Página 29. Página Representa los siguientes conjuntos: a) ( 3, 1) b) [4, c) (3, 9] d) 0)

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1 Página. Representa los siguientes conjuntos: a) (, ) b) [, c) (, ] d) 0) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0. Representa los siguientes conjuntos: a) {x / Ì x < } b) [, ) «(, 7] c) 0) «(, +@) d) ) «(, a) c) b) d) 0 0 Página 0. Halla los siguientes valores absolutos: a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) 7 0 a) b) π c) d) 0 e) π π f) g) h) i) Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) x b) x Ì c) x d) x Ì e) x > f ) x + > a) y b) Ì x Ì ; [, ] c) y d) Ì x Ì ; [, ] e) x < o x > ; ) «(, +@) f) x < o x > ; ) «(, +@) Unidad. Números reales

2 UNIDAD Página. Simplifica: a) x b) x 8 c) 8 d) 8 e) f) 8 y 0 x a) b) x 8 x x c) y y 0 d) 8 8 e) f) 8 8. Cuál es mayor, o? Reducimos a índice común: Por tanto, es mayor. 7 ; 8. Reduce a índice común: 8 a) a y a 7 b) y 0 8 a) a a ; a 7 a b) ; 0. Simplifica: k a) ( ) 8 b) c) 8 x 0 x x a) ( ) 8 k b) c) x k x 0 ( x ) Página. Reduce: 8 a) b) c) d) 8 a) 8 b) 8 c) d) 8 ( ) ( ) 7 Unidad. Números reales

3 . Simplifica: x a b a a b c a) b) c) d) x a b a a b c a) b) a b x x x x a b a b c) d) a b c a a a a a a b c b c c a b c 7. Reduce: a) b) c) d 7 a) b) 8 c) d) 8. Suma y simplifica: a) x + x + x b) + c) d) e) 0a 8a a) 0 x b) + 7 c) d) e) a a a a a Unidad. Números reales

4 UNIDAD Página. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) b) 7 7 c) d) a e) f) 0 8 g) h) 0 i ) j ) 00 a) b) 7 c) 7 d) a a a a a e) 0 0 f) 8 g) h) i) 0 j) Unidad. Números reales 7

5 0. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: x + y a) b) + x + y a x + y c) d) a x y + e) f) g) + + h) + + x y x + y a) ( + ) ( ) (x + y) ( x y ) (x + y) ( x y ) b) ( x + y ) ( x y ) x y x x x y + y x y y x y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( x + y) ( x + y) d) ( x y ) ( x y ) x + y + x y x y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) f) g) x + y + x y h) x y x x y Página. Halla: a) log b) log 0, c) log d) log 0 0, e) log f) log 7 g) ln e h) ln e / i ) log 0,0 j ) log ( ) 8 Unidad. Números reales

6 UNIDAD a) log log b) log 0, log c) log 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log j) log log ( ). Halla la parte entera de: a) log 0 b) log 700 c) log d) log 0 0,08 e) log 0 f) ln e a) ; ; < 0 < < log 0 < 8 log 0, b) ; ; < 700 < < log 700 < 8 log 700, c) ; ; 0000 < 000 < < log < 8 log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < 8 log 0 0,08, e) ; 8 ; < 0 < 8 < log 0 < 8 log 0, f) ln e. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log d) log 00 0 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a) log 00 0,; 0, log b) log log,;, 00 log 00 c),; 00, log 0 00 d) log 00 log 00 0,80; 00 0,80 0 Unidad. Números reales

7 . Sabiendo que log A,8 y log B,, calcula: A a) log b) log B A B a) log A B 0,8 [ log A log log B] [,8,] 0,7 A b) log log + log A log B +,8, +,7,8, B. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y x ln 8 ln y ln e x ln ln y x ln e x ln y ln 8 y e x Página 8. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de, m. b)por la gripe se han perdido 7 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 000 al año. a) Error absoluto < 0,0 m 0,0 Error relativo < < 0,000 0,0%, b) Error absoluto < 0, millones de horas horas 0, Error relativo < < 0,0,% 7 c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de mil, redondeando a los miles de euros ), entonces: 0, E.A. < 0, miles de 00 E.R. < < 0,07,7% Si suponemos que es 000 exactamente: 0, E.A. < 0, E.R. < < 0, ,007% Unidad. Números reales

8 UNIDAD Página. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a) ( : 0,000) 0, 0 b) 0, a) ( : 0,000) 0, 0 ((8 0 ) : ( 0 )) 0 ( 0 ) b) 0, , , , 0 7, 0. Opera con la calculadora: a) (,87 0, 0 ) : (, 0 ) b) 8, , 0 0, 0 a) (,87 0, 0 ) : (, 0 ),8 0 b) 8, , 0 0, 0,7 0 0 Página LENGUAJE MATEMÁTICO. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso: N M» N N M N N M «N M M M M N U M N N M M M' (M «N) (M» N). Expresa simbólicamente estas relaciones: a) es un número natural. b) es un número entero. c) 0, es un número racional. Unidad. Números reales

9 d) π es un número real. e) Todos los enteros son racionales. f ) El intervalo [, ] está formado por números reales. a) é N b) é Z c) 0, é Q d) π é Á e) Z å Q f) [, ] å Á. Designa simbólicamente estos conjuntos: a) Los números enteros mayores que y menores que 7 (utiliza Z y el intervalo abierto (, 7)). b) Los números irracionales (utiliza Á y Q). c) Los números racionales mayores que y menores o iguales que. d) Los números que son múltiplos de o de (el conjunto de los múltiplos de p se designa p ). a) {x é Z / x é (, 7)} b) Á Q c) {x é Q / < x Ì } d) {x / x o x }. Traduce: a) {x éz /x Ó } b) {x én /x > } c) {x én / < x Ì } d) {x éz / Ì x < 7} a) Números enteros mayores o iguales que. b) Números naturales mayores que. c) Números naturales mayores que y menores o iguales que. d) Números enteros mayores o iguales que y menores que 7.. Cuáles son los números que forman el conjunto (Á Q) [0, ]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, ). Unidad. Números reales

10 UNIDAD Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números racionales e irracionales Expresa como fracción cada decimal y opera: 0, ), ) 0, ) +, Recuerda que, ) ; 0, ). 0 +,78 ) 0 0 Demuestra que el producto,0 ), ) es un decimal exacto. Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.,0 ) 0 0,, ), ,0 ), ),,,7, ) Calcula: a), 7 ) b) a), ) b) 0, ) Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 0 ) a) y b) 0, y 0, ) c), 8 ) y d),08 y, a) b) 0, ) c), 8 ) d),08 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales: A C E G B 0 D F H Unidad. Números reales

11 En el triángulo OAB, OB, AB y OA +. Por tanto, el punto D representa a. Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta. F representa, pues OF OC OD + DC ( ) + H representa, pues OH OG ( ) + Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico? d m 0 m a b c m es un segmento cualquiera a b c d m m m m m m 7 Potencias 7 Halla sin calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: a) b) 8 c) d) 0 Mira el problema resuelto número c). a b c 7 a b c a) b) c) c d) 7 a c a c a b b b 80 7 Unidad. Números reales

12 UNIDAD Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: x a) a a b) c) x a) a / a / a /0 x / x / b) x / x 0 a a c) a / a 0 Resuelve, sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f) 0, 0, Expresa como una potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / 8 Calcula utilizando potencias de base, y : a) ( ) b) ( ) ( ) 8 ( ) c) ( 8) ( ) d) 0 ( 0) 0 a) ( ) 8 b) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 8 d) 00 8 Unidad. Números reales

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: a a a) a a b) / a a) / a a 7/ a a / a 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ /) (/ + /) (/ ) (/ ) / / (/ /) + 8 ( ) 8 d) Verdadera. ( ) ( ) 80 Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Unidad. Números reales

14 UNIDAD Página Radicales Introduce los factores dentro de cada raíz: a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) x x x e) f) 8 7 Saca de la raíz el factor que puedas: a) b) 8 c) 000 a d) 8a e) f) + b a a g) h) a + i) + a a) b) 8 c) 0 0 a d) a e) f) a a a b b a g) h) (a a i) + ) + a a a 8 Simplifica: 8 a) 0,07 b) 0,00 c) + a) ( / / ) ( 7 ( ) ) b) /8 / ( ) ( ( ) ) c) ( / / ) ( ) x 0 x 8 Unidad. Números reales 7

15 Simplifica los siguientes radicales: a) b) 7 c) d) y e) f) : a) b) / / c) d) y y y y e) f) 8 : : 0 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: a),, b), c), 0 d) 7,, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, 0 000; < d) 7 8,, ; < 00 < Realiza la operación y simplifica, si es posible: 7 a) 7 b) c) d) ( ) e) ( ) f) : a) b) 8 c) 8 d) ( ) e) ( ) f) : : 8 8 Unidad. Números reales

16 UNIDAD Efectúa y simplifica, si es posible: a) b) a a a c) ( d) : En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y, respectivamente. a) 08 b) a a a a c) ( ) 8 ( ) d) : : Expresa con una única raíz: a) b) c) ( ) : a) ) b) 7 8 c) 0 0 a a a a a a a a a Racionaliza los denominadores y simplifica: a) b) c) d) e) + 8 a) b) ( ) c) ( ) ( ) d) e) Unidad. Números reales

17 Calcula y simplifica: a) b) + c) + d) ( + ) ( ) a) b) c) + + d) Simplifica al máximo las siguientes expresiones: a) b) + 8 a c) 7 8a a + a) b) c) 7 a + a a a a + a ( a) a a 7 Efectúa y simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( ) ( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) c) d) e) ( ) 0 Unidad. Números reales

18 UNIDAD 8 Racionaliza y simplifica: + a) b) c) 8 ( ) + d) e) f) + + a) ( ) ( ) + + ( + ) + b) + ( + ) ( + )( + ) + + c) ( ) ( + ) d) ( + ) + ( )( + ) ( ) ( ) ( ) e) 0 ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( + ) + f) Efectúa y simplifica: a) b) ( + ) ( ) ( )( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( )( 7 7 ) b) 7 ( 7 + )( 7 ) 7 ( ) Unidad. Números reales

19 Página 7 Notación científica y errores 0 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. a) b) c) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 (, ) (, 0 + 8), 0, 0, , 0 0 a), 0 Error absoluto < 0,00 0 0, 0, Error relativo < < 0,00 b),8 0 Error absoluto < 0, Error relativo < <, 0,8 0 c), 0 Error absoluto < 0, Error relativo < <,8 0, 0 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b), 0 ; 0,0 0 7 ; a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 > 0 >, 0 Efectúa: ,8 0 Expresa en notación científica y calcula: , ,000 ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) 0 Unidad. Números reales

20 UNIDAD Considera los números: A, 0 7 ; B,8 0 y C,0 0 Calcula B + C. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una A cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. B + C A 7, 0 E.A. < 0, E.R. <, 0 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, calcula A ( + C B ) D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. A ( + C B ) D,7 0 E.A. 0, E.R. <,8 0 Intervalos y valor absoluto Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos: a) x es menor que. b) es menor o igual que x. c) x está comprendido entre y. d) x está entre y 0, ambos incluidos. a) x < ; ) b) Ì x; [, +@) c) < x < ; (, ) d) Ì x Ì 0; [, 0] Unidad. Números reales

21 7 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades: a) Ì x Ì b) < x c) x Ó d) Ì x < / e) < x <, f) Ì x a) [, ] b) (, +@) 0 c) [, +@) d) [ ), 0 e) (;,) f) [, +@), 0 0 / 8 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos intervalos: a) [, 7] b) [, +@) c) 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (0, +@) a) Ì x Ì 7 b) x Ó c) x < 0 d) < x Ì 0 e) Ì x < f) 0 < x < +@ Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A B) e (I J): a) A [, ] B [0, ] b) I [, +@) J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0) 0 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades: a) x < o x Ó b) x > 0 y x < c) x Ì o x > d) x < y x Ó Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: ) [, +@) a) ) «[, +@) b) (0, ) c) ] «(, +@) d) [, ) Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas expresiones: a) x < 7 b) x Ó c) x < 8 d) x Ì e) x + > f ) x Ó a) ( 7, 7) b) ] «[, +@] c) (, ) d) [, 7] e) (, 7) f) ] «[, +@) Unidad. Números reales

22 UNIDAD Averigua qué valores de x cumplen: a) x b) x Ì 7 c) x + Ó a) 7 y b) Ì x Ì ; [, ] c) x Ì y x Ó ; ] «[, +@) Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) x b) x + c) x d) x e) x x f) + a) x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) b) x + Ó 0 ò x Ó ò x Ó ; [ ), +@ c) x Ó 0 ò x Ì 0; 0] d) x Ó 0 ò Ó x ò x Ì ; ] e) x Ó 0 ò Ó x; ] x f) + Ó 0 ò + x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y b) y c) y d) y a) 7 b) c) ( ) + d) ( ) 7 Expresa como un único intervalo: a) (, ] [, ) b) [, ) (0, ] c) (, ] [, 7) d) [, ) (0, ) a) (, ] «[, ) (, ] b) [, ) «(0, ] [, ] c) (, ]» [, 7) [, ] d) [, )» (0, ) (0, ) Unidad. Números reales

23 Página 8 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos: a) Centro y radio b) Centro, y radio,0 c) Centro y radio / a) (, + ) (, ) b) (,,0;, +,0) (0,;,) c) ( ) (, + 7, ) 7 Describe como entornos los siguientes intervalos: a) (, ) b) (,;,) c) (,; 0,) d) ( ;,8) + a) C ; R Entorno de centro y radio., +, b) C, ; R,, 0,8 Entorno de centro, y radio 0,8, + 0, c) C ; R 0, ( ), Entorno de centro y radio,. + (,8) d) C, ; R,8 (,) 0, Entorno de centro, y radio 0,. 8 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones: a) a < b equivale a b < a < b b) a a c) a + b a + b d) a b a b a) Verdadera (siempre que b > 0). b) Falsa; pues a Ó 0 y a Ì 0. (Solo sería cierta para a 0). c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo. En general, a + b Ì a + b. d) Verdadera. Unidad. Números reales

24 UNIDAD Logaritmos Calcula: a) log 0 b) log 0,00 c) log d) log e) log f ) log 8 g) log / h) log π a) log 0 0 b) log 0 c) log d) log ( ) e) log / f) log / g) log / ( ) / h) 0 0 Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log + log log log b) log + log log 7 a) b) 0 8 Calcula la base de estos logaritmos: a) log x b) log x a) x ; x b) x ; x Calcula el valor de x en estas igualdades: a) log x b) log x c) 7 x d) x a) x, b) log x ; x log 0 log log c) x,8 d) x 0,8 log 7 log Unidad. Números reales 7

25 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log 8 b) ln (, 0 ) c) ln (7, 0 ) d) log, e) log, f ) log 0,0 a),08 b) ln (, 0 ), 8 e,, 0 c) ln (7, 0 ), 8 e, 7, 0 d), 8,, e) 0, 8 0,, f),88 8,88 0,0 Calcula la base de cada caso: a) log x / b) log x / c) log x 0,0 d) log x / Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar x. En c), x 0,0 ï. 00 a) x 8 x b) x / 8 x c) x 0,0 8 x d) x / 8 x Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) ln x ln 7 + ln b) log x log log c) ln x ln d) log x log + log log e) ln x ln ln a) Por logaritmo de un producto: ln x ln (7 ) a) ln x ln (7 ) ò x 7 b) log x log ò x c) ln x ln ò x d) log x log ò x e) ln x ln ln x ln x ln ln ln x ln ò x 8 Unidad. Números reales

26 UNIDAD Sabiendo que log 0,77, calcula el logaritmo decimal de 0; 00; 000; 0,; 0,0; 0,00. log 0 log ( 0) log + log 0 0,77 +,77 log 00 log ( 0 ) log + log 0,77 log 000 0,77 +,77 log 0, log ( 0 ) 0,77 0, log 0,0 log ( 0 ) 0,77, log 0,00 0,77, 7 Sabiendo que log k,, calcula el valor de las siguientes expresiones: a) log b) log 0, k k c) log d) (log k) / 00 k a) log k log 00,, b) log 0, + log k +, 7,8 c) (log log k),,8 d) (,) /,,7 8 Sabiendo que ln k 0,, calcula el valor de: k a) ln b) ln k c) ln e e k k a) ln ln k ln e 0, 0, e b) ln k ln k 0, 0, e c) ln ln e ln k 0,, k Calcula x para que se cumpla: a) x,7 b)log 7 x 0, c) + x 7 a) log x,7 log log ò,7 log x log ò log x 0,7,7 x 0 0,7,8 7 0, b) 7 0, x ò x 0,88 c) log + x log 7 ò ( + x) log log 7 ò + x log 7 x,8 log log 7 log Unidad. Números reales