CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I

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1 CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I UNIDAD 3: TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS CONTENIDO 3. INTRODUCCIÓN 3. ANÁLISIS NODAL 3.. ENUMERACIÓN DE LOS NODOS Y ASIGNACIÓN DE LOS VOLTAJES COMO VARIABLES O INCÓGNITAS 3.. CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE SOLO FUENTES DE CORRIENTE 3..3 CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE 3..4 CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES INDEPENDIENTES Y CONTROLADAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE 3..5 RESUMEN DEL MÉTODO QUE PERMITE OBTENER UN CONJUNTO DE N ECUACIONES DE NODO 3.3 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.4 ANÁLISIS DE MALLAS 3.4. ENUMERACIÓN DE LAS MALLAS Y ASIGNACIÓN DE LAS CORRIENTES COMO VARIABLES O INCÓGNITAS 3.4. CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE SOLO FUENTES DE VOLTAJE CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES DE CORRIENTE CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES INDEPENDIENTES Y CONTROLADAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE RESUMEN DEL MÉTODO QUE PERMITE OBTENER UN CONJUNTO DE N ECUACIONES DE MALLA 3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.6 TEOREMA DE LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN 3.6. INTRODUCCIÓN 3.6. LINEALIDAD PRINCIPIO DE LINEALIDAD PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN 3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.8 TEOREMA DE THÉVENIN 3.8. UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THÉVENIN 3.9 TEOREMA DE NORTON 3.9. OTROS MÉTODOS PARA DETERMINAR LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DE THÉVENIN O NORTON 3.0 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 3. PROBLEMAS PROPUESTOS 3. EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 3.. INTRODUCCIÓN 3.. DESCRIPCIÓN FÍSICA, SÍMBOLO Y DIAGRAMA O ESQUEMA ELÉCTRICO DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 3..3 DIFERENTES MODELOS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL SEGÚN LOS TEXTOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

2 CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS I UNIDAD 3 TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS 3. INTRODUCCIÓN En l medid en que los sistems eléctricos y de comunicción se fueron desrrollndo, se presentron circuitos eléctricos cd vez más complejos, por lo tnto, huo l necesidd de desrrollr técnics de nálisis de circuitos eléctricos. Est unidd present un resumen muy sucinto de lgunos de ls técnics como lo son los métodos de nálisis nodl y de mlls, los teorems de linelidd y superposición, los teorems de Thévenin y Norton, l máxim trnsferenci de potenci y finlmente un plicción muy importnte en los sistems electrónicos como lo es el mplificdor opercionl. Los métodos de nálisis nodl (voltjes de nodo) y nálisis de mll (corrientes de mll) son stnte eficces y se utilizn extensmente hoy en dí pr nlizr circuitos grndes y complejos en donde podremos estr interesdos en nlizr ls crcterístics de todos los elementos que conformn el circuito. 3. ANÁLISIS NODAL L técnic del nálisis nodl centr su tención en los voltjes entre nodos como incógnits, se plic tod clse de red (pln o no pln). Los voltjes de los nodos se definen con respecto un nodo común en el circuito, luego, un nodo en prticulr se seleccion como el nodo de referenci y todos los voltjes de los otros nodos se definen con respecto ese nodo. Pr simplificr el número de ecuciones de nodo que precen por l plicción del método, se seleccion el nodo de referenci l nodo que ms rms tiene conectds. Con frecuenci se le llm tierr deido que se dice que está potencil de tierr cero, y lguns veces represent el chsis o l líne de tierr en un circuito práctico. 3.. ENUMERACIÓN DE LOS NODOS Y ASIGNACIÓN DE LOS VOLTAJES COMO VARIABLES O INCOGNITAS L notción utilizr es l mism notción del nálisis nodl que se utiliz en l myorí de los softwre pr el nálisis de los circuitos, entre ellos el Pspice. CIRCUITOS CON TRES NODOS A continución se present un circuito con tres nodos y con elementos conectdos entre los nodos, l nodo inferior se seleccion como nodo de referenci y se le sign el nomre de cero, los nodos superiores se les sign los nomres de uno, y dos respectivmente. V (, ) V V - - nodo de O referenci Al voltje entre el nodo y el nodo de referenci 0, con el positivo en el nodo, se le descrie por: V (, 0 ) = V ( ) V ( 0 ) = V ( ) = V Al voltje entre el nodo y el nodo de referenci 0, con el positivo en el nodo, se le descrie por: V (, 0 ) = V ( ) V ( 0 ) = V ( ) = V Como el voltje entre el nodo y el se puede expresr en términos de los voltjes V ( ) y V ( ), esto es, V (, ) = V ( ) - V ( ), el número mínimo de vriles como incógnits que hy que designr, pr este cso de tres nodos, es de dos, ls cules son V ( ) y V ( ) Si extendemos el nálisis un circuito de n nodos, el número mínimo de vriles como incógnits necesris pr determinr el potencil de todos los nodos es (n ). Pr el siguiente nálisis utilizremos como restricción temporl l inclusión de solmente fuentes de corriente, esto grntiz que ls vriles que precen como incógnits son solmente los voltjes de los nodos, posteriormente incluiremos en el nálisis ls fuentes de voltje, ls cules, sus corrientes umentrán ls vriles como incógnits. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

3 NOTACIÓN DE DOBLE SUBÍNDICE En lgunos liros sore circuitos eléctricos, l notción pr el voltje entre nodos se simplific quitándole los préntesis de tl form que los números correspondientes los nodos quedn como suíndices del voltje, esto es: V (, ) = V, = - V, = - V (,), en donde el suíndice de l izquierd corresponde l nodo positivo. 3.. CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE EJEMPLO N : CIRCUITO CON TRE NODOS Utilice el nálisis nodl, pr determinr ls potencis socids con todos los elementos del circuito siguiente. Crcterístics del Circuito: 5 Ω 3 A Ω Ω - A El circuito se encuentr diujdo en form pln Contiene: 5 elementos (3 resistencis, fuentes de corriente) 3 nodos, 3 mlls PROCEDIMIENTO:.Se sign l nodo de l prte inferior como nodo de referenci, l nodo superior de l izquierd como nodo y l nodo superior de l derech como nodo Se sign l polridd de los voltjes de nodo, recordndo que el nodo respectivo es el terminl de myor potencil y el de referenci el de menor potencil. A continución se encuentr el circuito con ls vriles signds. V () V () V (, ) 5 Ω I 3 V () I I 3 A Ω Ω - A 0 V (0) V (). Se sign l dirección de ls corrientes desconocids ls resistencis, est dirección es condiciond l polridd de los voltjes signdos en el punto nterior, en donde se tiene en cuent l convención de los elementos psivos. 3. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls V ecuciones siguientes: I = V, I = V V, I 3 = 5 4. Se plic l LCK los nodos uno y dos, encontrndo ls ecuciones siguientes: V Nodo 3 = V V 5, l cul se puede simplificr : 0.7 V () 0. V () = 3 (A) V V V Nodo 5 = ( - ), l cul se puede simplificr : 0. V (). V () = - (B) 5. Se desrrolln simultánemente ls ecuciones (A) y (B), produciendo los siguientes resultdos: V () = 5 v y V () =.5 v A prtir de estos resultdos podremos encontrr el resto de vriles signds, esto es: V (, ) =.5 v, I =.5 A, I =.5 A, I 3 = 0.5 A Teniendo en cuent los resultdos otenidos, se retom el esquem eléctrico originl y se le indicn tods ls corrientes y voltjes determindos, en donde se comprorá l ley de l trnsformción de l energí. V () 5 v.5 v 05A V () 5 Ω.5 A.5 A 3 A Ω Ω - A.5 v 0 V (0) De l figur se puede determinr que ls dos fuentes producen energí, por lo tnto, l sum de ls potencis de ls fuentes dee ser igul l sum dels potencis de ls resistencis. Pr pror l ley de l conservción de l energí se construye l tl siguiente: POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA P 3A = 3 A * 5 v = 5 w P Ω =.5 A * 5 v =.5 w P -A = A *.5 v = 5 w P 5Ω = 0.5 A *.5 v =. 5 w P Ω =.5 A *.5 v = 6. 5 w POT. TOTAL PRODUCIDA = 0 w POT. TOTAL COMSUMIDA = 0 w 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 3 de 45 CÓDIGO : UFPS

4 3..3 CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE EJEMPLO N, CIRCUITO CON CUATRO NODOS Por l inclusión de fuentes controlds de corriente, el número de vriles como incógnits, ument en un cntidd igul l número de fuentes controlds, deido l presenci de ls vriles de control. Utilice el nálisis nodl, pr determinr ls potencis socids con todos los elementos del circuito siguiente. PROCEDIMIENTO: Ω 5 v A 4 A v A Ω 4 Ω -. Se sign el nodo de referenci, pr este cso se sign el nodo superior de l derech(ritrrio). Se sign el número los nodos restntes,, y 3, recordndo que los nomres de los voltjes como vriles son V (), V (), V (3), y que l polridd es tl, que el nodo de referenci es el del menor potencil. 3. Se sign l dirección de ls corrientes desconocids, pr este cso solmente ls de ls resistencis( utilice l convención de los elementos psivos). A continución rediujmos el circuito con tods ls signciones efectuds. 4. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls V V V3 V V V ecuciones siguientes: I =, I =, I 3 = 3 4 V -V 5 v A Nod 5. Se plic l LCK los nodos,, y 3, encontrndo ls de Ref. I Ω ecuciones siguientes: V3 V V V V Nodo 5 v A =, l cul se puede simplificr : V 3.5 V V V 3 = 5 v A (A) 4 A v A Ω 4 Ω V V - Nodo 4 = 0, l cul se puede simplificr : I 3 I V 0.5 V = - 4 (B) V Nodo V3 V 4 = 0, l cul se puede simplificr : V.5 V = 4 (C), Podremos oservr que se presentn tres ecuciones linelmente independientes con cutro incógnits incluids, V, V, V 3, y v A, deido l inclusión de l incógnit v A, l cul proviene de l inclusión de l fuente controld de corriente en el circuito, por lo tnto, hrá que determinr un ecución dicionl, que se puede otener de expresr l vrile de control en función de los voltjes como vriles o incógnits, esto es: v A = V V 3 (D) DESARROLLO DEL SISTEMA DE ECUACIONES: L ecución (D) otenid, puede ser reemplzd en l ecución (A), quedndo sí tres ecuciones linelmente independientes con tres incógnits, ls cules son: -3.5 V 4.5 V V 3 = 0 (A); 0.5 V 0.5 V = - 4 (B); V.5 V = 4 (C) Desrrollndo el sistem de tres ecuciones simultánes, encontrmos ls siguientes vlores: V () = -.0 v ; V () = v ; V (3) = v El resultdo negtivo de los voltjes signific que, el nodo selecciondo como referenci es el nodo de myor potencil en el circuito. En el circuito nlizdo pr que todos los voltjes resulten positivos hrá que seleccionr l nodo de ms jo potencil como nodo de referenci, siendo este el nodo A prtir de los vlores de voltjes otenidos se pueden otener los voltjes entre nodos: V (, ) = v ; V (, 3 ) = 7.0 v ; V (, 3 ) = -.0 v A prtir de los vlores de voltjes otenidos se pueden otener ls corrientes signds: (.0) ( 3) ( 0.0) (.0) ( 0.0) I = = - 4 A ; I = =.0 A ; I 3 = 4 = -5.0 A A continución se present el esquem eléctrico del circuito nterior, en donde se indicn ls direcciones reles de ls corrientes y ls polriddes reles de los voltjes 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 4 de 45 CÓDIGO : UFPS

5 7 v 3 v 8 v 5 v A Nod de Ref. 4 A Ω 5 A v 0 v 4 A v A = - v Ω 4 Ω - v 3 5 A De los resultdos otenidos se puede deducir que, tnto l fuente independiente de corriente como l controld de corriente están produciendo energí, por lo tnto, l sum de ls potencis de ls fuentes dee ser igul l sum de ls potencis de ls resistencis. En l siguiente tl se encuentr l comproción de l ley de l trnsformción de l energí. POTENCIA PRODUCIDA P 4A = 4 A * 7 v = 8 w P 5vA = 5 A * v = 05 w POT. TOTAL PRODUCIDA = 33 w POTENCIA CONSUMIDA P Ω = 4 A * 8 v = 3 w P 4Ω =5 A * 0 v = 00 w P Ω = A * v = w POT. TOTAL COMSUMIDA = 33 w 3..4 CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES INDEPENDIENTES Y CONTROLADAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EJEMPLO N 3, CIRCUITO CON CINCO NODOS Por l inclusión de fuentes de voltje tnto independientes como controlds, el número de vriles como incógnits, ument en un cntidd igul l número de fuentes de voltjes. Utilice el nálisis nodl, pr determinr ls potencis socids con todos los elementos del circuito siguiente. PROCEDIMIENTO: V x 0.5 Ω Ω - 4 A v 0.5 V x - V y.5 Ω Ω 0. V y I V I V x 0.5 Ω Ω - 4 A v 0.5 V x V, REF 3 V 3 - I x I 4 V y.5 Ω Ω 0. V y I 3 4 V 4 I y. Se sign el nodo de referenci, pr este cso, se sign el nodo del centro(ritrrio). Se sign el número los nodos restntes,, 3y 4, recordndo que los nomres de los voltjes como vriles son V (), V (), V (3), y V (4), y que l polridd es tl, que el nodo de referenci es el del menor potencil. 3. Se sign l dirección de ls corrientes desconocids, pr este cso, ls de ls resistencis I, I, I 3, I 4 ( utilice l convención de los elementos psivos), ls de ls fuentes de voltje I y, I z. Se oserv que por l presenci de dos fuentes de voltje el número de vriles como incógnits ument en dos A l izquierd se diuj el circuito donde se indicn tods ls signciones efectuds. 4. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls ecuciones siguientes: V V V3 V V4 V V4 I = 0.5 = (V V ), I =, I 3 =. 5, I 4 = 5. Se plic l LCK los nodos,, 3 y 4, encontrndo ls ecuciones siguientes: V Nodo I I 3 = I x, reemplzndo ls corrientes de ls resistencis, 0. 5 quedrá: -.4 V V 0.4 V 4 = Ix (A) V V4 V. 5 = I x, simplificndo l ecución 3 Nodo I 4 = I, reemplzndo ls corrientes de ls resistencis, ecución quedrá: V.5 V 0.5 V 3 = - 4 (B) V V V V 4 = 0. 5, simplificndo l 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 5 de 45 CÓDIGO : UFPS

6 V3 V Nodo 3 I y 0.5 V x = I, reemplzndo ls corrientes de ls resistencis, I y 0.5 V x =, simplificndo l ecución quedrá: V 0.5 V 3 = I y 0.5 V x V4 V Nodo 4 I y I 4 I 3 = 0, reemplzndo ls corrientes de ls resistencis, I y V 4 =. 5, simplificndo l ecución quedrá: V.4 V 4 = - I y (D) Hst el momento, se hn otenido cutro ecuciones de nodo linelmente independientes, (A), (B), (C) y (D),ls cules tienen siete vriles involucrds, ésts son: voltjes de nodo V, V, V 3, V 4, corrientes de ls fuentes de voltje I x, I y, vrile de control V x Por lo nterior, se hce necesrio determinr más ecuciones pr desrrollr el sistem de ecuciones simultánes. 6. A prtir de l informción que tienen ls fuentes de voltje, su mgnitud y polridd se pueden expresr en términos de los voltjes de nodo como incógnits, pr este cso, se determinrán dos ecuciones más, ésts son: V = - (E) y V 3 - V 4 = 0. V y (F) Est últim ecución, involucr otr vrile de control, V y, por lo tnto, se hce necesrio determinr dos ecuciones más, ests ecuciones se pueden otener expresndo ls vriles de control en función de los voltjes de nodo como incógnits, ésts son: V 4 V = V y (G) y V V = V x (H) 7. A continución se present el sistem de ocho ecuciones linelmente independientes encontrdo, l cul se puede resolver fácilmente medinte un clculdor progrmle. V () V () V (3) V (4) I x I y V x V TÉRMINO y INDEP (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) Desrrollndo el sistem de ecuciones nteriormente presentdo, rroj los resultdos siguientes: V () = - v ; V () = - 4 v ; V (3) = 0 v ; V (4) = - v ; I x = 0 A ; I y = - A ; V x = 8 v ; V y = 0 v Un método lterno de solución del sistem, es convertir el sistem de ocho ecuciones en un sistem de cutro ecuciones simultánes, dejndo solmente como vriles o incógnits los voltjes de nodo, pr este cso, I x reemplz V porque est vrile y es conocid. Pr otener este sistem de cutro ecuciones procederemos de l form siguiente: L ecución se conform con ls ecuciones (E) y (A) L ecución se conform con ls ecuciones (E) y (B) L ecución 3 se conform con ls ecuciones (C) (D) y (H) L ecución 4 se conform con ls ecuciones (F) y (G) Después de efectur los respectivos reemplzos ls cutro ecuciones linelmente independientes quedrán: V 0.4 V 4 I x = -8.8 V () V (3) V (4) I TÉRMINO x INDEP -.5 V 0.5 V 3 = V V 3.4 V 4 = V 3. V 4 = El desrrollo del sistem de ecuciones rroj los resultdos siguientes: V () = - 4 v ; V (3) = 0 v ; V (4) = - v ; I x = 0 A, prtir de los cules se pueden otener el resto de incógnits. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 6 de 45 CÓDIGO : UFPS

7 ANÁLISIS DE RESULTADOS: A continución se present el esquem eléctrico del circuito nlizdo, en donde se indicn ls direcciones reles de ls corrientes y ls polriddes reles de los voltjes 6 A V A - 8 v 0.5 Ω Ω 4 v - 4 A 4 v v 0.5 V x = 4 A V REF 3 V 3-0 A A 0 v 0 v.5 Ω v Ω 0. V y v 4 A A 4 V 4 A prtir de los vlores otenidos, podremos determinr que solo l fuente de v está produciendo energí( 40 w), luego est potenci dee ser igul l sum de ls potencis de ls resistencis y el resto de ls fuentes. A continución se present un tl en donde se relcion l potenci socid con cd elemento. POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA P v = 0 A * v = 40 w P 0.5 Ω = 6 A * 8 v = 8 w P Ω = A * v = 4 w P Ω = A * 4 v = 8 w P.5 Ω = 4 A * 0 v = 40 w P 4 A = 4 A * 4 v = 56 w P 0.5 Vx = 4 A * 0 v = 0 w P 0. Vy = A * v = 4 w POT. TOTAL PRODUCIDA = 40 w POT. TOTAL COMSUMIDA = 40 w EJEMPLO N 4: Pr el circuito de l figur siguiente determine l corriente I con l dirección indicd utilizndo el método de nálisis nodl.. Asigne ls vriles: V y V I V V I *I I Asignee ls vriles: I, I, I V 3 Aplique ley de Ohm: I = V 8 ; I = - 8 ; I = 4V 4 Aplique (LCK) los nodos () y (): V - V Nodo () I I I = ; 3 I 4 = ; - Nodo () I I = I ; I 4 V V V = 8 ; V V V I = 48 ( I ) V 3 V 6 I = 0 ( II ) 5. Exprese l informción de l fuente controld en función de ls vriles principles: V I = 8 (III) 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 7 de 45 CÓDIGO : UFPS

8 6. Al Desrrollr el sistem de tres ecuciones linelmente independientes, se encuentrn los resultdos siguientes: I = 3 A ; V = 84 v ; V = 7 v 3..5 RESUMEN DEL MÉTODO QUE PERMITE OBTENER UN CONJUNTO DE N ECUACIONES DE NODO. Hcer un digrm del circuito simple y clro, éste puede estr diujdo o no en form pln, pr plicrle el nálisis nodl. Indicr todos los vlores de los elementos y ls fuentes. Cd fuente dee tener su símolo de referenci.. Asignr l polridd de los voltjes como vriles, numerr los nodos del circuito, si el circuito tiene n nodos, escoger uno de ellos como el nodo de referenci y signrle el cero como nomre, luego, escriir los voltjes de nodo V (), V (),...V (n-), en sus nodos respectivos, recordndo que se entiende que cd voltje de nodo está medido con respecto l voltje de referenci, l signción de l polridd es ritrri, pero es preferile que se signe el myor potencil l nodo respectivo y el de menor potencil l nodo de referenci. Los voltjes entre nodos diferentes l nodo de referenci se podrán expresr en términos de los voltjes de nodo. Tendrá (n-) incógnits o vriles, pero es posile que uno de esos voltjes se conocido. 3. Asignr l dirección de ls corrientes en los elementos y fuentes que no se les conoce. En ls resistencis est dirección es condiciond(convención de los elementos psivos) l polridd del voltje signdo en el punto nterior pr que l corriente pued ser expresd en términos de los voltjes de nodo como vriles. En ls fuentes de voltje, ls corrientes signds psn ser más incógnits o vriles que se le incluyen l sistem de ecuciones. 4. Utilizndo l ley de Ohm, expresr ls corrientes de ls resistencis en términos de ls voltjes de nodo como incógnits o vriles. 5. Utilizndo l ley de ls corrientes de Kirchhoff (LCK), determinr un ecución por cd nodo del circuito, exceptundo el nodo de referenci, ests (n-) ecuciones tendrán como incógnits o vriles los voltjes de nodo, ls corrientes de ls fuentes de voltje y ls vriles de control de ls fuentes dependientes. Por lo tnto, hrá (n-) ecuciones linelmente independientes y el número de incógnits o vriles h umentdo de cuerdo con ls corrientes signds ls fuentes de voltje y ls vriles de control de ls fuentes dependientes. 6. Determinr el conjunto de ecuciones dicionles pr completr el sistem, expresndo los voltjes de ls fuentes de voltje en función de los voltjes de nodo como vriles o incógnits y expresndo ls vriles de control de ls fuentes dependientes en función de los voltjes de nodo como vriles o incógnits. 7. Desrrollr el sistem de ecuciones lineles encontrdo y determinr tods ls incógnits o vriles incluids en el proceso. Un lterntiv en l determinción de l solución es l de reducir el sistem de ecuciones encontrdo un sistem de (n-) ecuciones, reemplzndo ls ecuciones dicionles encontrds nteriormente en el punto sexto, en ls (n-) ecuciones de nodo encontrds en el punto quinto. 3.3 PROBLEMAS PROPUESTOS A continución se present un serie de 8 prolems pr resolver, en donde cd uno contiene un circuito eléctrico desrrollr medinte el método de nálisis nodl, los cules, los primeros circuitos solo contienen fuentes de corriente y los últimos seis se le incluyen fuentes de voltje. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 8 de 45 CÓDIGO : UFPS

9 . Determine I A e I B. Determine V y V. Rts: V = 0.88v ; V = v 0A 30 s 30A 5 s I A I B 3A V - s 3s s A V - Rts: I A = -30 A ; I B = 60 A 3. Determine I A e I B 4. Determine I B e I C 400ohm 600ohm 60ohm I B * I A (A) 40A I C 60A I B I A Rts: I B = 44 A ; I C = A Rts: I A = -0 A ; I B = 40 A 5. Determine: ) I A, o ) I B, si l fuente controld de corriente es ) 3* I A (A) o ) 3* I B (A) 6. Determine I A 0.*I A (A) I A I A ) 3*I A ) 3*I B I B Rts.: ) I A = ma ; ) I B =.76 ma Rt. : I A 3.64 A 7. Determine V 8. Determine Ix Ix 0.*V *Ix Rt.: V = v Rt.: Ix = - 7. ma 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 9 de 45 CÓDIGO : UFPS

10 9. determine V 0. Determine V y V. V - 5mA 8kohm kohm -3mA 4kohm A - V s s 4s 3A V - 3s Rt.:V = 9.43 v Rts: V = -0.7 v ; V =.06 v. Determine V y V.. Determine V, V y V 3 - V V V V3 0.5ohm ohm A ohm A ohm ohm ohm ohm 0A 4A.5A V - 6ohm 5ohm Rts.: V = 6.0 v ; V = 0 v : V 3 = 4 v Rts: V =.0 v ; V = 4.0 v SE INCLUYEN FUENTES DE VOLTAJE SE INCLUYEN FUENTES DE VOLTAJE 3. Determine I, I e I 3 4. Determine I, I, I 3 e I 4 I 3 A 6ohm I 3ohm I 3 ohm V I I 0V ohm I ohm ohm 5V I4 6ohm 4A Rts.: I = - A ; I = 5 A ; I 3 = - 4 A Rts.: I = A ; I = 3 A; I 3 = A; I 4 = A 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

11 5. Determine V, V y Vc ohm 6. Determine V, V, V 3 y V 4 V V Vc 4ohm 4ohm 9A A 4V Rts.: V = 0 v ;V =6 v ; V = 40 v Rts.: V = v ; V = 8 v ; V 3 = 0 v ; V 4 = -4 v 7. Determine V, V y V 3 8. Determine V, V, V 3, V 4, V (,3), V (3,4) y V (4,) Rts.: V = v; V = -.57v ; V 3 =.49 v Rts.: V = - v ; V = - 4 v ; V 3 = 0 v ; V 4 = - v V (,3) = - 4 v ; V (3,4) = v ; V (4,) = v 3.4 ANÁLISIS DE MALLAS Siendo l mll un término definido en l red pln, se puede estlecer que l técnic del nálisis de mlls solo se plic los circuitos diujdos en form pln o ls redes plns. L técnic del nálisis de mlls centr su tención en ls corrientes de mll, ls cules coinciden con ls corrientes de ls rms externs y cd dos corrientes de mll conformn ls corrientes de ls rms interns ENUMERACIÓN DE LAS MALLAS Y ASIGNACIÓN DE LAS CORRIENTES COMO VARIABLES O INCOGNITAS CIRCUITO CON TRES MALLAS 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

12 A continución se present un circuito con tres mlls y con elementos interconectdos A B Crcterístics del Circuito: El circuito está diujdo en form pln. I -I I Contiene: 6 elementos I C 6 rms: I I (A, B, F), en rms externs (C, D, E), en rms interns 7 Lzos, 3 mlls I 3 -I D E I 3 I 3 -I Mll, contiene los elementos A, C, D I 3 3 Mll, contiene los elementos B, C, E I 3 Mll 3, contiene los elementos E, F, D F Corriente de Mll: Se define l corriente de mll l corriente que circul solmente por un determind mll del circuito, luego, jo est definición, ls rms interns estrán siendo trvesds por dos corrientes de mll, que pueden estr o no en l mism dirección. Asignmos I, sentido horrio, l mll ; Asignmos I, sentido horrio, l mll. Asignmos I 3, sentido horrio, l mll 3 L corriente trvés de cd uno de los elementos se puede expresr en términos de ls corrientes de mll, ésts son: A I ; B I ; C I -I ; D I 3 -I ; E I 3 -I ; F I 3 Luego, pr este cso, el número mínimo de incógnits l plicr l técnic del nálisis de mlls será de tres, igul l número de mlls, por tnto, pr un circuito que teng n mlls el número mínimo de incógnits será de n. Deido que el método utiliz l ley de los voltjes de kirchhoff, iniciremos el método con un restricción temporl considerndo solmente fuentes de voltje independientes, pr que de est form, ls incógnits sen solmente ls corrientes de mlls, posteriormente incluiremos en el proceso fuentes controlds y fuentes de corrientes, ls cules incluyen incógnits dicionles CIRCUITO DONDE SE INCLUYE SOLO FUENTES DE VOLTAJE EJEMPLO N 5: CIRCUITO CON TRES MALLAS Pr el circuito de l figur siguiente, determinr los voltjes y corrientes socids con cd uno de los elementos, utilizndo l técnic del nálisis de mlls. Crcterístics del Circuito: 0.5 Ω Ω 4 v Ω 7 elementos 5 Resistencis Fuentes independientes de voltje 7 lzos 3 mlls v 6 Ω 5 Ω PROCEDIMIENTO:.Se numer ls mlls y se sign ls direcciones de ls corrientes en sentido horrio(est signción de ls direcciones es ritrri), luego, ls vriles como incógnits serán: I, I, I 3. Se sign l polridd de los voltjes de ls resistencis, est polridd es condiciond l dirección de l corriente signd en el punto nterior, donde se tiene en cuent l convención de los elementos psivos. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 3 de 45 CÓDIGO : UFPS

13 A continución diujmos el circuito con tods ls signciones efectuds: V Ω I 4 v I -I Ω I 3 -I Ω V - V 3-3 v V 4 6 Ω 5 Ω V 5 I - I -I 3 I 3-3. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls ecuciones siguientes: V = 0.5 I ; V = (I -I ) ; V 3 = (I 3 -I ) ; V 4 = 6(I -I 3 ) V 5 = 5 I 3 4. Se plic l LVK cd un de ls mlls, encontrándose ls ecuciones siguientes: Mll : - V 4 V 3 V = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: 4.5 I - I I 3 = 4 (A) Mll : - V V 4 = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: - I 8 I 6 I 3 = (B) Mll 3 : V 4 V 3 V 5 = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: - I - 6 I 3 I 3 = 0 ( C ) 5. Se desrrolln simultánemente ls ecuciones A, B y C, produciendo los resultdos siguientes: I = A ; I =.5 A ; I 3 = A 6. A prtir de los vlores otenidos podremos encontrr el resto de vriles signds, esto es: V = v ; V = - v ; V 3 = - v ; V 4 = 3 v ; V 5 = 5v Teniendo en cuent los resultdos otenidos, se retom el esquem eléctrico originl y se le indicn tods ls corrientes con sus direcciones positivs y voltjes determindos con su respectiv polridd. v Ω A 4 v 0.5 A Ω A Ω - v - v 3 v 3 v 6 Ω 5 Ω 5 v.5 A A A De l figur, y teniendo en cuent sus corrientes y respectivos voltjes, se puede determinr que ms fuentes producen energí. Corresponde l lector pror l ley de l trnsformción de l energí CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES DE CORRIENTE EJEMPLO N 6: CIRCUITO CON TRES MALLAS Pr el circuito de l figur siguiente, determinr los voltjes y corrientes socids con cd uno de los elementos, utilizndo l técnic del nálisis de mlls. Crcterístics del Circuito: 7 v Ω Ω 7 A Ω 3 Ω Ω 7 elementos 5 Resistencis Fuente independientes de voltje Fuente independientes de corriente 7 lzos 3 mlls, 5 nodos PROCEDIMIENTO:.Se numer ls mlls y se sign ls direcciones de ls corrientes en sentido horrio(est signción de ls direcciones es ritrri), luego, ls vriles como incógnits serán: I, I, I 3. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 4 de 45 CÓDIGO : UFPS

14 . Se sign l polridd de los voltjes desconocidos, pr este cso, ls de ls resistencis V, V, V 3, V 4, V 5, est polridd es condiciond l dirección de l corriente signd en el punto nterior, donde se tiene en cuent l convención de los elementos psivos, l polridd del voltje de l fuente de corriente V x. Se oserv que por l presenci de un fuente de corriente el número de vriles como incógnits ument en uno. I -I I V Ω Ω V - 3 Ω - I 3 -I 7 v V 3 - V x 7 A I - 3 Ω V 5 V 4 Ω - - I -I 3 I 3 A l izquierd se present nuevmente el circuito, en donde se indicn tods ls signciones efectuds. 3. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls ecuciones siguientes: V = (I -I ) ; V = I ; V 3 = 3 (I 3 -I ) ; V 4 = (I -I 3 ) ; V 5 = I 3 4. Se plic l LVK cd un de ls mlls, encontrándose ls ecuciones siguientes: Mll : 7- V V x V 4 = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: 3 I - I I 3 V x = 0 (A) Mll : V - V V 3 = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: - I 6 I - 3 I 3 = 0 (B) Mll 3 : V 4 V x V 3 V 5 = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: - I - 3 I 6 I 3 - V x = 0 (C) Hst este momento, se hn encontrdo tres ecuciones linelmente independientes, pero hy incluids cutro vriles como incógnits, ests son: I, I, I 3 y V x, que es l vrile diciond por l presenci de l fuente de corriente. 5. Se determin un ecución dicionl linelmente independiente de ls tres nteriores, prtir de l informción de l fuente de corriente, completndo con ést el sistem de ecuciones lineles, ést es: I -I 3 = 7 (D) 6. Se desrrolln simultánemente ls ecuciones A, B, C y D, produciendo los resultdos siguientes: I = 9 A ; I =.5 A ; I 3 = A ; V x = -3.5 v 7. A prtir de los vlores otenidos podremos encontrr el resto de vriles signds, esto es: V = 7.5v ; V =.5v ; V 3 = -.5v ; V 4 = 4 v ; V 5 = v Teniendo en cuent los resultdos otenidos, se retom el esquem eléctrico originl y se le indicn tods ls corrientes con sus direcciones positivs y voltjes determindos con su respectiv polridd. 6.5 A.5 A 6.5 v Ω Ω 5 v - 3 Ω A 7 v -.5v -3,5 v 7 A 9 A - 3 Ω v 4 v Ω A A De l figur, y teniendo en cuent sus corrientes y respectivos voltjes, se puede determinr que ms fuentes producen energí. Corresponde l lector pror l ley de l conservción de l energí CIRCUITOS DONDE SE INCLUYE FUENTES INDEPENDIENTES Y CONTROLADAS DE CORRIENTE Y DE VOLTAJE EJEMPLO N 7: CIRCUITO CON CUATRO MALLAS 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 5 de 45 CÓDIGO : UFPS

15 Utilice el nálisis nodl, pr determinr ls potencis socids con todos los elementos del circuito siguiente: V x 0.5 Ω Ω - 4 A v 0.5 V x - V y.5 Ω Ω 0. V y PROCEDIMIENTO:.Se enumer ls mlls y se signn ls direcciones de ls corrientes en sentido horrio(est signción de ls direcciones es ritrri), luego, ls vriles como incógnits serán: I, I, I 3, I 4. Se sign l polridd de los voltjes desconocidos, pr este cso, ls de ls resistencis V, V, est polridd es condiciond l dirección de l corriente signd en el punto nterior, donde se tiene en cuent l convención de los elementos psivos, l polridd de V x, V y y están signds, l polridd del voltje de l fuentes de corriente V z y V w. Se oserv que por l presenci de dos fuentes de corriente el número de vriles como incógnits ument en dos. I I V x 0.5 Ω - 4 A V z Ω V v V x I 4 -I - - I 3 -I I 4 -I 3 V w - V y.5 Ω V y V Ω I 3 - I 4 A l izquierd se present nuevmente el circuito, en donde se indicn tods ls signciones efectuds. 3. Se plic l ley de Ohm ls resistencis, encontrndo ls ecuciones siguientes: V = I ;V = (I 3 -I 4 ) ;V x = -0.5I ; V y =.5 I 3 4. Se plic l LVK cd un de ls mlls, encontrándose ls ecuciones siguientes: Mll : V x V z = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: -0.5 I - V z = 0 (A) Mll : V z V V w = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: - I V z V w = 0 (B) Mll 3 : - V y - V = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: I 3 I 4 = - (C) Mll 4 : V - V w 0. V y = 0, reemplzndo ls expresiones encontrds en el punto tres, l ecución quedrá: I 3 - I 4 - V w 0. V y = 0 (D) Hst este momento, se hn encontrdo cutro ecuciones linelmente independientes, pero hy incluids siete vriles como incógnits, ests son: I, I, I 3 I 4 corrientes de mll, V z y V w voltjes de ls fuentes de corrientes y V y vrile de control de l fuente de voltje controld. 5. Se determinn ls ecuciones dicionles linelmente independientes de ls cutro nteriores, dos prtir de l informción de ls fuentes de corriente, y un prtir de l vrile de control de l fuente de voltje, completndo con ésts el sistem de ecuciones lineles, ésts son: I -I = 4 (E) ; I 4 -I = 0.5 V x (F) y V y =.5 I 3 (G) Se oserv que l ecución (F) introduce un vrile más, presentd por l fuente de corriente controld que es V x, por lo tnto se determin otr ecución prtir del control de l fuente siendo ést: V x = I (H) 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 6 de 45 CÓDIGO : UFPS

16 7. A continución se present el sistem de ocho ecuciones linelmente independientes encontrdo, l cul se puede resolver fácilmente medinte un clculdor I () I () I (3) I (4) V w V z V y V TÉRMINO x INDEP progrmle. A B C D E F G H Desrrollndo el sistem de ecuciones nteriormente presentdo, rroj los resultdos siguientes: I () = -6 A ; I () = - A ; I (3) = 4 A ; I (4) = A ; V x = 8 v ; V y = 0 v ; V z = - 4 v ; V w = 0 v Un método lterno de solución del sistem, es convertir el sistem de ocho ecuciones en un sistem de cutro ecuciones simultánes, dejndo solmente como vriles o incógnits ls corrientes de mll. Pr otener este sistem de cutro ecuciones procederemos de l form siguiente: L ecución se conform con ls ecuciones A B D y G L ecución se conform con l ecución C L ecución 3 se conform con l ecución E L ecución 4 se conform con ls ecuciones F y H Después de efectur los respectivos reemplzos ls cutro ecuciones linelmente independientes quedrán: -0.5 I I 0.5 I 3 I 4 = I () I () I (3) I TÉRMINO (4) INDEP -3.5 I 3 I 4 = I I = I I I 4 = El desrrollo del sistem de ecuciones rroj los resultdos siguientes: I () = - 6 A ; I () = - A ; I (3) = 4 A ; I (4) = A, prtir de los cules se puede otener el resto de incógnits. ANÁLISIS DE RESULTADOS: A continución se present el esquem eléctrico del circuito nlizdo, en donde se indicn ls direcciones reles de ls corrientes y ls polriddes reles de los voltjes 6 A A 8 v 0.5 Ω Ω 4 v - 4 A 4 v - v 0.5 V x = 4 A - 0 A A 0 v 0 v.5 Ω v Ω 0. V y v 4 A A A prtir de los vlores otenidos, podremos determinr que solo l fuente de v está produciendo energí( 40 w), luego est potenci dee ser igul l sum de ls potencis de ls resistencis y el resto de ls fuentes. A continución se present un tl en donde se relcion l potenci socid con cd elemento. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 7 de 45 CÓDIGO : UFPS

17 POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA P v = 0 A * v = 40 w P 0.5 Ω = 6 A * 8 v = 8 w P Ω = A * v = 4 w P Ω = A * 4 v = 8 w P.5 Ω = 4 A * 0 v = 40 w P 4 A = 4 A * 4 v = 56 w P 0.5 Vx = 4 A * 0 v = 0 w P 0. Vy = A * v = 4 w POT. TOTAL PRODUCIDA = 40 w POT. TOTAL COMSUMIDA = 40 w RESUMEN DEL MÉTODO QUE PERMITE OBTENER UN CONJUNTO DE N ECUACIONES DE MALLA. Hcer un digrm del circuito simple y clro, éste dee ser diujdo en form pln pr poder plicrle el nálisis de mlls. Indicr todos los vlores de los elementos y ls fuentes. Cd fuente dee tener su símolo de referenci.. Asignr dirección de ls corrientes como vriles( numerr ls mlls del circuito), signr un corriente por cd mll que coincide con l corriente de ls rms externs, ls corrientes de ls rms interns se podrán expresr en términos de ls corrientes de mll. L signción de l dirección es ritrri, pero es preferile que se ordend pr evitr confusiones en l plicción del método, por ejemplo, que tods ls corrientes de mll sen signds en sentido horrio. Tendrá tnts incógnits o vriles como mlls teng el circuito, esto es, si el circuito tiene n mlls sus incógnits serán: I, I,... I n. pero es posile que un de ess corrientes se conocid, o l relción entre dos de ells se conocid. 3. Asignr l polridd de los voltjes en los elementos que no se les conoce. En ls resistencis est polridd es condiciond(convención de los elementos psivos) l dirección de l corriente signd en el punto nterior pr que el voltje pued ser expresdo en términos de ls corrientes de mll como vriles. En ls fuentes de corriente, psn ser más incógnits o vriles que se le incluyen l sistem de ecuciones. 4. Utilizndo l ley de Ohm, expresr los voltjes de ls resistencis en términos de ls corrientes de mll como incógnits o vriles. 5. Utilizndo l ley de los voltjes de Kirchhoff (LVK), determinr un ecución por cd mll del circuito, ests ecuciones tendrán como incógnits o vriles ls corrientes de mll, los voltjes de ls fuentes de corriente y ls vriles de control de ls fuentes dependientes. Por lo tnto, hrá n ecuciones linelmente independiente y el número de incógnits o vriles h umentdo de cuerdo con los voltjes signdos ls fuentes de corriente y ls vriles de control de ls fuentes dependientes. 6. Determinr el conjunto de ecuciones dicionles pr completr el sistem, expresndo l corriente de ls fuentes de corriente en función de ls corrientes de mll como vriles y expresndo ls vriles de control de ls fuentes dependientes en función de ls corrientes de mll como vriles. 7. Desrrollr el sistem de ecuciones linel encontrdo y determinr tods ls incógnits o vriles incluids en el proceso. Un lterntiv en l determinción de l solución es l de reducir el sistem de ecuciones encontrdo un sistem de n ecuciones, reemplzndo ls ecuciones dicionles encontrds nteriormente en el punto sexto, en ls n ecuciones de mll encontrds en el punto quinto. 3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS A continución se present un serie de ocho prolems pr resolver, en donde cd uno de ellos contiene un circuito eléctrico que se puede desrrollr utilizndo el método de nálisis de mlls, los cutro primeros solo contienen fuentes de voltje y en los cutro restntes se le incluyen fuentes de corriente. NOTA: Los prolems propuestos en el nálisis nodl tmién se pueden resolver utilizndo el método de nálisis de mlls. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 8 de 45 CÓDIGO : UFPS

18 .Determine el voltje V e I. Determine: I ; I y V I I I Rts.: I = A ; V = 36 v Rts.; I = 5 A ; I = - 5 A ; V = 0 v 3.Determine: I, I, I 3 e I A 4. Determine: I, I e I 3 I I A ohm ohm ohm V 8*I A V I ohm 3ohm I 3 ohm I I I 3 Rts.: I = /5 A ; I = /05 A ; I 3 = /35 A ;I A = / A SE INCLUYEN FUENTES DE CORRIENTE 5. Determine: I, I, I 3 y Vx Rts.: I = 5 ma ; I = 74 ma ; I = 38 ma SE INCLUYEN FUENTES DE CORRIENTE 6. Determine: I, I, I 3 e I 4 I I I I 4 I I 3 4*Vx (A) (A) I 3 Rts. : I = - 5 A ; I = A ; I 3 = -.3 A ; I 4 =.8 A Rts.: I = 5 A ; I = A ; I 3 = 7 A ; Vx = 8 v 7. Determine: I, I, I 3 y Vx 8. Determine: I, I, I 3 e I A 5*I A (v) I ohm I ohm I A I 7V ohm - Vx 3ohm 7A I 3 ohm I I 3 *I A (A) Rts.: I = 9 A ; I =.5 A ; I 3 = A ; Vx = 3.5 v Rts.: I = -3 A ; I = - A ; I 3 = - A ; I A = A 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 9 de 45 CÓDIGO : UFPS

19 3.6 TEOREMA DE LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN 3.6. INTRODUCCIÓN Ls técnics sore nálisis de circuitos que se presentrán en lo que rest de est unidd como son los teorems, no son más que un simplificción del procedimiento tn dispendioso que tienen los métodos de nálisis nodl y de mlls, sin emrgo, unque se disminuye l complejidd en el proceso nlítico se ument l complejidd en el nivel de strcción por inclusión de conceptos sore circuitos eléctricos. L ventj más ovi de l plicción de estos teorems, es que no requieren del uso de un técnic mtemátic dispendios como lo es l solución de un sistem de n ecuciones simultánes pr encontrr los voltjes o corrientes que se requieren. L plicción de estos teorems es muy utilizd en los circuitos electrónicos pequeños o de regulr tmño, en donde podremos estr interesdos en determinr ls crcterístics eléctrics de un solo elemento o conjunto pequeño de elementos LINEALIDAD Relción Linel de Entrd-Slid: Se entiende por relción linel de voltje contr corriente un relción tl que si se multiplic por un constnte K l corriente ( puede ser dependiente del tiempo) que fluye trvés de un elemento, entonces el voltje entre los terminles de ese elemento se verá su vez multiplicdo por l constnte K. Relción linel de entrd - slid, es un relción tl que si se multiplic por un constnte K l entrd, entonces l slid se ve fectd o multiplicd por l mism constnte K Elemento Linel: Es un elemento que tiene un relción linel de voltje contr corriente, o un relción linel de entrd - slid. EJEMPLOS DE RELACIONES LINEALES:. L ecución V = 5 I es un relción linel entre l corriente y el voltje.( I = entrd, V = slid ) Demostrción: pr I = A, result, V = 5 () = 0 V. Sí multiplicmos I por K, o se, I = K A, result, V = 5(K) = 0 K = V K, entonces el voltje se ve fectdo o result multiplicdo por l mism constnte K. d i. L ecución v (t) = 5 (t) es un relción linel de entrd - slid. dt d(sen(t)) Demostrción: pr i = Sen(t) A, result, v = 5 = 5 Cos(t) V. (I-V) dt d(ksen(t)) Sí multiplicmos i por K, o se, i = K Sen(t) A, result, v = 5( ) = 5cos(t) K dt v = v K, entonces el voltje se ve fectdo o result multiplicdo por l mism constnte K. Clse de Elementos Lineles: En los circuitos eléctricos existen elementos donde su comportmiento present un relción linel. * L resistenci ( R ) v = R * i * L inductnci ( L ) d i v = L d t * L cpcitnci ( C ) d v i = C d t * Fuentes Dependientes o Controlds, cuyo voltje o corriente son proporcionles l primer potenci de lgun corriente o voltje. Circuito Linel: Es quel circuito que se compone únicmente de fuentes independientes o ideles y elementos lineles. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 9 de 45 CÓDIGO : UFPS

20 3.6. PRINCIPIO DE LINEALIDAD( PRIMERA CONSECUENCIA DE LA LINEALIDAD) L multiplicción de tods ls fuentes independientes de corriente y de voltje por un constnte K ument tods ls respuests de corriente y de voltje en el mismo fctor K, incluyendo ls slids de ls fuentes dependientes de voltje o de corriente. EJEMPLOS N 8: Un sol fuente independiente. Relción de voltje contr corriente Entrd voltje de l fuente independiente V Slid - corriente trvés de l resistenci R L, I RL R =R 3 =.5 ; R =4 ; R 4 =R 5 = ; R L = N Exp V IR L R R 4 I RL 0 V A 0 V? 3? - A V R 3 R R 5 R L Pr el circuito linel que se muestr se efectú el experimento N, en donde ls lecturs de voltje de l fuente V y l corriente de l resistenci IR L son leídos. Determine l relción entre el voltje y l corriente y después los vlores correspondientes los espcios que tienen steriscos en los experimentos y 3. DESARROLLO: Como el circuito es linel l relción entre el voltje de l fuente y l corriente de l resistenci es linel, o se que, V = K * IR L Reemplzndo los vlores correspondientes del experimento, podremos otener el vlor de K, que depende de los vlores de ls resistencis que intervienen cundo se estlece l relción y es constnte pr culquier 0 vlor que tome l fuente, K = = 0 Por lo tnto, l ecución que estlece l relción entre el voltje y l corriente quedrá: V = 0 IR L (A) Tmién se puede determinr l relción en donde l corriente de slid se l vrile dependiente, o se: IR L = K * V Reemplzndo los vlores correspondientes del experimento, podremos otener el vlor de K, por lo tnto, K = 0 = 0., y l ecución quedrá : IR L = (0.)* V (B) A prtir de l ecución B podremos encontrr l corriente trvés de l resistenci cundo el voltje de l fuente es 0 V, exp. N 3, esto es: IR L = (0.)* 0 = A A prtir de l ecución A podremos encontrr el voltje de l fuente cundo l corriente trvés de l resistenci es A, exp. N, esto es: V = 0 * (-) = -0 V EJEMPLOS N 9: Un sol fuente independiente. Relción de voltje contr voltje Entrd voltje de l fuente independiente V Slid - voltje en l resistenci R L, V RL N Exp V VR L R R 4 I RL 0 V V 0 V? 3? 0 V V R 3 R R 5 VR L R L Utilizndo el procedimiento del punto inmeditmente nterior, podremos estlecer ls relciones lineles entre los voltjes indicdos. V = K * V RL V = 5 * V RL (A) ; V RL = K * V V RL = (0.) * V (B) 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 0 de 45 CÓDIGO : UFPS

21 A prtir de l ecución (B) podremos encontrr el voltje trvés de l resistenci cundo el voltje de l fuente es 0 V, exp. N, esto es: VR L = (0.)* 0 = 4 V A prtir de l ecución (A) podremos encontrr el voltje de l fuente cundo el voltje trvés de l resistenci es 0 V, exp. N 3, esto es: V = 5 * (0) = 50 V EJEMPLOS N 0: Dos fuentes independientes. Relción de voltjes contr corriente Entrd voltjes de ls fuentes independientes V y V Slid - corriente trvés de l resistenci R L, I RL N V V V V I RL A Exp ? 4? ? 5 V R R 3 R R 4 R 5 V R L I RL El experimento N se crcteriz porque l fuente independiente V está desctivd o present un voltje de cero entre sus terminles, mientrs que l fuente V present un voltje de 0 V y l corriente de slid trvés de l resistenci es de 5 A, por lo tnto, de este experimento se puede estlecer l relción entre V e I RL, quedndo: IR L es l corriente trvés de l resistenci R L deido l fuente V, luego I RL = K * V I RL = (-0.5)* V (LINEALIDAD) El experimento N se crcteriz porque l fuente independiente V está desctivd o present un voltje de cero entre sus terminles, mientrs que l fuente V present un voltje de 30 V y l corriente de slid trvés de l resistenci es de 0 A, por lo tnto, de este experimento se puede estlecer l relción entre V e I RL, quedndo: IR L es l corriente trvés de l resistenci R L deido l fuente V, luego I RL = K * V I RL = ( 3 )* V (LINEALIDAD) En el experimento N 3, ls dos fuentes independientes están ctivds, l fuente V present un voltje entre sus terminles de 5 V, vlor diferente l que presentó en el experimento N que er de 30 V, l fuente V present un voltje entre sus terminles de 6 V, vlor diferente l que presentó en el experimento N, que er de 0 V. Por l relción encontrd en el experimento N, podremos determinr l corriente de slid deido l nuevo vlor que tom V, o se, I RL = ( 3 )* (5) = 5 A (LINEALIDAD) Por l relción encontrd en el experimento N, podremos determinr l corriente de slid deido l nuevo vlor que tom V, o se I RL = (-0.5)* (6) = - 3 A (LINEALIDAD) Ahor que, ls dos fuentes están ctivds, V = 5 V; V = 6 V, entonces, l corriente de slid trvés de l resistenci será l sum lgeric de ls dos corrientes deids los nuevos vlores que tienen ls fuentes independientes, esto es: I RL = I RL I RL ; I RL = 5 (-3) = A Por lo indicdo nteriormente, se puede expresr que l corriente de slid I RL es igul l sum lgeric de ls dos relciones encontrds en los experimentos y, esto es:i RL = I RL I RL = ( 3 )* V (-0.5)* V. Luego, pr encontrr el nuevo vlor de l corriente de slid, se reemplz en est ecución los nuevos vlores que tomn ls fuentes independientes, o se: I RL = ( 3 )* (5) (-0.5)*(6) = A En el procedimiento utilizdo en este experimento se configur el principio de Linelidd y Superposición. 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

22 En el experimento N 4, ls dos fuentes están ctivds, pero lo que se solicit es vlor de V pr l corriente de slid indicd, por lo tnto, prtir de l ecución encontrd en el experimento N 3, despejmos V, quedndo : V = 3 * I RL (.5) * V ; V = 3(0).5(8) = 4 V En el experimento N 5, ls dos fuentes están ctivds, pero lo que se solicit es vlor de V pr l corriente de slid indicd, por lo tnto, prtir de l ecución encontrd en el experimento N 3, despejmos V, quedndo : V = - * I RL ( 3 ) * V ; V = - * (5) ( 3 ) * (8) = V PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (SEGUNDA CONSECUENCIA DE LA LINEALIDAD) En culquier circuito linel que conteng vris fuentes independientes, el voltje entre terminles o l corriente trvés de culquier elemento o fuente se puede clculr sumndo lgericmente todos los voltjes o corrientes individules cusdos por cd fuente independiente ctundo sol, es decir, con tods ls demás fuentes independientes de voltje sustituids por corto-circuitos y tods ls demás fuentes de corriente sustituids por circuitos iertos. NOTAS: Pr que un fuente independiente ctúe sol, se hce necesrio suprimir o desctivr ls demás fuentes. Suprimir o desctivr un fuente independiente de voltje es reemplzrl por un corto circuito. Suprimir o desctivr un fuente independiente de corriente es reemplzrl por un circuito ierto. Ls fuentes controlds o dependientes de voltje o de corriente no se pueden desctivr. EJEMPLOS N : En l figur continución se present un circuito linel, l cul está excitdo por tres fuentes independientes, dos de voltje y un de corriente, como entrd l circuito y un corriente de slid Ix. Se efectún tres experimentos que rrojn los siguientes resultdos: I A Ix RED LINEAL V B V C Con ls fuentes I A y V B encendids en el circuito y V C = 0, Ix = 0 A; Con I A y V C encendids y V B = 0, Ix = -5 A ; por último, Con ls tres fuentes encendids, l corriente Ix = A. Encuentre Ix si l únic fuente que está operndo es: ) I A ; ) V B ; c) V C ; d) encuentre Ix, si l corriente I A y el voltje V B se duplicn en mplitud y el voltje V C se invierte. DESARROLLO: Por Linelidd: Ix A = k I A, en donde Ix A es l corriente de slid deid l fuente I A, ctundo sol. Ix B = k V B, en donde Ix B es l corriente de slid deid l fuente V B, ctundo sol. Ix C = k 3 V C, en donde Ix C es l corriente de slid deid l fuente V C, ctundo sol. Por Superposición : Ix = Ix A Ix B Ix C en donde Ix es l corriente de slid cundo tods ls fuentes están encendids. Luego Ix = k I A k V B k 3 V C Considerndo que l mgnitud de ls fuentes cundo están encendids se igul l unidd, podremos conformr tres ecuciones prtir de los tres experimentos enuncidos en el prolem. Esto es: 0 = k k k 3 (0) ; -5 = k k (0) k 3 ; = k k k 3 Resolviendo simultánemente ls tres ecuciones presentds, rroj los resultdos siguientes: k = 3 ; k = 7 ; k 3 = -8 Por lo tnto, l ecución linel que relcion ls entrds individules con l slid estrán dds por: Ix A = 3 I A ; Ix B = 7 V B ; Ix C = - 8 V C Y l corriente de slid cundo tods ls fuentes están encendids será: Ix = 3 I A 7 V B - 8 V C Ls respuests pr ls pregunts en cuestión serán: 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin de 45 CÓDIGO : UFPS

23 ) Con l fuente I A ctundo sol, Ix = 3 I A = 3 A ) Con l fuente V B ctundo sol, Ix = 7 V B = 7 A c) Con l fuente V C ctundo sol, Ix = -8 V C = -8 A d) Con ls fuentes I A y V B duplicds en mplitud y l fuente V C invertid su polridd Ix = 3 () 7 () - 8 (-) = 48 A 3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS:. Determine Vx con l polridd indicd, deido cd un de ls fuentes independientes ctundo sol, y cundo ctún tods ls fuentes independientes l mismo tiempo, utilizndo linelidd y superposición. 0Ω 0Ω 45Ω 4 V Vx - A 30Ω 48 v Respuests: V X( A) = 8.33 v ; V X(48 v) = - 8 V X(4 v) = 0 v ; V X =0.33 v. Determine V el voltje de l fuente controld con l polridd indicd, deido cd un de ls fuentes independientes ctundo sol, y cundo ctún tods ls fuentes independientes l mismo tiempo, utilizndo linelidd y superposición 0Ω 00 v Respuests: V (4A) = v ; V (00 v) =5.88 v V = v 4 A 0Ω V - 30Ω 0.5 V (A) 3. Pr el circuito de l figur siguiente: A) sí I = 0 A e I = 0, entonces V 3 = 80 v; encuentre V 3 sí I = 5 A e I = 0. B) Sí I = 0 A e I = 5 A, entonces V 4 = 00 v, tmién, sí I = 5 A e I = 0 A, entonces V 4 = -50 v; encuentre V 4, sí I = 0 A e I = -0 A R3 R7 I R4 R6 V3 - R5 - V4 I Experimento I (A) I (A) V 3 (v) A ? v Experimento I (A) I (A) V 4 (v) B ? v Respuests: V 3 = 00 v ; V 4 = * I 5.74* I = v 6/08/007 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez Págin 3 de 45 CÓDIGO : UFPS