(x Vt) ξ 1. = f 1. ξ 2. = f 2. (x Vt)+ f 2 que puede comprobarse que satisface la ecuación diferencial de ondas d 2 ξ dt 2. + ξ 2.

Transcripción

1 Principio de superposición de ondas Cuando en un medio material no dispersivo se propagan diferentes ondas originadas por focos emisores distintos, sus efectos se superponen y la elongación de un punto cualquiera, en cada instante, será la resultante de las elongaciones correspondientes a cada onda. Se debe tener especial cuidado con la interpretación de la elongación resultante, ya que no siempre es la suma aritmética de las elongaciones de las ondas componentes. Si las elongaciones originadas por cada onda son de distinta dirección, se debe entender que la elongación resultante es la suma vectorial de dichas elongaciones. La situación es enteramente similar a la superposición de movimientos de diferente dirección. En el caso particular de que las elongaciones sean de la misma dirección, la elongación resultante es la suma algebráica de las elongaciones componentes. Esta situación se puede presentar, por ejemplo, en un medio material no dispersivo, de dos formas diferentes: I.- Si se propagan en dicho medio dos ondas longitudinales a lo largo de una misma dirección, que tomaremos como eje OX, cuyas ecuaciones son de la forma: ξ 1 ξ = f la perturbación será la suma algebráica de ambas ξ = ξ 1 + ξ + f que puede comprobarse que satisface la ecuación diferencial de ondas d ξ dt =V d ξ dx sin más que calcular las derivadas parciales segundas de x respecto al tiempo y respecto a la coordenada x y sustituir en dicha ecuación diferencial. Como ya se ha indicado al principio, superponer elongaciones significa superponer magnitudes físicas. El término elongación, x, no siempre significa desplaamiento. Por ejemplo, si x 1 y x representan variaciones de presión debidas a dos ondas sonoras, la elongación resultante x = x 1 + x representa en este caso la variación total de presión debida a la superposición de ambas ondas. II.- Si debido a dos causas distintas se propagan a lo largo de una cuerda, que tomaremos como eje OX, dos ondas transversales con los mismos planos de polariación y de vibración, cuyas ecuaciones son de la forma, y 1 y = f la elongación total será la suma algebráica de ambas elongaciones y = y 1 +y + f que, igual que en el caso anterior, puede comprobarse que satisface la ecuación diferencial de ondas d y dt =V d y dx En este caso, y representa la elongación resultante, es decir, el desplaamiento transversal resultante debido a la superposición de ambas ondas Pulsaciones Vamos a comenar por estudiar la superposición de dos ondas armónicas longitudinales, o transversales con el mismo plano de polariación, de igual amplitud pero de frecuencias ligeramente diferentes, que se propagan en un medio material con una cierta velocidad V. Las elongaciones debidas a las dos ondas que se superponen en un punto dado de dicho medio son, por lo tanto, de igual dirección, y sus expresiones serán de la forma, ξ 1 = A sen (k 1 ξ = A sen (k x ω [3.5-1]

2 aletos y la elongación resultante será, en virtud del principio de superposición, ξ = ξ 1 + ξ = A sen (k 1 + A sen (k x ω = A sen (k 1 + sen (k x ω = = A. sen 1 (k x ω t + k x ω cos (k x ω t k x +ω = A sen k + k 1 x ω +ω cos k k 1 y llamando para abreviar x ω k 1 + k = k m, +ω la relación anterior se puede expresar en la forma = ω m, k 1 k =, ω = Δω ξ = A sen (k m cos x Δω t que, en virtud de la propiedad conmutativa, se puede escribir en la forma y, por último, llamando queda finalmente que corresponde a una onda con una frecuencia angular ξ = A cos x Δω t sen (k m B = A cos x Δω t ξ = B sen (k m [3.5-] [3.5-3] [3.5-4] a la que corresponde una frecuencia ω m = +ω [3.5-5] f + f y su amplitud, que es [3.5-3], varía con el tiempo con una frecuencia angular ω [3.5-6] a la que corresponde una frecuencia ω ' = Δω = ω [3.5-7] y cuyo periodo es f ' f T ' = 1 f ' = f 1 f = π ω π 4π = ω [3.5-8] [3.5-9] Si las frecuencias de cada una de las ondas componentes son muy próximas entre sí, la frecuencia f es muy pequeña y la amplitud B varía muy lentamente. Las fluctuaciones de la amplitud reciben el nombre de pulsaciones. El número de máximos de la amplitud que se producen en cada segundo es el número de pulsaciones por segun - do. Ahora bien, la pulsación, es decir, un máximo de amplitud, tendrá lugar en un punto de abscisa dada x, cuando o lo que es igual, cuando cos x Δω t = ±1

3 3 cos x π f f 1 = ±1 y como cada uno de estos valores se producen en cada periodo, el número de pulsaciones por segundo es dos veces la frecuencia [3.5-8], es decir f 1 f f El número de pulsaciones por segundo es igual a la diferencia de las frecuencias. Si las ondas que se superponen son dos ondas sonoras de frecuencias muy poco diferentes, como sucede, por ejemplo, cuando se hacen vibrar dos cuerdas de un instrumento musical ligeramente desafinadas, se producen variaciones periódicas de la amplitud máxima de la onda resultante, que nuestro oído traduce como un aumento de intensidad sonora y se conoce con el nombre de pulsaciones de intensidad Interferencias Se conoce con el nombre de interferencias el fenómeno que se produce en un medio material, o en el vacío, cuando se superponen en cada punto dos vibraciones o dos variaciones armónicas de igual dirección y del mismo periodo y cuyas amplitudes son, en general, diferentes, dando lugar a una vibración o variación resultante cuya amplitud puede quedar incrementada en algunos puntos y disminuida, o incluso anulada, en otros. Puesto que para la producción de interferencias se precisa que las vibraciones o variaciones componentes, además de tener el mismo periodo, tengan la misma dirección, éstas se podrán obtener superponiendo ondas longitudinales de igual dirección, o bien ondas transversales polariadas con el mismo plano de polariación. Supongamos que en una cubeta de agua, cuya superficie libre es plana, disponemos en dos puntos distintos de pequeños estiletes accionados eléctricamente, que golpean periódicamente la superficie del agua con la misma frecuencia. FIG Sus estados de vibración se pueden expresar, por tanto, en la forma, F1 F Las percusiones de los estiletes producen depresiones y elevaciones en la superficie libre del agua originando ondas transversales, circulares y concéntricas, que se propagan radialmente en toda la extensión de la cubeta, como se muestra en la figura Las circunferencias de trao débil representan las depresiones producidas y las de trao fuerte, las elevaciones; y con objeto de simplificar nuestro estudio no tendremos en cuenta las ondas reflejadas en los bordes de la cubeta. Consideraremos la superficie libre horiontal del agua como plano XY, y como eje OZ cualquier recta perpendicular a dicho plano. Las depresiones y elevaciones que experimentan las moléculas de la superficie libre del agua tienen, por tanto, la dirección del eje OZ. Las ondas producidas son, pues, ondas transversales con el mismo plano de polariación. Supongamos que los dos estiletes F 1 y F que vibran con igual periodo lo hacen en concordancia de fase, o lo que es igual, con una diferencia de fase nula, y con amplitudes A 1 y A, respectivamente. senωt = A senωt Las perturbaciones producidas por cada una de las ondas originadas por los estiletes F 1 y F en un punto de la superficie del agua que se encuentra a las distancias respectivas r 1 y r, de dichos estiletes, son, F1 senω (t t 1 ) senω (t r 1 V ) sen (ωt ωr 1 V ) sen (ωt kr 1 ) F = A senω (t t ) = A senω (t r V ) = A sen (ωt ωr V ) = A sen (ωt kr )

4 4 aletos y puesto que las vibraciones son de igual dirección, la vibración resultante es = 1 + sen (ωt kr 1 )+ A sen (ωt kr ) [3.5-10] La obtención de la expresión de la vibración resultante se reduce a aplicar los resultados obtenidos en el estudio de la composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección e igual periodo: siendo y, a su ve, = A sen (ωt + ϕ) A + A 1 A cos(ϕ 1 ϕ )+ A ϕ 1 ϕ = (ωt kr 1 ) (ωt kr ) = k(r ) = π λ (r ) [3.5-11] [3.5-1] La diferencia de fase ϕ 1 - ϕ depende de las distancias r 1 y r de cada punto a los focos F 1 y F, y en consecuencia, la amplitud A varía de unos puntos a otros según la expresión, A = A 1 + A 1 A cos π λ (r r )+ A 1 [3.5-13] De aquí se deduce que la amplitud, y por consiguiente la intensidad de la vibración resultante, presentan máximos y mínimos. La amplitud será máxima en aquellos puntos en los que cos π λ (r ) = +1 es decir donde se cumpla la condición siendo n un número natural, y simplificando π λ (r ) = nπ r = nλ [3.5-14] La diferencia de distancias r y r 1 se debe tomar en valor absoluto, y se denomina diferencia de marcha de las ondas. De todo lo anterior se deduce que: Los máximos de intensidad se producen en los puntos cuya diferencia de marcha de las dos ondas es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda. La amplitud en este caso es: es decir, A máx + A 1 A + A = (A 1 + A ) A máx + A [3.5-15] La amplitud máxima de la vibración resultante es la suma de las amplitudes de las vibraciones de las ondas componentes. La amplitud, de la vibración resultante será mínima en aquellos puntos en los que cos π λ (r ) = 1 es decir donde se cumpla la condición siendo n un número natural, y simplificando π λ (r r ) = (n +1)π 1 r = (n +1) λ [3.5-16]

5 5 De donde se deduce que: Los mínimos de intensidad se producen en los puntos cuya diferencia de marcha de las dos ondas es igual a un múltiplo entero impar de la semilongitud de onda. La amplitud en este caso es: es decir, A mínx A 1 A + A = (A 1 A ) A mín A [3.5-17] La amplitud mínima de la vibración resultante es la diferencia de las amplitudes de las vibraciones de las ondas componentes. En el caso particular de que las amplitudes A 1 y A sean iguales, la amplitud de la onda resultante es nula. Las condiciones obtenidas anteriormente para los máximos []y mínimos []de amplitud, y por consiguiente, de intensidad, definen, para cada valor de n, lugares geométricos de puntos en los cuales se producen máximos y mínimos, respectivamente, de orden n, y forman unas figuras de interferencia que, para ciertos valores de r 1 y r son, aproximadamente, franjas de interferencia. Este fenómeno es directamente visible en el caso de las ondas producidas sobre la superficie del agua contenida en una cubeta, que se puede observar más fácilmente iluminando dicha superficie con un foco intenso en una dirección oblicua y proyectando por reflexión sobre una pantalla.