ILUSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE LA IDENTIFICABILIDAD EN LOS MODELOS MULTIECUACIONALES

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1 ILUSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE LA IDENTIFICABILIDAD EN LOS MODELOS MULTIECUACIONALES El objetivo de este documento es ilustrar matemáticamente, y con un caso concreto, el problema de la identificación en los modelos multiecuacionales. Para ello, es necesario tener saber en todo momento que la estimación de un modelo multiecuacional simultáneo de forma correcta debe tener en cuenta, en cada ecuación, el valor de estimación de la otra(s). Aunque siempre será posible estimar de una en una cada ecuación de forma independiente, esta solución rompe con la idea de simultaneidad que intenta incluirse en un modelo como el que estamos viendo. La dificultad para estimar simultáneamente, unido a su evidente interés para dotar de congruencia al esquema propuesto, exige pasar, en muchos sistemas de estimación, de la forma estructural a la reducida, de forma que queden perfectamente agrupadas las endógenas a un lado de la igualdad y las exógenas (no obtenibles a partir del propio modelo) al otro. Con ello, podríamos estimar de una en una sin romper el principio de simultaneidad. Además, la forma reducida tiene un carácter intrínsecamente interesante, dado que se elimina el problema de los regresores estocásticos innato en un modelo multiecuacional, ya que, en dicha forma reducida, la agrupación da lugar a que cada endógena (y), sólo venga explicada por exógenas del modelos (x s). El ejemplo que servirá para la ilustración parte de una especificación simultánea de dos ecuaciones, referidas al tipo de interés del BCE (TBCE) y al de la Reserva Federal americana (TRF). Se plantearán tres especificaciones diferentes para explicar dichos tipos de interés, siempre manteniendo la referencia simultánea entre uno y otro (el BCE explica al de la Reserva y viceversa), pero incluyendo más explicativas cada vez en el modelo. Las especificaciones propuestas son las siguientes: Caso Caso 2 Caso 3 TBCE=α 0 +α TRF +β 2 IPCUSA Donde TBCE y TRF son los tipos de interés Europeo y Americano, IPCUE e IPCUSA son los índices de precios Europeo. CASO PRIMERO

2 Estimando en las formas estructurales: Date: 04/0/0 Time: :38 TBCE=α 0 +α TRF Estimación forma estructura ecuación : TBCE=α 0 +α TRF C TRF R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic.9074 Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: :39 Estimación forma estructura ecuación 2: C TBCE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic.9074 Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Esta estimación siempre será posible, pero los resultados no serán congruentes, ya que los valores del tipo de interés estimado en la ecuación uno no serán los mismos que los empleados luego para estimar dos (en esta se utilizarán también los valores reales, no los estimados). Lo mismo ocurre en la segunda ecuación. Por ello, parece conveniente estimar el modelo (cada ecuación) en forma reducida y, después, volver a la forma estructural:

3 Para pasar de estas formas estructurales a las correspondientes reducidas, despejaría en cada una de ellas la variable explicativa-endógena de la otras, es decir: FORMA ESTRUCTURAL: TBCE=α 0 +α TRF TBCE=α 0 +α (β 0 +β TBCE) = α0 αβ0 FORMA REDUCIDA: TBCE = + = π 0 α β α β Obtengo así una endógena en función de una exógena (en este caso, dicha exógena es sólo la constante). En cualquier caso, en esta forma reducida puedo estimar el parámetro π 0 : Estimación forma reducida ecuación : Date: 04/0/0 Time: :46 C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regression.8536 Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Siguiendo los mismos pasos para la otra endógena: - La escribo en forma reducida: TRF=β 0 +β (α 0 +α TRF)= FORMA REDUCIDA: TRF = β 0 + βα 0 + βπ0 = π 20 - Estimo dicha forma reducida: Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: :48 Estimación forma reducida ecuación 2: C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var

4 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Para pasar ahora a la forma estructural, nuevamente (y saber así como depende el tipo de interés de la UE del tipo de interés americano y viceversa), tendría el siguiente sistema de ecuaciones (una vez los valores π 0 y π 20 ya han sido estimados: α α β 0 0 4,48967 = + = π0 αβ αβ 5, = β + β α + β Π = π En definitiva, tendría un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, ya que tendría dos ecuaciones y cuatro incógnitas, luego infinitas soluciones una vez dé un valor para dos de las incógnitas (sea cual sea): el modelo es NO IDENTIFICABLE CASO SEGUNDO Las formas estructurales propuestas ahora son las siguientes (se ha incluido una explicativa más en una de las dos ecuaciones iniciales): Estimando directamente ambas formas (en la forma estructural) obtengo: Date: 04/0/0 Time: :56 Estimación forma estructural ecuación : C TRF IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regresión Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Estimación forma estructural ecuación 2:

5 Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: :56 C TBCE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic.9074 Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Nuevamente escribo cada una de las dos ecuaciones en su forma reducida de cara a hacer una estimación más congruente con la simultaneidad implícita en el modelo: - Escritura en forma reducida: FORMA ESTRUCTURAL: = α 0 +α (β 0 +β TBCE )+α 2 IPCUE= α 0 /(- α β )+ α β 0 /(- α β ) + (α 2 / (- α β ))*IPCUE= FORMA REDUCIDA: TBCE =Ð 0 + Ð *IPCUE Donde: Ð 0 = α 0 /(- α β )+ α β 0 /(- α β ) Ð = (α 2 /(- α β )) - Estimo los parámetros de la forma reducida Date: 04/0/0 Time: 2:04 Estimación forma reducida ecuación : TBCE =Ð 0 + Ð *IPCUE C IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

6 Para la otra ecuación seguiría los mismos pasos, sustituyendo TBCE explicativa por su correspondiente forma reducida que acabamos de obtener: FORMA ESTRUCTURAL: TRF=β 0 +β (Ð 0 + Ð *IPCUE) = β 0 +β Ð 0 + β Ð *IPCUE FORMA REDUCIDA: TRF= Ð 20 + Ð 2 *IPCUE Donde: Estimando la forma reducida, tendríamos: Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: 2:0 Ð 20 = β 0 +β Ð 0 Ð 2 = β Ð Estimación forma reducida ecuación 2: TRF= Ð 20 + Ð 2 *IPCUE C IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) En definitiva, tendríamos los siguientes valores estimados para los parámetros de la forma reducida de ambas ecuaciones: Y tendríamos las siguientes ecuaciones: Ð 0 = Ð = Ð 20 = Ð 2 = [] = α 0 /(- α β )+ α β 0 /(- α β ) [2] = (α 2 /(- α β )) [3] = β 0 +β [4] = β *( )

7 El resultado tiene cuatro ecuaciones y cinco incógnitas, nuevamente un sistema compatible indeterminado (con infinitas soluciones posibles). Sin embargo, en este caso sí podemos conocer los parámetros de la forma estructura de la ecuación de los tipos de interés americanos (TRF), ya que, con las ecuaciones [3] y [4], obtenemos los parámetros β 0 y β : β = / ( ) = - 0, β 0 = β = -6, La segunda ecuación sería identificable (de su estimación en forma reducida se podría pasar a la estructural) y la primera no. NÓTESE QUE LOS RESULTADOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS PASANDO PRIMERO A LA FORMA REDUCIDA Y LUEGO A LA ESTRUCTURAL NO SON LOS MISMOS. EVIDENTEMENTE, ESTIMAR DIRECTAMENTE ECUACIÓN POR ECUACIÓN ES LO MISMO QUE OBVIAR EL CARÁCTER SIMULTÁNEO DEL SISTEMA, LUEGO LA ESTIMACIÓN PRIMERA ES UN CAMINO ERRÓNEO PORQUE, SIMPLEMENTE, ELIMINA EL CARÁCTER MULTIECUACIONAL SIMULTÁNEO DEL MODELO. Ecuación 2: Estimación forma estructural Estimación forma Reducida β β CASO TERCERO +β 2 IPCUSA Date: 04/0/0 Time: 2:52 Estimación en forma estructural ecuación : C TRF IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

8 Estimación en forma estructural ecuación 2: +β 2 IPCUSA Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: 2:52 C TBCE IPCUSA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Escritura en forma reducida de cada una de las ecuaciones: Ecuación : FORMA ESTRUCTURAL: TBCE=α 0 +α (β 0 +β TBCE+β 2 IPCUSA )+α 2 IPCUE = (α 0 +α β 0 )/(-α β )+ (β 2 /(-α β ))* IPCUSA+ α 2 /(-α β )IPCUE = FORMA REDUCIDA: TBCE = Ð 0 + Ð IPCUSA+ Ð 2 IPCUE Donde: Ð 0 = α 0 /(- α β )+ α β 0 /(-α β ) Ð = α β 2 /(- α β ) Ð 2 = α 2 /(- α β ) Ecuación 2: FORMA ESTRUCTURAL: TRF = β 0 +β TBCE+β 2 IPCUSA = β 0 +β (Ð 0 + Ð IPCUSA+ Ð 2 IPCUE)+β 2 IPCUSA = β 0 +β Ð 0 + β Ð IPCUSA+ β Ð 2 IPCUE+β 2 IPCUSA = FORMA REDUCIDA: TRF = Ð 20 + Ð 2 IPCUSA+ Ð 22 IPCUE Donde: Ð 20 = β 0 +β Ð 0 Ð 2 =β Ð +β 2

9 Ð 22 = β Ð 2 Estimación de la forma reducida ecuación TBCE = Ð 0 + Ð IPCUSA+ Ð 2 IPCUE Date: 04/0/0 Time: 2:48 C IPCUSA IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.8536 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Estimación de la forma reducida ecuación 2 TRF = Ð 20 + Ð 2 IPCUSA+ Ð 22 IPCUE Dependent Variable: TRF Date: 04/0/0 Time: 2:49 C IPCUSA IPCUE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Donde, como ya tenemos estimados los parámetros en forma reducida, podríamos escribir: Y sabemos que: Ð 0 = Ð = Ð 2 = Ð 20 = Ð 2 = 0.46 Ð 22 =

10 Ð 0 = α 0 /(- α β )+ α β 0 /(-α β ) Ð = α β 2 /(- α β ) Ð 2 = α 2 /(- α β ) Ð 20 = β 0 +β Ð 0 Ð 2 =β Ð +β 2 Ð 22 = β Ð 2 En definitiva, tendríamos un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO, que llamaremos SISTEMA POSIBLEMENTE IDENTIFICABLE Ecuación : [] = α 0 /(- α β )+ α β 0 /(-α β ) [2] = α β 2 /(- α β ) [3] = α 2 /(- α β ) [4] = β 0 +β ( ) [5] 0.46=β ( )+β 2 [6] = β ( ) Parámetro Estimada forma estructural Directamente a a a Deducidos a partir forma reducida Ecuación 2: Parámetro Estimada forma estructural Directamente Deducidos a partir forma reducida b , b b Evidentemente, para que el sistema tenga una solución única, el número de incógnitas ha de ser igual al número de ecuaciones, TODAS ELLAS DIFERENTES (NO COMBINACIÓN LINEAL LAS UNAS DE LAS OTRAS), por lo que, posteriormente, daremos una condición suficiente que nos asegura el estar en este caso.

11 CONCLUSIONES A MODO DE RESUMEN Siempre es posible estimar directamente las formas estructurales de cada ecuación del modelo, pero ello implica una incongruencia con el carácter simultáneo del mismo: las explicativas utilizadas en una ecuación no son las estimadas en la que a esta corresponde. No siempre es posible encontrar un paso único de la forma reducida a la estructural. En muchas ocasiones, dicho paso es múltiple, ya que el sistema obtenido es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). A medida que hemos ido incluyendo variables exógenas en una de las dos ecuaciones (y no en la otra), hemos ido logrando que fueran siendo identificables. Una ecuación es posiblemente identificable cuando el número de variable totales del modelo (endógenas y exógenas) excluidas en una dicha ecuación es igual al número de ecuaciones menos uno 2. Para que haya un solución única y no trivial (todo ceros) es necesario incluir una condición más que nos asegure que el sistema al que llegamos tiene tantas incógnitas como ecuaciones no combinación lineal las unas de las otras. 2 Sobre esta conclusión se hará una demostración matricial, ya que así es difícil intuir lo dicho y no generalizable

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