Funciones elementales. A.1 Funciones potenciales. A.2 Función exponencial

Transcripción

1 Funciones potenciales A A. Funciones potenciales La función potencial f : R + R definida como f (x) = x b tiene sentido para cualquier exponente b real. En el caso particular de potencias naturales, se puede extender la definición a toda la recta real. a) f es biyectiva de R + en R +, continua y derivable con f (x) = bx b. b) (xy) b = x b y b. c) Si b > 0, f es estrictamente creciente y verifica lim x b = 0 y lim x 0 x + xb = +. d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y verifica lim x b = + y lim x 0 x + xb = exponente b > 0 exponente b < 0 Ilustración A. Función pontencial Como consecuencia se obtiene que los polinomios, suma de funciones potenciales con exponente natural, son derivables en todo R. Más concretamente, si p(x) = a 0 + a x a n x n, entonces p (x) = a + a x na n x n, x R. A. Función exponencial La función exponencial de base e, f : R R está definida como f (x) = e x. A veces usaremos la notación exp(x) para indicar e x. a) f es continua y derivable en R con f (x) = e x. b) f es biyectiva de R en R + y estrictamente creciente. c) lim x ex = 0 y lim x + ex = +. d) e x+y = e x e y. 5

2 Función logaritmo neperiano A. Función logaritmo neperiano La función logaritmo neperiano, g(x) = ln(x) para x positivo, es la inversa de la función exponencial. a) g es derivable y g (x) = x. b) g es biyectiva de R + en R y estrictamente creciente. c) lim ln(x) = y lim ln(x) = +. x 0 x + d) ln(xy) = ln(x) + ln(y), x, y R +. e) ln x y = ln(x) ln(y), x, y R +. f) ln(x y ) = y ln(x), x R +, y R. g) ln() = 0, ln(e) =. Haciendo uso de la siguiente fórmula se deducen las demás funciones elementales, excepto las trigonométricas a b = e ln(ab) = e b ln(a), a R +, b R Exponencial 4 Logaritmo neperiano Ilustración A. A.4 Función exponencial de base a f : R R, f (x) = a x, x R a) f es biyectiva de R en R +, continua y verifica a x+y = a x a y. b) Si a >, f es estrictamente creciente y verifica lim x ax = 0 y c) Si a <, f es estrictamente decreciente y verifica lim x ax = + y d) f es derivable y f (x) = a x ln(a). lim x + ax = +. lim x + ax = base a > base a < Ilustración A. Función exponencial 5

3 Funciones logarítmicas de base a A.5 Funciones logarítmicas de base a g : R + R, g(x) = log a (x) = ln(x) ln(a) x R + a) g es biyectiva de R + en R y continua. Además g es la inversa de la función exponencial de base a. Verifica también que log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a ( x y ) = log a(x) log a (y), log a (x z ) =z log a (x) 4 logaritmo de base a > para cualesquiera x, y R +, z R. b) Si a >, g es estrictamente creciente y lim log a x =, y lim log x 0 x + a(x) = +. c) Si a <, g es estrictamente decreciente y 4 lim log a(x) = +, y lim log x 0 x + a(x) =. logaritmo de base a < Ilustración A.4 logaritmo Función A.6 Funciones trigonométricas A.6. Las funciones seno y coseno sen : R R, cos : R R verifican: a) Son derivables en todo R y sen (x) = cos(x), cos (x) = sen(x). J sen(x) x tan(x) b) Son funciones periódicas de periodo sen(x + ) = sen(x), cos(x + ) = cos(x). 0 cos(x) I d) cos : [0, ] [, ] es una biyección estrictamente decreciente con cos (0) =, cos = 0, cos() =. e) sen : [, ] [, ] es una biyección estrictamente creciente con sen =, sen(0) = 0, sen =. f) La imagen, tanto de la función seno como de la función coseno, es el intervalo [, ]. g) La función coseno es par: cos( x) = cos(x), x R. h) La función seno es impar: sen( x) = sen(x), x R. i) cos(x + ) = cos(x), x R sen(x + ) = sen(x), x R. Ilustración A.5 Funciones seno y coseno j) Las funciones seno y coseno no tienen límite en + ni en. c) sen (x) + cos (x) =, x R. Fórmula fundamental de trigonometría 5

4 Funciones trigonométricas Algunos valores destacados de seno y coseno Ilustración A.6 Círculo trigonométrico 54

5 Funciones trigonométricas A.6. La función tangente Como se verifica que cos(x) = 0 x = + k, k Z, podemos definir la función tangente como { } tan : A R, A = R \ + k : k Z, tan(x) = sen(x) cos(x) a) tan(x + ) = tan(x), x A. ] [ b) tan :, R es una función continua y estrictamente creciente y además verifica que lim x tan(x) = y lim tan(x) = +. x c) La función tangente es derivable y tan (x) = + tan (x) = cos (x). Ilustración A.7 Función tangente A.6. Secante, cosecante, cotangente Siempre que los respectivos denominadores no se anulen, se pueden definir las siguientes funciones cosec : B R, cosec(x) = sen(x), x B sec : A R, sec x = cos(x), x A cotan : B R, cotan(x) = cos(x) sen(x), x B, donde A = R \ { + k : k Z} y B = R \ {k : k Z}. Dichas funciones son continuas y derivables en su correspondiente dominio y sec (x) = tan(x) sec(x), cosec (x) = cotan(x) cosec(x), cotan (x) = sen (x) = cosec (x) = ( + cotan (x)). 55

6 Funciones trigonométricas A.6.4 Inversas de funciones trigonométricas Función arcoseno Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [, ], y por tanto arcsen : [, ] [, ] verifica que sen(arcsen(x)) = x, x [, ]. Además, es una función biyectiva, continua y estrictamente creciente con arcsen( ) =, arcsen(0) = 0, arcsen() =. Por último, es derivable en el intervalo abierto ], [ con derivada arcsen (x) = x. Función arcocoseno Es la función inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, ], y por tanto cos(arccos(x)) = x, x [, ]. Esta función es biyectiva, continua y estrictamente decreciente con arccos( ) =, arccos(0) =, arccos() = 0 Es derivable en el intervalo abierto ], [ con derivada arccos (x) = x. Función arcotangente Es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo verifica que tan(arctan(x)) = x, x R. ] [ arctan : R, Esta función es biyectiva, continua y estrictamente creciente con lim arctan(x) = x, arctan(0) = 0, lim Es derivable en R y arctan (x) = +x. ] [, y, por tanto, arctan(x) = x +. A.6.5 Identidades trigonométricas Identidades pitagóricas sen (x) + cos (x) = tan (x) + = sec (x) cotan (x) + = cosec (x) 56

7 Funciones trigonométricas Suma y diferencia de ángulos Angulo doble Angulo mitad Producto sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x) sen(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y) tan(x ± y) = tan(x)±tan(y) tan(x) tan(y) sen(x) = sen(x) cos(x) cos(x) = cos (x) sen (x) = cos (x) = sen (x) sen (x) = ( cos(x)) cos (x) = ( + cos(x)) tan x = cos(x) sen(x) = sen(x) +cos(x) sen(x) sen(y) = [cos(x y) cos(x + y)] cos(x) cos(y) = [cos(x y) + cos(x + y)] sen(x) cos(y) = [sen(x + y) + sen(x y)] 57

8 Funciones hiperbólicas A.7 Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas están definidas como: senh(x) = ex e x, cosh(x) = ex +e x, tanh(x) = senh(x) cosh(x) Por analogía con las funciones trigonométricas hablaremos también de tangente, secante y cosecante hiperbólica. A.7. Identidades hiperbólicas Identidades pitagóricas cosh (x) senh (x) =, tanh (x) + sech (x) = cotanh (x) cosech (x) = Sumas y diferencias de ángulos. senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y), senh(x y) = senh(x) cosh(y) cosh(x) senh(y), cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y), senh(x y) = cosh(x) cosh(y) senh(x) senh(y). Ángulo doble senh (x) = +cosh(x), cosh (x) = +cosh(x). 58