TRIGONOMETRÍA 1 (Resumen) cotg. Definiciones generales (válidas para cualquier ángulo de cualquier cuadrante) y r. cosec. sec.

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1 Trignometría Resumen TRIGONOMETRÍA (Resumen) Definiiones en triángulos retángulos ateto opuesto sen hipotenusa ateto ontiguo os hipotenusa ateto opuesto tg ateto ontiguo hipotenusa ose ateto opuesto hipotenusa se ateto ontiguo ateto ontiguo otg ateto opuesto Razones de 0º, 60º 45º sen 0º os 0º tg0º sen 60º os 60º tg60º sen 45º os 45º tg45º Definiiones generales (válidas para ualquier ángulo de ualquier uadrante) r ose r r. P(, ) se r otg sen os tg Signos de las razones según los uadrantes sen os tg ose + + se + otg Las razones en la irunferenia trigonométria (radio = ) sen IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

2 Trignometría Resumen os tg Reorrido sen os < tg < +, Situar un ángulo en la irunferenia Si el ángulo es maor de 60º, lo dividimos entre 60 (sin eliminar eros en dividendo divisor, si se pudiera) oinide on la posiión del resto de la división sobre la irunferenia. Ejemplo: = (5 vueltas ompletas + 00º) 00º 00º oiniden sobre la irunferenia. Si el ángulo es negativo menor de 60º, dividimos entre 60 su valor absoluto, omo antes. El ángulo oinide on el resto negativo. Sumándole 60º se onvierte en un ángulo entre 0º 60º. Ejemplo: Tomemos 00º; se tiene: = = 5 ( 60) 00 00º 00º oiniden sobre la irunferenia. Pero 00º oinide sobre la irunferenia on 00º + 60º = 60º. Por tanto, 00º oinide on 60º. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

3 Trignometría Resumen ) ) ) Fórmulas fundamentales otg tg se os ose sen 4) sen os 5) 6) 7) 8) sen tg os os otg sen tg os otg sen El radián r El radián es una medida de ángulos. Un ángulo mide radián ( r se denota omo rad) si delimita un aro de irunferenia ua longitud oinide on el radio. r Como la longitud de la irunferenia es r, diha longitud (el aro que delimita) es vees maor que el radio. Por tanto, un ángulo de 60º es vees maor que aquél que mide rad. Luego 60º equivale a rad. Y por ello, 80º equivale a rad. Así, una regla de permite pasar de grados a radianes, o al revés: 80º Ángulo en grados rad Ángulo en rad Relaiones entre razones de distintos ángulos Ángulos opuestos: Ángulos suplementarios: 80º sen ( ) = sen os ( ) = os tg ( ) = tg 80 sen (80º ) = sen os (80º ) = os tg (80º ) = tg Áng. que difieren en 80º: 80º+ Ángulos omplementarios: 90º 80º + sen (80º +) = sen os (80º +) = os tg (80º +) = tg 90 sen (90º ) = os os (90º ) = sen tg (90º ) = otg Áng. que difieren en 90º: + 90º 90º+ º sen (90º + ) = os os (90º + ) = sen tg (90º + ) = otg IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

4 Trignometría Resumen Resoluión de triángulos no retángulos Teorema de los senos A b a C a b sen A sen sen C Observaiones relativas al Teorema de los senos: ) Sirve para resolver un triángulo onoidos dos ángulos un lado o dos lados el ángulo opuesto a uno de ellos. ) Cuando se alula un ángulo ha, en prinipio, dos soluiones: 80º. Ha que omprobar si ambas son válidas: La suma de los tres ángulos no puede superar 80º, un triángulo tiene, a lo sumo, un solo ángulo obtuso. ) Si en un problema determinado, para alular un ángulo, podemos optar por apliar el Teorema de los senos o el Teorema del oseno, ha que elegir siempre el del oseno (porque el de los senos puede aportar dos soluiones falsamente válidas en estos asos). Teorema del oseno A a b C a = b + b os A b = a + a os = a + b a b os C Observaiones relativas al Teorema del oseno: ) Sirve para resolver un triángulo onoidos los tres lados o dos lados el ángulo omprendido entre ellos. ) Si en un problema determinado, para alular un ángulo, podemos optar por apliar el Teorema de los senos o el Teorema del oseno, ha que elegir siempre el del oseno (porque el de los senos puede aportar dos soluiones falsamente válidas en estos asos). Otras fórmulas útiles Teorema de Pitágoras a Sólo en triángulos retángulos: a = b + (a es la hipotenusa) b Teorema de la altura m h n Sólo en triángulos retángulos: h = m n (a = m +n es la hipotenusa) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 5

5 Trignometría Resumen Teorema del ateto m a = m + n b n Sólo en triángulos retángulos: = m a (a es la hipotenusa) b = n a Fórmula de Herón Calula el área de un triángulo ualquiera onoidos sus tres lados. Si llamamos p al a b semiperímetro del triángulo, esto es: p =, se tiene: S = p( p a)( p b)( p ) Área de un triángulo base altura S Longitud de la irunferenia l r Área del írulo S r IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 5

6 Trigonometría Resumen TRIGONOMETRÍA (Resumen) Razones de la suma de dos ángulos sen (a + b) = sen a os b + os a sen b os (a + b) = os a os b sen a sen b tga tgb tg( a b) tga tgb Razones de la diferenia de dos ángulos sen (a b) = sen a os b os a sen b os (a b) = os a os b + sen a sen b tga tgb tg( a b) tga tgb Razones del ángulo doble sen a = sen a os a os a = os a sen a tg a tga tg a Razones del ángulo mitad a os a sen a os a os a os a tg os a El signo (+ ó ) se deide según el uadrante en el que se enuentre a/. Si se está demostrando una identidad (válida para ualquier a) o se está resolviendo una euaión, ha que trabajar on ambos signos a la vez (). Transformaión de sumas en produtos A A sen A sen sen os A A sen A sen os sen A A os A os os os A A os A os sen sen Demostrar identidades Para demostrar que una igualdad es ierta para ualquier ángulo, ha que utilizar las fórmulas onoidas seguir una de las siguientes estrategias: ) Desarrollar uno de los miembros hasta onseguir llegar al otro. Normalmente se hae on el que es más grande. ) Desarrollar ambos miembros hasta onseguir la misma epresión. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

7 Trigonometría Resumen ) Cambiar la igualdad por otra equivalente más senilla o que se sepa, a, que es ierta. Se hae despejando o utilizando fórmulas onoidas. Resolver euaiones trigonométrias Una euaión ha que transformarla en otra onsistente en una sola epresión trigonométria de un únio ángulo igual a un número. De ahí se dedue el valor del ángulo. Para ello, si ha más de ángulo (,,, ), ha que utilizar las fórmulas trigonométrias para onseguir en todas el mismo ángulo; si ha más de una razón trigonométria, ha que haer lo propio para onseguir una únia razón. Habitualmente, tienen infinitas soluiones: todas las que se enuentren en la primera vuelta a la irunferenia, más o menos vueltas ompletas (+60ºk ó +k, kz, según trabajemos en grados o radianes). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

8 Trigonometría Resumen TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Resumen) Funiones trigonométrias Trabajan elusivamente en radianes (jamás en grados). = sen o Dom(f) = R o Re(f) = [, ] o Período prinipal: o No tiene asíntotas o / lim sen = os o Dom(f) = R o Re(f) = [, ] o Período prinipal: o Par o No tiene asíntotas o / lim os = tg o Dom(f) = R {R / = /+k, kz} o Re(f) = (, ) o Período prinipal: o Tiene asíntotas vertiales: todas las retas de la forma = /+k, kz o / lim tg IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

9 Trigonometría Resumen = arsen o Dom(f) = [, ] o Re(f) = [ /, /] o No es periódia = aros o Dom(f) = [, ] o Re(f) = [0, ] o No es periódia = artg o Dom(f) = R o Re(f) = [ /, /] o No es periódia o Tiene dos asíntotas horizontales: = /; = / o o lim tg lim tg IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de