Superficies a partir de nubes de puntos

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1 1 Realizado por: López D. Hilda M., Gómez F. Antonio R. Superficies a partir de nubes de puntos En el trabajo a continuación estudiaremos la técnica para extrapolar superficies de objetos de la vida real a software de computadora. Esta técnica se hace posible gracias a la utilización de dispositivos láser conocidos como escáner 3D que son los encargados de generar una nube de puntos a partir de la cual se reconstruirá computacionalmente sus superficie. A lo largo de esta discusión veremos distintos algoritmos que son utilizados para lograr la culminación del proceso de reconstrucción de superficies a partir de nubes de punto, así mismo estudiaremos los pasos y las operaciones a realizar para lograr dicho objetivo. Finalmente hablaremos brevemente sobre las aplicaciones mas útiles que tiene esta técnica para la vida real y cuales son los software más comunes para realizarlas. Utilizando esta técnica se pueden reproducir las superficies externas de objetos existentes en el mundo real y tenerlos computarizados para poderlos utilizar para distintos fines. Ilustración 1: Reconstrucción de superficies. Se realiza el escaneo 3D de un objeto para generar su nube de puntos correspondiente. Posteriormente, se crea la malla, se perfecciona y se completa la reproducción de la superficie del objeto. I. INTRODUCCIÓN Qué es una nube de puntos? Es un conjunto de vértices en un sistema de coordenadas tridimensional. Son representaciones de la superficie externa de un objeto. Se crean habitualmente con un láser escáner 3D. Este instrumento mide de forma automática un gran número de puntos en la superficie de un objeto y generan un fichero de datos con una nube de puntos. La nube de puntos representa el conjunto de puntos que ha medido el dispositivo. Estos puntos se pueden usar para extrapolar la forma del objeto. En muchos casos se pueden obtener atributos adicionales a las coordenadas de cada punto como color, normales, textura, densidad, etc. Si la información de color y otros atributos se reúnen en cada uno de los puntos, entonces los colores en la superficie del objeto se pueden determinar también. Aunque las nubes de puntos se pueden revisar y texturizar directamente, no se utilizan de esta forma. En la mayoría de las aplicaciones se convierten en mallas de polígonos o en mallas triangulares irregulares, modelos NURBS o modelos CAD, mediante un proceso conocido como RECONSTRUCCION DE SUPERFICIES. II. TÉCNICAS PARA RECONSTRUCCIÓN DE UN MODELO 3D Existen dos categorías de métodos para reconstrucción de una forma 3D: 1. Sistemas basados en medidas de objetos: a) Métodos basado en triangulación: Será explicado más adelante. b) Métodos que no requieren correspondencia: Estiman las normales de las superficies, por ejemplo una forma a partir del sombreado. Ilustración 2: Modelo 3D de humano generado con un sistema basado en medidas.

2 2 2. Sistemas que no utilizan medidas: Sistemas no basado en medidas, generalmente son aplicaciones que permiten generar modelos 3D a partir de cajas poligonales. Ilustración 3: Modelo 3D creado con software de animación. 3D Studio Max [3]. III. RESENTACIÓN DE NUBES DE PUNTOS Algunos métodos de renderizado 3D pueden obtener atributos sobre las nubes de puntos adicionales a los básicos, las coordenadas (X, Y, Z), como por ejemplo colores, que se representa por tres valores, las normales representadas por tres valores más entre otros. En cualquier caso las nubes de puntos se almacenan en arreglos, los cuales serán de N x M, siendo N la cantidad de puntos que tiene la nube y M la cantidad de atributos por punto. Formatos de archivos La mayoría de las aplicaciones de software existentes que trabajan con nubes de puntos utilizan dos estándares para almacenar y extraer las nubes de puntos. Por lo tanto al realizar un escaneo 3D es recomendable que los datos retornados sean representados en alguno de estos estándares. Archivos VRML:Es un estándar ISO publicado en 1997, sus siglas significan Virtual Reality Modeling Languaje. Un archivo VRML describe una escena como un grafo, entre sus nodos se encuentran los PointSet y los IndexedFaceSet. Un nodo PointSet almacena las coordenadas en tres dimensiones (X,Y,Z) de cada punto y el color de cada punto. Debido a que no se puede almacenar ningún otro atributo, como por ejemplo los vectores normales, este tipo de nodo tiene una limitación significativa, ya que los vectores normales son importantes para renderizar nubes de puntos y para reconstruir superficies a partir de nubes de puntos. Un nodo IndexedFaceSet puede almacenar mallas poligonales con colores, vectores normales y coordenadas de texturas. Adicionalmente a las coordenadas, colores y vectores normales, se pueden almacenar cotas para los vértices. El formato SFL: El formato SFL fue introducido con Pointshop3D con la finalidad de proveer un formato versátil para importar y exportar nubes de puntos con colores, vectores normales y un radio por vértice describiendo la densidad la local. Un archivo SFL es codificado en binario y provee un conjunto extensible de atributos para los elementos de la superficie, como por ejemplo: transparencia, compresión de datos, etc. Pointshop3D es una aplicación para la edición superficies basadas en puntos, desarrolla por el Laboratorio de Computación Gráfica de la Escuela Politécnica Federal de Zurich. IV. VISUALIZACIÓN DE NUBES DE PUNTOS Una técnica bien establecida para renderizar nubes de punto es Point Splating. Dicha técnica consiste en considerar cada punto como un disco orientado en 3D, donde su orientación es determinada por la normal de la superficie evaluada en cada punto y el radio del disco es usualmente almacenado como un parámetro adicional por vértice. Como resultado, cada punto es renderizado como una elipse. El color es determinado utilizando el color almacenado con el punto, la dirección del vector normal y la iluminación del modelo. Los radios son elegidos tal que las elipses se sobrepongan, generando así una percepción de una superficie continua siendo renderizada. V. MEZCLANDO NUBES DE PUNTOS Una vez realizado el escaneo 3D es posible encontrar una muestra en la cual se consigan grandes lagunas sin puntos, o puntos muy cercanos entre sí, por lo cual es necesario realizar

3 3 varios escaneos desde diferentes perspectivas para que la muestra tenga suficiente densidad sobre toda la superficie visible del objeto que está siendo escaneado. Computing Rigid Body Matching Transformations: El reto de mezclar varios escaneos se debe a que poseen sistemas de coordenadas diferentes. Por lo cual es necesario que la transformación del cuerpo rígido entre un escaneo y otro sea calculado. En algunos casos el objeto es movido con respecto al escáner bajo un control computarizado, utilizando una traslación lineal. Sin embargo cuando el objeto es reposicionado a mano no se conoce la transformación de correspondencia y debe ser estimada. Consideremos el problema de computar la transformación de cuerpo rígido para alinear dos formas a partir de dos conjuntos de N puntos. Una manera de resolver este problema es aplicar el método de mínimos cuadrados, de manera de minimizar el error cuadrático. The iterative Closest Point (ICP) Algorithm El punto más cercano iterativo es un algoritmo empleado para corresponder dos representaciones de una superficie como nube de puntos o mallas poligonales. Este algoritmo es sencillo de implementar en tiempo real. El ICP estima la transformación entre dos conjuntos de datos geométricos. El algoritmo toma como entrada dos conjuntos de datos, una estimación inicial para la transformación y un criterio para detener las iteraciones. La salida es una estimación de la transformación de correspondencia. El algoritmo selecciona puntos de la primera forma, los asocia con su vecino más cercano de la segunda forma, calcula la transformación de correspondencia con el algoritmo descrito anteriormente y transforma los puntos utilizando parámetros estimados de manera iterativa, es decir hasta que se cumple el criterio de parada. VI. RECONSTRUCCIÓN DE SUPERFICIES La meta de la reconstrucción de superficies puede ser descrita de la siguiente manera; dado un conjunto de puntos P que se apoyan encima o cerca de una superficie desconocida S se crea el modelo de superficie S' aproximándose a S. Un procedimiento de reconstrucción de superficie no garantiza la recuperación exacta de S, ya que tenemos información de S solo a través de un conjunto finito de puntos. Por ello, en algunos casos información adicional sobre la superficie puede estar disponible. Por otra parte, mientras la densidad del conjunto de puntos sea mayor, la salida S' será topológicamente más correcta y más aproximada a la superficie original S. Un buen conjunto de muestra debería ser denso en áreas detalladas y esparcido en partes sin rasgos distintivos. Usualmente, si la entrada de la data no satisface ciertas propiedades requeridas por el algoritmo, el programa de reconstrucción produce resultados incorrectos o imposibles. Por esto, cada aplicación utiliza un método de reconstrucción diferente usando el algoritmo que mejor se ajuste al mismo. La reconstrucción de superficies es una tarea difícil. En principio porque los puntos medidos del conjunto de muestra usualmente están desorganizados, por otra parte, la superficie puede ser arbitraria con tipos topológicos no conocidos y rasgos muy puntuales. Por ello el método de reconstrucción debe inferir la geometría de la topología y sus rasgos de la manera más correcta utilizando un conjunto finito de puntos de muestra. Ilustración 4: Reconstrucción de superficie VII. ALGORITMOS QUE CONSTRUYEN ISOSURFACES Una superficie de estilo Isosurface Es una representación de una superficie como malla poligonal producida por un algoritmos de isosuperficie. Marching Cubes

4 4 Es un algoritmo en el cual se intersecan cubos con una función en un espacio 3D que conforma una superficie. Para intersecar los cubos se evalúan los vértices de cada cubo y se disminuyen progresivamente para obtener una mejor aproximación de la superficie. Un vértice es de color si está por debajo de la superficie y sin color si está por arriba de la misma. Es posible que exista ambigüedad ya que existen 256 combinaciones distintas, agrupadas en 16 familias tomando en cuenta que algunas son rotaciones de otras. Para evitar estas ambigüedades se divide el cubo en símplices entendiendo un símplice como la menor figura que se puede formar en nd que no se puede formar en (n-1)d. Ilustración 5: Algoritmo Macthing Cubes Marching Tetrahedra Está basado en el marching cubes, por lo que contiene el mismo concepto, sin embargo simplifica el problema a solo 4 casos distintos de un total de 16, adicionalmente no produce ambigüedades, de esta manera se procesan mas poliedros pero se tratan menos vértices. Es posible descomponer en cubos, sin embargo en el último paso el cubo debe ser descompuesto en cinco tetraedros. Es posible que en cada iteración los cubos sean de distinto tamaño, por lo cual no se debe seguir subdividiendo si no hay cambios en la superficie. Ilustración 6: Algoritmo Matching Tetrahedra VIII. ALGORITMOS DE RECONSTRUCCIÓN Los algoritmos de reconstrucción pueden ser clasificados con muchas categorías. A continuación se utilizaran cinco categorías para clasificarlos: De acuerdo al tipo de data de entrada: Nubes de punto no organizadas: Los algoritmos trabajando con data no organizada no tienen más información que la posición espacial de los puntos. No realizan ningún tipo de asunciones con respecto a la geometría del objeto, por lo que antes de generar una superficie poligonal, usualmente estructuran los puntos de acuerdo a su coherencia. Se necesita una buena distribución en la data de entrada, ya que si los puntos no son uniformemente distribuidos estos algoritmos suelen fallar. Nubes de punto estructuradas: Estos algoritmos pueden tomar en cuenta la información adicional que se les suministre y lograr una mejor estimación de la superficie original sin inferir cualidades de la misma. De acuerdo a su división espacial: Orientados a superficies: Estos algoritmos no distinguen entre superficies cerradas o abiertas. La mayoría de los algoritmos existentes son de éste tipo. Orientados a volumen: Funcionan en particular con superficies cerradas y generalmente son basados en la triangulación Delaunay del conjunto de puntos dados. De acuerdo al tipo de representación de la superficie: Representación paramétrica: Estos métodos representan la superficie como un conjunto paramétrico de parches de superficies, descritos por ecuaciones paramétricas. Posteriormente, estos parches son unidos para formar una superficie continua. Ejemplos de estos algoritmos son el B- spline, Curvas Bezier. Representación implícita: Estos métodos consisten en utilizar una función implícita para todos los puntos, donde para algunos el resultado obtenido será un

5 5 valor especificado (usualmente cero). En estos puntos se tratara de encontrar una función suavizada para definir su representación. Representación simple: En esta representación la superficie es una coleccionen de entidades simples incluyendo, puntos, lados y triángulos Ejemplos Alpha Shapes, Crusts Algorithm. De acuerdo a la manera de aproximación o interpolación: Superficies aproximadas: No siempre contienen todos los puntos originales, pero tienen puntos muy cercanos a ellos. Pueden utilizar una función de distancia (como la distancia más corta al punto en espacio de la superficie generada) para estimar la malla (mesh) correcta. Superficies interpoladas: Son utilizadas cuando se requieren modelos precisos. Toda la data de entrada es utilizada y una conexión correcta entre los puntos es necesaria. 1. Pre-Procesamiento: En esta fase data errónea es eliminada o varios puntos son muestreados para reducir el tiempo de cómputo. 2. Determinación de la topología global de la superficie de los objetos: La relaciones entre las partes adyacentes de la superficie tienen que ser derivadas. Esta operación típicamente necesita algún paso de ordenamiento global y la consideración de posibles restricciones (breaklines: líneas de rotura), principalmente para preservar las características especiales (como lados). 3. Generación de superficie poligonal: Mallas triangulares o cuadráticas son creadas satisfaciendo ciertos requerimientos de cualidades, como son, límites en el tamaño de los elementos de la malla, no intersección entre breaklines, etc. 4. Post-Procesado: Cuando el modelo es creado, operaciones de edición son comúnmente aplicadas para refinar y perfeccionar la superficie poligonal. De acuerdo a las diferentes asunciones que realizan los algoritmos: Asumen tipo topológico ajustado: Usualmente asumen que el tipo topológico de la superficie es conocido a priori. (plano, cilindro o esfera) Explotan estructura o información de orientación: Explotan la estructura de la data para la reconstrucción de superficie. Por ejemplo, en el caso de múltiples escaneos, pueden utilizar la relación de adyacencia de la data en cada rango de imagen. Otros utilizan el conocimiento de orientación de la superficie otorgado por la data. Si los puntos son obtenidos de data volumétrica, el gradiente de esa data puede proveer información de orientación útil para la reconstrucción IX. DE PUNTO A SUPERFICIE Para la reconstrucción de superficies a partir de una nube de puntos se realiza una conversión de data media en superficie poligonal consistente esta basada en cuatro pasos: Operaciones de Pre-procesamiento: Operaciones de editado en los puntos de medida son muy importantes antes de generar una superficie triangular. La operaciones usualmente son: Muestreo de datos Basado en la curvatura de los puntos o aplicación uniforme. En caso de data de escaneo este paso es obligatorio para reducir la redundancia de datos de entrada (downsampling) y remover cierto numero de errores introducidos por las limitaciones del aparato de escaneo. Reducción de ruido y rechazo de valores atípicos Métodos estadísticos son aplicados tomando en consideración la curvatura de la superficie e intentando preservar las características de las medidas. En caso de resultados de coincidencia de imagen, correspondencias erradas pueden ser removidas automáticamente o manualmente con inspección visual. Rellenado de huecos

6 6 Brechas en las nubes de punto son cerradas agregando, manual o automáticamente, nuevos puntos y utilizando la curvatura y la densidad de los puntos circundantes. X.GENERACIÓN DE SUPERFICIE POLIGONAL: TRIANGULACIÓN Es la parte fundamental de casi todos los programas de reconstrucción. Una triangulación convierte un conjunto de puntos dados en un modelo poligonal consistente (mallas). Esta operación particiona los datos de entrada en símplices y por lo general genera vértices, aristas y caras (representando el análisis superficie) que se encuentran sólo en los bordes compartidos. Métodos de elementos finitos se utilizan para discretizar el dominio acotado, dividiéndolo en muchos "elementos" pequeños, por lo general triángulos o cuadriláteros en dos dimensiones y tetraedros en tres dimensiones. Una triangulación óptima se define midiendo los ángulos, longitudes de los bordes, la altura o el área de los elementos. Mientras que el error de las aproximaciones de elementos finitos esta por lo general relacionado al ángulo mínimo de los elementos. Los vértices de la triangulación pueden ser exactamente los puntos de entrada o puntos adicionales, llamados puntos de Steiner, que son insertados para crear una malla mas óptima. La triangulación puede ser realizada en 2D o en 3D, de acuerdo con la geometría de los datos de entrada. Triangulación 2D El dominio de los datos entrada es una región poligonal del plano y, como resultado, se generan triángulos que se cruzan sólo en los bordes compartidos y vértices. Un método de construcción bien conocido es la triangulación de Delaunay (DT) que optimiza simultáneamente varias de las medidas de calidad antes mencionadas. El criterio de Delaunay garantiza que ningún vértice se encuentre en el interior de ninguna de las circunferencias circunscritas a los triángulos en la red. La DT de un conjunto determinado de puntos es el doble del diagrama de Voronoi (también llamado la teselación de Thiessen o de Dirichlet). 2.5 D: Los datos de entrada es un conjunto de puntos P en un plano junto con una verdadera y única función de elevación f (x, y) en cada punto (x, y) P. Una triangulación 2.5D crea una función lineal F que interpola P y que esta definida en la región delimitada por el casco convexo de P. Para cada punto p en P, F (p) es la media ponderada de la elevación de los vértices del triángulo que contiene a p. Por lo general, la triangulación de Delaunay se utiliza como función de interpolación. De acuerdo con la estructura de datos, periódica o casi aleatoriamente distribuidos, la superficie generada es llamada rejilla de elevación o modelo TIN (por sus siglas en en ingles, Triangular Irregular Network). Superficies para modelos 3D: Los datos de entrada son siempre un conjunto de puntos P en R 3, pero no más limitada en un plano, por lo tanto la función de elevación de f (x, y) deja de ser única. El conjunto de datos de entrada también se llama punto de nube desorganizado. Triangulación 3D La triangulación en 3D se llama tetraedralización o tetraedración. Una tetraedralización es una partición del dominio de entrada en un conjunto de tetraedros que se encuentran sólo en caras compartidas (vértices, aristas o triángulos). Los resultados tetraedralizados son mucho más complicados que los de una triangulación 2D. Los tipos de dominios de entrada podrían ser poliedro simples (esfera), poliedros no-simples (torus) o nubes de puntos. Ilustración 7: Triangulación 3D XI. OPERACIONES DE POST-PROCESAMIENTO Los polígonos creados por lo general necesitan algunas mejoras para corregir las imperfecciones o errores en la superficie. Estas operaciones (principalmente manuales)

7 7 varían desde la edición de triángulos individuales hasta la corrección de superficies: Corrección de bordes. Las caras pueden ser divididas en dos partes, trasladadas a otro lugar o contraídas. mayoría de la ingeniería inversa. Transformando datos de escaneo 3D en mallas poligonales. Es un complemento perfecto para CAD. Disponible únicamente en Windows. Otros software: Rapidform, Polyworks, existe un plug-in para AutoCad denominado Point Cloud. Inserción de triángulos Los agujeros pueden ser llenados construyendo estructuras poligonales que respeten el área adyacente; mallas incompletas también pueden ser reparadas con funciones de base radial o con el enfoque volumétrico. Edición de polígonos El número de polígonos se puede reducir, preservando la forma del objeto o reparando los puntos límites. El modelo poligonal también se puede mejorar añadiendo nuevos vértices y ajustando las coordenadas de los vértices existentes. Además los picos se pueden remover con funciones suaves. Ilustración 9: Captura de pantalla de MeshLab trabajando con nube de puntos. XIII.APLICACIONES Ilustración 8: Corrección de imperfecciones en superficie XII. SOFTWARE QUE UTILIZAN NUBES DE PUNTA PARA RECONSTRUIR SUPERFICIES. Meshlab Es un software libre que procesa mallas 3D, su desarrollo empezó en el 2005 y su función principal es el procesamiento de datos que vienen de un escaneo 3D. Contiene dos algoritmos de reconstrucción de superficies a partir de nube de puntos. Está disponible en Windows, Linux y Mac OS X. Geomagic Permite reconstruir una infinita variedad de formas a partir de datos de un escaneo 3D. Está diseñado para manejar la La reconstrucción de superficies a partir de nubes de puntos tienen muchas aplicaciones útiles, a continuación mencionamos algunas. Elaboración de modelos tridimensionales en CAD de piezas fabricadas. Inspección industrial: Se alinea la nube de una pieza fabricada a un modelo CAD (o a otra nube de puntos), se comparan para verificar diferencias. Se visualizan como mapas de color que proporcionan un indicador visual de la desviación entre la pieza fabricada y el modelo CAD. Visualización, animación y texturización: En muchas animaciones gráficas los objetos que se desean animar o que aparezcan dentro de la animación están basados en objetos reales. Para lograr un modelado mas preciso se usa la técnica de nubes de punto para

8 8 reconstruir la superficie de los mismos en la aplicación con la que se esté realizando la animación. Representación medica: Representación de datos volumétricos. Se utiliza la técnica para reproducir las formas exactas de los órganos del cuerpo para facilitar estudios y desarrollos médicos. Modelos digitales de terreno: Sirven como fuentes de datos en sistemas de información geográfica. Por ejemplo, pueden servir para ayudar a determinar si un terreno o un espacio es apto para una construcción específica. Blais, F., 2003: A review of 20 years of range sensor development. Videometrics VII, SPIE Proc., Vol. 5013, pp WEB asp_modeling.pdf ftp://ftp.formz.com/pub/formz/pdf_files/documentation/espa nol/formz_v4.0_documentation/re-engineer_plugin.pdf XIV. CONCLUSIONES La reconstrucción de superficies a partir de nubes de punto es una técnica muy útil y muy usada. La parte mas complicada del proceso es obtener la nube de puntos como tal, o mas bien, una buena nube de puntos que contenga datos aptos para lograr la reproducción del modelo, por esto es recomendable realizar varios escaneos del objeto y mezclar las nubes de puntos obtenidas utilizando el algoritmo más adecuado. En general las aplicaciones de software están capacitadas para realizar la generación de la superficie a partir de mallas, sin embargo, se requiere que los individuos posean o desarrollen habilidades para poder mejorar manualmente la reconstrucción obtenida por la aplicación. XV. REFERENCIAS Bibliográficas Lannan, D., Tubin G., 2009: Build your Own 3d scanner: 3d photography for beginners, SIFFRAPH 2009 Course Notes, pp Alexa, M., 2002: Wiener Filtering of Meshes. Proc. of Shape Modeling International, pp Bern, M., Eppstein D., 1992: Mesh Generation and Optimal Triangulation. Computing in Euclidean Geometry, D.Z. Du, F.Hwang, eds, World Scientific, Lecture Notes Series on Computing, Vol. 1, pp