Unidad No 1.- Funciones Numéricas (Parte II).

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1 Unidad No.- Funciones Numéricas (Parte II)..6.- CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES. FUNCIÓN INYECTIVA. Una función se dice que es inyectiva si elementos diferentes del domino poseen imágenes diferentes en el rango. EJEMPLO No 5. Dados los conjuntos * + * + y la relación siguiente: a cada elemento del conjunto de partida A, se le hace corresponder su cuadrado en el conjunto de llegada B. a) Representa los conjuntos mediantes un diagrama sagital o diagrama de Venn. A B b) Tipo de función. Si observa, puedes ver que elementos diferentes del conjunto A (Conjunto de Partida), tiene imágenes diferente en el conjunto B (Conjunto de Llegada), es decir, elemento diferentes del dominio tienen imágenes diferentes en el rango. Por lo tanto esta relación es una función inyectiva. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T.

2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA. Se dice que una función es sobreyectiva si el conjunto de llegada coincide con el rango. EJEMPLO No 6. Dados los conjuntos * + * + y la relación siguiente: a cada elemento del conjunto de partida A, se le hace corresponder su cuadrado en el conjunto de llegada B. a) Representa los conjuntos mediantes un diagrama sagital o diagrama de Venn. A 2 3 B 9 6 b) Tipo de función. Observa que el rango de la función es el conjunto B, ya que todos sus elementos son imágenes de algún elemento del conjunto A. Como el rango, es igual o coincide con el conjunto de llegada, se dice que la función es sobreyectiva. FUNCIÓN BIYECTIVA. Una función es biyectiva si esta es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva, es decir, inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 2

3 EJEMPLO No 7. Dados los conjuntos * + * + y la relación siguiente: a cada elemento del conjunto de partida A, se le hace corresponder su cuadrado en el conjunto de llegada B. a) Representa los conjuntos mediantes un diagrama sagital o diagrama de Venn. A B b) Tipo de función. Esta relación es inyectiva, porque elementos diferentes del dominio tiene imágenes diferentes en el rango. A su vez también es sobreyectiva, ya que el conjunto de llegada coincide con el rango. Y por último, por ser inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo (simultáneamente), se dice que la función es biyectiva. EJEMPLO No 8. Sean los conjuntos { } { } y una función definida por. a) Hallar:. /. / FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 3

4 Cálculo de. /.. / Cálculo de. /.. / b) Hallar el dominio y rango de la función. c) Di el tipo de función y explica brevemente. Elaboremos un diagrama sagital para observa la asociación de los elementos de ambos conjuntos. A f B EJEMPLO No 9. Dados los * + * + y la función definida por. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T.

5 a) Construye el conjunto de imágenes de la función., -, - Luego el conjunto de imágenes es: * + b) Haz un diagrama sagital o diagrama de Venn. A h B c) Es h una función inyectiva? Explica. La función h no es inyectiva, ya que existen elementos del domino que tienen la misma imagen. d) Es h una función sobreyectiva? Explica. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 5

6 La función h no es sobreyectiva, ya que el rango no coincide con el conjunto de llegada. EJEMPLO No 2. Sean los conjuntos * + * +. Sea la función definida de C en D, tal que a cada elemento del dominio le corresponde su cuadrado aumentado en tres. a) Construye el conjunto de imágenes. Para construir el conjunto de imágenes se debe escribir la fórmula de la función, esto es: Ahora se sustituye cada elemento del conjunto C en la fórmula arriba escrita. Luego el conjunto de imágenes se puede escribir de la siguiente manera: * + b) Construye un diagrama sagital. C f D FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 6

7 c) Determinar el dominio y el rango de la función. d) Es f una función inyectiva? Explica. La función f es inyectiva, ya que elementos diferentes del dominio tiene imágenes diferentes, e) Es f una función sobreyectiva? Explica. La función f también es sobreyectiva, ya que el rango coincide con el conjunto de llegada. f) Es f una función biyectiva? Por ser f una función inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, entonces se tiene que la función f también es biyectiva. EJEMPLO No 2. Escribe la ecuación o fórmula de la función f que asigna a cada número su cubo aumentado en su doble. a) Ecuación o fórmula de la función. b) Hallar:. /. / Cálculo de. /.. /. /. / FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 7

8 Cálculo de. /.. /. /. / c) Elabora un diagrama sagital. A f B d) Determina el dominio y el rango de la función. e) Es f una función inyectiva? Si, f es una función inyectiva, ya que elementos diferentes del dominio poseen imágenes diferentes en el rango. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 8

9 f) Es f una función sobreyectiva? Si, f es una función sobreyectiva, porque el rango coincide con el conjunto de llegada. g) Es f una función biyectiva? Por ser f una función inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, entonces se dice que la función f también es biyectiva. EJEMPLO No 22. Sean los conjuntos * 5 5+ * 5 + y la función definida así a cada elemento de C se le hace corresponder su quinta parte. a) Halla el conjunto de imágenes. Para hallar el conjunto de imágenes es necesario escribir la fórmula o ecuación de la función que se da arriba entre comillas: Cálculo de ( 5). ( 5) Cálculo de ( 5). 5 FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 9

10 ( 5) 5 Luego el conjunto de imágenes es igual a: * 5+ b) Representa la función con un diagrama sagital. C h D c) Determina el dominio y el rango. * 5+ d) Es h una función inyectiva? Explica. Si, h es una función inyectiva, porque elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes. e) Es h una función sobreyectiva? Explica. No, h no es una función sobreyectiva, ya que el rango de la función no coincide con el conjunto de llegada. f) Es h una función biyectiva? No, h no es una función biyectiva, ya que es inyectiva pero no es sobreyectiva. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T.

11 EJEMPLO No 23. Sea una función definida por. Calcular las expresiones: a) 5 Ahora se sustituyen los resultados en la fórmula (a) y se obtiene: b) 5 Luego se sustituye los valores encontrados en la fórmula (b): FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T.

12 c). / 5 Cálculo de. /.. /. / Ahora se sustituye los valores encontrado en la fórmula (c), y se obtiene:. / 5 5 EJEMPLO No 2. Sea la función. Si Cuál es el valor de b? Se calcula en la ecuación : Ahora se sustituye el valor de en la ecuación anterior. Se despeja la incógnita: FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 2

13 EJEMPLO No 25. Sea la función. Cuál es el valor de si 8? Se tiene que: Se sustituye el valor de y se obtiene: 8 Se despeja la incógnita: 8 O bien: EJERCICIOS PROPUESTOS ) Dada la función, calcular. 2) Dada la función, determinar el valor de. 3) Si. Cuál es el valor de m? ) Dado el conjunto * + y la función. a) Determinar el conjunto de las imágenes de la función. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 3

14 b) Representa la función mediante un diagrama sagital. c) Determinar el dominio y el rango de la función. d) Es la función inyectiva? Explica. e) Es la función sobreyectiva? Explica. f) Es la función biyectiva? Explica. 5) Si f es una función definida por. Calcular. 6) Si. al resolver. /. / se obtiene? 7) Si. Calcula el valor de. FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T.

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