Genéco 7

28 volaldades en cluserng Esrucura de 5 Meores Modelos (Clúser de Volaldad) 8

29 volaldades en cluserng Esrucura de 5 Meores Modelos (Modelo Orgnal) 9