Horacio S. Wio Beitelmajer (a)

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1 FISICA ESTADISTICA ESTRELLAS: ENANAS BLANCAS Horacio S. Wio Beitelmajer (a) (a) Electronic address:

2 Enanas Blancas No corresponde al estudio de ni de sino de objetos estelares como o mas precisamente del tipo

3 Estrellas: Enanas Blancas Una de las primeras aplicaciones de la teoria de Fermi se debe a R.H. Fowler (1926), quien trato de explicar los distintos tipos de evolucion que pudieron seguir distintos tipos de estrellas partiendo de la hipotesis que existe o se ha establecido un estado de equilibrio en su interior. S. Chandrasekhar (1939, Nobel 1983) completo ese desarrollo al incluir algunos hechos mas recientes, obteniendo asi una descripcion que aun hoy es valida. Lectura Recomendada: Stars and statistical physics: A teaching experience, R. Balian & J.-P. Blaizot, American Journal of Physics 67, 1189 (1999)

4 Para el modelado de la evolucion de las estrellas la observa- cion juega un papel mas complejo que en otras partes de la ciencia debido a: La escala temporal caracteristica para variaciones en las propiedades del Sol (o en general de una estrella) es de miles de millones de años. Las observaciones como las relacionadas con novas, supernovas, etc, podrian ser accidentes mas que etapas de una evolucion estandar.

5 Para el modelado de la evolucion de las estrellas la observa- cion juega un papel mas complejo que en otras partes de la ciencia debido a: Hay observaciones, como el esquema de Hertzsprung- Rusell, a las que se les atribuye un gran valor indicativo del proceso seguido por una estrella tipica. Asi, caracterizando el brillo (p.ej. como el logaritmo de la luminosidad real --la aparente medida en la Tierra corregida de la distancia a la estrella--) y el color (mediante un indice de color --una relacion entre medidas fotoelectricas de radiacion emitida en bandas bien definidas del espectro, ej. En zonas ultravioleta, azul y amarilla --que, en condiciones normales --si radiasen como cuerpos negros--, se puede relacionar a la temperatura de la superficie de la estrella). Se observa que la mayor parte ( 90%) de las estrellas pertenecen a una franja bien definida, la secuencia principal que implica cierta proporcionalidad entre brillo y color (las blancas son brillantes, mientras que las rojizas son mates)

6

7 Pregunta: El 90% de las estrellas se encuentran en la secuencia principal, o todas pasan el 90% de su vida en dicha secuencia? Ya Rusell proponia --aceptando una sugerencia de Kelvin (1861)-- que las estrellas evolucionan (unicamente) como consecuencia de la energia gravitatoria liberada en un lento proceso de contraccion (gigantes rojas secuencia principal enanas blancas). Esta aproximacion es aceptable aun en el modelo actual, aunque involucrando una mayor complejidad (otras fuentes de energia, particularmente fusion, contraccion del nucleo acompañada de la expansion de las capas mas exteriores, etc.): esencialmente, mediante sucesivos procesos de contraccion gravitatoria, fusion, expansion debida a la degeneracion cuantica, etc, se puede pasar de una gran nube de hidrogeno a pequeña enana blanca, supernova, estrella de neutrones, agujero negro,..

8 De las observaciones se concluye que esencialmente existen tres tipos de estrellas: Estrellas de la secuencia principal: Nuestro Sol es un ejemplo. Tiene un radio, masa luminosidad y una temperatura superficial (su densidad media es comparable a la del agua, ). En la secuencia principal todas las estrellas tienen masas que van desde hasta. El Sol esta compuesto de hidrogeno, el 28% de su masa consiste en nucleos de y un 2% de otros elementos ligeros. El numero total de protones es de. Estrellas Enanas Blancas: Tienen masas entre y un radio tipico de densidad es del orden y (como la Tierra). Su

9 De las observaciones se concluye que esencialmente existen tres tipos de estrellas: Estrellas Enanas Blancas: Tienen masas entre y un radio tipico de densidad es del orden y (como la Tierra). Su Estrellas de neutrones: Tienen masas del orden de y un radio de 10Km por lo que su densidad es comparable a la del nucleo atomico: Las estrellas de neutrones se observan como pulsares pues de ellas recibimos pulsos de radiacion electromagnetica espaciados regularmente en el tiempo. Cuando la masa de tal estrella es superior a se cree que colapsan en agujeros negros.

10 Vamos a estudiar en este contexto un modelo idealizado de estrella enana blanca: Temperatura central a la cual corresponde una energia termica a la cual todo el helio estara practicamente ionizado. Masa Densidad de masa (Para el Sol, M y T son comparables, pero su densidad es ) Si suponemos que toda la masa M es de He (2e+2p+2n), podemos suponerla formada por N electrones (de masa m) y N/2 nucleos de helio (de masa ), resulta:

11 Masa: Densidad de electrones: Momento de Fermi: Energia de Fermi: Temperatura de Fermi:

12 Se observa que es comparable al momento del electron, y es comparable a la energia en reposo del electron: puede entonces concluirse que la dinamica de los electrones en las enanas blancas es relativista. aunque T es muy superior a las temperaturas tipicas en la Tierra, es muy inferior a la de Fermi ( ), y el gas de electrones esta fuertemente degenerado.

13 Los hechos indicados sugieren que el modelo idealizado que estamos planteando para una estrella enana blanca es el de un gas de Fermi muy degenerado (o sea, en el estado funda- mental) formado por N electrones relativistas que se mueven en el campo creado por N/2 nucleos de He, supuestos fijos, y que proporcionan la cohesion gravitatoria. Asi, los unicos efectos que esperamos observar son: Tendencia a la contraccion gravitatoria hacia el centro de la estrella. Presion hacia fuera debida al gran momento medio que tienen los electrones (presion de degeneracion).

14 Gas relativista de Fermi completamente degenerado: La energia (cinetica) de una particula relativista, utilizando Θ un parametro adimensional, tal que es : y la velocidad

15 En el cero absoluto, la energia total del gas (suponiendo dege- neracion g = 2 --como en el caso de electrones-- y una des- cripcion continua --sistema macroscopico) es La presion (presion de degeneracion) se puede calcular como notando que (donde ) depende de V ; y puede definirse como Alternativamente, para el caso no-relativista, y que para el caso relativista tam- bien puede escribirse aunque

16 En el cero absoluto de donde resulta Usamos las definiciones

17 Tenemos El comportamiento asintotico de A(x) y B(x) es Las ecuaciones anteriores establecen una relacion funcional Entre y el radio R de la estrella enana blanca, supuesta esferica. En efecto, puesto que x depende del volumen de la estrella, se tiene:

18 El resultado es que, para una masa M dada, aumenta rapidamente al disminuir R; tanto si la estrella es relativista como si no. Podemos entonces preguntarnos por el estado en el que se compensa con la presion debida a la fuerza gravitatoria, si es que esto resulta posible. En efecto, el gas uniforme de fermiones (o sea la estrella) ejerce una presion sobre unas paredes imaginarias que implica un trabajo: es decir, una caja o un agente externo tienen que hacer el negativo de este trabajo para comprimir la estrella desde un estado de densidad cero hasta un estado de densidad finita (suponemos una esfera de radio R). Obviamente tal agente externo es la propia interaccion gravitatoria de la estrella, que origina una energia de la forma Si

19 Si R es el radio de equilibrio, la energia antes indicada ha de compensar el trabajo hecho al comprimir la estrella, de donde el parametro α es 3/5 si suponemos que en el interior de la estrella la densidad es constante. Al derivar respecto de R que es la relacion que caracteriza el modelo de estrella enana blanca que estamos analizando. La condicion anterior se completa con la dependencia obtenida anteriormente.

20 Veamos algunos casos especificos: el sistema puede aproximarse por un gas (clasico) de Boltzmann, esto es, y se sigue Donde hemos usado el hecho que y Obviamente este caso puede usarse para comparar pero, por supuesto, no es aplicable a las enanas blancas donde Sin embargo si es aplicable al estudio de las llamadas protoestrellas donde predice correctamente el hecho de que el radio disminuye mientras que T aumenta. Cuando se llega al estadio de fusion del H esto ha de ser tenido en cuenta como un mecanismo extra en la etapa de equilibracion de la estrella.

21 y densidad de electrones baja: Esto es, tenemos un gas ideal fuertemente degenerado de electrones no relativistas. En este caso recordemos que dependa de y ademas de Luego en este caso tenemos que x << 1 lo que implica que (en contra de lo observado para las enanas blancas) y de donde Usando esta expresion en la condicion de equilibrio se obtiene

22 y densidad de electrones alta: En este caso los efectos relativistas si resultan importantes, y x >> 1 que implica y y se tiene: donde la constante tiene dimensiones de masa. Masa versus radio. La curva discontinua. resulta de las consideraciones de degeracion no-relativista de Fowler: el radio para la configuracion de equilibrio disminuye, pero solo se hace cero para masa infinita. En este caso, una estrella de cualquier masa puede equilibrarse en el estado estrella enana blanca. Esto no ocurre para configuraciones completamente degeneradas.

23 Conclusiones: No es posible tener una estrella enana blanca con puesto que la ecuacion de equilibrio no tiene soluciones reales. es el limite de Chandrasekhar y resulta Chandrasekhar estimo donde En la practica, de donde resulta No se conoce la existencia de estrellas enanas blancas mayores. Para estrellas con masa, la presion debida a la degeneracion, consecuencia del principio de exclusion de Pauli, no es suficiente para contrarrestar la tendencia al colapso gravitacional y el sistema continua contrayendose y generando nuevos fenomenos.

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