PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS (2013). Materia: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales
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- Miguel Ángel Macías Castilla
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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS (2013). Materia: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Esta prueba consta de dos bloques (A y B) de cuatro preguntas cada uno. El alumno debe contestar a uno de los bloques. Todos los ejercicios puntúan 2.5 puntos. Se puede utilizar la calculadora. 1. Dadas las matrices A = ( BLOQUE A ), B = a) Calcula la matriz traspuesta de B. (0.25 puntos) b) Calcula B A 2 3C. (1.25 puntos) c) Calcula la matriz X, tal que X H = I, siendo H = de orden 2. (1 punto) y C = ( ) e I la matriz identidad ( ) a) B t = (0.25 puntos) ( ) b) B A 2 3C = Calcular A puntos Calcular B A puntos Calcular 3C 0.25 puntos Calcular B A 2-3C 0.25 puntos c) X=H 1 (0.25 puntos) ( 1 1 X = H 1 = 2 3 ) (0,75puntos) 2. Dada la función f(x) = 2x 3 27x = a) Halla los máximos y mínimos de la función. (1.25 puntos) b) Escribe los intervalos de concavidad y convexidad de la función. (0.75 puntos) c) Calcula los puntos de inflexión. =
2 a) f (x) = 6x 2 54x (0,25 puntos) f (x) = 0 6x 2 54x = 0 x = 0, x = 9 (0,25 puntos) f (x) = 12x 54 (0,25 puntos) f (x = 0) = 54 < 0 (x = 0, y = 4) es un máximo relativo de f (0.25 puntos) f (x = 9) = 54 > 0 (x = 9, y = 725) es un mínimo relativo de f(0.25 puntos) b) f (x) = 0 12x 54 = 0 x = 9 2 Signo de la 2 a derivada f es c) 9 (, ) ( 9, + ) 2 2 Negativo Positivo (0.25 puntos) f (x) = 12 f (x = 9 2 ) = 12 0 (x = 9 2, y = = 360,5) es un punto de inflexión 3. La duración de un determinado componente electrónico sigue una distribución normal con desviación típica 20 minutos. Se eligieron al azar 50 de estos componentes, cuya duración media resultó ser de 185 minutos. a) Halla el intervalo de confianza al 95 % para la duración media del componente electrónico. (1.5 puntos) b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)
3 Solución a) Por saber la fórmula del intervalo 0.5 puntos, ( x z α/2 σ/ n, x + z α/2 σ/ n). Por el valor de z α/2 = z 0,025 = 1,96 Todo correcto 1.5 puntos. (185 1,96 20/ 50, ,96 20/ 50)=( , ) b) Tenemos dos opciones tomar una muestra mayor y la otra es utilizar un nivel de confianza menor, es decir, un α mayor. (0.5 puntos por cada una) 4. Se sabe que en una determinada población, el 90 % de las familias tienen televisión, el 40 % tienen ADSL y el 39 % tienen ADSL y televisión. a) Se selecciona al azar una familia de esa población. Cuál es la probabilidad de que tenga ADSL o televisión? (1 punto) b) Si se elige un hogar al azar y tiene ADSL, cuál es la probabilidad de que tenga televisión? (1 punto) c) Son sucesos independientes tener ADSL y tener televisión? Razona tu respuesta. a) Plantear bien las probabilidades 0.25 puntos. P(TV)=0.9; P(ADSL)=0.4 y P(TV y ADSL)=0.39 P(TV ó ADSL)=P(TV ADSL)=P(TV)+P(ADSL)-P(TV y ADSL)= =0.91 (0.75 puntos) b) P(TV/ADSL)=P(TV y ADSL)/P(ADSL)=0.39/0.4=0.975 (1 punto) c) No son independientes ya que P(TV y ADSL)=0.39 P(TV)*P(ADSL)=0.9*0.4=0.36
4 BLOQUE B 1. Una empresa de transporte tiene tres tipos de vehículos: camiones, furgonetas y turismos. En total hay 12 vehículos. Se sabe que la suma de camiones y furgonetas es igual al doble de turismos. Y el número de turismos es igual a la diferencia entre el número de furgonetas y el número de camiones. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de vehículos de cada tipo que tiene la empresa. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. ( 1 punto) x= n o de camiones y= n o de furgonetas z= n o de turismos x + y + z = 12 x + y = 2z z = y x x + y + z = 12 x + y 2z = 0 x y + z = 0 a) Por cada ecuación bien planteada 0.5 puntos b) Soluciones: x=2, y=6, z=4 (1 punto) 2. El número de averías que se producen en un año en la maquinaria de una fábrica, viene dado por la función f(t) = 2t 3 21t t, 1 t 6, siendo t el tiempo medido en años. a) En el primer año (t=1), cuántas averías se produjeron? (0.25 puntos) b) Estudia el crecimiento y decrecimiento del número de averías producidas en los 6 años de existencia de la fábrica. (1.25 puntos) c) En qué año se produjeron más averías y cuántas fueron? d) En qué año hubo menos averías y cuántas fueron? f(t)= 2t 3-21t 2 +60t a)f(1)= =41 averías el primer año (0.25 puntos) b) f (t) = 6t 2 42t + 60 (0,25 puntos) f (t) = 0 6t 2 42t + 60 = 0 t = 2 y t = 5 (0,25 puntos) En (1, 2) f (t) > 0 f es creciente en ( 1, 2) (0,25 puntos) En (2, 5) f (t) < 0 En (5, 6) f (t) > 0 c) f (t) = 12t 42 (0,25 puntos) f es decreciente en (2, 5) (0,25 puntos) f es creciente en (5, 6) (0,25 puntos) f (t = 2) = 10 < 0 (t = 2, 52) es un máximo relativo de la función. (0.25 puntos) Se producen el número máximo de averías el 2 o año y fueron 52 averías
5 d)f (t = 5) = 18 > 0 (t = 5, 25) es un mínimo relativo de la función El número mínimo de averías se produjeron el 5 o año y fueron 25 averías 3. Consideramos la función: { x + 2, si x < 2 f(x) = 3x 2, si x 2. a) Dibuja la gráfica de la función. (1.5 puntos) b) Estudia la continuidad de la función en x=2. (1 punto) a) Por cada trozo bien dibujado 0.75 puntos. Todo correcto 1.5 puntos b) f(2) = = 4 (0.25 puntos) lim x 2 f(x) = = 4 (0.25 puntos) lim x 2 +f(x) = lim x 2 +(3x 2) = 4 (0.25 puntos) Es continua ya que coinciden sus límites laterales y el valor de la función. (0.25 puntos) 4. Un ordenador tiene instalados dos ventiladores, uno delantero y otro trasero. Ante un aumento inesperado de temperatura en el interior del ordenador, los ventiladores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el ventilador delantero es 0.8 y de que se active el ventilador trasero es Calcular:
6 a) La probabilidad de que, ante uno de los ventiladores. (1 punto) b) La probabilidad de que, ante ningún ventilador.
7 P(1 ventilador)=p(vd ON y VT OFF)+P(VD OFF y VT ON)= =P(VD ON)*P(VT OFF)+P(VD OFF)*P(VT ON)=0.8* *0.75=0.35 (0.75 ptos) b) P(ninguno activo)= P (V DOF F ) P (V T OF F ) = 0,2 0,25 = 0,05 c) P(Al menos 1 ventilador activo)=p(1 ventilador activo)+(2 ventiladores activo)=0,35+ 0,8 0,75 = 0,95 P(2 ventiladores activos)= P (V DONyV T ON) = P (V DON) P (V DON) = 0,8 0,75 = 0,6 También P(Al menos 1 ventilador activo)=1-p(los dos apagados)=1-0.05=0.95 (1 punto)
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c Solución óptima (1.5,0.5 Valor 3.5. 0.5 puntos. Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado
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