CO5411. Prof. Bernardo Feijoo. 13 de febrero de Departmento de Cómputo Cientíco y Estadística Universidad Simón Bolívar

Transcripción

1 Departmento de Cómputo Cientíco y Estadística Universidad Simón Bolívar 13 de febrero de 2008

2 Contenido 1

3 Contenido 1

4 Existe un vector x 0 que cumple Bx = a a T u 0 para todos los u que satisfacen B T u 0.

5 Contenido 1

6 El problema Esta estrategia se aplica a problemas de la forma: max s.a. c T x + f (y) Ax + F (y) b x 0, y S (1) donde A es m n, c y x tienen tamaño n, y tiene tamaño p, f es una función real de y, F tiene tamaño m y sus componentes son funciones reales de y, b tiene tamaño m, y S es un subconjunto compacto arbitrario de R p. Suponemos además que f y F son continuas en S. Este formato incluye Programación Entera.

7 La idea Como (1) es lineal en x, para valores jos de y, es natural intentar resolverlo jando un valor de y, obteniendo un LP, resolverlo, luego un mejor y, etc. Es importante mencionar que no todo y puede servir. Es necesario que el y elegido haga el LP resultante factible. Esto es, y debe vivir en el conjunto: R = {y existe x 0 tal que Ax b F (y), y S} A los vectores y en R los llamaremos factibles.

8 La idea Nos interesa tratar de caracterizar R mejor. Para un y jo, consideremos el sistema lineal Ax + s = b F (y) x 0, s 0 que proviene de añadir holguras s al sistema que dene R.

9 La idea Podemos aplicar el y obtenemos que y es factible si y sólo si y S y (b F (y)) T u 0 para todos los u que satisfacen A T u 0, u 0 o dicho de otra manera: y S y (b F (y)) T u 0 para todos los u que satisfacen A T u 0, u 0

10 La idea Si R es vacío entonces el problema original (1) es no factible. Suponiendo que sea no vacío, reescribimos (1) como { { }} max f (y) + max c T x Ax b F (y), x 0 y R (2)

11 La idea Para y jo, la maximización interna es un programa lineal: max s.a. c T x Ax b F (y) x 0 (Primal) cuyo dual es min s.a. (b F (y)) T u A T u c u 0 (Dual) Si y R, el primal es factible y, en consecuencia, los valores óptimos de estos problemas son los mismos (esto se extiende al caso cuando el dual es no factible, primal no acotado, valiendo + ambos problemas).

12 La idea Substituyendo entonces un problema por otro en (2), obtenemos: { { }} max f (y) + min (b F (y)) T u A T u c, u 0 y R Consideremos ahora la región factible del dual, el poliedro: P = { } u A T u c, u 0 (3) Esta región es independiente de y.

13 La idea Si P es vacío, el primal es no acotado lo mismo que el problema original (1). Si P no es vacío, el mínimo en (3) se obtiene en una de las SBF de P o el valor va a sobre uno de las DBFs de P (que son las mismas de C ). Pero este último caso implicaría que el primal no es factible y no consideramos este caso.

14 La idea sólo necesitamos considerar las SBF de P, llamémoslas v r, r = 1,..., M, y (3) se puede reescribir como: { f (y) + min (b F 1 r M (y))t v r max y R } (4) que se puede escribir como max s.a. z z f (y) + (b F (y)) T v r, r = 1,..., M y R

15 La idea como el cono C = { } u A T u 0, u 0 es poliédrico se puede generar con un número nito de direcciones extremas. De manera que u C tiene una representación: N u = q s w s, con los q s 0. s=1

16 La idea sustituyendo, obtenemos N q s (b F (y)) T w s 0 s=1 que es cierto para todo q s 0, si y sólo si (b F (y)) T w s 0, s = 1,..., N

17 La idea Entonces un vector y S será factible si y sólo si satisface este conjunto nito de restricciones. Entonces podemos reescribir el conjunto R como R = { y (b F (y)) T w s 0, } s = 1,..., N, y S

18 La idea Usando la denición de R queda nalmente: max z s.a. z f (y) + (b F (y)) T v r, r = 1,..., M 0 (b F (y)) T w s, s = 1,..., N y S (5) A la región factible de (5) la llamamos G.

19 El teorema Todo este desarrollo se puede resumir en un teorema: Teorema: (Los problemas (1) y (5) son equivalentes) 1 (1) tiene una solución factible (5) tiene una solución factible. 2 (1) es factible sin tener solución óptima (5) es factible sin tener solución óptima. 3 Si (z, y ) es solución óptima de (5) y x es solución óptima de (Primal), entonces (x, y ) es solución óptima de (1) y z = c T x + f (y ). 4 Si (x, y ) es solución óptima de (1) y z = c T x + f (y ), entonces (z, y ) es solución óptima de (5).

20 Entonces para resolver (1) basta resolver (5) y luego resolver (Primal) para obtener los valores óptimos de x. El problema es que (5) puede tener muchísimas restricciones y que habría que generar los v r y los w s para conocerlas explícitamente, lo cual puede resultar complicado. Sin embargo sabemos que en una solución óptima sólo una pequeña cantidad de las restricciones son activas (satisfechas como igualdad).

21 Esto motiva la estrategia de relajación- restricción siguiente: 1 Resolver una relajación de (5) con pocas restricciones. 2 Vericar, de manera relativamente sencilla, si el resto de las restricciones son satisfechas por la solución obtenida en el paso (1.). 1 Si lo son, parar, la solución actual es óptima para (5). 2 Si no, añadir una de estas restricciones que son violadas. 3 Generar una nueva relajación (más estricta) e ir a (1.). La vericación del paso (2.) se hace resolviendo (Dual) (o (Primal)).

22 Para desarrollar la metodología necesitamos el siguiente lema: Lema: Si (5) es factible, entonces z no tiene una cota superior nita en G el poliedro P es vacío.

23 [ =] Si P es vacío carece de SBFs o DBFs, por lo tanto las restricciones que denen G se reducen a una sola: y S y entonces ( si z 0, y 0) ( ) G se tiene que z, y 0 G para cualquier valor de z, en otras palabras no tiene cota superior nita.

24 [= ] Por reducción al absurdo, si P no es vacío entonces tiene al menos una SBF, ˆv, de manera que las restricciones de (5) incluyen: z f (y) + (b F (y)) T ˆv de tal manera que si tenemos un (z, y) G, el valor de z debe satisfacer: { } z max f (y) + (b F (y)) T ˆv y S pero S es compacto y F y f son continuas allí, por lo tanto el lado derecho es nito y hemos encontrado nuestra cota superior.