FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA TEMA 2- Parte III CONCEPTO DE INVERSIÓN Y CRITERIOS PARA SU VALORACIÓN

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1 FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA TEMA 2- Parte III CONCEPTO DE INVERSIÓN Y CRITERIOS PARA SU VALORACIÓN 1

2 CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA Y TOMA DE DECISIONES DE INVERSIÓN PRODUCTIVA Peculardades en el cálculo de los flujos netos de caja (Dfcultades y peculardades que plantea su determnacón) 1. Flujo neto de caja versus benefcos 2. Descontar los flujos netos de caja ncrementales 3. Flujos netos de caja nomnales versus flujos netos de caja reales 4. Consderacón de los mpuestos en el cálculo de los flujos netos de caja FLUJO NETO DE CAJA VERSUS BENEFICIOS Para valorar una nversón debe atenderse a la corrente monetara o fnancera y no a la económca o corrente de benefcos. - el flujo neto de caja es una varable objetva - los proyectos de nversón son atractvos por la tesorería - las decsones de nversón y de fnancacón son dos caras de una msma moneda - La consderacón de los benefcos en lugar de los flujos netos de caja podría conducr a aceptar proyectos que fnanceramente no fueran rentables, y condujeran a reducr el valor de la empresa en el mercado 2

3 FLUJOS NETOS DE CAJA INCREMENTALES Son todos los flujos que se generan por la partcpacón del nuevo proyecto en la empresa FLUJO NETO DE CAJA INCREMENTAL = FLUJO NETO DE CAJA DE LA EMPRESA CON EL NUEVO PROYECTO FLUJO NETO DE CAJA DE LA EMPRESA SIN EL NUEVO PROYECTO Consecuenca: Pueden aceptarse proyectos que ndvdualmente consderados tuveran un VAN<0. Ello es posble en proyectos con snergas postvas (proyectos que contrbuyen a un ahorro de costes o que permten un mejor aprovechamento de los canales de dstrbucón, etc.) Flujos de tesorería que deben nclurse en el cálculo del flujo neto de caja ncremental Hay que consderar: -Los efectos dervados de la realzacón del proyecto (sean postvos o negatvos) - Inclur los costes de oportundad que pueda suponer el proyecto - Tener en cuenta las posbles necesdades de fondo de manobra, ( sobre todo al prncpo) - El fondo de manobra neto (captal crculante) - Pagos ocasonados por los costes generales que sean consecuenca del proyecto FONDO DE MANIOBRA = ACTIVO A CORTO - Tesorería - Exstencas - Clentes PASIVO A CORTO - Proveedores - Crédtos a corto Parte del actvo crculante que es fnancado con pasvo fjo, generalmente Fondos Propos Flujos de tesorería que NO deben nclurse en el cálculo del flujo neto de caja ncremental No se deben consderar: - Los pagos ocasonados por los costes rrecuperables - Los pagos ocasonados por costes fnanceros, s los hubese 3

4 FLUJOS NETOS DE CAJA NOMINALES VERSUS FLUJOS NETOS DE CAJA REALES Causa: INFLACION La relacón entre el tpo de nterés nomnal ( n ) y tpo de nterés real ( r ), sendo α la nflacón medda en tanto por uno, vene dada por la conocda ecuacón de Fsher (1+ n ) = (1+α) (1+ r ) Para un solo período, tendríamos: F F 1 1+ k 1 = F * (1+ k )(1+ g ) k 1 = coste de oportundad nomnal para el plazo de un año k * 1 = coste de oportundad real g 1 = tasa de nflacón de la economía para el año 1. Para dos períodos: F 1 F F 2 (1+ k ) 2 2 = F * 2 (1+ k ) (1+ g )(1+ g ) g 2 = tasa de nflacón de la economía para el año 2. En general, para n períodos: 4

5 F 1 F 2 F 3... F n n VAN = D + n F ( 1+ k ) j = D + j j= 1 j j= 1 j n F j ( 1+ k ) ( 1+ g ) j j h= 1 h CONSIDERACIÓN DE LOS IMPUESTOS EN EL CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA El mpuesto que grava el Benefco es una salda de tesorería (un pago) CONSIDERACIÓN DE LA AMORTIZACIÓN EN EL CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA La amortzacón es un coste para la empresa, pero no supone nngún pago RESUMEN - Se ha de calcular el flujo neto de caja después de mpuestos - El mpuesto se calcula a partr de la base mponble (ngresos-gastos), y no suele concdr el momento del devengo con el momento del pago - La base mponble no concde en nngún caso con el flujo neto de caja, aunque supongamos ngresos y gastos al contado, sempre habrá gastos que no suponen saldas de caja, como la amortzacón - El sstema de amortzacón segudo para el proyecto no afecta drectamente al cálculo del flujo neto de caja, ya que nunca supone una salda de caja, pero s afecta al cálculo de la base mponble y por tanto al cálculo del mpuesto (afectará al cálculo de la rentabldad) 5

6 Interaccones de proyectos - Cas todas las decsones de captal mplcan que la empresa debe elegr entre dos o más alternatvas posbles, que suelen presentarse como mutuamente excluyentes Supuestos dstrbucón temporal óptma de las nversones eleccón entre equpos de corta y larga duracón determnacón de la vda óptma de un equpo. Un proyecto tenga un VAN postvo no sgnfca que sea mejor realzarlo ahora DISTRIBUCIÓN TEMPORAL ÓPTIMA DE LAS INVERSIONES S el proyecto de nversón puede realzarse en más de un momento del tempo, es posble que tenga más valor en el futuro Ejemplo Un proyecto con VAN negatvo, puede resultar una nversón valosa en el futuro Año de Ejecucón VAN j VAN(en t 0 ), k=10% Cuanto más se tarda en ejecutar el proyecto, más dnero se gana. 6

7 Lo mportante es determnar la fecha que maxmza el Valor Actual Neto de la nversón hoy VAN(en t 0 ). Para determnarlo, tenemos que descontar cada uno de los VAN j de la prmera fla al año t 0 : VAN VAN(en t 0 ) s se tala en el año j = ( 1+ k) j j En la segunda fla se muestra el resultado de la anteror operacón suponendo un k = 10%. La conclusón es que el momento óptmo para ejecutar el proyecto es el año 4, porque es el punto que maxmza el VAN 1. 1º. Calcular el VAN del proyecto para cada momento o fecha de realzacón. RESUMEN VAN j = VAN del momento de realzacón j, j = 1,2,...,m 2º. Actualzar al momento ncal (t 0 ) cada uno de los VAN anterores VAN 0 j = valor en t 0 del VAN del proyecto de momento de realzacón j 3º. Elegr el mayor de los VAN j 0. ELECCIÓN ENTRE EQUIPOS DE CORTA Y LARGA DURACIÓN SI SE SUPONE EL REEMPLAZO DE LOS EQUIPOS Generalmente un equpo cuando deja de funconar se tene que reemplazar por otro de guales o parecdas característcas En lugar de analzar una nversón de forma aslada (adqurr el equpo A o B, se debe evaluar una sucesón de nversones en el tempo 7

8 Posbles solucones al problema Coste anual equvalente: se emplea cuando la cadena de renovacón es nfnta Cadenas de renovacón fntas Coste anual equvalente Eleccón entre dos equpos productvos dstntos A y B con la msma capacdad de produccón, ejecutando el msmo trabajo. Se dferencan en el preco, el coste de funconamento y la vda útl. Como las dos máqunas producen el msmo producto, la únca forma de elegr una de ellas es fjándonos en los costes. Costes (um) Equpo t 0 t 1 t 2 t 3 Valor Actual Costes (k=10%) A B A la vsta de la Tabla se puede pensar que se debe elegr el equpo con un Valor Actual de los Costes menor, es decr, el equpo B. Pero no es tan sencllo, ya que el equpo B debería reemplazarse un año antes que el A. Supone que s se elge el equpo B, en t 3 se tendrá que hacer un nuevo desembolso (comprar otro equpo B), mentras que el equpo A todavía estaría en funconamento en ese año. Como los equpos tenen dstnta duracón, a fn de homogenezar los costes y hacerlos comparables se deben convertr los costes totales de cada equpo a un coste anual a fn permt la comparacón. El procedmento es calcular el coste anual equvalente. 8

9 Anualdad equvalente de A (E A ) Anualdad equvalente de B (E B ) VAC A = E A.a VAC B = E B.a Cálculo de las anualdades equvalentes: 3 1 ( ' ) - Equpo A 32' 92 = E A ; E A = um 01 ' 2 1 ( ' ) - Equpo B 29' 62 = E B ; E B = um 01 ' Conclusón: el mejor equpo es el A, ya que tene un coste anual equvalente menor. Cadenas de renovacón fntas Equpos con dstnta vda útl: Objetvo Obtener una base temporal homogénea que nos permta comparar equpos con dstntas duracones El equpo A tene una vda de n años y el B de m años (n > m), obtendríamos: VAN A VAN A VAN A VAN A... 0 n 2n 3n... VAN B VAN B VAN B VAN B... 0 m 2m 3m... Ambas nversones no son comparables, porque nvolucran perodos de tempo dstntos. Pero sí se puede determnar el número de veces que hay que renovar cada equpo a fn de que ambas cadenas de renovacón tengan la msma duracón. Para ello se calcula el mínmo común múltplo de las dstntas duracones de los dferentes equpos alternatvos. Supongamos que la vda útl del equpo A es de 4 años (n = 4) y la del equpo B de 3 años (m = 3). Además, exste una tercera alternatva C, cuya vda útl es de 6 años. La base temporal homogénea mínma para estos 3 equpos vene dada por su mínmo común múltplo: 12. 9

10 VAN A VAN A VAN A VAN B VAN B VAN B VAN B VAN C VAN C valor: Cuál es el mejor equpo? Aquél cuya cadena de base temporal homogénea tenga un mayor Valor Cadena Renovacón Equpo A: VAN Valor Cadena Renovacón Equpo B: VAN Valor Cadena Renovacón Equpo C: VAN A B C VAN A VAN + + ( 1+ k) ( 1+ k) A 4 8 VAN VAN VAN ( 1+ k) ( 1+ k) ( 1+ k) VAN + ( 1+ k) B B B C 6 La dea de comparar el valor de las cadenas de renovacón de equpos con dstnta vda útl tambén puede emplearse cuando tomamos como horzonte económco toda la vda de la empresa, que supondremos ndefnda. En este caso, hablaremos de cadenas de renovacón nfntas. El valor actual de la cadena de equpos del tpo (S ), cuya vda es n será: VAN VAN VAN VAN... 0 n 2n 3n... S VAN VAN VAN = VAN n n ( 1+ k) ( 1+ k) ( 1+ k) 2 3 n +... = = VAN ( 1+ k) ( 1+ k) ( 1+ k) n 2 n 3 n +... = 10

11 = {suma de una progresón geométrca de nfntos térmnos de razón nferor a la undad} = n 1 ( 1+ k) VAN = VAN n 1 ( 1+ k) 1 1 n ( 1+ k). La empresa debe selecconar aquel equpo que tenga un mayor valor de S DETERMINACIÓN DE LA VIDA ÓPTIMA DE UN EQUIPO (REEMPLAZO DE MÁQUINAS EN FUNCIONAMIENTO) Vda técnca o útl VIDA ÓPTIMA Duracón o vda económca Determnacón tempo óptmo de un equpo Valor Resdual es una funcón decrecente del tempo [VR (n )] Modelo smple de retro (Magntudes) Neto de Caja es una funcón decrecente del tempo [F j (n )] Resto de magntudes se pueden segur suponendo constantes El VAN del equpo [VAN (n )] es una funcón del tempo: n Fj( n ) VR ( n) VAN ( n) = D + + j n ( 1 + k) ( 1 + k) j= 1 La duracón óptma de este equpo será aquel valor de n que haga máxmo su Valor Actual Neto, es decr: δvan δn ( n ) = VAN ( n ) = 0 Caso es bastante rreal, porque la empresa no se suele lqudar cuando el equpo se retra, sno que compra otro equpo nuevo para reemplazar al equpo vejo, y así sucesvamente 11

12 Modelo de retro con déntcos reemplazamentos Sea la sguente sucesón de valores VAN (n ): VAN (n ) VAN (n ) VAN (n ) VAN (n )... 0 n 2n 3n... El valor actualzado de la sucesón de valores VAN (n ) o VAN de la cadena de renovacones será smlar al que se obtene en el caso de cadenas de renovacón nfntas: n ( 1+ k) S( n) = VAN ( n) n ( 1+ k) 1 La duracón óptma del equpo vene dada por aquel valor de n que haga máxmo del valor S (n ), es decr: δs( n) δn = S ( n ) = 0 Objetvo de la Empresa Optmzar la polítca nversora de la empresa a lo largo del tempo (Maxmzar el valor S (n )) ( la mejor decsón hoy puede estar en conflcto con las decsones óptmas del futuro) S se supone avance tecnológco ( aparcón de nuevas máqunas, es posble determnar la vda óptma del equpo medante el método MAPI o del mínmo adverso 12

13 Eleccón de proyectos de nversón con recursos lmtados Supuestas restrccones, que pueden ser fnanceras o de otro tpo, que mpden llevar a cabo todos los proyectos rentables El VAN proporcona una ordenacón jerárquca de los proyectos de nversón S los proyectos son ndependentes y perfectamente dvsbles se asgna los recursos dsponbles según la ordenacón jerárquca proporconada por el VAN S los proyectos son excluyentes se realza el que proporcone mayor rentabldad Ejemplo: Supongamos que los fondos dsponbles para nversones (R) son de um y que la empresa, después de valorar una sere de proyectos de nversón reales, ha selecconado 5 de ellos por ser rentables y los ha ordenado según su rentabldad. VAN A B C D E Volumen de Fondos

14 En este caso, al ser proyectos ndependentes y perfectamente dvsbles, la empresa realzaría los proyectos A, B y parte del C, hasta agotar las dsponbldades fnanceras. S los proyectos son ndependentes pero no dvsbles Sguendo con el ejemplo anteror. La empresa podría plantearse el realzar los proyectos A y B dado que son los que ofrecen una mayor rentabldad. Sn embargo, esto supone que le van a sobrar 200 um del presupuesto. En este caso, lo lógco es que la empresa acuda al mercado de captales e nverta las 200 um en Letras del Tesoro, por ejemplo, aunque obtendrá una rentabldad menor de la que obtendría s realzase el proyecto E. Dada esta stuacón, la alternatva que tene es la de agotar su presupuesto de nversones realzando, por ejemplo, los proyectos A-C-D, o tambén puede realzar el conjunto de proyectos B-C-D-E, o el conjunto A-D, etc. En todos estos casos el presupuesto se agota, es decr, se gastan las um dsponbles. Conclusón La empresa debe determnar las dstntas combnacones posbles de proyectos de nversón, calcular la rentabldad global de cada una de las combnacones y realzar aquella que ofrezca una rentabldad mayor Observacón: la cartera de proyectos de nversón que la empresa vaya a realzar no tene porqué necesaramente estar ntegrada por aquellos proyectos que ndvdualmente sean los más rentables Estas normas de decsón son nsufcentes debdo a las sguentes razones: a) Sólo tenen en cuenta las restrccones fnanceras en el momento ncal y no las restrccones en momentos futuros. b) Sólo consdera las posbldades de nversón en el momento presente y en los momentos futuros. c) No se consdera la posbldad de que los FNC srvan para fnancar otros proyectos. 14

15 Supuesto un conjunto de nversones que pueden realzarse en el momento actual o en el futuro (pueden retrasarse), y algunas de las cuales se pueden realzar en más de un momento del tempo NUEVAS CONSIDERACIONES Exstenca de un conjunto de restrccones técncas que recogen la relacón entre las nversones (s son complementaras, substtutvas, etc.) y/o comercales El horzonte de planfcacón comenzará en el momento actual y acabará con el últmo flujo neto de caja del conjunto de nversones consderadas Se deberá de tener en cuenta en cada período del horzonte de planfcacón consderado, las posbles lmtacones de recursos fnanceros que tenga la empresa y otro tpo de restrccones s exsteran Solucón del problema Determnar qué nversones han de llevarse a cabo, y en qué momento del tempo, para que la rentabldad total del período de planfcacón sea máxma, cumpléndose todas las restrccones que pudese haber PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 15

16 MODELO DE LORIE-SAVAGE-WEINGARTNER Propone y resuelve en térmnos de programacón lneal el problema de la eleccón de nversones en la empresa, ante la lmtacón de recursos fnanceros Las varables que ntervenen son: VAN F j S j R j k x : Valor Actual Neto del proyecto (=1,...,n) : Flujo Neto de Caja generado por la nversón en el año j, (j=0,1,...,t) : Salda de Caja orgnada por la nversón en el año j : Dsponbldades fnanceras para el año j : Coste de oportundad del captal : Número de veces que debe realzarse el proyecto de nversón El modelo que propone Wengartner es el sguente: Max Z = VAN 1 x 1 + VAN 2 x VAN n x n s.a. S 10 x 1 + S 20 x S n0 x n R 0 S 11 x 1 + S 21 x S n1 x n R 1... S 1T x 1 + S 2T x S nt x n R T x 1, x 2,..., x n 0 El problema consste en buscar la combnacón de valores x para la cual la funcón objetvo toma un valor máxmo, cumplendo, a su vez, los dos bloques de restrccones. Tal y como está planteado el problema (x 1, x 2,..., x n 0), se supone que: los proyectos pueden fracconarse; y los proyectos son repettvos. 16

17 S los proyectos fueran fracconables pero no repettvos (como máxmo se puderan realzar al 100%), el últmo bloque de restrccones (restrccones de no negatvdad) debería ser reemplazado por: O, lo que es lo msmo: 0 x 1, = 1,2,..., n x 1 1 x x n 1 x 1, x 2,..., x n 0 En el caso de que los proyectos de nversón no sean fracconables n repettvos, el segundo bloque de restrccones debería ser: {0,1}, = 1,2,..., n Esto mplca que el problema planteado debe resolverse medante Programacón Lneal Entera (PLE). Formulacón ncal del modelo de Wengartner, en el que los proyectos se suponen fracconables y repettvos. La resolucón de este Programa Lneal (PL) se realza medante el algortmo del smplex. Para ello es necesaro convertr las necuacones que representan las restrccones fnanceras en ecuacones medante la nclusón en el programa de las varables de holgura (x h j ). Las varables de holgura aparecen en las restrccones con el coefcente uno y en la funcón objetvo con coefcente cero. Al ntroducr las varables de holgura, el PL queda de la sguente forma: Max Z = VAN 1 x 1 + VAN 2 x VAN n x n + 0 x h xh x h T s.a. S 10 x 1 + S 20 x S n0 x n + x h 0 = R 0 S 11 x 1 + S 21 x S n1 x n + x h 1 = R 1... S 1T x 1 + S 2T x S nt x n + x h T = R T x 1, x 2,..., x n, x h 0, xh 1,..., x h T 0 SIGNIFICADO ECONÓMICO DE LAS VARIABLES EN EL ÓPTIMO. Una vez resuelto el PL planteado, obtenemos: * * * x 1, x 2,..., x = Número de veces que en el óptmo convene realzar los n proyectos de nversón. 17

18 * * * Los valores que obtenemos de las varables x 1, x 2,..., x n en la solucón ( x 1, x 2,..., x n ) son óptmos porque proporconan el máxmo valor de la FO cumplendo al msmo tempo todas las restrccones. h* h* h* x, x,..., x = valor de las varables de holgura en el óptmo 1 2 T x h* j = 0 sgnfca que en el perodo j se han agotado todos los recursos fnanceros dsponbles x h* j > 0 sgnfca que en el perodo j no se han agotado todos los recursos fnanceros dsponbles y que, por tanto, ha habdo h* recursos sobrantes en una cantdad gual a x j EL PROGRAMA DUAL. A todo programa lneal, llamado prmal, le corresponde otro que se denomna dual. Las relacones entre ambos programas son las sguentes: 1. El programa dual es un problema de mnmzacón cuando el prmal correspondente lo es de maxmzacón, y vceversa. 2. El programa dual tene tantas varables prncpales como restrccones tene el programa prmal. 3. Los coefcentes de la funcón objetvo del programa dual son los térmnos ndependentes de las restrccones en el programa prmal. 4. El programa dual tene tantas restrccones como varables prncpales tene el programa prmal. 5. Los térmnos ndependentes de las restrccones en el programa dual son los coefcentes de las varables en la funcón objetvo del prmal. 6. Las restrccones del programa dual tenen un sentdo nverso al que tenen las restrccones del programa prmal. S denomnamos u j, para j=0,1,...,t, a las varables prncpales del programa dual, y tenendo en cuenta las relacones comentadas anterormente, el programa dual correspondente al programa prmal del modelo de Wengartner será: Mn Z = R 0 u 0 + R 1 u R T u T S 10 u 0 + S 11 u S 1T u t VAN 1 S 20 u 0 + S 21 u S 2T u t VAN 2... S n0 u 0 + S n1 u S nt u t VAN n u 0, u 1,..., u T 0 18

19 A la hora de resolver el anteror programa es necesaro transformar el conjunto de necuacones que forman las restrccones en ecuacones lneales. Para ello, al gual que hcmos en el programa prmal, ntroducmos las varables de holgura, con lo que: Mn Z = R 0 u 0 + R 1 u R T u T + 0 u h u h u h n s.a. S 10 u 0 + S 11 u S 1T u t - u h 1 = VAN 1 S 20 u 0 + S 21 u S 2T u t - u h 2 = VAN 2... S n0 u 0 + S n1 u S nt u t - u h n = VAN n u 0, u 1,..., u T, u h 1, u h 2,..., u h n Una vez que hemos ntroducdo las varables de holgura, podemos resolver este programa de dos formas: a) Medante el algortmo del smplex. b) Obtener los valores en el óptmo de las varables a partr de la solucón óptma del problema prmal con sólo aplcar el Teorema de Complementaredad en programacón lneal. En vrtud del Teorema de Complementaredad, los valores de las varables duales serán gual a: 0 u * h* j = w el valor en el óptmo de las varables duales prncpales es j gual a menos el rendmento margnal de la varable de holgura correspondente en el prmal, obvamente, en el óptmo u h* = w * el valor en el óptmo de las varables de holgura duales es gual a menos el rendmento margnal de la varable prncpal prmal correspondente en el óptmo SIGNIFICADO ECONÓMICO DE LAS VARIABLES DUALES EN EL ÓPTIMO Las varables prncpales del dual (u j ) representan el coste de oportundad que soporta la empresa por tener lmtadas las dsponbldades fnanceras a R j um en cada uno de los ntervalos del perodo de planfcacón. O lo que es lo msmo, u j mde la rentabldad margnal de los recursos fnanceros del perodo j, esto es, mde el ncremento que se producrá en el Valor Actual Neto Total del programa (Z) s se ncrementa en una undad monetara dchas dsponbldades fnanceras. Dado el sgnfcado de las varables u j, el programa dual trata de mnmzar el coste de oportundad total que soporta la empresa por tener unos recursos fnanceros lmtados con los que afrontar el programa de nversones en el perodo de planfcacón. La mnmzacón está 19

20 sujeta a la condcón de no realzar nngún proyecto de nversón en el que el coste teórco de los recursos fnanceros aplcados en él sea mayor que la rentabldad margnal que la empresa puede obtener de la realzacón del proyecto, es decr, el Valor Actual Neto del proyecto. Según esto, s: u * j > 0 sgnfca que la empresa soporta un coste de oportundad por tener lmtado los recursos fnanceros del perodo j a R j um. Cada um de ncremento en las dsponbldades de dcho perodo producrá un ncremento del VAN del programa gual a u j u * j = 0 sgnfca que a la empresa, después de acometer los proyectos de nversón le sobran recursos fnanceros. Al no exstr lmtacón fnancera en ese perodo, la empresa no soporta nngún coste de oportundad u h* > 0 ndca que el valor teórco de los recursos fnanceros utlzados en el proyecto es superor a su VAN en una cuantía gual al valor de la varable, por lo que ese proyecto de nversón no se aceptará u h* = 0 ndca que el valor teórco de los recursos fnanceros utlzados en el proyecto concde con VAN. La restrccón correspondente del programa dual se cumple como gualdad, y el proyecto de nversón debe aceptarse Comparando el sgnfcado de las varables en el programa prmal y en el dual en la solucón óptma, las relacones que podemos establecer entre unas y otras son: PRIMAL DUAL x > 0 u h = 0 x = 0 u h > 0 x j h > 0 u j = 0 x j h = 0 u j > 0 LIMITACIONES DEL MODELO DE WEINGARTNER. 1. La separacón que en el modelo de Wengartner se hace entre FNC (F j ), utlzados para calcular el VAN de los proyectos en la funcón objetvo, y las Saldas de Caja (S j ), que son los coefcentes de las restrccones, carece de sentdo. 20

21 Wengartner establece en su modelo que el conjunto de saldas de un perodo no puede ser superor al dsponble en dcho perodo, pero no tene en cuenta las entradas de caja que genera el proyecto y, por tanto, no consdera la posbldad de que sean renvertdos en el msmo perodo en que son generados. 2. No consdera la posbldad de que los FNC postvos que genera un proyecto de nversón sean renvertdos en otros proyectos de nversón. 3. No consdera la posbldad de que los recursos fnanceros sobrantes en un momento del tempo sean utlzados en perodos sucesvos. MODELO DE DURBÁN El programa prmal quedará: Max Z = VAN 1 x 1 + VAN 2 x VAN n x n - F 10 x 1 - F 20 x F n0 x n R 0 - F 11 x 1 - F 21 x F n1 x n R F 1T x 1 - F 2T x F nt x n R T x 1, x 2,..., x n 0 Como se observa, en las restrccones no fguran las Saldas de Caja sno los FNC. De esta forma, cuando el FNC es postvo (F j >0), ncrementa las dsponbldades fnanceras del perodo correspondente, mentras que s es negatvo (F j <0), representa un consumo real de dnero a cargo de las dsponbldades del perodo. Para resolver el anteror programa prmal medante la técnca del smplex es necesaro, como ya sabemos, convertr las necuacones en que están expresadas las restrccones en ecuacones. Para ello ntroducmos las correspondentes varables de holgura: Max Z = VAN 1 x 1 + VAN 2 x VAN n x n - F 10 x 1 - F 20 x F n0 x n + x h 0 = R 0 - F 11 x 1 - F 21 x F n1 x n + x h 1 = R F 1T x 1 - F 2T x F nt x n + x h T = R T x 1, x 2,..., x n, x h 0, xh 1,..., x h T 0 El sgnfcado de las varables en la solucón óptma tanto del programa prmal como del programa dual es exactamente el msmo que el vsto en el modelo de Wengartner. 21

22 OTRAS RESTRICCIONES Y POSIBILIDADES DE LA PROGRAMACIÓN DE INVERSIONES. Además de las restrccones técncas que vmos en el modelo de Wengartner (proyectos no fracconables y/o no repettvos) es posble consderar otros tpos de restrccones: Cuando dos proyectos, además de ser no fracconables y no repettvos, son mutuamente excluyentes, debemos añadr la sguente restrccón: x f + x g 1 De esta forma mpedmos que x f = 1 y x g = 1 smultáneamente. Otra forma de ntroducr la restrccón sería: x f x g = 0 pero al ser una restrccón no lneal tene el nconvenente de que el problema no podría resolverse medante el smplex. S los proyectos de nversón son acoplados, de tal forma que la realzacón del proyecto g mplca la realzacón del proyecto f (pero no tene porqué ocurrr al revés), entonces habrá que ntroducr la sguente restrccón: x g x f Además de las restrccones técncas pueden haber restrccones comercales, como, por ejemplo, que el número máxmo de undades físcas que se fabrquen no supere el nvel máxmo de ventas prevsto, etc. En la programacón de nversones tambén es posble consderar la posbldad de que un proyecto de nversón pueda comenzar a realzarse en dstntos del tempo. Así, por ejemplo, supongamos que el proyecto A puede comenzar a realzarse tanto en el momento t 0 como en el momento t 2. Entonces, debemos tener tantas varables como posbles momentos del tempo puede realzarse el proyecto: x A = nº de veces que se realza el proyecto A en el momento t 0 x A ' = nº de veces que se realza el proyecto A en el momento t 2 Lógcamente, s el proyecto A es no repettvo, entonces habrá que añadr la correspondente restrccón: x A + x A ' = 1 22

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